Matriz de Vandermonde

En álgebra lineal , una matriz de Vandermonde , llamada así en honor a Alexandre-Théophile Vandermonde , es una matriz con los términos de una progresión geométrica en cada fila: una${\displaystyle (m+1)\times (n+1)}$matriz

${\displaystyle V=V(x_{0},x_{1},\cdots ,x_{m})={\begin{pmatrix}1&x_{0}&x_{0}^{2}&\dots &x_{0}^{n}\\1&x_{1}&x_{1}^{2}&\dots &x_{1}^{n}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\dots &x_{2}^{n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{m}&x_{m}^{2}&\dots &x_{m}^{n}\end{pmatrix}}}$

con entradas${\displaystyle V_{i,j}=x_{i}^{j}}$, la j ^-ésima potencia del número${\displaystyle x_{i}}$, para todos los índices basados ​​en cero${\displaystyle i}$y${\displaystyle j}$. ^{[ 1 ]} Algunos autores definen la matriz de Vandermonde como la transpuesta de la matriz anterior. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

El determinante de una matriz cuadrada de Vandermonde (cuando${\displaystyle n=m}$) se denomina determinante de Vandermonde o polinomio de Vandermonde . Su valor es:

${\displaystyle \det(V)=\prod _{0\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i})=(-1)^{n(n+1)/2}\prod _{0\leq i<j\leq n}(x_{i}-x_{j}).}$

Esto es distinto de cero si y solo si todos${\displaystyle x_{i}}$son distintas (no hay dos iguales), lo que hace que la matriz de Vandermonde sea invertible .

El problema de interpolación polinómica consiste en encontrar un polinomio${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n}}$lo cual satisface${\displaystyle p(x_{0})=y_{0},\ldots ,p(x_{m})=y_{m}}$para puntos de datos dados${\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{m},y_{m})}$Este problema puede reformularse en términos de álgebra lineal mediante la matriz de Vandermonde, como sigue.${\displaystyle V}$calcula los valores de${\displaystyle p(x)}$en los puntos${\displaystyle x=x_{0},\ x_{1},\dots ,\ x_{m}}$mediante una multiplicación de matrices${\displaystyle Va=y}$, dónde${\displaystyle a=(a_{0},\ldots ,a_{n})}$es el vector de coeficientes y${\displaystyle y=(y_{0},\ldots ,y_{m})=(p(x_{0}),\ldots ,p(x_{m}))}$es el vector de valores (ambos escritos como vectores columna):

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&x_{0}&x_{0}^{2}&\dots &x_{0}^{n}\\1&x_{1}&x_{1}^{2}&\dots &x_{1}^{n}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\dots &x_{2}^{n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{m}&x_{m}^{2}&\dots &x_{m}^{n}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p(x_{0})\\p(x_{1})\\\vdots \\p(x_{m})\end{pmatrix}}.}$$Si${\displaystyle n=m}$y${\displaystyle x_{0},\dots ,\ x_{n}}$Si son distintos, entonces V es una matriz cuadrada con determinante distinto de cero, es decir, una matriz invertible . Por lo tanto, dados V e y , se puede encontrar el valor requerido.${\displaystyle p(x)}$al resolver para sus coeficientes${\displaystyle a}$en la ecuación${\displaystyle Va=y}$:

${\displaystyle a=V^{-1}y}$.

Es decir, la función que relaciona los coeficientes de los polinomios con sus valores es una función lineal biyectiva con matriz V , y el problema de interpolación tiene una solución única. Este resultado se conoce como el teorema de unisolvencia y es un caso particular del teorema chino del resto para polinomios .

En estadística , la ecuación${\displaystyle Va=y}$significa que la matriz de Vandermonde es la matriz de diseño de la regresión polinómica .

En análisis numérico , resolver la ecuación${\displaystyle Va=y}$Ingenuamente, mediante la eliminación gaussiana se obtiene un algoritmo con una complejidad temporal ^de O( n³ ). Aprovechando la estructura de la matriz de Vandermonde, se puede utilizar el método de diferencias divididas de Newton ^{[ 4 ] [ 5 ] para resolver la ecuación en} tiempo O( n² ), lo que también proporciona la factorización UL de${\displaystyle V^{-1}}$. El algoritmo resultante produce soluciones extremadamente precisas, incluso si${\displaystyle V}$está mal condicionado . ^{[ 2 ]} (Véase interpolación polinómica .) Usando el rango de desplazamiento obtenemos un método que requiere${\displaystyle {\tilde {O}}({\alpha ^{\omega -1}}n)}$operaciones con el uso de algoritmos rápidos de multiplicación de matrices , donde${\displaystyle \alpha }$es solo el rango y${\displaystyle \omega <2.372}$es el exponente de la multiplicación de matrices ^{[ 6 ]} .

El determinante de Vandermonde se utiliza en la teoría de representación del grupo simétrico . ^{[ 7 ]}

Cuando los valores${\displaystyle x_{i}}$Al pertenecer a un campo finito , el determinante de Vandermonde también se denomina determinante de Moore y posee propiedades importantes en la teoría de los códigos BCH y los códigos de corrección de errores de Reed-Solomon .

La transformada discreta de Fourier se define mediante una matriz de Vandermonde específica, la matriz DFT , donde${\displaystyle x_{i}}$se eligen como raíces n -ésimas de la unidad . La transformada rápida de Fourier calcula el producto de esta matriz con un vector en${\displaystyle O(n\log ^{2}n)}$tiempo. ^{[ 8 ]} Consulte el artículo sobre evaluación de polinomios multipunto para obtener más detalles.

En la teoría física del efecto Hall cuántico , el determinante de Vandermonde muestra que la función de onda de Laughlin con factor de llenado 1 es igual a un determinante de Slater . Esto ya no es cierto para factores de llenado distintos de 1 en el efecto Hall cuántico fraccionario .

En la geometría de los poliedros , la matriz de Vandermonde proporciona el volumen normalizado de un poliedro arbitrario.${\displaystyle k}$-caras de politopos cíclicos . Específicamente, si${\displaystyle F=C_{d}(t_{i_{1}},\dots ,t_{i_{k+1}})}$es un${\displaystyle k}$-cara del politopo cíclico${\displaystyle C_{d}(T)\subset \mathbb {R} ^{d}}$correspondiente a${\displaystyle T=\{t_{1}<\cdots <t_{N}\}\subset \mathbb {R} }$, entonces$${\displaystyle \mathrm {nvol} (F)={\frac {1}{k!}}\prod _{1\leq m<n\leq k+1}{(t_{i_{n}}-t_{i_{m}})}.}$$

El determinante de una matriz cuadrada de Vandermonde se llama polinomio de Vandermonde o determinante de Vandermonde . Su valor es el polinomio.

${\displaystyle \det(V)=\prod _{0\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i})}$

que es distinto de cero si y solo si todos${\displaystyle x_{i}}$son distintos.

El determinante de Vandermonde se denominaba antiguamente a veces discriminante , pero en la terminología actual se denomina discriminante de un polinomio.${\displaystyle p(x)=(x-x_{0})\cdots (x-x_{n})}$es el cuadrado del determinante de Vandermonde de las raíces${\displaystyle x_{i}}$. El determinante de Vandermonde es una forma alternada en el${\displaystyle x_{i}}$, lo que significa que intercambiar dos${\displaystyle x_{i}}$cambia el signo y${\displaystyle \det(V)}$Por lo tanto, depende del orden para el${\displaystyle x_{i}}$Por el contrario, el discriminante${\displaystyle \det(V)^{2}}$no depende de ningún orden, por lo que la teoría de Galois implica que el discriminante es una función polinómica de los coeficientes de${\displaystyle p(x)}$.

La fórmula del determinante se demuestra a continuación de tres maneras. La primera utiliza propiedades de los polinomios, especialmente la propiedad de factorización única de los polinomios multivariados . Aunque conceptualmente simple, involucra conceptos no elementales de álgebra abstracta . La segunda demostración se basa en los conceptos de álgebra lineal de cambio de base en un espacio vectorial y el determinante de una aplicación lineal . En el proceso, calcula la descomposición LU de la matriz de Vandermonde. La tercera demostración es más elemental pero más compleja, utilizando solo operaciones elementales de filas y columnas .

Si las columnas de la matriz de Vandermonde, en lugar de${\textstyle 1,x,x^{2},...}$son polinomios generales${\textstyle p_{0},p_{1},...,p_{n}}$, de tal manera que cada uno tenga grado${\textstyle 0,1,...,n}$, es decir, si${\displaystyle V=[p_{i}(x_{j})]_{i,j\in 0:n}}$, entonces:$${\displaystyle \det V(x_{0:n})=\left(\prod _{k}c_{k}\right)\Delta (x),}$$dónde${\textstyle c_{0},...,c_{n}}$son los coeficientes de cabeza de${\textstyle p_{0},p_{1},...,p_{n}}$, y${\displaystyle \Delta (x)=\prod _{0\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i})}$es el determinante de Vandermonde.

Al multiplicar por el conjugado hermitiano , encontramos que$${\displaystyle \det \left[\sum _{l}p_{j}(z_{l})p_{k}(z_{l})^{*}\right]=\left(\prod _{k}|c_{k}|^{2}\right)|\Delta (z)|^{2}=\det \left[\sum _{l}p_{l}(z_{j})p_{l}(z_{k})^{*}\right]}$$

Como se explicó anteriormente en Aplicaciones, el problema de interpolación polinomial para${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n}}$satisfactorio${\displaystyle p(x_{0})=y_{0},\ldots ,p(x_{n})=y_{n}}$es equivalente a la ecuación matricial${\displaystyle Va=y}$, que tiene la solución única${\displaystyle a=V^{-1}y}$. Existen otras fórmulas conocidas que resuelven el problema de interpolación, las cuales deben ser equivalentes a la única${\displaystyle a=V^{-1}y}$, por lo que deben proporcionar fórmulas explícitas para la matriz inversa.${\displaystyle V^{-1}}$. En particular, la interpolación de Lagrange muestra que las columnas de la matriz inversa

$${\displaystyle V^{-1}={\begin{pmatrix}1&x_{0}&\dots &x_{0}^{n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\[.5em]1&x_{n}&\dots &x_{n}^{n}\end{pmatrix}}^{-1}=L={\begin{pmatrix}L_{00}&\!\!\!\!\cdots \!\!\!\!&L_{0n}\\\vdots &&\vdots \\L_{n0}&\!\!\!\!\cdots \!\!\!\!&L_{nn}\end{pmatrix}}}$$

son los coeficientes de los polinomios de Lagrange

${\displaystyle L_{j}(x)=L_{0j}+L_{1j}x+\cdots +L_{nj}x^{n}=\prod _{0\leq i\leq n \atop i\neq j}{\frac {x-x_{i}}{x_{j}-x_{i}}}={\frac {f(x)}{(x-x_{j})\,f'(x_{j})}}\,,}$

dónde${\displaystyle f(x)=(x-x_{0})\cdots (x-x_{n})}$Esto se demuestra fácilmente: los polinomios satisfacen claramente${\displaystyle L_{j}(x_{i})=0}$para${\displaystyle i\neq j}$mientras${\displaystyle L_{j}(x_{j})=1}$, por lo que podemos calcular el producto${\displaystyle VL=[L_{j}(x_{i})]_{i,j=0}^{n}=I}$, la matriz identidad .

Como se describió anteriormente, una matriz de Vandermonde describe el problema de interpolación de álgebra lineal para encontrar los coeficientes de un polinomio.${\displaystyle p(x)}$de grado${\displaystyle n-1}$basado en los valores${\displaystyle p(x_{1}),\,...,\,p(x_{n})}$, dónde${\displaystyle x_{1},\,...,\,x_{n}}$son puntos distintos . Si${\displaystyle x_{i}}$Si no son distintos, entonces este problema no tiene una solución única (y la matriz de Vandermonde correspondiente es singular). Sin embargo, si especificamos los valores de las derivadas en los puntos repetidos, entonces el problema puede tener una solución única. Por ejemplo, el problema

${\displaystyle {\begin{cases}p(0)=y_{1}\\p'(0)=y_{2}\\p(1)=y_{3}\end{cases}}}$

dónde${\displaystyle p(x)=ax^{2}+bx+c}$tiene una solución única para todos${\displaystyle y_{1},y_{2},y_{3}}$con${\displaystyle y_{1}\neq y_{3}}$En general, supongamos que${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$son números (no necesariamente distintos), y supongamos, para simplificar, que los valores iguales son adyacentes:

${\displaystyle x_{1}=\cdots =x_{m_{1}},\ x_{m_{1}+1}=\cdots =x_{m_{2}},\ \ldots ,\ x_{m_{k-1}+1}=\cdots =x_{m_{k}}}$

dónde${\displaystyle m_{1}<m_{2}<\cdots <m_{k}=n,}$y${\displaystyle x_{m_{1}},\ldots ,x_{m_{k}}}$son distintos. Entonces el problema de interpolación correspondiente es

${\displaystyle {\begin{cases}p(x_{m_{1}})=y_{1},&p'(x_{m_{1}})=y_{2},&\ldots ,&p^{(m_{1}-1)}(x_{m_{1}})=y_{m_{1}},\\p(x_{m_{2}})=y_{m_{1}+1},&p'(x_{m_{2}})=y_{m_{1}+2},&\ldots ,&p^{(m_{2}-m_{1}-1)}(x_{m_{2}})=y_{m_{2}},\\\qquad \vdots &&&\qquad \vdots \\p(x_{m_{k}})=y_{m_{k-1}+1},&p'(x_{m_{k}})=y_{m_{k-1}+2},&\ldots ,&p^{(m_{k}-m_{k-1}-1)}(x_{m_{k}})=y_{m_{k}}.\end{cases}}}$

La matriz correspondiente para este problema se denomina matriz de Vandermonde confluente , dada de la siguiente manera. ^{[ 11 ]} Si${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$, entonces${\displaystyle m_{\ell }<i\leq m_{\ell +1}}$para un único${\displaystyle 0\leq \ell \leq k-1}$(que denota${\displaystyle m_{0}=0}$). Dejamos

${\displaystyle V_{i,j}={\begin{cases}0&{\text{if }}j<i-m_{\ell },\\[6pt]{\dfrac {(j-1)!}{(j-(i-m_{\ell }))!}}x_{i}^{j-(i-m_{\ell })}&{\text{if }}j\geq i-m_{\ell }.\end{cases}}}$

Esta generalización de la matriz de Vandermonde la hace no singular , de modo que existe una solución única para el sistema de ecuaciones, y posee la mayoría de las demás propiedades de la matriz de Vandermonde. Sus filas son derivadas (de algún orden) de las filas originales de la matriz de Vandermonde.

Otra forma de derivar la fórmula anterior es tomando un límite de la matriz de Vandermonde como${\displaystyle x_{i}}$se acercan entre sí. Por ejemplo, para obtener el caso de${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$, resta la primera fila de la segunda en la matriz de Vandermonde original y deja${\displaystyle x_{2}\to x_{1}}$: esto produce la fila correspondiente en la matriz de Vandermonde confluente. Esto deriva el problema de interpolación generalizada con valores y derivadas dados como un límite del caso original con puntos distintos: dando${\displaystyle p(x_{i}),p'(x_{i})}$es similar a dar${\displaystyle p(x_{i}),p(x_{i}+\varepsilon )}$para pequeños${\displaystyle \varepsilon }$Los geómetras han estudiado el problema del seguimiento de puntos confluentes a lo largo de sus líneas tangentes, conocido como compactificación del espacio de configuración .

• Matriz complementaria §  Diagonalizabilidad
• Polinomio de Schur : una generalización
• Matriz alterna
• polinomio de Lagrange
• Wronskiano
• Lista de matrices
• Determinante de Moore sobre un campo finito
• Fórmulas de Vieta

• Ycart, Bernard (2013), "Un caso de eponimia matemática: el determinante de Vandermonde", Revue d'Histoire des Mathématiques , 13 , arXiv : 1204.4716 , Bibcode : 2012arXiv1204.4716Y.