Fibración de conjuntos simpliciales

En matemáticas, especialmente en teoría de homotopía , una fibración izquierda de conjuntos simpliciales es una aplicación que tiene la propiedad de levantamiento derecho con respecto a las inclusiones de cuerno.${\displaystyle \Lambda _{i}^{n}\subset \Delta ^{n},0\leq i<n}$. ^{[ 1 ]} Una fibración derecha se define de manera similar con la condición${\displaystyle 0<i\leq n}$. ^{[ 1 ]} Una fibración de Kan es aquella que posee la propiedad de elevación derecha con respecto a cada inclusión de cuerno; por lo tanto, una fibración de Kan es precisamente una aplicación que es a la vez una fibración izquierda y derecha. ^{[ 2 ]}

Una fibración derecha es una fibración cartesiana tal que cada fibra es un complejo de Kan .

En particular, una categoría fibrada en grupoides sobre otra categoría es un caso especial de una fibración derecha de conjuntos simpliciales en el contexto de la ∞-categoría .

Una extensión anódica izquierda es un mapa en la saturación del conjunto de las inclusiones del cuerno.${\displaystyle \Lambda _{k}^{n}\to \Delta ^{n}}$para${\displaystyle n\geq 1,0\leq k<n}$en la categoría de conjuntos simpliciales , donde la saturación de una clase es la clase más pequeña que contiene la clase y es estable bajo empujes, retracciones y composiciones transfinitas (composiciones de infinitos mapas). ^{[ 3 ]} Una extensión anódica derecha se define reemplazando la condición${\displaystyle 0\leq k<n}$con${\displaystyle 0<k\leq n}$Estos conceptos se deben originalmente a Gabriel-Zisman y se utilizan para estudiar fibraciones en conjuntos simpliciales.

Una extensión anodina izquierda (o derecha) es un monomorfismo (ya que la clase de monomorfismos está saturada, ^{[ 4 ]} la saturación reside en la clase de monomorfismos).

Dada una clase${\displaystyle F}$de mapas, deje${\displaystyle r(F)}$denotamos la clase de mapas que satisfacen la propiedad de elevación derecha con respecto a${\displaystyle F}$. Entonces${\displaystyle r(F)=r({\overline {F}})}$para la saturación${\displaystyle {\overline {F}}}$de${\displaystyle F}$. ^{[ 5 ]} Por lo tanto, un mapa es una fibración izquierda (resp. derecha) si y solo si tiene la propiedad de levantamiento derecha con respecto a extensiones anodinas izquierdas (resp. derechas). ^{[ 3 ]}

Una extensión anodina interna es un mapa en la saturación de las inclusiones del cuerno.${\displaystyle \Lambda _{k}^{n}\to \Delta ^{n}}$para${\displaystyle n\geq 1,0<k<n}$. ^{[ 6 ]} Los mapas que tienen la propiedad de elevación correcta con respecto a las extensiones anodinas internas o equivalentemente con respecto a las inclusiones de cuerno${\displaystyle \Lambda _{k}^{n}\to \Delta ^{n},\,n\geq 1,0<k<n}$se denominan fibraciones internas . ^{[ 7 ]} Los conjuntos simpliciales son entonces complejos de Kan débiles (∞-categorías) si los mapas únicos al objeto final son fibraciones internas.

Una isofiblación${\displaystyle p:X\to Y}$es una fibración interna tal que para cada objeto (0-símplex)${\displaystyle x_{0}}$en${\displaystyle X}$y un mapa invertible${\displaystyle g:y_{0}\to y_{1}}$con${\displaystyle p(x_{0})=y_{0}}$en${\displaystyle Y}$Existe un mapa${\displaystyle f}$en${\displaystyle X}$de tal manera que${\displaystyle p(f)=g}$. ^{[ 8 ]} Por ejemplo, una fibración izquierda (o derecha) entre complejos de Kan débiles es una isofibración conservativa . ^{[ 9 ]}

Dados los monomorfismos${\displaystyle i:A\to B}$y${\displaystyle k:Y\to Z}$, dejar${\displaystyle i\sqcup _{A\times Y}k}$denotan el empuje de${\displaystyle i\times \operatorname {id} _{Y}}$y${\displaystyle \operatorname {id} _{A}\times k}$. Entonces, un teorema de Gabriel y Zisman dice: ^{[ 10 ] [ 11 ]} si${\displaystyle i}$es una extensión anodina izquierda (respectivamente derecha), entonces el mapa inducido

${\displaystyle i\sqcup _{A\times Y}k\to B\times Z}$

es una extensión anodina izquierda (respectivamente, derecha). De manera similar, si${\displaystyle i}$es una extensión interna anódica, entonces el mapa inducido anterior es una extensión interna anódica. ^{[ 12 ]}

Un caso especial de lo anterior es la propiedad de extensión de homotopía de recubrimiento : ^{[ 13 ]} una fibración de Kan tiene la propiedad de levantamiento derecha con respecto a${\displaystyle (Y\times I)\sqcup (Z\times 0)\to Z\times I}$para monomorfismos${\displaystyle Y\to Z}$y${\displaystyle 0\to I=\Delta ^{1}}$.

Como corolario del teorema, un mapa${\displaystyle p:X\to Y}$es una fibración interna si y solo si para cada monomorfismo${\displaystyle i:A\to B}$, el mapa inducido

${\displaystyle (i^{*},p_{*}):{\underline {\operatorname {Hom} }}(B,X)\to {\underline {\operatorname {Hom} }}(A,X)\times _{{\underline {\operatorname {Hom} }}(A,Y)}{\underline {\operatorname {Hom} }}(B,Y)}$

es una fibración interna. ^{[ 14 ] [ 15 ]} De manera similar, si${\displaystyle p}$es una fibración izquierda (respectivamente, derecha), entonces${\displaystyle (i^{*},p_{*})}$es una fibración izquierda (resp. derecha). ^{[ 16 ]}

La categoría de conjuntos simpliciales sSet tiene la estructura de categoría de modelo estándar donde ^{[ 17 ]}

• Las cofibraciones son los monomorfismos,
• Las fibraciones son las fibraciones de Kan,
• Las equivalencias débiles son los mapas${\displaystyle f}$de tal manera que${\displaystyle f^{*}}$es biyectiva en clases de homotopía simplicial para cada complejo de Kan ( objeto fibrante ),
• Una fibración es trivial (es decir, tiene la propiedad de levantamiento correcta con respecto a los monomorfismos) si y solo si es una equivalencia débil,
• Una cofibración es una extensión anodina si y solo si es una equivalencia débil.

Debido a esta última propiedad, una extensión anodina también se conoce como cofibración acíclica (una cofibración que es una equivalencia débil). Asimismo, las equivalencias débiles entre complejos de Kan son las mismas que las equivalencias de homotopía simplicial entre ellos.

Bajo la realización geométrica | - |  : sSet → Top , tenemos:

• Un mapa${\displaystyle f}$es una equivalencia débil si y solo si${\displaystyle |f|}$es una equivalencia homotópica. ^{[ 18 ]}
• Un mapa${\displaystyle f}$es una fibración si y solo si${\displaystyle |f|}$es una fibración (usual) en el sentido de Hurewicz o de Serre. ^{[ 19 ]}
• Para una extensión anodina${\displaystyle i}$,${\displaystyle |i|}$admite una fuerte retracción por deformación . ^{[ 20 ]}

Dejar${\displaystyle U}$sea ​​el conjunto simplicial donde cada n -símplex consta de

• un mapa${\displaystyle p:X\to \Delta ^{n}}$de un conjunto simplicial (pequeño) X ,
• una sección${\displaystyle s}$de${\displaystyle p}$,
• para cada entero${\displaystyle m\geq 0}$y para cada mapa${\displaystyle f:\Delta ^{m}\to \Delta ^{n}}$, una elección de retroceso de${\displaystyle p}$a lo largo de${\displaystyle f}$. ^{[ 21 ]}

Ahora bien, una conjetura de Nichols-Barrer, que ahora es un teorema, afirma que U es lo mismo que la ∞-categoría de ∞-grupoides (complejos de Kan) junto con algunas elecciones. ^{[ 22 ]} En particular, existe un mapa de olvido.

${\displaystyle p_{univ}:U\to {\textbf {Kan}}}$= la ∞-categoría de complejos de Kan ,

que es una fibración izquierda. Es universal en el siguiente sentido: para cada conjunto simplicial X , existe una biyección natural.

${\displaystyle [X,{\textbf {Kan}}]\,{\overset {\sim }{\to }}}$el conjunto de las clases de isomorfismo de fibraciones izquierdas sobre X

dado por retraer${\displaystyle p_{univ}}$, dónde${\displaystyle [,]}$significa las clases de homotopía simplicial de mapas. ^{[ 23 ]} En resumen,${\displaystyle {\textbf {Kan}}}$es el espacio clasificador de fibraciones izquierdas. Dada una fibración izquierda sobre X , un mapa${\displaystyle X\to {\textbf {Kan}}}$A ello se le denomina mapa clasificador para esa fibración.

En el libro de Cisinski, el hom-functor${\displaystyle \operatorname {Hom} :C^{op}\times C\to {\textbf {Kan}}}$En una ∞-categoría C , se define simplemente como el mapa clasificador para la fibración izquierda.

${\displaystyle (s,t):S(C)\to C^{op}\times C}$

donde cada n -símplex en${\displaystyle S(C)}$es un mapa${\displaystyle (\Delta ^{n})^{op}*\Delta ^{n}\to C}$. ^{[ 24 ]} De hecho,${\displaystyle S(C)}$es una ∞-categoría llamada diagonal retorcida de C . ^{[ 25 ]}

En su Teoría de Topos Superiores , Lurie construye una fibración cartesiana universal análoga . ^{[ 26 ]}

• argumento del objeto pequeño

• Lurie, Jacob (2009a), Teoría de topos superiores , Annals of Mathematics Studies, vol.  170, Princeton University Press , arXiv : math.CT/0608040 , ISBN 978-0-691-14049-0, MR 2522659 
• Lurie, J. (2009b). "Clase 9 de Teoría K algebraica y Topología de Variedades (Matemáticas 281)" (PDF) .
• Cisinski, Denis-Charles (2023). Categorías superiores y álgebra homotópica (PDF) . Cambridge University Press . ISBN 978-1108473200.
• Pierre Gabriel, Michel Zisman, capítulo IV.2 de Cálculo de fracciones y teoría de la homotopía, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 35, Springer (1967)
• Lurie, Kerodon
• Joyal, André ; Tierney, Myles (2008). "Notas sobre la teoría de la homotopía simplicial" (PDF) .

• https://ncatlab.org/nlab/show/anodyne+morphism
• https://math.stackexchange.com/questions/1061303/history-of-the-term-anodyne-in-homotopy-theory
• https://mathoverflow.net/questions/313635/cellularity-of-anodyne-extensions
• nlab, https://ncatlab.org/nlab/show/inner+fibration