teoría de gauge supersimétrica

En física teórica , existen numerosas teorías con supersimetría (SUSY) que también poseen simetrías de gauge internas . La teoría de gauge supersimétrica generaliza este concepto.

teoría de gauge

Una teoría de gauge es una teoría de campos con simetría de gauge. En términos generales, existen dos tipos de simetrías: globales y locales. Una simetría global es aquella que se aplica uniformemente (en cierto sentido) a cada punto de una variedad . Una simetría local es aquella que depende de la posición. La simetría de gauge es un ejemplo de simetría local, descrita por un grupo de Lie (que describe matemáticamente las simetrías continuas ), denominado grupo de gauge de la teoría en el contexto de la teoría de gauge.

La cromodinámica cuántica y la electrodinámica cuántica son ejemplos famosos de teorías de gauge.

Supersimetría

En física de partículas , existen partículas con dos tipos de estadística : bosones y fermiones . Los bosones poseen valores de espín enteros y se caracterizan por la capacidad de que cualquier número de bosones idénticos ocupe un mismo punto en el espacio. Por lo tanto, se identifican con las fuerzas . Los fermiones poseen valores de espín semienteros y, según el principio de exclusión de Pauli , los fermiones idénticos no pueden ocupar una misma posición en el espacio-tiempo. Los campos de bosones y fermiones se interpretan como materia . Así, la supersimetría se considera una candidata sólida para la unificación de la radiación (fuerzas mediadas por bosones) y la materia.

Esta unificación viene dada por un operador $Q$ (o normalmente muchos operadores), conocido como generador de supercarga o supersimetría, que actúa esquemáticamente como

$Q|{\text{bosón}}\rangle =|{\text{fermión}}\rangle$ $Q|{\text{fermión}}\rangle =|{\text{bosón}}\rangle$

Por ejemplo, el generador de supersimetría puede tomar un fotón como argumento y transformarlo en un fotino y viceversa. Esto sucede a través de una traslación en el espacio (de parámetros). Este superespacio es un ${\mathbb {Z} _ {2}}$ - espacio vectorial graduado ${\mathcal {W}}={\mathcal {W}}^{0}\oplus {\mathcal {W}}^{1}$ , dónde ${\mathcal {W}}^{0}$ es el espacio de Hilbert bosónico y ${\mathcal {W}}^{1}$ es el espacio de Hilbert fermiónico.

teoría de gauge SUSY

The motivation for a supersymmetric version of gauge theory can be the fact that gauge invariance is consistent with supersymmetry. The first examples were discovered by Bruno Zumino and Sergio Ferrara, and independently by Abdus Salam and James Strathdee in 1974.

Both the half-integer spin fermions and the integer spin bosons can become gauge particles. The gauge vector fields and its spinorial superpartner can be made to both reside in the same representation of the internal symmetry group.

Suppose we have a $U(1)$ gauge transformation $V_{\mu }\rightarrow V_{\mu }+\partial _{\mu }A$ , where $V_{\mu }$ is a vector field and $A$ is the gauge function. The main difficulty in construction of a SUSY Gauge Theory is to extend the above transformation in a way that is consistent with SUSY transformations.

The Wess–Zumino gauge (a prescription for supersymmetric gauge fixing) provides a successful solution to this problem. Once such suitable gauge is obtained, the dynamics of the SUSY gauge theory work as follows: we seek a Lagrangian that is invariant under the Super-gauge transformations (these transformations are an important tool needed to develop supersymmetric version of a gauge theory). Then we can integrate the Lagrangian using the Berezin integration rules and thus obtain the action. Which further leads to the equations of motion and hence can provide a complete analysis of the dynamics of the theory.

$N = 1$ SUSY in 4D (with 4 real generators)

In four dimensions, the minimal $N = 1$ supersymmetry may be written using a superspace. This superspace involves four extra fermionic coordinates $\theta ^{1},\theta ^{2},{\bar {\theta }}^{1},{\bar {\theta }}^{2}$ , transforming as a two-component spinor and its conjugate.

Every superfield, i.e. a field that depends on all coordinates of the superspace, may be expanded with respect to the new fermionic coordinates. There exists a special kind of superfields, the so-called chiral superfields, that only depend on the variables $θ$ but not their conjugates (more precisely, ${\overline {D}}f=0$ ). However, a vector superfield depends on all coordinates. It describes a gauge field and its superpartner, namely a Weyl fermion that obeys a Dirac equation.

V=C+i\theta \chi -i{\overline {\theta }}{\overline {\chi }}+{\tfrac {i}{2}}\theta ^{2}(M+iN)-{\tfrac {i}{2}}{\overline {\theta ^{2}}}(M-iN)-\theta \sigma ^{\mu }{\overline {\theta }}v_{\mu }+i\theta ^{2}{\overline {\theta }}\left({\overline {\lambda }}-{\tfrac {i}{2}}{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\chi \right)-i{\overline {\theta }}^{2}\theta \left(\lambda +{\tfrac {i}{2}}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }{\overline {\chi }}\right)+{\tfrac {1}{2}}\theta ^{2}{\overline {\theta }}^{2}\left(D+{\tfrac {1}{2}}\Box C\right)

$V$ is the vector superfield (prepotential) and is real ( $V = V$ ). The fields on the right hand side are component fields.

The gauge transformations act as

V\to V+\Lambda +{\overline {\Lambda }}

where $Λ$ is any chiral superfield.

It's easy to check that the chiral superfield

W_{\alpha }\equiv -{\tfrac {1}{4}}{\overline {D}}^{2}D_{\alpha }V

es invariante de calibre. También lo es su conjugado complejo. ${\overline {W}}_{\dot {\alpha }}$ .

Un calibre covariante no supersimétrico de uso frecuente es el calibre de Wess-Zumino . En este caso, $C, χ, M$ y $N$ se establecen a cero. Las simetrías de calibre residuales son transformaciones de calibre del tipo bosónico tradicional.

Un supercampo quiral $X$ con una carga de $q$ se transforma como

X\to e^{q\Lambda }X,\qquad {\overline {X}}\to e^{q{\overline {\Lambda }}}X

Por lo tanto, $X e - qV X$ es invariante de gauge. Aquí, $e - qV$ se denomina puente ya que "conecta" un campo que se transforma solo bajo $Λ$ con un campo que se transforma solo bajo $Λ$ .

En términos más generales, si tenemos un grupo de gauge real $G$ que deseamos supersimetrizar, primero debemos complejizarlo a $G c \cdot e - qV$ , que actúa como compensador de las transformaciones de gauge complejas, absorbiéndolas y dejando solo las partes reales. Esto es lo que se hace en el gauge de Wess-Zumino.

Superformas diferenciales

Reformulemos todo para que se parezca más a una teoría de gauge de Yang-Mills convencional . Tenemos una simetría de gauge $U(1)$ que actúa sobre un superespacio completo con una conexión de gauge de 1-superforma A. En la base analítica para el espacio tangente, la derivada covariante viene dada por $D_{M}=d_{M}+iqA_{M}$ Condiciones de integrabilidad para supercampos quirales con la restricción quiral.

{\overline {D}}_{\dot {\alpha }}X=0

déjanos con

\left\{{\overline {D}}_{\dot {\alpha }},{\overline {D}}_{\dot {\beta }}\right\}=F_{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}=0.

Una restricción similar para supercampos antiquirales nos deja con $F αβ = 0.$ Esto significa que podemos fijar el calibre. $A_{\dot {\alpha }}=0$ o $A α = 0$ pero no ambos simultáneamente. Llamemos a los dos esquemas de fijación de calibre diferentes I y II respectivamente. En el calibre I, ${\overline {d}}_{\dot {\alpha }}X=0$ y en calibre II, $d α X = 0$ . Ahora, el truco consiste en usar dos calibres diferentes simultáneamente; calibre I para supercampos quirales y calibre II para supercampos antiquirales. Para conectar los dos calibres diferentes, necesitamos una transformación de calibre. Llamémosla $e - V$ (por convención). Si usáramos un solo calibre para todos los campos, $X X$ sería invariante de calibre. Sin embargo, necesitamos convertir el calibre I al calibre II, transformando $X$ en $(e - V) q X$ . Por lo tanto, la cantidad invariante de calibre es $X e - qV X$ .

En el calibre I, todavía tenemos el calibre residual $e Λ$ donde ${\overline {d}}_{\dot {\alpha }}\Lambda =0$ y en calibre II, tenemos el calibre residual $e Λ$ que satisface $d α Λ = 0$ . Bajo los calibres residuales, el puente se transforma como

e^{-V}\to e^{-{\overline {\Lambda }}-V-\Lambda }.

Sin restricciones adicionales, el puente $e - V$ no proporcionaría toda la información sobre el campo de calibre. Sin embargo, con la restricción adicional $F_{{\dot {\alpha }}\beta }$ Existe un único campo de calibre compatible con las transformaciones de calibre módulo del puente. Ahora bien, el puente proporciona exactamente el mismo contenido informativo que el campo de calibre.

Teorías con 8 o más generadores SUSY ( $N > 1$ )

En teorías con mayor supersimetría (y quizás mayor dimensión), un supercampo vectorial normalmente describe no solo un campo de gauge y un fermión de Weyl, sino también al menos un campo escalar complejo .

Ejemplos

teorías de gauge supersimétricas puras

Teorías de gauge supersimétricas con materia

Super QCD
MSSM (Modelo estándar supersimétrico mínimo)
NMSSM (Modelo Estándar Supersimétrico Casi Mínimo)

Véase también

Lecturas adicionales

Stephen P. Martin. Una introducción a la supersimetría , arXiv : hep-ph/9709356 .
Balin, David; Love, Alexander (1994). Teoría de campos de gauge supersimétricos y teoría de cuerdas . Taylor & Francis . ISBN 9780367805807.
Kuzenko, Sergio (1998). Introducción a la teoría de campos supersimétricos . CRC Press. ISBN 9780367802530.