Método de red de vórtices

The following assumptions are made regarding the problem in the vortex lattice method:

• The flow field is incompressible, inviscid and irrotational. However, small-disturbance subsonic compressible flow can be modeled if the general 3D Prandtl-Glauert transformation is incorporated into the method.
• The lifting surfaces are thin. The influence of thickness on aerodynamic forces are neglected.
• The angle of attack and the angle of sideslip are both small, small angle approximation.

By the above assumptions the flowfield is Conservative vector field, which means that there exists a perturbation velocity potential ${\displaystyle \varphi }$ such that the total velocity vector ${\displaystyle \mathbf {V} }$ is given by

${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {V} _ {\infty }+\nabla \varphi }$

and that ${\displaystyle \varphi }$ satisfies Laplace's equation.

Laplace's equation is a second order linear equation, and being so it is subject to the principle of superposition. Which means that if ${\displaystyle \varphi _{1}}$ and ${\displaystyle \varphi _{2}}$son dos soluciones de la ecuación diferencial lineal , entonces la combinación lineal${\displaystyle c_{1}\varphi _{1}+c_{2}\varphi _{2}}$También es una solución para cualquier valor de las constantes.${\displaystyle c_{1}}$y${\displaystyle c_{2}}$Como lo expresó Anderson ^{[ 7 ]} , "un patrón de flujo complejo para un flujo irrotacional e incompresible puede sintetizarse sumando varios flujos elementales, que también son irrotacionales e incompresibles". Dichos flujos elementales son la fuente o sumidero puntual , el doblete y la línea de vórtice , cada uno de los cuales es una solución de la ecuación de Laplace. Estos pueden superponerse de muchas maneras para crear la formación de fuentes lineales, láminas de vórtice , etc. En el método de la red de vórtices, cada uno de estos flujos elementales es el campo de velocidad de un vórtice en herradura con cierta intensidad.${\displaystyle \Gamma }$.

Todas las superficies sustentadoras de una aeronave se dividen en varios paneles cuadriláteros, y en cada panel se coloca un vórtice en forma de herradura y un punto de colocación (o punto de control). El segmento transversal del vórtice se encuentra en la posición de 1/4 de la cuerda del panel, mientras que el punto de colocación se encuentra en la posición de 3/4 de la cuerda. La fuerza del vórtice${\displaystyle \Gamma }$Se debe determinar. Un vector normal${\displaystyle \mathbf {n} }$También se coloca en cada punto de colocación, perpendicular a la superficie curva de la superficie de elevación real.

Para un problema con${\displaystyle N}$paneles, la velocidad de perturbación en el punto de colocación${\displaystyle i}$se obtiene sumando las contribuciones de todos los vórtices en forma de herradura en términos de una matriz de coeficiente de influencia aerodinámica (AIC).${\displaystyle \mathbf {w} _ {ij}}$.

${\displaystyle \nabla \varphi _{i}=\sum _{j=1}^{N}\mathbf {w} _{ij}\Gamma _{j}}$

El vector de velocidad de la corriente libre se da en términos de la velocidad de la corriente libre.${\displaystyle V_{\infty }}$y los ángulos de ataque y deslizamiento lateral,${\displaystyle \alpha,\beta}$.

${\displaystyle \mathbf {V} _{\infty }=V_{\infty }{\begin{bmatrix}\cos \alpha \cos \beta \\-\sin \beta \\\sin \alpha \cos \beta \end{bmatrix}}}$

En cada punto de colocación se aplica una condición de contorno de Neumann , que prescribe que la velocidad normal a través de la superficie curva sea cero. Otras implementaciones también pueden utilizar la condición de contorno de Dirichlet directamente sobre el potencial de velocidad .

${\displaystyle \mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {n} _{i}=\left(\mathbf {V} _{\infty }+\sum _{j=1}^{N}\mathbf {w} _{ij}\Gamma _{j}\right)\cdot \mathbf {n} _{i}=0}$

Esto también se conoce como la condición de tangencia de flujo. Al evaluar los productos escalares anteriores, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones. La nueva matriz AIC de lavado normal es${\displaystyle a_{ij}=\mathbf {w} _{ij}\cdot \mathbf {n} _{i}}$y el lado derecho está formado por la velocidad de la corriente libre y los dos ángulos aerodinámicos.${\displaystyle b_{i}=V_{\infty }[-\cos \alpha \cos \beta ,\sin \beta ,-\sin \alpha \cos \beta ]\cdot \mathbf {n} _{i}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1N}\\a_{21}&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\vdots \\a_{N1}&\cdots &\cdots &a_{NN}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Gamma _{1}\\\Gamma _{2}\\\vdots \\\Gamma _{N}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{N}\end{bmatrix}}}$

Este sistema de ecuaciones se resuelve para todas las intensidades de vórtice.${\displaystyle \Gamma _{i}}$. El vector de fuerza total${\displaystyle \mathbf {F} }$y vector de momento total${\displaystyle \mathbf {M} }$Las fuerzas alrededor del origen se calculan sumando las contribuciones de todas las fuerzas.${\displaystyle \mathbf {F} _{i}}$en todos los vórtices individuales en forma de herradura, con${\displaystyle \rho }$siendo la densidad del fluido.

${\displaystyle \mathbf {F} _{i}=\rho \Gamma _{i}(\mathbf {V} _{\infty }+\mathbf {v} _{i})\times \mathbf {l} _{i}}$

${\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {F} _{i}}$

${\displaystyle \mathbf {M} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {F} _{i}\times \mathbf {r} _{i}}$

Aquí,${\displaystyle \mathbf {l} _ {i}}$es el vector del segmento transversal del vórtice, y${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$es la velocidad de perturbación en la ubicación central de este segmento${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$(no en el punto de colocación).

La sustentación y la resistencia inducida se obtienen a partir de la${\displaystyle x,y,z}$componentes del vector de fuerza total${\displaystyle \mathbf {F} }$. Para el caso de deslizamiento lateral cero, estos vienen dados por

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}D_{i}&=&\;\;F_{x}\cos \alpha +F_{z}\sin \alpha \\L&=&\!-F_{x}\sin \alpha +F_{z}\cos \alpha \end{array}}}$

El diseño preliminar de aviones requiere modelos aerodinámicos transitorios, generalmente escritos en el dominio de la frecuencia para análisis aeroelásticos. El método comúnmente utilizado es el Método de Retícula de Dobletes, donde el sistema de alas se subdivide en paneles. Cada panel tiene una línea de dobletes de potencial de aceleración en la primera línea de cuadrante, de forma similar a como se hace habitualmente en el Método de Retícula de Vórtices. Cada panel tiene un punto de carga donde se supone que se aplica la fuerza de sustentación y un punto de control donde se impone la condición de contorno aeroelástica. El Método de Retícula de Dobletes evaluado a frecuencia cero se obtiene generalmente con una formulación de Retícula de Vórtices.