Anillo regular Von Neumann

En matemáticas , un anillo regular de von Neumann es un anillo R (asociativo, con 1, no necesariamente conmutativo) tal que para cada elemento a en R existe un x en R tal que a = axa . Se puede pensar en x como un "inverso débil" del elemento a ; en general, x no está determinado unívocamente por a . Los anillos regulares de von Neumann también se denominan anillos absolutamente planos , porque estos anillos se caracterizan por el hecho de que todo R -módulo izquierdo es plano .

Los anillos regulares de Von Neumann fueron introducidos por Von Neumann ( 1936 ) con el nombre de "anillos regulares" durante su estudio de las álgebras de Von Neumann y la geometría continua . Los anillos regulares de Von Neumann no deben confundirse con los anillos regulares y los anillos locales regulares del álgebra conmutativa , que no guardan relación entre sí . 

Un elemento a de un anillo se denomina elemento regular de von Neumann si existe un x tal que a = axa . ^{[ 1 ]} Un ideal${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$se denomina ideal regular (de von Neumann) si para cada elemento a en${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$existe un elemento x en${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$de tal manera que a = axa . ^{[ 2 ]}

Todo cuerpo (y todo cuerpo sesgado ) es regular de von Neumann: para a ≠ 0 podemos tomar x = a ⁻¹ . ^{[ 1 ]} Un dominio de integridad es regular de von Neumann si y solo si es un cuerpo. Todo producto directo de anillos regulares de von Neumann también es regular de von Neumann.

Otra clase importante de ejemplos de anillos regulares de von Neumann son los anillos M _n ( K ) de matrices cuadradas n × n con entradas de algún cuerpo K . Si r es el rango de A ∈ M _n ( K ) , la eliminación gaussiana da matrices invertibles U y V tales que ^{[ 3 ]}

${\displaystyle A=U{\begin{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}}V}$

(donde I _r es la matriz identidad de r x r ). Si establecemos X = V ⁻¹ U ⁻¹ , entonces

${\displaystyle AXA=U{\begin{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}}V=U{\begin{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}}V=A.}$

De forma más general, el anillo de matrices n × n sobre cualquier anillo regular de von Neumann es también regular de von Neumann. ^{[ 1 ]}

Si V es un espacio vectorial sobre un cuerpo (o cuerpo antisimétrico ) K , entonces el anillo de endomorfismos End _K ( V ) es regular de von Neumann, incluso si V no es de dimensión finita. ^{[ 4 ]}

Generalizando los ejemplos anteriores, supongamos que S es un anillo y M es un S -módulo tal que cada submódulo de M es un sumando directo de M (dichos módulos M se denominan semisimples ). Entonces, el anillo de endomorfismos End _S ( M ) es regular de von Neumann. En particular, todo anillo semisimple es regular de von Neumann. De hecho, los anillos semisimples son precisamente los anillos regulares de von Neumann noetherianos . ^{[ 5 ]}

El anillo de operadores afiliados de un álgebra de von Neumann finita es regular de von Neumann.

Un anillo booleano es un anillo en el que cada elemento satisface a ² = a . Todo anillo booleano es regular de von Neumann.

Las siguientes afirmaciones son equivalentes para el anillo R :

• R es regular de von Neumann
• Cada ideal principal izquierdo es generado por un elemento idempotente.
• todo ideal izquierdo finitamente generado es generado por un idempotente
• todo ideal izquierdo principal es un sumando directo del R -módulo izquierdo R
• Todo ideal izquierdo finitamente generado es un sumando directo del R -módulo izquierdo R
• Todo submódulo finitamente generado de un R -módulo izquierdo proyectivo P es un sumando directo de P.
• Todo R -módulo izquierdo es plano : esto también se conoce como R es absolutamente plano , o R tiene dimensión débil 0.
• toda secuencia corta exacta de R -módulos izquierdos es puramente exacta .

Las afirmaciones correspondientes para los módulos derechos también son equivalentes a que R sea regular según la regla de von Neumann.

Todo anillo regular de von Neumann tiene radical de Jacobson {0} y, por lo tanto, es semiprimitivo (también llamado "semisimple de Jacobson").

En un anillo regular de von Neumann conmutativo, para cada elemento x hay un único elemento y tal que xyx = x e yxy = y , por lo que hay una forma canónica de elegir el "inverso débil" de x .

Las siguientes afirmaciones son equivalentes para el anillo conmutativo R :

• R es regular de von Neumann.
• R tiene dimensión de Krull 0 y es reducido .
• Toda localización de R en un ideal maximal es un cuerpo.
• R es un subanillo de un producto de cuerpos cerrado bajo la toma de "inversos débiles" de x ∈ R (el único elemento y tal que xyx = x e yxy = y ).
• R es un anillo en V. ^{[ 6 ]}
• R tiene la propiedad de elevación derecha contra el homomorfismo de anillos Z [ t ] → Z [ t ^± ] × Z determinado por t ↦ ( t , 0) , o dicho geométricamente, toda función regular${\textstyle \mathrm {Spec} (R)\to \mathbb {A} ^{1}}$factores a través del morfismo de esquemas${\displaystyle \{0\}\sqcup \mathbb {G} _{m}\to \mathbb {A} ^{1}}$. ^{[ 7 ]}

Además, las siguientes son equivalentes: para un anillo conmutativo A

• R = A / nil( A ) es regular de von Neumann.
• El espectro de A es Hausdorff (en la topología de Zariski ).
• La topología constructible y la topología de Zariski para Spec( A ) coinciden.

Entre los tipos especiales de anillos regulares de von Neumann se incluyen los anillos regulares de unidad , los anillos regulares de von Neumann fuertes y los anillos de rango .

Un anillo R se denomina regular unitario si para cada elemento a en R , existe un elemento unitario u en R tal que a = aua . Todo anillo semisimple es regular unitario, y los anillos regulares unitarios son anillos directamente finitos . Un anillo regular de von Neumann ordinario no tiene por qué ser directamente finito.

Un anillo R se denomina fuertemente regular de von Neumann si para cada a en R , existe algún x en R tal que a = aax . La condición es simétrica izquierda-derecha. Los anillos fuertemente regulares de von Neumann son regulares respecto de la unidad. Todo anillo fuertemente regular de von Neumann es un producto subdirecto de anillos de división . En cierto sentido, esto imita más de cerca las propiedades de los anillos regulares de von Neumann conmutativos, que son productos subdirectos de cuerpos. Para anillos conmutativos, los anillos regulares de von Neumann y los fuertemente regulares de von Neumann son equivalentes. En general, las siguientes afirmaciones son equivalentes para un anillo R :

• R es fuertemente regular de von Neumann
• R es regular de von Neumann y reducido
• R es regular de von Neumann y todo idempotente en R es central.
• Cada ideal izquierdo principal de R es generado por un idempotente central.

Las generalizaciones de los anillos regulares de von Neumann incluyen anillos π -regulares, anillos semihereditarios izquierdos/derechos , anillos no singulares izquierdos/derechos y anillos semiprimitivos .

• semigrupo regular
• Inverso débil