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Articulo de referencia

Prueba sin palabras

Demostración sin palabras del teorema de Nicómaco ( Gulley (2010) ) de que la suma de los primeros n cubos es el cuadrado del n -ésimo número triangular. En matemáticas , una de...

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Demostración sin palabras del teorema de Nicómaco ( Gulley (2010) ) de que la suma de los primeros n cubos es el cuadrado del n -ésimo número triangular.

En matemáticas , una demostración sin palabras (o demostración visual ) es una ilustración de una identidad o enunciado matemático que puede demostrarse como evidente mediante un diagrama sin ningún texto explicativo que la acompañe. Estas demostraciones pueden considerarse más elegantes que las demostraciones formales o matemáticamente rigurosas debido a su naturaleza evidente. [ 1 ] Cuando el diagrama demuestra un caso particular de un enunciado general, para ser una demostración, debe ser generalizable. [ 2 ]

Una demostración sin palabras no es lo mismo que una demostración matemática , ya que omite los detalles del argumento lógico que ilustra. Sin embargo, puede proporcionar al espectador intuiciones valiosas que le ayuden a formular o comprender mejor una demostración verdadera.

Ejemplos

Suma de números impares

Una demostración sin palabras del teorema de la suma de números impares.

La afirmación de que la suma de todos los números impares positivos hasta 2n − 1 es un cuadrado perfecto —más específicamente, el cuadrado perfecto n²— puede demostrarse mediante una prueba sin palabras. [ 3 ]  

En una esquina de la cuadrícula, un solo bloque representa el 1, el primer cuadrado. Este se puede rodear por dos lados con una tira de tres bloques (el siguiente número impar) para formar un bloque de 2 × 2: el 4, el segundo cuadrado. Añadiendo cinco bloques más se obtiene un bloque de 3 × 3: el 9, el tercer cuadrado. Este proceso puede continuarse indefinidamente.

Teorema de Pitágoras

Demostración del teorema de Pitágoras mediante reordenamiento. El área no cubierta del espacio gris permanece constante antes y después del reordenamiento de los triángulos: a la izquierda se muestra que es igual a c² y a la derecha a²+b² .

El teorema de Pitágoras quea2+b2=do2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}Se puede probar sin palabras. [ 4 ]

Un método para hacerlo es visualizar un cuadrado de lados más grande.a+b{\displaystyle a+b}, con cuatro triángulos rectángulos de ladosa{\displaystyle a},b{\displaystyle b}ydo{\displaystyle c}en sus esquinas, de tal manera que el espacio en el medio es un cuadrado diagonal con un área dedo2{\displaystyle c^{2}}. Los cuatro triángulos se pueden reorganizar dentro del cuadrado más grande para dividir su espacio no utilizado en dos cuadrados dea2{\displaystyle a^{2}}yb2{\displaystyle b^{2}}. [ 5 ]

La desigualdad de Jensen

Una demostración gráfica de la desigualdad de Jensen.

La desigualdad de Jensen también puede demostrarse gráficamente. Una curva discontinua en el eje X representa la distribución hipotética de X , mientras que una curva discontinua en el eje Y representa la distribución correspondiente de los valores de Y. La función convexa Y ( X ) "estira" cada vez más la distribución a medida que aumenta el valor de X. [ 6 ]

Uso

Mathematics Magazine y The College Mathematics Journal publican regularmente una sección titulada "Demostración sin palabras" que contiene, como su nombre indica, demostraciones sin palabras. [ 3 ] Los sitios web The Art of Problem Solving y USAMTS publican applets de Java que ilustran demostraciones sin palabras. [ 7 ] [ 8 ]

En comparación con las pruebas formales

Para que una demostración sea aceptada por la comunidad matemática, debe mostrar lógicamente cómo la afirmación que pretende probar se deriva total e inevitablemente de un conjunto de supuestos . [ 9 ] Una demostración sin palabras podría implicar tal argumento, pero no lo hace directamente, por lo que no puede reemplazar una demostración formal cuando esta es necesaria. [ 10 ] [ 11 ] Más bien, los matemáticos utilizan las demostraciones sin palabras como ilustraciones y herramientas didácticas para ideas que ya han sido demostradas formalmente. [ 12 ] [ 13 ]

Véase también

Notas

  1. ↑ Dunham 1994 , pág. 120 
  2. ↑ Weisstein, Eric W. "Demostración sin palabras" . MathWorld .Consultado el 20 de junio de 2008.
  3. 1 2 Dunham 1994 , pág. 121 
  4. ↑ Nelsen 1997 , pág. 3 
  5. ↑ Benson, Donald. El momento de la prueba  : epifanías matemáticas , págs. 172–173 (Oxford University Press, 1999).
  6. ↑ McShane, EJ (1937), "La desigualdad de Jensen", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , vol. 43, n.º 8, Sociedad Matemática Americana, pág. 527, doi : 10.1090/S0002-9904-1937-06588-8   
  7. ↑ Galería de demostraciones , El arte de resolver problemas , consultado el 28 de mayo de 2015
  8. ↑ Galería de demostraciones , Búsqueda de talentos matemáticos de EE. UU. , consultado el 28 de mayo de 2015.
  9. ↑ Lang, Serge (1971). Matemáticas básicas . Reading, Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company. p. 94. Siempre procuramos tener muy presente lo que asumimos y lo que demostramos. Por «demostración» entendemos una secuencia de enunciados, cada uno de los cuales se asume o se deduce de los enunciados precedentes mediante una regla de deducción, que a su vez se asume. 
  10. ↑ Benson, Steve; Addington, Susan; Arshavsky, Nina; Cuoco, Al; Goldenberg, E. Paul; Karnowski, Eric (6 de octubre de 2004). Guía del facilitador para reflexionar sobre las matemáticas ( edición ilustrada). Corwin Press. pág. 78. ISBN   9781412905206Las pruebas sin palabras no son realmente pruebas, en sentido estricto, ya que normalmente carecen de detalles .
  11. ↑ Spivak, Michael (2008). Cálculo (4.ª ed.). Houston, Texas: Publish or Perish, Inc. pág. 138. ISBN   978-0-914098-91-1Sin embargo , basar el argumento en una imagen geométrica no constituye una prueba...
  12. ↑ Benson, Steve; Addington, Susan; Arshavsky, Nina; Cuoco, Al; Goldenberg, E. Paul; Karnowski, Eric (6 de octubre de 2004). Guía del facilitador para reflexionar sobre las matemáticas ( edición ilustrada). Corwin Press. pág. 78. ISBN   9781412905206Sin embargo , dado que la mayoría de las demostraciones sin palabras son de naturaleza visual, a menudo proporcionan un recordatorio o una pista de lo que falta.
  13. ↑ Schulte, Tom (12 de enero de 2011). «Demostraciones sin palabras: Ejercicios de pensamiento visual (reseña)» . Reseñas de la MAA . La Asociación Matemática de América . Recuperado el 26 de octubre de 2022. Esta breve colección de variadas «demostraciones» visuales (término que, podría decirse, se aplica aquí de forma imprecisa) resulta entretenida e instructiva. Personalmente, encuentro que estas representaciones son atractivas y estimulantes, y contribuyen a ese momento de «¡ajá!» cuando el argumento simbólico parece no ser suficiente.

Referencias

  • Dunham, William (1994), El universo matemático , John Wiley and Sons, ISBN 0-471-53656-3
  • Nelsen, Roger B. (1997), Demostraciones sin palabras: Ejercicios de pensamiento visual , Asociación Matemática de América, pág.  160, ISBN 978-0-88385-700-7
  • Nelsen, Roger B. (2000), Demostraciones sin palabras II: Más ejercicios de pensamiento visual , Asociación Matemática de América, pp. 142 , ISBN  0-88385-721-9
  • Gulley, Ned (4 de marzo de 2010), Shure, Loren (ed.), Teorema de Nicómaco , Matlab Central.