ecuación de Wannier

La ecuación de Wannier describe un problema de valores propios de la mecánica cuántica en sólidos donde un electrón en una banda de conducción y una vacante electrónica (es decir, un hueco) dentro de una banda de valencia se atraen mutuamente a través de la interacción de Coulomb . Para un electrón y un hueco, este problema es análogo a la ecuación de Schrödinger del átomo de hidrógeno ; y las soluciones de estado ligado se llaman excitones . Cuando el radio de un excitón se extiende sobre varias celdas unitarias , se le denomina excitón de Wannier en contraste con los excitones de Frenkel cuyo tamaño es comparable con la celda unitaria. Un sólido excitado generalmente contiene muchos electrones y huecos; esto modifica considerablemente la ecuación de Wannier. La ecuación de Wannier generalizada resultante se puede determinar a partir de la parte homogénea de las ecuaciones de Bloch de semiconductores o las ecuaciones de luminiscencia de semiconductores .

La ecuación recibe su nombre en honor a Gregory Wannier .

Dado que un electrón y un hueco tienen cargas opuestas , su interacción de Coulomb mutua es atractiva. La ecuación de Schrödinger correspondiente , en coordenadas relativas, es${\displaystyle \mathbf {r} }$, tiene la misma forma que el átomo de hidrógeno:

${\displaystyle -\left[{\frac {\hbar ^{2}\nabla ^{2}}{2\mu }}+V(\mathbf {r} )\right]\phi _{\lambda }(\mathbf {r} )=E_{\lambda }\phi _{\lambda }(\mathbf {r} )\,,}$

con el potencial dado por

${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _ {r}\varepsilon _ {0}|\mathbf {r} |}}\,.}$

Aquí,${\displaystyle \hbar }$es la constante de Planck reducida ,${\displaystyle \nabla }$es el operador nabla,${\displaystyle \mu }$es la masa reducida ,${\displaystyle -|e|}$(${\displaystyle +|e|}$) es la carga elemental relacionada con un electrón (hueco),${\displaystyle \varepsilon _{r}}$es la permitividad relativa y${\displaystyle \varepsilon _{0}}$es la permitividad del vacío . Las soluciones del átomo de hidrógeno se describen mediante autofunción.${\displaystyle \phi _{\lambda }(\mathbf {r} )}$y energía propia${\displaystyle E_{\lambda }}$dónde${\displaystyle \lambda }$es un número cuántico que etiqueta los diferentes estados.

En un sólido, la escala de${\displaystyle E_{\lambda }}$y el tamaño de la función de onda son órdenes de magnitud diferentes al problema del hidrógeno debido a la permitividad relativa${\displaystyle \varepsilon _{r}}$es aproximadamente diez y la masa reducida en un sólido es mucho menor que la masa en reposo del electrón.${\displaystyle m_{e}}$, es decir,${\displaystyle \mu \ll m_{e}}$Como resultado, el radio del excitón puede ser grande mientras que la energía de enlace del excitón es pequeña, típicamente de unos pocos a cientos de meV , dependiendo del material, en comparación con eV para el problema del hidrógeno. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

La versión transformada de Fourier del hamiltoniano presentado se puede escribir como

${\displaystyle E_{\mathbf {k} }\phi _{\lambda }(\mathbf {k} )-\sum _{\mathbf {k'} }V_{\mathbf {k} -\mathbf {k'} }\phi _{\lambda }(\mathbf {k'} )=E_{\lambda }\phi _{\lambda }(\mathbf {k} )\,,}$

dónde${\displaystyle \mathbf {k} }$es el vector de onda electrónico ,${\ Displaystyle E _ {\ mathbf {k}}}$es la energía cinética y${\displaystyle V_{\mathbf {k} }}$,${\displaystyle \phi _{\lambda }(\mathbf {k} )}$son las transformadas de Fourier de${\displaystyle V(\mathbf {r} )}$,${\displaystyle \phi _{\lambda }(\mathbf {r} )}$, respectivamente. Las sumas de Coulomb se derivan del teorema de convolución y del teorema de Coulomb.${\displaystyle \mathbf {k} }$La representación es útil al introducir la ecuación generalizada de Wannier.

La ecuación de Wannier se puede generalizar incluyendo la presencia de muchos electrones y huecos en el sistema excitado. Se puede partir de la teoría general de las excitaciones ópticas o la emisión de luz en semiconductores , que se pueden describir sistemáticamente utilizando las ecuaciones de Bloch para semiconductores (SBE) o las ecuaciones de luminiscencia para semiconductores (SLE), respectivamente. ^{[ 1 ] [ 3 ] [ 4 ]} Las partes homogéneas de estas ecuaciones producen la ecuación de Wannier en el límite de baja densidad. Por lo tanto, las partes homogéneas de las SBE y las SLE proporcionan una forma físicamente significativa de identificar excitones en niveles de excitación arbitrarios. La ecuación de Wannier generalizada resultante es

${\displaystyle {\tilde {\epsilon }}_{\mathbf {k} }\phi _{\lambda }^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} )-\sum _{\mathbf {k'} }V_{\mathbf {k} -\mathbf {k'} }^{\mathrm {eff} }\phi _{\lambda }^{\mathrm {R} }(\mathbf {k'} )=\epsilon _{\lambda }\phi _{\lambda }^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} )\,,}$

donde la energía cinética se renormaliza

${\displaystyle {\tilde {\epsilon }}_{\mathbf {k} }=E_{\mathbf {k} }-\sum _{\mathbf {k} '}V_{{\mathbf {k} }'-{\mathbf {k} }}\left(f_{\mathbf {k} '}^{e}+f_{\mathbf {k} '}^{h}\right)\,,}$

por las ocupaciones de electrones y huecos${\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{e}}$y${\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{h}}$, respectivamente. Estos también modifican la interacción de Coulomb en

${\displaystyle V_{\mathbf {k} -\mathbf {k'} }^{\mathrm {eff} }\equiv (1-f_{\mathbf {k} }^{\mathrm {e} }-f_{\mathbf {k} }^{\mathrm {h} })V_{\mathbf {k} -\mathbf {k'} }\,,}$

dónde${\displaystyle (1-f_{\mathbf {k} }^{\mathrm {e} }-f_{\mathbf {k} }^{\mathrm {h} })}$debilita la interacción de Coulomb a través del llamado factor de llenado del espacio de fases que proviene del principio de exclusión de Pauli que impide las excitaciones múltiples de fermiones. Debido al factor de llenado del espacio de fases, la atracción de Coulomb se vuelve repulsiva para los niveles de excitación.${\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{\mathrm {e} }+f_{\mathbf {k} }^{\mathrm {h} }>1}$En este régimen, la ecuación generalizada de Wannier produce únicamente soluciones no ligadas que se derivan de la transición de Mott excitónica de pares electrón-hueco ligados a ionizados .

Una vez que existen densidades de electrones y huecos, la ecuación de Wannier generalizada deja de ser hermitiana . Como resultado, el problema de valores propios presenta autoestados tanto levógiros como dextrógiros.${\displaystyle \phi _{\lambda }^{\mathrm {L} }(\mathbf {k} )}$ y${\displaystyle \phi _{\lambda }^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} )}$, respectivamente. Están conectados a través del factor de llenado del espacio de fases, es decir${\displaystyle \phi _{\lambda }^{\mathrm {L} }(\mathbf {k} )=\phi _{\lambda }^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} )/(1-f_{\mathbf {k} }^{\mathrm {e} }-f_{\mathbf {k} }^{\mathrm {h} })}$Los autoestados levógiros y dextrógiros tienen el mismo valor propio.${\displaystyle E_{\lambda }}$(que es de valor real para la forma mostrada) y forman un conjunto completo de soluciones ortogonales ya que

${\displaystyle \sum _{\mathbf {k} }\left[\phi _{\lambda }^{L}(\mathbf {k} )\right]^{\star }\,\phi _{\nu }^{R}(\mathbf {k} )=\sum _{\mathbf {k} }\left[\phi _{\lambda }^{R}(\mathbf {k} )\right]^{\star }\,\phi _{\nu }^{L}(\mathbf {k} )=\delta _{\lambda ,\nu }}$.

Las ecuaciones de Wannier también pueden generalizarse para incluir efectos de dispersión y apantallamiento que aparecen debido a correlaciones de dos partículas dentro de la SBE. Esta extensión también produce autoestados levógiros y dextrógiros, pero su conexión es más complicada ^{[ 4 ]} que la presentada anteriormente. Además,${\displaystyle E_{\lambda }}$se vuelve complejo valorado y la parte imaginaria de${\displaystyle E_{\lambda }}$define la vida útil de la resonancia${\displaystyle \lambda }$.

Físicamente, la ecuación generalizada de Wannier describe cómo la presencia de otros pares electrón-hueco modifica la unión de un par efectivo. Como consecuencia principal, una excitación tiende a debilitar la interacción de Coulomb y a renormalizar las energías de partícula única en su forma más simple. Al incluir también los efectos de correlación, se observa además el apantallamiento de la interacción de Coulomb, la decoherencia inducida por la excitación y los desplazamientos de energía inducidos por la excitación. Todos estos aspectos son importantes al explicar en detalle los experimentos con semiconductores.

Debido a la analogía con el problema del hidrógeno, los autoestados de densidad cero se conocen analíticamente para cualquier semiconductor masivo cuando se estudian excitaciones cercanas al fondo de las bandas electrónicas . ^{[ 5 ]} En materiales nanoestructurados ^{[ 6 ]} , como pozos cuánticos , nanocables cuánticos y puntos cuánticos , el elemento de matriz de Coulomb${\displaystyle V_{\mathbf {k} }}$Se desvía notablemente de los sistemas ideales bidimensionales y tridimensionales debido al confinamiento cuántico finito de los estados electrónicos. Por lo tanto, no es posible resolver analíticamente la ecuación de Wannier de densidad cero para estas situaciones, sino que se requiere recurrir a métodos numéricos de cálculo de valores propios. En general, solo son posibles soluciones numéricas para todos los casos de semiconductores cuando se resuelven estados excitónicos dentro de la materia excitada. Se muestran más ejemplos en el contexto de la fórmula de Elliott .

• Excitones
• Ecuaciones de Bloch para semiconductores
• Ecuaciones de luminiscencia de semiconductores
• Fórmula de Elliott
• Valores propios y vectores propios
• Pozo cuántico
• Cable cuántico
• Punto cuántico