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Teorema de Ursescu

En matemáticas, particularmente en análisis funcional y análisis convexo , el teorema de Ursescu es un teorema que generaliza el teorema del grafo cerrado , el teorema de la apl...

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En matemáticas, particularmente en análisis funcional y análisis convexo , el teorema de Ursescu es un teorema que generaliza el teorema del grafo cerrado , el teorema de la aplicación abierta y el principio de acotación uniforme .

Teorema de Ursescu

Se utilizan las siguientes notaciones y nociones, dondeR:incógnita⇉Y{\displaystyle {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y}es una función con valores de conjunto yS{\displaystyle S}es un subconjunto no vacío de un espacio vectorial topológicoincógnita{\displaystyle X}:

  • el lapso afín deS{\displaystyle S}se denota poraf⁡S{\displaystyle \operatorname {aff} S}y el tramo lineal se denota pordurar⁡S.{\displaystyle \operatorname {span} S.}
  • Si:=noincógnita⁡S{\displaystyle S^{i}:=\operatorname {aint} _{X}S}denota el interior algebraico deS{\displaystyle S}enincógnita.{\displaystyle X.}
  • iS:=noaf⁡(S−S)⁡S{\displaystyle {}^{i}S:=\operatorname {aint} _{\operatorname {aff} (SS)}S}denota el interior algebraico relativo deS{\displaystyle S}(es decir, el interior algebraico deS{\displaystyle S}enaf⁡(S−S){\displaystyle \operatorname {aff} (SS)}).
  • ibS:=iS{\displaystyle {}^{ib}S:={}^{i}S}sidurar⁡(S−s0){\displaystyle \operatorname {span} \left(S-s_{0}\right)}está lleno de barriles para algunos/todoss0∈S{\displaystyle s_{0}\in S}mientrasibS:=∅{\displaystyle {}^{ib}S:=\varnothing }de lo contrario.
    • SiS{\displaystyle S}Si es convexa, entonces se puede demostrar que para cualquierincógnita∈incógnita,{\displaystyle x\in X,}incógnita∈ibS{\displaystyle x\in {}^{ib}S}si y solo si el cono generado porS−incógnita{\displaystyle Sx}es un subespacio lineal barril deincógnita{\displaystyle X}o equivalentemente, si y solo si∪norte∈nortenorte(S−incógnita){\displaystyle \cup _{n\in \mathbb {N} }n(Sx)}es un subespacio lineal barril deincógnita{\displaystyle X}
  • El dominio deR{\displaystyle {\mathcal {R}}}esDom⁡R:={incógnita∈incógnita:R(incógnita)≠∅}.{\displaystyle \operatorname {Dom} {\mathcal {R}}:=\{x\in X:{\mathcal {R}}(x)\neq \varnothing \}.}
  • La imagen deR{\displaystyle {\mathcal {R}}}esSoy⁡R:=∪incógnita∈incógnitaR(incógnita).{\displaystyle \operatorname {Im} {\mathcal {R}}:=\cup _{x\in X}{\mathcal {R}}(x).}Para cualquier subconjuntoA⊆incógnita,{\displaystyle A\subseteq X,}R(A):=∪incógnita∈AR(incógnita).{\displaystyle {\mathcal {R}}(A):=\cup _{x\in A}{\mathcal {R}}(x).}
  • El gráfico deR{\displaystyle {\mathcal {R}}}esgramo⁡R:={(incógnita,y)∈incógnita×Y:y∈R(incógnita)}.{\displaystyle \operatorname {gr} {\mathcal {R}}:=\{(x,y)\in X\times Y:y\in {\mathcal {R}}(x)\}.}
  • R{\displaystyle {\mathcal {R}}}es cerrada (respectivamente, convexa ) si la gráfica deR{\displaystyle {\mathcal {R}}}es cerrado (resp. convexo) enincógnita×Y.{\displaystyle X\times Y.}
    • Tenga en cuenta queR{\displaystyle {\mathcal {R}}}es convexa si y solo si para todoincógnita0,incógnita1∈incógnita{\displaystyle x_{0},x_{1}\in X}y todor∈[0,1],{\displaystyle r\in [0,1],}rR(incógnita0)+(1−r)R(incógnita1)⊆R(rincógnita0+(1−r)incógnita1).{\displaystyle r{\mathcal {R}}\left(x_{0}\right)+(1-r){\mathcal {R}}\left(x_{1}\right)\subseteq {\mathcal {R}}\left(rx_{0}+(1-r)x_{1}\right).}
  • Lo contrario deR{\displaystyle {\mathcal {R}}}es la función con valores de conjuntoR−1:Y⇉incógnita{\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}:Y\rightrightarrows X}definido porR−1(y):={incógnita∈incógnita:y∈R(incógnita)}.{\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}(y):=\{x\in X:y\in {\mathcal {R}}(x)\}.}Para cualquier subconjuntoB⊆Y,{\displaystyle B\subseteq Y,}R−1(B):=∪y∈BR−1(y).{\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}(B):=\cup _{y\in B}{\mathcal {R}}^{-1}(y).}
    • SiF:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}Si es una función, entonces su inversa es una función de valores de conjunto.F−1:Y⇉incógnita{\displaystyle f^{-1}:Y\rightrightarrows X}obtenido a partir de la identificación canónicaF{\displaystyle f}con la función de valores de conjuntoF:incógnita⇉Y{\displaystyle f:X\rightrightarrows Y}definido porincógnita↦{F(incógnita)}.{\displaystyle x\mapsto \{f(x)\}.}
  • enteroT⁡S{\displaystyle \operatorname {int} _{T}S}es el interior topológico deS{\displaystyle S}con respecto aT,{\displaystyle T,}dóndeS⊆T.{\displaystyle S\subseteq T.}
  • impresión⁡S:=enteroaf⁡S⁡S{\displaystyle \operatorname {rint} S:=\operatorname {int} _{\operatorname {aff} S}S}es el interior deS{\displaystyle S}con respecto aaf⁡S.{\displaystyle \operatorname {aff} S.}

Declaración

Teorema [ 1 ] ( Ursescu ) — Sea incógnita{\displaystyle X}sea ​​un espacio vectorial topológico localmente convexo semimetrizable completo yR:incógnita⇉Y{\displaystyle {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y}Sea una multifuncionalidad convexa cerrada con dominio no vacío. Supongamos quedurar⁡(Soy⁡R−y){\displaystyle \operatorname {span} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}}-y)}es un espacio en forma de barril para algunos/todosy∈Soy⁡R.{\displaystyle y\in \operatorname {Im} {\mathcal {R}}.} Supongamos quey0∈i(Soy⁡R){\displaystyle y_{0}\in {}^{i}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}y dejarincógnita0∈R−1(y0){\displaystyle x_{0}\in {\mathcal {R}}^{-1}\left(y_{0}\right)}(de modo quey0∈R(incógnita0){\displaystyle y_{0}\in {\mathcal {R}}\left(x_{0}\right)}). Luego, para cada vecindarioU{\displaystyle U}deincógnita0{\displaystyle x_{0}}enincógnita,{\displaystyle X,}y0{\displaystyle y_{0}}pertenece al interior relativo deR(U){\displaystyle {\mathcal {R}}(U)}enaf⁡(Soy⁡R){\displaystyle \operatorname {aff} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}(eso es,y0∈enteroaf⁡(Soy⁡R)⁡R(U){\displaystyle y_{0}\in \operatorname {int} _{\operatorname {aff} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}{\mathcal {R}}(U)}). En particular, siib(Soy⁡R)≠∅{\displaystyle {}^{ib}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})\neq \varnothing }entoncesib(Soy⁡R)=i(Soy⁡R)=impresión⁡(Soy⁡R).{\displaystyle {}^{ib}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})={}^{i}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})=\operatorname {rint} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}}).}

Corolarios

Teorema del grafo cerrado

Teorema del grafo cerrado — Seaincógnita{\displaystyle X}yY{\displaystyle Y}ser espacios Fréchet yT:incógnita→Y{\displaystyle T:X\to Y}ser un mapa lineal. EntoncesT{\displaystyle T}es continua si y solo si la gráfica deT{\displaystyle T}está cerrado enincógnita×Y.{\displaystyle X\times Y.}

Prueba

Para la dirección no trivial, suponga que la gráfica deT{\displaystyle T}está cerrado y dejaR:=T−1:Y⇉incógnita.{\displaystyle {\mathcal {R}}:=T^{-1}:Y\rightrightarrows X.}Es fácil ver quegramo⁡R{\displaystyle \operatorname {gr} {\mathcal {R}}}es cerrada y convexa y que su imagen esincógnita.{\displaystyle X.} Dadoincógnita∈incógnita,{\displaystyle x\in X,}(Tincógnita,incógnita){\displaystyle (Tx,x)}pertenece aY×incógnita{\displaystyle Y\times X}para que por cada vecindario abiertoV{\displaystyle V}deTincógnita{\displaystyle Tx}enY,{\displaystyle Y,}R(V)=T−1(V){\displaystyle {\mathcal {R}}(V)=T^{-1}(V)}es un barrio deincógnita{\displaystyle x}enincógnita.{\displaystyle X.} De este modoT{\displaystyle T}es continuo enincógnita.{\displaystyle x.}QED

Principio de acotación uniforme

Principio de acotación uniforme — Seaincógnita{\displaystyle X}yY{\displaystyle Y}ser espacios Fréchet yT:incógnita→Y{\displaystyle T:X\to Y}Sea una aplicación lineal biyectiva. EntoncesT{\displaystyle T}es continua si y solo siT−1:Y→incógnita{\displaystyle T^{-1}:Y\to X}es continuo. Además, siT{\displaystyle T}es continuo entoncesT{\displaystyle T}es un isomorfismo de espacios de Fréchet .

Prueba

Aplique el teorema del grafo cerrado aT{\displaystyle T}yT−1.{\displaystyle T^{-1}.} QED

Teorema de la aplicación abierta

Teorema de mapeo abierto — Seaincógnita{\displaystyle X}yY{\displaystyle Y}ser espacios Fréchet yT:incógnita→Y{\displaystyle T:X\to Y}Sea T una aplicación lineal continua y sobreyectiva. Entonces T es una aplicación abierta .

Prueba

Claramente,T{\displaystyle T}es una relación cerrada y convexa cuya imagen esY.{\displaystyle Y.} DejarU{\displaystyle U}ser un subconjunto abierto no vacío deincógnita,{\displaystyle X,}dejary{\displaystyle y}estar enT(U),{\displaystyle T(U),}y dejarincógnita{\displaystyle x}enU{\displaystyle U}ser tal quey=Tincógnita.{\displaystyle y=Tx.} Del teorema de Ursescu se deduce queT(U){\displaystyle T(U)}es un barrio dey.{\displaystyle y.}QED

corolarios adicionales

La siguiente notación y nociones se utilizan para estos corolarios, dondeR:incógnita⇉Y{\displaystyle {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y}es una función con valores de conjunto,S{\displaystyle S}es un subconjunto no vacío de un espacio vectorial topológicoincógnita{\displaystyle X}:

  • una serie convexa con elementos deS{\displaystyle S}es una serie de la forma∑i=1∞risi{\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}s_{i}}donde todossi∈S{\displaystyle s_{i}\in S}y∑i=1∞ri=1{\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}=1}es una serie de números no negativos. Si∑i=1∞risi{\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}s_{i}}Si converge, entonces la serie se llama convergente, mientras que si(si)i=1∞{\displaystyle \left(s_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}Si la serie es acotada, entonces se dice que es acotada y b-convexa .
  • S{\displaystyle S}es idealmente convexa si cualquier serie b-convexa convergente de elementos deS{\displaystyle S}tiene su suma enS.{\displaystyle S.}
  • S{\displaystyle S}es idealmente convexo inferior si existe un espacio de FréchetY{\displaystyle Y}de tal manera queS{\displaystyle S}es igual a la proyección sobreincógnita{\displaystyle X}de algún subconjunto idealmente convexo B deincógnita×Y.{\displaystyle X\times Y.}Todo conjunto idealmente convexo es idealmente convexo inferior.

Corolario — Dejemosincógnita{\displaystyle X}ser un primer espacio contable en forma de barril y dejardo{\displaystyle C}ser un subconjunto deincógnita.{\displaystyle X.}Entonces:

  1. Sido{\displaystyle C}es inferior idealmente convexo entoncesdoi=entero⁡do.{\displaystyle C^{i}=\operatorname {int} C.}
  2. Sido{\displaystyle C}es idealmente convexo entoncesdoi=entero⁡do=entero⁡(cl⁡do)=(cl⁡do)i.{\displaystyle C^{i}=\operatorname {int} C=\operatorname {int} \left(\operatorname {cl} C\right)=\left(\operatorname {cl} C\right)^{i}.}

Teorema de Simons

Teorema de Simons [ 2 ] — Seaincógnita{\displaystyle X}yY{\displaystyle Y}ser primero contable conincógnita{\displaystyle X}localmente convexa. Supongamos queR:incógnita⇉Y{\displaystyle {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y}es un multimapa con dominio no vacío que satisface la condición (Hw x ) o bien asumir queincógnita{\displaystyle X}es un espacio Fréchet y esoR{\displaystyle {\mathcal {R}}}es idealmente convexa inferior . Supongamos quedurar⁡(Soy⁡R−y){\displaystyle \operatorname {span} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}}-y)}está lleno de barriles para algunos/todosy∈Soy⁡R.{\displaystyle y\in \operatorname {Im} {\mathcal {R}}.} Supongamos quey0∈i(Soy⁡R){\displaystyle y_{0}\in {}^{i}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}y dejarincógnita0∈R−1(y0).{\displaystyle x_{0}\in {\mathcal {R}}^{-1}\left(y_{0}\right).} Luego, para cada vecindarioU{\displaystyle U}deincógnita0{\displaystyle x_{0}}enincógnita,{\displaystyle X,}y0{\displaystyle y_{0}}pertenece al interior relativo deR(U){\displaystyle {\mathcal {R}}(U)}enaf⁡(Soy⁡R){\displaystyle \operatorname {aff} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}(es deciry0∈enteroaf⁡(Soy⁡R)⁡R(U){\displaystyle y_{0}\in \operatorname {int} _{\operatorname {aff} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}{\mathcal {R}}(U)}). En particular, siib(Soy⁡R)≠∅{\displaystyle {}^{ib}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})\neq \varnothing }entoncesib(Soy⁡R)=i(Soy⁡R)=impresión⁡(Soy⁡R).{\displaystyle {}^{ib}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})={}^{i}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})=\operatorname {rint} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}}).}

Teorema de Robinson-Ursescu

La implicación (1)⟹{\displaystyle \implies }(2) en el siguiente teorema se conoce como el teorema de Robinson-Ursescu. [ 3 ]

Teorema de Robinson-Ursescu [ 3 ] — Sea(incógnita,‖⋅‖){\displaystyle (X,\|\,\cdot \,\|)}y(Y,‖⋅‖){\displaystyle (Y,\|\,\cdot \,\|)}ser espacios normalizados yR:incógnita⇉Y{\displaystyle {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y}Sea un multimapa con dominio no vacío. Supongamos queY{\displaystyle Y}es un espacio barril , el gráfico deR{\displaystyle {\mathcal {R}}}verifica la condición condición (Hw x ) , y que(incógnita0,y0)∈gramo⁡R.{\displaystyle (x_{0},y_{0})\in \operatorname {gr} {\mathcal {R}}.} Dejardoincógnita{\displaystyle C_{X}}(resp.doY{\displaystyle C_{Y}}) denotan la bola unitaria cerrada enincógnita{\displaystyle X}(resp.Y{\displaystyle Y}) (entoncesdoincógnita={incógnita∈incógnita:‖incógnita‖≤1}{\displaystyle C_{X}=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}}). Entonces, las siguientes son equivalentes:

  1. y0{\displaystyle y_{0}}pertenece al interior algebraico deSoy⁡R.{\displaystyle \operatorname {Im} {\mathcal {R}}.}
  2. y0∈entero⁡R(incógnita0+doincógnita).{\displaystyle y_{0}\in \operatorname {int} {\mathcal {R}}\left(x_{0}+C_{X}\right).}
  3. ExisteB>0{\displaystyle B>0}de tal manera que para todos0≤r≤1,{\displaystyle 0\leq r\leq 1,}y0+BrdoY⊆R(incógnita0+rdoincógnita).{\displaystyle y_{0}+BrC_{Y}\subseteq {\mathcal {R}}\left(x_{0}+rC_{X}\right).}
  4. ExistenA>0{\displaystyle A>0}yB>0{\displaystyle B>0}de tal manera que para todosincógnita∈incógnita0+Adoincógnita{\displaystyle x\in x_{0}+AC_{X}}y todoy∈y0+AdoY,{\displaystyle y\in y_{0}+AC_{Y},}d(incógnita,R−1(y))≤B⋅d(y,R(incógnita)).{\displaystyle d\left(x,{\mathcal {R}}^{-1}(y)\right)\leq B\cdot d(y,{\mathcal {R}}(x)).}
  5. ExisteB>0{\displaystyle B>0}de tal manera que para todosincógnita∈incógnita{\displaystyle x\in X}y todoy∈y0+BdoY,{\displaystyle y\in y_{0}+BC_{Y},}d(incógnita,R−1(y))≤1+‖incógnita−incógnita0‖B−‖y−y0‖⋅d(y,R(incógnita)).{\displaystyle d\left(x,{\mathcal {R}}^{-1}(y)\right)\leq {\frac {1+\left\|x-x_{0}\right\|}{B-\left\|y-y_{0}\right\|}}\cdot d(y,{\mathcal {R}}(x)).}

Véase también

Notas

  1. ↑ Zălinescu 2002 , pág. 23.
  2. ↑ Zălinescu 2002 , pág. 22-23.
  3. 1 2 Zălinescu 2002 , pág. 24.

Referencias