Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

Grupo de papel tapiz

Células primitivas de los diecisiete grupos de papel tapiz Un grupo de patrones de papel pintado (o grupo de simetría plana o grupo cristalográfico plano ) es una clasificación ...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita
Células primitivas de los diecisiete grupos de papel tapiz

Un grupo de patrones de papel pintado (o grupo de simetría plana o grupo cristalográfico plano ) es una clasificación matemática de un patrón repetitivo bidimensional, basada en las simetrías presentes en el mismo. Estos patrones aparecen con frecuencia en la arquitectura y las artes decorativas , especialmente en textiles , azulejos y papel pintado .

El grupo de patrones más simple, el Grupo p 1, se aplica cuando no existe simetría más allá de la simple traslación de un patrón en dos dimensiones. Los siguientes patrones presentan más formas de simetría, incluyendo algunas simetrías rotacionales y de reflexión:

Los ejemplos A y B tienen el mismo grupo de simetría; se denomina p 4 m en la notación IUCr y *442 en la notación de orbifold . El ejemplo C tiene un grupo de simetría diferente, denominado p 4 g o 4*2 . El hecho de que A y B tengan el mismo grupo de simetría implica que poseen las mismas simetrías, independientemente de los detalles superficiales de los diseños; mientras que C presenta un conjunto diferente de simetrías.

El número de grupos de simetría depende del número de dimensiones en los patrones. Los grupos de papel tapiz se aplican al caso bidimensional, intermedio en complejidad entre los grupos de friso más simples y los grupos espaciales tridimensionales .

La demostración de que solo existen 17 grupos distintos de tales simetrías planares fue realizada por primera vez por Evgraf Fedorov en 1891 [ 1 ] y luego derivada independientemente por George Pólya en 1924. [ 2 ] La demostración de que la lista de grupos de papel tapiz es completa llegó solo después de que se resolvió el caso mucho más difícil de los grupos espaciales . Los diecisiete grupos de papel tapiz se enumeran a continuación; véase §  Los diecisiete grupos .

Simetrías de patrones

La simetría de un patrón es, en términos generales, una forma de transformarlo de manera que se vea exactamente igual después de la transformación. Por ejemplo, la simetría traslacional se presenta cuando el patrón se puede trasladar (es decir, desplazar) una distancia finita y permanece inalterado. Pensemos en desplazar horizontalmente un conjunto de rayas verticales una raya. El patrón no cambia. Estrictamente hablando, una verdadera simetría solo existe en patrones que se repiten exactamente y continúan indefinidamente. Un conjunto de solo, digamos, cinco rayas no tiene simetría traslacional: al desplazarlo, la raya de un extremo "desaparece" y se "añade" una nueva en el otro extremo. Sin embargo, en la práctica, la clasificación se aplica a patrones finitos y las pequeñas imperfecciones pueden pasarse por alto.

Los tipos de transformaciones que son relevantes aquí se denominan isometrías del plano euclidiano . Por ejemplo:

  • Si se desplaza el ejemplo B una unidad a la derecha, de modo que cada cuadrado cubra el cuadrado que originalmente era adyacente, el patrón resultante es exactamente igual al patrón inicial. Este tipo de simetría se denomina traslación . Los ejemplos A y C son similares, excepto que los desplazamientos más pequeños posibles se realizan en direcciones diagonales.
  • Si se gira el ejemplo B 90° en el sentido de las agujas del reloj, alrededor del centro de uno de los cuadrados, se obtiene exactamente el mismo patrón. Esto se denomina rotación . Los ejemplos A y C también tienen rotaciones de 90°, aunque se requiere un poco más de ingenio para encontrar el centro de rotación correcto para C.
  • También se puede invertir el ejemplo B a través de un eje horizontal que atraviesa el centro de la imagen. Esto se llama reflexión . El ejemplo B también tiene reflexiones a través de un eje vertical y a través de dos ejes diagonales. Lo mismo se puede decir de A.

Sin embargo, el ejemplo C es diferente . Solo presenta reflexiones en direcciones horizontales y verticales, no en diagonales. Si se invierte la imagen a través de una línea diagonal, no se obtiene el mismo patrón, sino el original desplazado una cierta distancia. Esta es una de las razones por las que el grupo de imágenes de fondo de pantalla de A y B es diferente del grupo de imágenes de fondo de pantalla de C.

Otra transformación es la reflexión con deslizamiento , una combinación de reflexión y traslación paralela a la línea de reflexión.

Un reflejo de deslizamiento mapeará un conjunto de huellas izquierdas y derechas entre sí.

Definición formal y discusión

Matemáticamente, un grupo de papel tapiz o grupo cristalográfico plano es un tipo de grupo topológicamente discreto de isometrías del plano euclidiano que contiene dos traslaciones linealmente independientes .

Dos grupos de isometría de este tipo son del mismo tipo (del mismo grupo de fondo de pantalla) si son iguales salvo una transformación afín del plano . Por ejemplo, una traslación del plano (y, por lo tanto, una traslación de los espejos y centros de rotación) no afecta al grupo de fondo de pantalla. Lo mismo se aplica a un cambio de ángulo entre vectores de traslación, siempre que no añada ni elimine ninguna simetría (esto solo ocurre si no hay espejos ni reflexiones de deslizamiento , y la simetría rotacional es como máximo de orden 2).

A diferencia del caso tridimensional , se pueden restringir de forma equivalente las transformaciones afines a aquellas que preservan la orientación .

De los teoremas de Bieberbach sobre grupos cristalográficos se deduce que todos los grupos de papel tapiz son diferentes incluso como grupos abstractos (a diferencia de, por ejemplo, los grupos de friso , de los cuales dos son isomorfos con Z ).

Los patrones 2D con doble simetría traslacional se pueden clasificar según su tipo de grupo de simetría .

Isometrías del plano euclidiano

Las isometrías del plano euclidiano se dividen en cuatro categorías ( para más información , consulte el artículo Isometría del plano euclidiano ).

  • Las traslaciones , denotadas por T v , donde v es un vector en R 2 . Esto tiene el efecto de desplazar el plano aplicandoel vector de desplazamiento v .
  • Las rotaciones , denotadas por R c , θ , donde c es un punto en el plano (el centro de rotación) y θ es el ángulo de rotación.
  • Reflexiones , o isometrías especulares , denotadas por F L , donde L es una línea en R 2 . ( F significa "voltear"). Esto tiene el efecto de reflejar el plano en la línea L , llamada eje de reflexión o espejo asociado .
  • Reflexiones de deslizamiento , denotadas por G L , d , donde L es una línea en R 2 y d es una distancia. Esto es una combinación de una reflexión en la línea L y una traslación a lo largo de L por una distancia d .

La condición de traducciones independientes

La condición sobre traslaciones linealmente independientes significa que existen vectores linealmente independientes v y w (en R 2 ) tales que el grupo contiene tanto T v como T w .

El propósito de esta condición es distinguir los grupos de papel tapiz de los grupos de friso , que poseen una traslación pero no dos linealmente independientes, y de los grupos de puntos discretos bidimensionales , que no tienen traslaciones. En otras palabras, los grupos de papel tapiz representan patrones que se repiten en dos direcciones distintas, a diferencia de los grupos de friso, que solo se repiten a lo largo de un único eje.

(Es posible generalizar esta situación. Por ejemplo, se podrían estudiar grupos discretos de isometrías de R n con m traslaciones linealmente independientes, donde m es cualquier número entero en el rango 0  ≤ m ≤ n .)   

La condición de discreción

La condición de discreción significa que existe algún número real positivo ε, tal que para cada traslación T v en el grupo, el vector v tiene una longitud de al menos ε (excepto, por supuesto, en el caso de que v sea el vector cero, pero la condición de traslaciones independientes impide esto, ya que cualquier conjunto que contenga el vector cero es linealmente dependiente por definición y, por lo tanto, no está permitido).

El propósito de esta condición es asegurar que el grupo tenga un dominio fundamental compacto, o dicho de otro modo, una "celda" de área finita y distinta de cero, que se repita en todo el plano. Sin esta condición, se podría tener, por ejemplo, un grupo que contuviera la traslación T x para cada número racional x , lo cual no correspondería a ningún patrón de papel tapiz razonable.

Una consecuencia importante y no trivial de la condición de discreción en combinación con la condición de traslaciones independientes es que el grupo solo puede contener rotaciones de orden 2, 3, 4 o 6; es decir, cada rotación en el grupo debe ser una rotación de 180°, 120°, 90° o 60°. Este hecho se conoce como el teorema de restricción cristalográfica [ 3 ] y puede generalizarse a casos de dimensiones superiores .

Notaciones para grupos de papel tapiz

Notación cristalográfica

La cristalografía tiene 230 grupos espaciales que distinguir, muchos más que los 17 grupos de papel tapiz, pero muchas de las simetrías en los grupos son las mismas. Por lo tanto, se puede usar una notación similar para ambos tipos de grupos, la de Carl Hermann y Charles-Victor Mauguin . Un ejemplo de un nombre completo de papel tapiz en el estilo Hermann-Mauguin (también llamado notación IUCr ) es p 31 m , con cuatro letras o dígitos; más común es un nombre abreviado como cmm o pg .

Para los grupos de papel tapiz, la notación completa comienza con p o c , para una celda primitiva o una celda centrada en las caras ; estas se explican más adelante. A esto le sigue un dígito, n , que indica el orden más alto de simetría rotacional: 1-fold (ninguna), 2-fold, 3-fold, 4-fold o 6-fold. Los siguientes dos símbolos indican simetrías relativas a un eje de traslación del patrón, denominado el "principal"; si hay un espejo perpendicular a un eje de traslación, ese es el principal (o si hay dos, uno de ellos). Los símbolos son m , g o 1 , para espejo, reflexión deslizante o ninguno. El eje del espejo o de la reflexión deslizante es perpendicular al eje principal para la primera letra, y paralelo o inclinado 180°/ n (cuando n  >  2) para la segunda letra. Muchos grupos incluyen otras simetrías implícitas en las dadas. La notación abreviada omite dígitos o una "m" que se puede deducir, siempre y cuando no genere confusión con otro grupo.

Una celda primitiva es una región mínima repetida por traslaciones de la red. Todos los grupos de simetría de papel tapiz, excepto dos, se describen con respecto a los ejes de la celda primitiva, una base de coordenadas que utiliza los vectores de traslación de la red. En los dos casos restantes, la descripción de la simetría se realiza con respecto a celdas centradas que son más grandes que la celda primitiva y, por lo tanto, presentan repetición interna; la dirección de sus lados es diferente de la de los vectores de traslación que abarcan una celda primitiva. La notación de Hermann-Mauguin para grupos espaciales cristalinos utiliza tipos de celda adicionales.

Ejemplos
  • p 2 ( p 2): Célula primitiva, simetría de rotación de 2 ejes, sin espejos ni reflexiones de deslizamiento.
  • p 4 gm ( p 4 gm ): Célula primitiva, rotación de 4 pliegues, reflexión de deslizamiento perpendicular al eje principal, eje de espejo a 45°.
  • c 2 mm ( c 2 mm ): Celda centrada, rotación de 2 veces, ejes de espejo perpendiculares y paralelos al eje principal.
  • p 31 m ( p 31 m ): Célula primitiva, rotación triple, eje de simetría a 60°.

Aquí están todos los nombres que difieren en notación corta y completa.

Los nombres restantes son p 1 , p 2 , p 3 , p 3 m 1 , p 31 m , p 4 , y p 6 .

Notación de orbifold

La notación de orbifold para grupos de papel tapiz, propuesta por John Conway (Conway, 1992) (Conway, 2008), no se basa en la cristalografía, sino en la topología. Se puede plegar el teselado periódico infinito del plano hasta su esencia, un orbifold , y luego describirlo con unos pocos símbolos.

  • Un dígito, n , indica un centro de rotación n -ésima que corresponde a un punto cónico en el orbifold. Según el teorema de restricción cristalográfica, n debe ser 2, 3, 4 o 6.
  • Un asterisco ( * ) indica una simetría especular correspondiente a un límite del orbifold. Interactúa con los dígitos de la siguiente manera:
    1. Los dígitos antes del * denotan centros de rotación pura ( cíclicos ).
    2. Los dígitos después de * denotan centros de rotación con espejos que los atraviesan, correspondientes a "esquinas" en el límite del orbifold ( diedro ).
  • Una cruz, × , aparece cuando hay una reflexión de deslizamiento e indica una tapa de cruz en el orbifold. Los espejos puros se combinan con la traslación de la red para producir deslizamientos, pero estos ya están contemplados, por lo que no necesitan notación.
  • The "no symmetry" symbol, o, stands alone, and indicates there are only lattice translations with no other symmetry. The orbifold with this symbol is a torus; in general the symbol o denotes a handle on the orbifold.

The group denoted in crystallographic notation by cmm will, in Conway's notation, be 2*22. The 2 before the * says there is a 2-fold rotation centre with no mirror through it. The * itself says there is a mirror. The first 2 after the * says there is a 2-fold rotation centre on a mirror. The final 2 says there is an independent second 2-fold rotation centre on a mirror, one that is not a duplicate of the first one under symmetries.

The group denoted by pgg will be 22×. There are two pure 2-fold rotation centres, and a glide reflection axis. Contrast this with pmg, Conway 22*, where crystallographic notation mentions a glide, but one that is implicit in the other symmetries of the orbifold.

Coxeter's bracket notation is also included, based on reflectional Coxeter groups, and modified with plus superscripts accounting for rotations, improper rotations and translations.

Why there are exactly seventeen groups

Un orbifold puede considerarse como un polígono con caras, aristas y vértices que puede desplegarse para formar un conjunto posiblemente infinito de polígonos que recubren la esfera , el plano o el plano hiperbólico . Al recubrir el plano, se obtiene un grupo de simetría esférica, y al recubrir la esfera o el plano hiperbólico, se obtiene un grupo de simetría esférica o hiperbólica . El tipo de espacio que recubren los polígonos se puede determinar calculando la característica de Euler , χ  = V − E + F , donde V es el número de vértices, E es el número de aristas y F es el número de caras. Si la característica de Euler es positiva, el orbifold tiene una estructura elíptica (esférica); si es cero, tiene una estructura parabólica, es decir, un grupo de simetría esférica; y si es negativa, tendrá una estructura hiperbólica. Al enumerar el conjunto completo de orbifolds posibles, se encuentra que solo 17 tienen una característica de Euler de 0.      

Cuando un orbifold se replica por simetría para llenar el plano, sus características crean una estructura de vértices, aristas y caras poligonales, que debe ser consistente con la característica de Euler. Invirtiendo el proceso, se pueden asignar números a las características del orbifold, pero fracciones en lugar de números enteros. Dado que el orbifold en sí es un cociente de la superficie completa por el grupo de simetría, la característica de Euler del orbifold es un cociente de la característica de Euler de la superficie por el orden del grupo de simetría.

La característica de Euler del orbifold es 2 menos la suma de los valores de las características, asignados de la siguiente manera:

  • Un dígito n sin o antes de un * cuenta como ⁠ n  −  1 / n ⁠ .
  • Un dígito n después de un * cuenta como ⁠ n − 1 / 2 n ⁠ .  
  • Tanto * como × cuentan como 1.
  • La "sin simetría" o cuenta como 2.

Para un grupo de papel tapiz, la suma de la característica debe ser cero; por lo tanto, la suma de la característica debe ser  2.

Ejemplos
  • 632 : 5/6 + 2/3 + 1/2 = 2​​​​​​​​​​
  • 3*3: ⁠ 2 / 3 ⁠ + 1 + ⁠ 2 / 6 ⁠ = 2
  • 4 * 2 : 3/4 + 1 + 1/4 = 2​​
  • 22 × : 1/2 + 1/2 + 1 = 2​​​

Ahora, la enumeración de todos los grupos de fondos de pantalla se convierte en una cuestión de aritmética, de enumerar todas las cadenas de características cuyos valores sumen  2.

Las cadenas de características con otras sumas no son un sinsentido; implican teselaciones no planas, que no se discuten aquí. (Cuando la característica de Euler del orbifold es negativa, la teselación es hiperbólica ; cuando es positiva, esférica o mala ).

Guía para reconocer grupos de papel tapiz

Para determinar a qué grupo de papel tapiz corresponde un diseño dado, se puede utilizar la siguiente tabla. [ 4 ]

Véase también esta descripción general con diagramas .

Los diecisiete grupos

Cada uno de los grupos de esta sección tiene dos diagramas de estructura celular, que deben interpretarse de la siguiente manera (lo importante es la forma, no el color):

En los diagramas de la derecha, las diferentes clases de equivalencia de elementos de simetría están coloreadas (y rotadas) de manera diferente.

El área marrón o amarilla indica un dominio fundamental , es decir, la parte más pequeña del patrón que se repite.

Los diagramas de la derecha muestran la celda de la red correspondiente a las traslaciones más pequeñas; los de la izquierda a veces muestran un área mayor.

Cada elemento de simetría de un grupo de papel tapiz es un elemento de un grupo puntual determinado o una combinación de dicho elemento y una traslación. Este grupo puntual se especifica en las descripciones siguientes. No necesariamente existe un punto que posea la simetría de dicho grupo puntual. Por ejemplo, el grupo pg está asociado con el grupo puntual D 1 , que incluye una reflexión, pero no existe ninguna reflexión ni ningún punto que posea simetría. El grupo pm, por otro lado, asociado con el mismo grupo puntual, sí posee líneas de reflexión.

Grupo p 1 (o)

Ejemplo y diagrama para la página 1
  • Firma de Orbifold: o
  • Notación de Coxeter (rectangular): [∞ + ,2,∞ + ] o [∞] + ×[∞] +
  • Retícula: oblicua
  • Grupo puntual: C 1
  • El grupo p 1 contiene únicamente traslaciones; no hay rotaciones, reflexiones ni reflexiones con deslizamiento.
Ejemplos del grupo p 1

Las dos traslaciones (lados de la celda) pueden tener longitudes diferentes y formar cualquier ángulo.

Grupo p 2 (2222)

Ejemplo y diagrama para la página 2
  • Firma de Orbifold: 2222
  • Notación de Coxeter (rectangular): [∞,2,∞] +
  • Retícula: oblicua
  • Grupo puntual: C 2
  • El grupo p 2 contiene cuatro centros de rotación de orden dos (180°), pero no reflexiones ni reflexiones de deslizamiento.
Ejemplos del grupo p 2

Grupo pm (**)

Ejemplo y diagrama para pm
  • Firma de Orbifold: **
  • Notación de Coxeter: [∞,2,∞ + ] o [∞ + ,2,∞]
  • Rejilla: rectangular
  • Grupo puntual: D 1
  • El grupo pm no tiene rotaciones. Tiene ejes de reflexión, y todos son paralelos.
Ejemplos de gestión de grupo

(Los cuatro primeros tienen un eje de simetría vertical, y los dos últimos tienen cada uno un eje diagonal diferente).

Grupo pg (××)

Ejemplo y diagrama para pág.
  • Firma de Orbifold: ××
  • Notación de Coxeter: [(∞,2) + ,∞ + ] o [∞ + ,(2,∞) + ]
  • Rejilla: rectangular
  • Grupo puntual: D 1
  • El grupo pg contiene únicamente reflexiones de deslizamiento, y todos sus ejes son paralelos. No hay rotaciones ni reflexiones.
Ejemplos de grupo pg

Sin los detalles dentro de las bandas en zigzag, la alfombrilla es pmg ; con los detalles pero sin la distinción entre marrón y negro, es pgg .

Ignorando los bordes ondulados de las baldosas, el pavimento es pgg .

Grupo cm (*×)

Ejemplo y diagrama para cm
  • Firma de Orbifold: *×
  • Notación de Coxeter: [∞ + ,2 + ,∞] o [∞,2 + ,∞ + ]
  • Red: rómbica
  • Grupo puntual: D 1
  • El grupo cm no contiene rotaciones. Tiene ejes de reflexión, todos paralelos. Hay al menos una reflexión de deslizamiento cuyo eje no es un eje de reflexión; se encuentra a medio camino entre dos ejes de reflexión paralelos adyacentes.
  • Este grupo se aplica a filas escalonadas simétricamente (es decir, hay un desplazamiento por fila equivalente a la mitad de la distancia de traslación dentro de las filas) de objetos idénticos, que tienen un eje de simetría perpendicular a las filas.
Ejemplos de grupos cm

Grupo pmm (*2222)

Ejemplo y diagrama para PMM
  • Firma de Orbifold: *2222
  • Notación de Coxeter (rectangular): [∞,2,∞] o [∞]×[∞]
  • Notación de Coxeter (cuadrado): [4,1 + ,4] o [1 + ,4,4,1 + ]
  • Rejilla: rectangular
  • Grupo puntual: D 2
  • El grupo pmm tiene reflexiones en dos direcciones perpendiculares y cuatro centros de rotación de orden dos (180°) ubicados en las intersecciones de los ejes de reflexión.
Ejemplos de gestión de proyectos grupales

Grupo pmg (22*)

Ejemplo y diagrama para pmg
  • Firma Orbifold: 22 *
  • Notación de Coxeter: [(∞,2) + ,∞] o [∞,(2,∞) + ]
  • Rejilla: rectangular
  • Grupo puntual: D 2
  • El grupo pmg tiene dos centros de rotación de orden dos (180°) y reflexiones en una sola dirección. Presenta reflexiones de deslizamiento cuyos ejes son perpendiculares a los ejes de reflexión. Todos los centros de rotación se encuentran sobre los ejes de reflexión de deslizamiento.
Ejemplos de grupo pmg

Grupo pgg (22×)

Ejemplo y diagrama para pgg
  • Firma Orbifold: 22 ×
  • Notación de Coxeter (rectangular): [((∞,2) + ,(∞,2) + )]
  • Notación de Coxeter (cuadrado): [4 + ,4 + ]
  • Rejilla: rectangular
  • Grupo puntual: D 2
  • El grupo pgg contiene dos centros de rotación de orden dos (180°) y reflexiones de deslizamiento en dos direcciones perpendiculares. Los centros de rotación no se encuentran sobre los ejes de reflexión de deslizamiento. No hay reflexiones.
Ejemplos de grupo pgg

Grupo cmm (2*22)

Ejemplo y diagrama para CMM
  • Firma Orbifold: 2 *22
  • Notación de Coxeter (rómbica): [∞,2 + ,∞]
  • Notación de Coxeter (cuadrado): [(4,4,2 + )]
  • Red: rómbica
  • Grupo puntual: D 2
  • El grupo cmm tiene reflexiones en dos direcciones perpendiculares y una rotación de segundo orden (180°) cuyo centro no se encuentra sobre un eje de reflexión. También tiene dos rotaciones cuyos centros sí se encuentran sobre un eje de reflexión.
  • Este grupo se observa con frecuencia en la vida cotidiana, ya que la disposición más común de ladrillos en un edificio ( aparejo corrido ) utiliza este grupo (véase el ejemplo a continuación).

La simetría rotacional de orden 2, con centros de rotación en los centros de los lados del rombo, es consecuencia de las demás propiedades.

El patrón corresponde a cada uno de los siguientes:

  • filas escalonadas simétricamente de objetos doblemente simétricos idénticos
  • un patrón de tablero de ajedrez de dos baldosas rectangulares alternadas, cada una de las cuales, por sí misma, es doblemente simétrica.
  • un patrón de tablero de ajedrez formado alternativamente por una baldosa rectangular con simetría rotacional de 2 pliegues y su imagen especular.
Ejemplos de cmm de grupo

Grupo p 4 (442)

Ejemplo y diagrama para la página 4
Estructura celular para p 4
  • Firma de Orbifold: 442
  • Notación de Coxeter: [4,4] +
  • Rejilla: cuadrada
  • Grupo puntual: C 4
  • El grupo p 4 tiene dos centros de rotación de orden cuatro (90°) y un centro de rotación de orden dos (180°). No tiene reflexiones ni reflexiones de deslizamiento.
Ejemplos del grupo p 4

Un patrón p 4 puede considerarse como una repetición en filas y columnas de baldosas cuadradas iguales con simetría rotacional cuádruple. También puede considerarse como un patrón de tablero de ajedrez formado por dos de estas baldosas, un factor √ 2 más pequeñas y rotadas 45°.

Grupo p 4 m (*442)

Ejemplo y diagrama para p 4 m
Estructura celular para p 4 m
  • Firma de Orbifold: *442
  • Notación de Coxeter: [4,4]
  • Rejilla: cuadrada
  • Grupo puntual: D 4
  • El grupo p 4 m tiene dos centros de rotación de orden cuatro (90°) y reflexiones en cuatro direcciones distintas (horizontal, vertical y diagonales). Además, presenta reflexiones de deslizamiento cuyos ejes no coinciden con los ejes de reflexión; las rotaciones de orden dos (180°) se centran en la intersección de los ejes de reflexión de deslizamiento. Todos los centros de rotación se encuentran sobre ejes de reflexión.

Esto corresponde a una cuadrícula sencilla de filas y columnas de cuadrados iguales con los cuatro ejes de reflexión. También corresponde a un patrón de tablero de ajedrez formado por dos de dichos cuadrados.

Ejemplos del grupo p 4 m

Ejemplos mostrados con las traslaciones horizontales y verticales más pequeñas (como en el diagrama):

Ejemplos mostrados con la diagonal de traslaciones más pequeña:

Grupo p 4 g (4*2)

Ejemplo y diagrama para p 4 g
Estructura celular para p 4 g
  • Firma Orbifold: 4 *2
  • Notación de Coxeter: [4 + ,4]
  • Rejilla: cuadrada
  • Grupo puntual: D 4
  • El grupo p 4 g tiene dos centros de rotación de orden cuatro (90°), que son imágenes especulares entre sí, pero presenta reflexiones en solo dos direcciones, perpendiculares entre sí. Existen rotaciones de orden dos (180°) cuyos centros se ubican en las intersecciones de los ejes de reflexión. Presenta ejes de reflexión deslizante paralelos a los ejes de reflexión, entre ellos, y también formando un ángulo de 45° con estos.

Un patrón p 4 g puede considerarse como un tablero de ajedrez formado por copias de una baldosa cuadrada con simetría rotacional cuádruple y su imagen especular. Alternativamente, puede considerarse (desplazando media baldosa) como un tablero de ajedrez formado por copias de una baldosa con simetría horizontal y vertical y su versión rotada 90°. Cabe destacar que ninguna de estas descripciones se aplica a un tablero de ajedrez simple de baldosas blancas y negras; este corresponde al grupo p 4 m (con celdas de traslación diagonal).

Ejemplos del grupo p 4 g

Grupo p 3 (333)

Ejemplo y diagrama para la página 3
Estructura celular para p 3
  • Firma de Orbifold: 333
  • Notación de Coxeter: [(3,3,3)] + o [3 [3] ] +
  • Red: hexagonal
  • Grupo puntual: C 3
  • El grupo p 3 tiene tres centros de rotación diferentes de orden tres (120°), pero no tiene reflexiones ni reflexiones de deslizamiento.

Imagina una teselación del plano con triángulos equiláteros de igual tamaño, con los lados correspondientes a las traslaciones más pequeñas. Entonces, la mitad de los triángulos están en una orientación y la otra mitad invertida. Este grupo de papel tapiz corresponde al caso en que todos los triángulos de la misma orientación son iguales, mientras que ambos tipos tienen simetría rotacional de orden tres, pero los dos no son iguales, no son imágenes especulares entre sí, y no son ambos simétricos (si los dos son iguales es p 6 , si son imágenes especulares entre sí es p 31 m , si ambos son simétricos es p 3 m 1 ; si se cumplen dos de las tres, entonces también se cumple la tercera, y es p 6 m ). Para una imagen dada, son posibles tres de estas teselaciones, cada una con centros de rotación como vértices, es decir, para cualquier teselación son posibles dos desplazamientos. En términos de la imagen: los vértices pueden ser los triángulos rojos, azules o verdes.

De forma equivalente, imaginemos una teselación del plano con hexágonos regulares, con lados iguales a la distancia de traslación más pequeña dividida por √3 . Entonces , este grupo de papel tapiz corresponde al caso en que todos los hexágonos son iguales (y en la misma orientación) y tienen simetría rotacional de orden tres, mientras que no tienen simetría de imagen especular (si tienen simetría rotacional de orden seis es p6 , si son simétricos con respecto a las diagonales principales es p31m , si son simétricos con respecto a las líneas perpendiculares a los lados es p3m1 ; si se cumplen dos de las tres , entonces también se cumple la tercera, es p6m ) . Para una imagen dada, son posibles tres de estas teselaciones, cada una con un tercio de los centros de rotación como centros de los hexágonos. En términos de la imagen: los centros de los hexágonos pueden ser los triángulos rojos, azules o verdes.

Ejemplos del grupo p 3

Grupo p 3 m 1 (*333)

Ejemplo y diagrama para p 3 m 1
Estructura celular para p 3 m 1
  • Firma de Orbifold: *333
  • Notación de Coxeter: [(3,3,3)] o [3 [3] ]
  • Red: hexagonal
  • Grupo puntual: D 3
  • El grupo p 3 m 1 tiene tres centros de rotación distintos de orden tres (120°). Presenta reflexiones en los tres lados de un triángulo equilátero. El centro de cada rotación se sitúa sobre un eje de reflexión. Existen reflexiones de deslizamiento adicionales en tres direcciones distintas, cuyos ejes se encuentran a medio camino entre ejes de reflexión paralelos adyacentes.

Como en el ejemplo p 3 , imaginemos una teselación del plano con triángulos equiláteros de igual tamaño, cuyos lados corresponden a las traslaciones más pequeñas. La mitad de los triángulos tienen una orientación y la otra mitad están invertidos. Este grupo de fondos de pantalla corresponde al caso en que todos los triángulos de la misma orientación son iguales, mientras que ambos tipos tienen simetría rotacional de orden tres y son simétricos, pero no son iguales ni imágenes especulares entre sí. Para una imagen dada, son posibles tres de estas teselaciones, cada una con centros de rotación como vértices. En términos de la imagen: los vértices pueden ser los triángulos rojos, azules o verdes.

Ejemplos del grupo p 3 m 1

Grupo p 31 m (3*3)

Ejemplo y diagrama para p 31 m
Estructura celular para p 31 m
  • Orbifold signature: 3*3
  • Coxeter notation: [6,3+]
  • Lattice: hexagonal
  • Point group: D3
  • The group p31m has three different rotation centres of order three (120°), of which two are each other's mirror image. It has reflections in three distinct directions. It has at least one rotation whose centre does not lie on a reflection axis. There are additional glide reflections in three distinct directions, whose axes are located halfway between adjacent parallel reflection axes.

Like for p3 and p3m1, imagine a tessellation of the plane with equilateral triangles of equal size, with the sides corresponding to the smallest translations. Then half of the triangles are in one orientation, and the other half upside down. This wallpaper group corresponds to the case that all triangles of the same orientation are equal, while both types have rotational symmetry of order three and are each other's mirror image, but not symmetric themselves, and not equal. For a given image, only one such tessellation is possible. In terms of the image: the vertices must be the red triangles, not the blue triangles.

Examples of group p31m

Group p6 (632)

Example and diagram for p6
Cell structure for p6
  • Orbifold signature: 632
  • Coxeter notation: [6,3]+
  • Lattice: hexagonal
  • Point group: C6
  • The group p6 has one rotation centre of order six (60°); two rotation centres of order three (120°), which are each other's images under a rotation of 60°; and three rotation centres of order two (180°) which are also each other's images under a rotation of 60°. It has no reflections or glide reflections.

A pattern with this symmetry can be looked upon as a tessellation of the plane with equal triangular tiles with C3 symmetry, or equivalently, a tessellation of the plane with equal hexagonal tiles with C6 symmetry (with the edges of the tiles not necessarily part of the pattern).

Examples of group p6

Grupo p 6 m (*632)

Ejemplo y diagrama para p 6 m
Estructura celular para p 6 m
  • Firma de Orbifold: *632
  • Notación de Coxeter: [6,3]
  • Red: hexagonal
  • Grupo puntual: D 6
  • El grupo p 6 m tiene un centro de rotación de orden seis (60°); dos centros de rotación de orden tres, que difieren únicamente en una rotación de 60° (o, equivalentemente, 180°), y tres de orden dos, que difieren únicamente en una rotación de 60°. Además, presenta reflexiones en seis direcciones distintas. Existen reflexiones de deslizamiento adicionales en seis direcciones distintas, cuyos ejes se ubican a medio camino entre ejes de reflexión paralelos adyacentes.

Un patrón con esta simetría puede considerarse como una teselación del plano con teselas triangulares iguales con simetría D3 , o , equivalentemente, una teselación del plano con teselas hexagonales iguales con simetría D6 ( donde los bordes de las teselas no necesariamente forman parte del patrón). Así, los ejemplos más sencillos son una red triangular con o sin líneas de conexión, y un teselado hexagonal con un color para delinear los hexágonos y otro para el fondo.

Ejemplos del grupo p 6 m

Tipos de retícula

Existen cinco tipos de retículos o retículos de Bravais , que corresponden a los cinco grupos de papel tapiz posibles del propio retículo. El grupo de papel tapiz de un patrón con este retículo de simetría traslacional no puede tener más simetría, pero sí puede tener menos que el retículo mismo.

  • En los 5 casos de simetría rotacional de orden 3 o 6, la celda unitaria consta de dos triángulos equiláteros (red hexagonal, p 6 m ). Forman un rombo con ángulos de 60° y 120°.
  • In the 3 cases of rotational symmetry of order 4, the cell is a square (square lattice, itself p4m).
  • In the 5 cases of reflection or glide reflection, but not both, the cell is a rectangle (rectangular lattice, itself pmm). It may also be interpreted as a centered rhombic lattice. Special cases: square.
  • In the 2 cases of reflection combined with glide reflection, the cell is a rhombus (rhombic lattice, itself cmm). It may also be interpreted as a centered rectangular lattice. Special cases: square, hexagonal unit cell.
  • In the case of only rotational symmetry of order 2, and the case of no other symmetry than translational, the cell is in general a parallelogram (parallelogrammatic or oblique lattice, itself p2). Special cases: rectangle, square, rhombus, hexagonal unit cell.

Symmetry groups

The actual symmetry group should be distinguished from the wallpaper group. Wallpaper groups are collections of symmetry groups. There are 17 of these collections, but for each collection there are infinitely many symmetry groups, in the sense of actual groups of isometries. These depend, apart from the wallpaper group, on a number of parameters for the translation vectors, the orientation and position of the reflection axes and rotation centers.

The numbers of degrees of freedom are:

  • 6 for p2
  • 5 for pmm, pmg, pgg, and cmm
  • 4 for the rest.

However, within each wallpaper group, all symmetry groups are algebraically isomorphic.

Some symmetry group isomorphisms:

  • p1: Z2
  • pm: Z × D∞
  • pmm: D∞ × D∞.

Dependence of wallpaper groups on transformations

  • The wallpaper group of a pattern is invariant under isometries and uniform scaling (similarity transformations).
  • Translational symmetry is preserved under arbitrary bijective affine transformations.
  • Rotational symmetry of order two ditto; this means also that 4- and 6-fold rotation centres at least keep 2-fold rotational symmetry.
  • Reflection in a line and glide reflection are preserved on expansion/contraction along, or perpendicular to, the axis of reflection and glide reflection. It changes p6m, p4g, and p3m1 into cmm, p3m1 into cm, and p4m, depending on direction of expansion/contraction, into pmm or cmm. A pattern of symmetrically staggered rows of points is special in that it can convert by expansion/contraction from p6m to p4m.

Note that when a transformation decreases symmetry, a transformation of the same kind (the inverse) obviously for some patterns increases the symmetry. Such a special property of a pattern (e.g. expansion in one direction produces a pattern with 4-fold symmetry) is not counted as a form of extra symmetry.

Change of colors does not affect the wallpaper group if any two points that have the same color before the change, also have the same color after the change, and any two points that have different colors before the change, also have different colors after the change.

If the former applies, but not the latter, such as when converting a color image to one in black and white, then symmetries are preserved, but they may increase, so that the wallpaper group can change.

Web demo and software

Several software graphic tools will let you create 2D patterns using wallpaper symmetry groups. Usually you can edit the original tile and its copies in the entire pattern are updated automatically.

  • MadPattern, a free set of Adobe Illustrator templates that support the 17 wallpaper groups
  • Tess, a shareware tessellation program for multiple platforms, supports all wallpaper, frieze, and rosette groups, as well as Heesch tilings.
  • Wallpaper Symmetry is a free online JavaScript drawing tool supporting the 17 groups. The main page has an explanation of the wallpaper groups, as well as drawing tools and explanations for the other planar symmetry groups as well.
  • TALES GAME, a free software designed for educational purposes which includes the tessellation function.
  • KaliArchived 2018-12-16 at the Wayback Machine, online graphical symmetry editor Java applet (not supported by default in browsers).
  • KaliArchived 2020-11-21 at the Wayback Machine, free downloadable Kali for Windows and Mac Classic.
  • Inkscape, a freevector graphics editor, supports all 17 groups plus arbitrary scales, shifts, rotates, and color changes per row or per column, optionally randomized to a given degree. (See )
  • SymmetryWorks is a commercial plugin for Adobe Illustrator, supports all 17 groups.
  • EscherSketch is a free online JavaScript drawing tool supporting the 17 groups.
  • Repper is a commercial online drawing tool supporting the 17 groups plus a number of non-periodic tilings

See also

Notes

  1. ↑E. Fedorov (1891) "Симметрія на плоскости" (Simmetrija na ploskosti, Symmetry in the plane), Записки Императорского С.-Петербургского минералогического общества (Zapiski Imperatorskogo Sant-Petersburgskogo Mineralogicheskogo Obshchestva, Proceedings of the Imperial St. Petersburg Mineralogical Society), series 2, 28 : 345–390 (in Russian).
  2. ↑Pólya, George (November 1924). "Über die Analogie der Kristallsymmetrie in der Ebene" [On the analog of crystal symmetry in the plane]. Zeitschrift für Kristallographie (in German). 60 (1–6): 278–282. doi:10.1524/zkri.1924.60.1.278. S2CID 102174323.
  3. ↑Klarreich, Erica (5 March 2013). "How to Make Impossible Wallpaper". Quanta Magazine. Retrieved 2021-04-07.
  4. ↑Radaelli, Paulo G. Symmetry in Crystallography. Oxford University Press.
  5. ↑If one thinks of the squares as the background, then one can see a simple patterns of rows of rhombuses.

References

  • The Grammar of Ornament (1856), by Owen Jones. Many of the images in this article are from this book; it contains many more.
  • John H. Conway (1992). "The Orbifold Notation for Surface Groups". In: M. W. Liebeck and J. Saxl (eds.), Groups, Combinatorics and Geometry, Proceedings of the L.M.S. Durham Symposium, July 5–15, Durham, UK, 1990; London Math. Soc. Lecture Notes Series 165. Cambridge University Press, Cambridge. pp. 438–447
  • John H. Conway , Heidi Burgiel y Chaim Goodman-Strauss (2008): Las simetrías de las cosas . Worcester, MA: AK Peters. ISBN 1-56881-220-5.
  • Branko Grünbaum y GC Shephard (1987): Azulejos y patrones . Nueva York: Freeman. ISBN 0-7167-1193-1.
  • Diseño de patrones, Lewis F. Day
  • Tablas internacionales de cristalografía, volumen A: Simetría del grupo espacial, por la Unión Internacional de Cristalografía.
  • Los 17 grupos de simetría plana. Archivado el 20 de noviembre de 2018 en Wayback Machine por David E. Joyce.
  • Introducción a los diseños de papel pintado por Chaim Goodman-Strauss y Heidi Burgiel
  • Descripción de Silvio Levy
  • Ejemplo de disposición de los mosaicos para cada grupo, con demostraciones dinámicas de las propiedades.
  • Descripción general con ejemplos de disposición de los mosaicos para cada grupo, por Brian Sanderson.
  • Escher Web Sketch, un applet de Java con herramientas interactivas para dibujar en los 17 grupos de simetría plana.
  • Burak, un applet de Java para dibujar grupos de simetría. Archivado el 18 de febrero de 2009 en la Wayback Machine.
  • Una aplicación JavaScript para dibujar patrones de fondo de pantalla.
  • Diseño circular en mosaicos romanos en Grecia.
  • Diecisiete tipos de diseños de papel tapiz archivados el 12/10/2017 en Wayback Machine: las 17 simetrías que se encuentran en los diseños tradicionales japoneses.
  • Baloglou, George (2002). "Una clasificación elemental, puramente geométrica, de los 17 grupos cristalográficos planares (patrones de papel tapiz)" . Archivado del original el 7 de agosto de 2018. Recuperado el 22 de julio de 2018 .