Grupo de ramificación

En teoría de números , más específicamente en la teoría de cuerpos de clases locales , los grupos de ramificación son una filtración del grupo de Galois de una extensión de cuerpo local , que proporciona información detallada sobre los fenómenos de ramificación de la extensión.

En matemáticas , la teoría de ramificación de las valoraciones estudia el conjunto de extensiones de una valoración v de un cuerpo K a una extensión L de K. Es una generalización de la teoría de ramificación de los dominios de Dedekind. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

La estructura del conjunto de extensiones se conoce mejor cuando L / K es Galois .

Los grupos de ramificación son un refinamiento del grupo de Galois. ${\displaystyle G}$de un finito${\displaystyle L/K}$Extensión de Galois de campos locales . Escribiremos.${\displaystyle w,{\mathcal {O}}_{L},{\mathfrak {p}}}$para la valoración, el anillo de enteros y su ideal máximo para${\displaystyle L}$. Como consecuencia del lema de Hensel , se puede escribir${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}={\mathcal {O}}_{K}[\alpha ]}$para algunos${\displaystyle \alpha \in L}$dónde${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$es el anillo de enteros de${\displaystyle K}$. ^{[ 3 ]} (Esto es más fuerte que el teorema del elemento primitivo .) Entonces, para cada entero${\displaystyle i\geq -1}$, definimos${\displaystyle G_{i}}$ser el conjunto de todos${\displaystyle s\in G}$que satisface las siguientes condiciones equivalentes.

• (i)${\displaystyle s}$funciona trivialmente en${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {p}}^{i+1}.}$
• (ii)${\displaystyle w(s(x)-x)\geq i+1}$a pesar de${\displaystyle x\in {\mathcal {O}}_{L}}$
• (iii)${\displaystyle w(s(\alpha )-\alpha )\geq i+1.}$

El grupo${\displaystyle G_{i}}$se llama${\displaystyle i}$-otro grupo de ramificación . Forman una filtración decreciente ,

${\displaystyle G_{-1}=G\supset G_{0}\supset G_{1}\supset \dots \{*\}.}$

De hecho, el ${\displaystyle G_{i}}$son normales por (i) y triviales para suficientemente grandes${\displaystyle i}$por (iii). Para los índices más bajos, es costumbre llamar${\displaystyle G_{0}}$el subgrupo de inercia de${\displaystyle G}$debido a su relación con la división de los ideales primordiales , mientras que${\displaystyle G_{1}}$el subgrupo de inercia salvaje de${\displaystyle G}$. El cociente${\displaystyle G_{0}/G_{1}}$Se denomina cociente de domesticación.

El grupo Galois${\displaystyle G}$y sus subgrupos${\displaystyle G_{i}}$se estudian empleando la filtración anterior o, más específicamente, los cocientes correspondientes. En particular,

• ${\displaystyle G/G_{0}=\operatorname {Gal} (l/k),}$dónde${\displaystyle l,k}$son los campos residuales (finitos) de ${\displaystyle L,K}$. ^{[ 4 ]}
• ${\displaystyle G_{0}=1\Leftrightarrow L/K}$no está ramificado .
• ${\displaystyle G_{1}=1\Leftrightarrow L/K}$está dócilmente ramificado (es decir, el índice de ramificación es primordial para la característica del residuo).

El estudio de los grupos de ramificación se reduce al caso totalmente ramificado ya que uno tiene${\displaystyle G_{i}=(G_{0})_{i}}$para${\displaystyle i\geq 0}$.

También se define la función${\displaystyle i_{G}(s)=w(s(\alpha )-\alpha ),s\in G}$. (ii) en lo anterior se muestra${\displaystyle i_{G}}$es independiente de la elección de${\displaystyle \alpha }$y, además, el estudio de la filtración${\displaystyle G_{i}}$es esencialmente equivalente a la de${\displaystyle i_{G}}$. ^{[ 5 ]}${\displaystyle i_{G}}$satisface lo siguiente: para${\displaystyle s,t\in G}$,

• ${\displaystyle i_{G}(s)\geq i+1\Leftrightarrow s\in G_{i}.}$
• ${\displaystyle i_{G}(tst^{-1})=i_{G}(s).}$
• ${\displaystyle i_{G}(st)\geq \min\{i_{G}(s),i_{G}(t)\}.}$

Reparar un uniformizador${\displaystyle \pi }$de${\displaystyle L}$. Entonces${\displaystyle s\mapsto s(\pi )/\pi }$induce la inyección${\displaystyle G_{i}/G_{i+1}\to U_{L,i}/U_{L,i+1},i\geq 0}$dónde${\displaystyle U_{L,0}={\mathcal {O}}_{L}^{\times },U_{L,i}=1+{\mathfrak {p}}^{i}}$. (El mapa en realidad no depende de la elección del uniformizador. ^{[ 6 ]} ) De esto se deduce ^{[ 7 ]}

• ${\displaystyle G_{0}/G_{1}}$es cíclico de orden primo a${\displaystyle p}$
• ${\displaystyle G_{i}/G_{i+1}}$es un producto de grupos cíclicos de orden${\displaystyle p}$.

En particular,${\displaystyle G_{1}}$es un grupo p y${\displaystyle G_{0}}$es solucionable .

Los grupos de ramificación se pueden utilizar para calcular los diferentes${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{L/K}}$de la extensión${\displaystyle L/K}$y la de las subextensiones: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle w({\mathfrak {D}}_{L/K})=\sum _{s\neq 1}i_{G}(s)=\sum _{i=0}^{\infty }(|G_{i}|-1).}$

Si${\displaystyle H}$es un subgrupo normal de${\displaystyle G}$, entonces, para${\displaystyle \sigma \in G}$,${\displaystyle i_{G/H}(\sigma )={1 \over e_{L/K}}\sum _{s\mapsto \sigma }i_{G}(s)}$. ^{[ 9 ]}

Combinando esto con lo anterior se obtiene: para una subextensión${\displaystyle F/K}$correspondiente a${\displaystyle H}$,

${\displaystyle v_{F}({\mathfrak {D}}_{F/K})={1 \over e_{L/F}}\sum _{s\not \in H}i_{G}(s).}$

Si${\displaystyle s\in G_{i},t\in G_{j},i,j\geq 1}$, entonces${\displaystyle sts^{-1}t^{-1}\in G_{i+j+1}}$. ^{[ 10 ]} En la terminología de Lazard , esto puede entenderse como el álgebra de Lie${\displaystyle \operatorname {gr} (G_{1})=\sum _{i\geq 1}G_{i}/G_{i+1}}$es abeliano.

Si${\displaystyle u}$es un número real${\displaystyle \geq -1}$, dejar${\displaystyle G_{u}}$denotar${\displaystyle G_{i}}$donde i es el entero más pequeño${\displaystyle \geq u}$. En otras palabras,${\displaystyle s\in G_{u}\Leftrightarrow i_{G}(s)\geq u+1.}$Definir${\displaystyle \phi }$por ^{[ 12 ]}

${\displaystyle \phi (u)=\int _{0}^{u}{dt \over (G_{0}:G_{t})}}$

donde, por convención,${\displaystyle (G_{0}:G_{t})}$es igual a${\displaystyle (G_{-1}:G_{0})^{-1}}$si${\displaystyle t=-1}$y es igual a${\displaystyle 1}$para${\displaystyle -1<t\leq 0}$. ^{[ 13 ]} Entonces${\displaystyle \phi (u)=u}$para${\displaystyle -1\leq u\leq 0}$Es inmediato que${\displaystyle \phi }$es continua y estrictamente creciente, y por lo tanto tiene una función inversa continua.${\displaystyle \psi }$definido en${\displaystyle [-1,\infty )}$. Definir ${\displaystyle G^{v}=G_{\psi (v)}}$. ${\displaystyle G^{v}}$entonces se le llama el v -ésimo grupo de ramificación en numeración superior. En otras palabras,${\displaystyle G^{\phi (u)}=G_{u}}$. Nota${\displaystyle G^{-1}=G,G^{0}=G_{0}}$. La numeración superior se define de manera que sea compatible con el paso a cocientes: ^{[ 14 ]} si${\displaystyle H}$es normal en${\displaystyle G}$, entonces

${\displaystyle (G/H)^{v}=G^{v}H/H}$a pesar de${\displaystyle v}$

(mientras que una numeración más baja es compatible con el paso a subgrupos).

• Extensiones finitas de campos locales

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