Transformación sin perfume

La transformada sin aroma (UT) es una función matemática que se utiliza para estimar el resultado de aplicar una transformación no lineal dada a una distribución de probabilidad que se caracteriza únicamente en términos de un conjunto finito de estadísticas . El uso más común de la transformada sin aroma se da en la proyección no lineal de estimaciones de media y covarianza en el contexto de extensiones no lineales del filtro de Kalman . Su creador, Jeffrey Uhlmann, explicó que "sin aroma" era un nombre arbitrario que adoptó para evitar que se la denominara "filtro de Uhlmann". ^{[ 1 ]}

Muchos métodos de filtrado y control representan estimaciones del estado de un sistema en forma de un vector medio y una matriz de covarianza de error asociada . Como ejemplo, la posición bidimensional estimada de un objeto de interés podría representarse mediante un vector de posición media,${\displaystyle [x,y]}$, con una incertidumbre dada en forma de una matriz de covarianza de 2x2 que da la varianza en${\displaystyle x}$, la varianza en${\displaystyle y}$y la covarianza cruzada entre ambos. Una varianza igual a cero implica que no hay incertidumbre ni error y que la posición del objeto es exactamente la especificada por el vector medio.

La representación de la media y la covarianza solo proporciona los dos primeros momentos de una distribución de probabilidad subyacente, pero desconocida. En el caso de un objeto en movimiento, la distribución de probabilidad desconocida podría representar la incertidumbre de la posición del objeto en un momento dado. La representación de la incertidumbre mediante la media y la covarianza es matemáticamente conveniente porque cualquier transformación lineal${\displaystyle T}$puede aplicarse a un vector medio${\displaystyle m}$y matriz de covarianza${\displaystyle M}$como${\displaystyle Tm}$y${\displaystyle TMT^{\mathrm {T} }}$Esta propiedad de linealidad no se cumple para momentos más allá del primer momento bruto (la media) y el segundo momento central (la covarianza), por lo que generalmente no es posible determinar la media y la covarianza resultantes de una transformación no lineal porque el resultado depende de todos los momentos, y solo se dan los dos primeros.

Aunque la matriz de covarianza a menudo se trata como el error cuadrático esperado asociado con la media, en la práctica la matriz se mantiene como un límite superior del error cuadrático real. Específicamente, una estimación de la media y la covarianza${\displaystyle (m,M)}$se mantiene de forma conservadora de modo que la matriz de covarianza${\displaystyle M}$es mayor o igual que el error cuadrático real asociado con${\displaystyle m}$Matemáticamente, esto significa que el resultado de restar el error cuadrático esperado (que normalmente no se conoce) de${\displaystyle M}$es una matriz semidefinida o definida positiva . La razón para mantener una estimación conservadora de la covarianza es que la mayoría de los algoritmos de filtrado y control tienden a divergir (fallar) si la covarianza se subestima. Esto se debe a que una covarianza falsamente pequeña implica menor incertidumbre y lleva al filtro a otorgar mayor peso (confianza) del que justifica la precisión de la media.

Volviendo al ejemplo anterior, cuando la covarianza es cero, es trivial determinar la ubicación del objeto después de que se mueve según una función no lineal arbitraria.${\displaystyle f(x,y)}$: simplemente aplique la función al vector de media. Cuando la covarianza no es cero, la media transformada generalmente no será igual a${\displaystyle f(x,y)}$Ni siquiera es posible determinar la media de la distribución de probabilidad transformada a partir únicamente de su media y covarianza previas. Dada esta indeterminación, la media y la covarianza transformadas de forma no lineal solo pueden aproximarse. La primera aproximación consistió en linealizar la función no lineal y aplicar la matriz jacobiana resultante a la media y covarianza dadas. Esta es la base del filtro de Kalman extendido (EKF), y aunque se sabía que arrojaba resultados deficientes en muchas circunstancias, no existió una alternativa práctica durante muchas décadas.

En 1994, Jeffrey Uhlmann observó que el EKF toma una función no lineal e información de distribución parcial (en forma de una estimación de la media y la covarianza) del estado de un sistema, pero aplica una aproximación a la función conocida en lugar de a la distribución de probabilidad conocida de forma imprecisa. Sugirió que un mejor enfoque sería utilizar la función no lineal exacta aplicada a una distribución de probabilidad aproximada. La motivación para este enfoque se da en su tesis doctoral, donde se definió por primera vez el término transformada sin aroma : ^{[ 2 ]}

Consideremos la siguiente intuición: con un número fijo de parámetros, debería ser más fácil aproximar una distribución dada que una función/transformación no lineal arbitraria . Siguiendo esta intuición, el objetivo es encontrar una parametrización que capture la información de la media y la covarianza, permitiendo al mismo tiempo la propagación directa de dicha información a través de un conjunto arbitrario de ecuaciones no lineales. Esto se puede lograr generando una distribución discreta con los mismos momentos de primer y segundo orden (y posiblemente de orden superior), donde cada punto de la aproximación discreta se puede transformar directamente. La media y la covarianza del conjunto transformado se pueden calcular como la estimación de la transformación no lineal de la distribución original. En términos más generales, la aplicación de una transformación no lineal dada a una distribución discreta de puntos, calculada para capturar un conjunto de estadísticas conocidas de una distribución desconocida, se denomina transformación sin aroma .

En otras palabras, la información de media y covarianza dada se puede codificar exactamente en un conjunto de puntos, denominados puntos sigma , que, si se tratan como elementos de una distribución de probabilidad discreta, tienen media y covarianza iguales a la media y covarianza dadas. Esta distribución se puede propagar exactamente aplicando la función no lineal a cada punto. La media y la covarianza del conjunto de puntos transformados representan entonces la estimación transformada deseada. La principal ventaja de este enfoque es que la función no lineal se aprovecha al máximo, a diferencia del EKF, que la reemplaza por una lineal. Eliminar la necesidad de linealización también proporciona ventajas independientes de cualquier mejora en la calidad de la estimación. Una ventaja inmediata es que la UT se puede aplicar con cualquier función dada, mientras que la linealización puede no ser posible para funciones que no son diferenciables . Una ventaja práctica es que la UT puede ser más fácil de implementar porque evita la necesidad de derivar e implementar una matriz jacobiana linealizante.

Para calcular la transformada sin aroma, primero hay que elegir un conjunto de puntos sigma. Desde el trabajo seminal de Uhlmann, se han propuesto muchos conjuntos diferentes de puntos sigma en la literatura. Una revisión exhaustiva de estas variantes se puede encontrar en el trabajo de Menegaz et al. ^{[ 3 ]} En general, ${\displaystyle n+1}$Los puntos sigma son necesarios y suficientes para definir una distribución discreta que tiene una media y una covarianza dadas.${\displaystyle n}$dimensiones. ^{[ 2 ]}

Un conjunto canónico de puntos sigma es el conjunto simétrico propuesto originalmente por Uhlmann. Consideremos los vértices de un triángulo equilátero centrado en el origen en dos dimensiones:

${\displaystyle s_{1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[0,2\right]^{\mathrm {T} },\quad s_{2}=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[{\sqrt {3}},1\right]^{\mathrm {T} },\quad s_{3}=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[-{\sqrt {3}},1\right]^{\mathrm {T} }}$

Se puede verificar que el conjunto de puntos anterior tiene media${\displaystyle s=\left[0,0\right]^{\mathrm {T} },}$y covarianza${\displaystyle S=I}$(la matriz identidad ). Dada cualquier media y covarianza bidimensional,${\displaystyle (x,X)}$, los puntos sigma deseados se pueden obtener multiplicando cada punto por la raíz cuadrada de la matriz de${\displaystyle X}$y añadiendo${\displaystyle x}$. Se puede generar un conjunto canónico similar de puntos sigma en cualquier número de dimensiones.${\displaystyle n}$tomando el vector cero y los puntos que componen las filas de la matriz identidad, calculando la media del conjunto de puntos, restando la media a cada punto de manera que el conjunto resultante tenga una media de cero, luego calculando la covarianza del conjunto de puntos con media cero y aplicando la raíz cuadrada de su inversa a cada punto de manera que la covarianza del conjunto sea igual a la identidad.

Uhlmann demostró que es posible generar convenientemente un conjunto simétrico de${\displaystyle 2n+1}$puntos sigma de las columnas de${\displaystyle \pm {\sqrt {nX}}}$y el vector cero, donde${\displaystyle X}$es la matriz de covarianza dada, sin tener que calcular una inversa de matriz. Es computacionalmente eficiente y, debido a que los puntos forman una distribución simétrica, captura el tercer momento central (la asimetría ) siempre que se conozca la distribución subyacente de la estimación del estado o se pueda asumir que es simétrica. ^{[ 2 ]} También demostró que los pesos , incluidos los pesos negativos, se pueden usar para afectar las estadísticas del conjunto. Julier también desarrolló y examinó técnicas para generar puntos sigma para capturar el tercer momento (la asimetría) de una distribución arbitraria y el cuarto momento (la curtosis ) de una distribución simétrica. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

La transformación sin aroma se define para la aplicación de una función dada a cualquier caracterización parcial de una distribución que de otro modo sería desconocida, pero su uso más común es para el caso en el que solo se conocen la media y la covarianza. Un ejemplo común es la conversión de un sistema de coordenadas a otro, como de un sistema de coordenadas cartesianas a coordenadas polares . ^{[ 4 ]}

Supongamos una estimación de la media y la covarianza bidimensional,${\displaystyle (m,M)}$, se da en coordenadas cartesianas con:

${\displaystyle m=[12.3,7.6]^{\mathrm {T} },\quad M={\begin{bmatrix}1.44&0\\0&2.89\end{bmatrix}}}$

y la función de transformación a coordenadas polares,${\displaystyle f(x,y)\rightarrow [r,\theta ]}$, es:

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\quad \theta =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)}$

Multiplicando cada uno de los puntos sigma del simplex canónico (dados anteriormente) por${\displaystyle M^{\frac {1}{2}}={\begin{bmatrix}1.2&0\\0&1.7\end{bmatrix}}}$y sumando la media,${\displaystyle m}$, da:

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&=[0,2.40]+[12.3,7.6]=[12.3,10.0]\\m_{2}&=[-1.47,-1.20]+[12.3,7.6]=[10.8,6.40]\\m_{3}&=[1.47,-1.20]+[12.3,7.6]=[13.8,6.40]\end{aligned}}}$

Aplicando la función de transformación${\displaystyle f()}$A cada uno de los puntos anteriores se le da:

${\displaystyle {\begin{aligned}{m^{+}}_{1}&=f(12.3,10.0)=[15.85,0.68]\\{m^{+}}_{2}&=f(10.8,6.40)=[12.58,0.53]\\{m^{+}}_{3}&=f(13.8,6.40)=[15.18,0.44]\end{aligned}}}$

La media de estos tres puntos transformados,${\displaystyle m_{UT}={\frac {1}{3}}\Sigma _{i=1}^{3}{m^{+}}_{i}}$, es la estimación UT de la media en coordenadas polares:

${\displaystyle m_{UT}=[14.539,0.551]}$

La estimación UT de la covarianza es:

${\displaystyle M_{UT}={\frac {1}{3}}\Sigma _{i=1}^{3}\left({m^{+}}_{i}-m_{UT}\right)^{2}}$

donde cada término al cuadrado en la suma es un producto vectorial externo . Esto da como resultado:

${\displaystyle M_{UT}={\begin{bmatrix}2.00&0.0443\\0.0443&0.0104\end{bmatrix}}}$

Esto se puede comparar con la media y la covarianza linealizadas:

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{\text{linear}}&=f(12.3,7.6)=[14.46,0.554]^{\mathrm {T} }\\M_{\text{linear}}&=\nabla _{f}M\nabla _{f}^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1.927&0.047\\0.047&0.011\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

La diferencia absoluta entre las estimaciones UT y linealizadas en este caso es relativamente pequeña, pero en aplicaciones de filtrado, el efecto acumulativo de pequeños errores puede provocar una divergencia irreversible de la estimación. El efecto de los errores se agrava cuando la covarianza se subestima, ya que esto hace que el filtro tenga una confianza excesiva en la precisión de la media. En el ejemplo anterior, se observa que la estimación de la covarianza linealizada es menor que la de la estimación UT, lo que sugiere que la linealización probablemente ha producido una subestimación del error real en su media.

En este ejemplo, no hay forma de determinar la precisión absoluta de las estimaciones UT y linealizadas sin la verdad fundamental en forma de la distribución de probabilidad real asociada con la estimación original y la media y covarianza de esa distribución después de la aplicación de la transformación no lineal (por ejemplo, determinada analíticamente o mediante integración numérica). Dichos análisis se han realizado para transformaciones de coordenadas bajo el supuesto de gaussianidad para las distribuciones subyacentes, y las estimaciones UT tienden a ser significativamente más precisas que las obtenidas por linealización. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

El análisis empírico ha demostrado que el uso del conjunto simplex mínimo de${\displaystyle n+1}$Los puntos sigma son significativamente menos precisos que el uso del conjunto simétrico de${\displaystyle 2n}$puntos cuando la distribución subyacente es gaussiana. ^{[ 7 ]} Esto sugiere que el uso del conjunto simplex en el ejemplo anterior no sería la mejor opción si la distribución subyacente asociada con${\displaystyle (m,M)}$es simétrico. Incluso si la distribución subyacente no es simétrica, es probable que el conjunto simplex sea menos preciso que el conjunto simétrico porque la asimetría del conjunto simplex no coincide con la asimetría de la distribución real.

Volviendo al ejemplo, el conjunto mínimo simétrico de puntos sigma se puede obtener a partir de la matriz de covarianza.${\displaystyle M={\begin{bmatrix}1.44&0\\0&2.89\end{bmatrix}}}$simplemente como el vector medio,${\displaystyle m=[12.3,7.6]}$más y menos las columnas de${\displaystyle (2M)^{1/2}={\sqrt {2}}*{\begin{bmatrix}1.2&0\\0&1.7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1.697&0\\0&2.404\end{bmatrix}}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&=[12.3,7.6]+[1.697,0]=[13.997,7.6]\\m_{2}&=[12.3,7.6]-[1.697,0]=[10.603,7.6]\\m_{3}&=[12.3,7.6]+[0,2.404]=[12.3,10.004]\\m_{4}&=[12.3,7.6]-[0,2.404]=[12.3,5.196]\end{aligned}}}$

Esta construcción garantiza que la media y la covarianza de los cuatro puntos sigma anteriores son${\displaystyle (m,M)}$, lo cual es directamente verificable. Aplicando la función no lineal${\displaystyle f()}$A cada uno de los puntos sigma se le da:

${\displaystyle {\begin{aligned}{m^{+}}_{1}&=[15.927,0.497]\\{m^{+}}_{2}&=[13.045,0.622]\\{m^{+}}_{3}&=[15.854,0.683]\\{m^{+}}_{4}&=[13.352,0.400]\end{aligned}}}$

La media de estos cuatro puntos sigma transformados,${\displaystyle m_{UT}={\frac {1}{4}}\Sigma _{i=1}^{4}{m'}_{i}}$, es la estimación UT de la media en coordenadas polares:

${\displaystyle m_{UT}=[14.545,0.550]}$

La estimación UT de la covarianza es:

${\displaystyle M_{UT}={\frac {1}{4}}\Sigma _{i=1}^{4}({m^{+}}_{i}-m_{UT})^{2}}$

donde cada término al cuadrado en la suma es un producto vectorial externo. Esto da como resultado:

${\displaystyle M_{UT}={\begin{bmatrix}1.823&0.043\\0.043&0.012\end{bmatrix}}}$

La diferencia entre las estimaciones de la media UT y linealizada proporciona una medida del efecto de la no linealidad de la transformación. Cuando la transformación es lineal, por ejemplo, las estimaciones UT y linealizada serán idénticas. Esto justifica el uso del cuadrado de esta diferencia, que se suma a la covarianza UT para evitar la subestimación del error real en la media. Este enfoque no mejora la precisión de la media, pero puede mejorar significativamente la precisión de un filtro a lo largo del tiempo al reducir la probabilidad de que la covarianza se subestime. ^{[ 2 ]}

Uhlmann señaló que, dados únicamente la media y la covarianza de una distribución de probabilidad desconocida, el problema de la transformación está mal definido, ya que existe un número infinito de posibles distribuciones subyacentes con los mismos dos primeros momentos. Sin información previa ni suposiciones sobre las características de la distribución subyacente, cualquier distribución elegida para calcular la media y la covarianza transformadas es tan válida como cualquier otra. En otras palabras, no existe ninguna distribución con una media y una covarianza dadas que sea superior a la proporcionada por el conjunto de puntos sigma; por lo tanto, la transformación sin aroma es trivialmente óptima.

Esta afirmación general de optimalidad es, por supuesto, inútil para realizar afirmaciones cuantitativas sobre el rendimiento de la UT, por ejemplo, en comparación con la linealización; en consecuencia, él, Julier y otros han realizado análisis bajo diversas suposiciones sobre las características de la distribución y/o la forma de la función de transformación no lineal. Por ejemplo, si la función es diferenciable, lo cual es esencial para la linealización, estos análisis validan la superioridad esperada y empíricamente corroborada de la transformación sin aroma. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

La transformada sin aroma se puede utilizar para desarrollar una generalización no lineal del filtro de Kalman, conocida como filtro de Kalman sin aroma (UKF) . Este filtro ha reemplazado en gran medida al EKF en muchas aplicaciones de filtrado y control no lineales, incluyendo navegación subacuática, ^{[ 8 ]} terrestre y aérea, ^{[ 9 ]} y espaciales. ^{[ 10 ]} La transformada sin aroma también se ha utilizado como marco computacional para el control óptimo de Riemann-Stieltjes. ^{[ 11 ]} Este enfoque computacional se conoce como control óptimo sin aroma . ^{[ 12 ] [ 13 ]}

• filtro de Kalman
• Intersección de covarianza
• Filtro de Kalman de conjunto
• Filtro de Kalman extendido
• Filtro no lineal
• Control óptimo sin perfume