Axioma de constructibilidad

El axioma de constructibilidad es un posible axioma para la teoría de conjuntos en matemáticas que afirma que todo conjunto es constructible . El axioma se suele escribir como V = L , donde${\displaystyle V}$representa el universo de von Neumann de todos los conjuntos bien fundados y${\displaystyle L}$representa los conjuntos construibles. En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF), la propiedad de ser construible se puede expresar como una sola fórmula.${\displaystyle \mathrm {Constructible} (x)}$y cada conjunto está en${\displaystyle V}$, por lo que el axioma puede escribirse en el lenguaje de ZF de la forma${\displaystyle \forall x\;\mathrm {Constructible} (x)}$.

El axioma de constructibilidad, investigado por primera vez por Kurt Gödel , es inconsistente con la proposición de que existe cero agudo y con axiomas cardinales grandes más fuertes (véase la lista de propiedades cardinales grandes ). Las generalizaciones (es decir, versiones más débiles) de este axioma se exploran en la teoría de modelos internos . ^{[ 1 ]}

El axioma de constructibilidad implica el axioma de elección (AC), dada la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección (ZF). También resuelve muchas cuestiones matemáticas naturales que son independientes de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección (ZFC); por ejemplo, el axioma de constructibilidad implica la hipótesis del continuo generalizado , ^{[ 2 ]} la negación de la hipótesis de Suslin y la existencia de un analítico (de hecho,${\displaystyle \Delta _ {2}^{1}}$) conjunto no mensurable de números reales , todos los cuales son independientes de ZFC.

El axioma de constructibilidad implica la no existencia de aquellos cardinales grandes con fuerza de consistencia mayor o igual a 0 ^# , lo que incluye algunos cardinales grandes "relativamente pequeños". Por ejemplo, ningún cardinal puede ser${\displaystyle \omega _{1}}$- Erdős en${\displaystyle L}$. Mientras${\displaystyle L}$contiene los ordinales iniciales de esos grandes cardinales (cuando existen en un supermodelo de${\displaystyle L}$), y siguen siendo ordinales iniciales en${\displaystyle L}$, excluye las estructuras auxiliares (por ejemplo, medidas ) que dotan a esos cardinales de sus grandes propiedades cardinales.

Aunque el axioma de constructibilidad resuelve muchas cuestiones de la teoría de conjuntos, no se suele aceptar como un axioma de la teoría de conjuntos de la misma manera que los axiomas ZFC. Entre los teóricos de conjuntos de tendencia realista , que creen que el axioma de constructibilidad es verdadero o falso, la mayoría cree que es falso. ^{[ 3 ]} Esto se debe en parte a que parece innecesariamente "restrictivo", ya que solo permite ciertos subconjuntos de un conjunto dado (por ejemplo,${\displaystyle 0^{\sharp }\subseteq \omega }$no puede existir), sin razón clara para creer que sean todos ellos. En parte se debe a que el axioma es contradicho por axiomas cardinales grandes suficientemente fuertes . Este punto de vista se asocia especialmente con la Cábala , o la "escuela de California", como la llamaría Saharon Shelah .

Especialmente entre las décadas de 1950 y 1970, se realizaron algunas investigaciones para formular un análogo del axioma de constructibilidad para subsistemas de aritmética de segundo orden . Algunos resultados destacan en el estudio de dichos análogos:

• De John Addison${\displaystyle \Sigma _{2}^{1}}$fórmula${\displaystyle {\textrm {Constr}}(X)}$con la propiedad que${\displaystyle {\mathcal {P}}(\omega )\vDash {\textrm {Constr}}(X)}$si y solo si${\displaystyle X\in {\mathcal {P}}(\omega )\cap L}$, es decir,${\displaystyle X}$es un real construible. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

• Hay un${\displaystyle \Pi _{3}^{1}}$fórmula conocida como la "forma analítica del axioma de constructibilidad" que tiene algunas asociaciones con el axioma de la teoría de conjuntos.${\displaystyle V=L}$. ^{[ 6 ]} Por ejemplo, algunos casos donde${\displaystyle M\vDash V=L}$si y solo si${\displaystyle M\cap {\mathcal {P}}(\omega )\vDash {\text{forma analítica de }}V=L}$se han dado. ^{[ 6 ]}

La principal relevancia del axioma de constructibilidad radica en la demostración de Kurt Gödel de 1938 sobre la consistencia relativa del axioma de elección y la hipótesis del continuo generalizado con la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel . (Esta demostración también se aplica a la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , que ha cobrado mayor relevancia en los últimos años).

Es decir, Gödel demostró que${\displaystyle V=L}$es relativamente consistente (es decir, si${\displaystyle \mathrm {ZFC} +(V=L)}$Si puede demostrar una contradicción, entonces también puede${\displaystyle \mathrm {ZF} }$), y que en${\displaystyle \mathrm {ZF} }$

${\displaystyle V=L\implica \mathrm {AC} \land \mathrm {GCH},}$

estableciendo así que AC y GCH también son relativamente consistentes. ^{[ 2 ]}

La demostración de Gödel fue complementada en 1962 por el resultado de Paul Cohen de que tanto AC como GCH son independientes , es decir, que las negaciones de estos axiomas (${\displaystyle \lnot AC}$y${\displaystyle \lnot GCH}$) también son relativamente consistentes con la teoría de conjuntos ZF.

Aquí hay una lista de proposiciones que se cumplen en el universo construible (denotado por${\displaystyle L}$):

• La existencia de un buen orden definible de todos los conjuntos (cuya fórmula puede darse explícitamente), y como consecuencias
  • La existencia de una función de elección global definible y, por lo tanto, el axioma de elección.
  • Todo conjunto es un conjunto definible ordinal (V=HOD).
• La hipótesis del continuo generalizado ^{[ 2 ]}
• Los principios del diamante de Jensen ◊ , ◊ ^* , y ◊ ⁺ (y por lo tanto también el principio del club de Ostaszewski ♣ )
  • La negación de la hipótesis de Suslin ^{[ 7 ]}
• Plaza global
• La existencia de pantanos
• La no existencia de 0 ^# y como consecuencia
  • La no existencia de todos los cardinales grandes implica la existencia de un cardinal medible.
• La existencia de un${\displaystyle \Delta _ {2}^{1}}$conjunto de números reales (en la jerarquía analítica ) que no es mensurable .
• La verdad de la conjetura de Whitehead de que cada grupo abeliano${\displaystyle A}$con${\displaystyle \mathrm {Ext} ^{1}(A,\mathbb {Z} )=0}$es un grupo abeliano libre , donde${\displaystyle \mathrm {Ext}}$es el functor Ext .
• La existencia de una sobreyección de clases recursivas primitivas${\displaystyle F:\mathrm {Ord} \a V}$, es decir, una función de clase de${\displaystyle \mathrm {Orden} }$cuyo rango contiene todos los conjuntos. ^{[ 8 ]}

Al aceptar el axioma de constructibilidad (que afirma que todo conjunto es constructible ), estas proposiciones también se cumplen en el universo de von Neumann , resolviendo muchas proposiciones en la teoría de conjuntos y algunas cuestiones interesantes en el análisis .

• ¿Cuántos números reales existen?, Keith Devlin, Asociación Matemática de América , junio de 2001