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paquete de ondas

Animación en bucle de un paquete de ondas que se propaga sin dispersión: la envolvente se mantiene incluso cuando cambian las fases. En física , un paquete de ondas (también con...

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Animación en bucle de un paquete de ondas que se propaga sin dispersión: la envolvente se mantiene incluso cuando cambian las fases.

En física , un paquete de ondas (también conocido como tren de ondas o grupo de ondas ) es una breve ráfaga de acción ondulatoria localizada que viaja como una unidad, delimitada por una envolvente . Un paquete de ondas puede analizarse o sintetizarse a partir de un conjunto potencialmente infinito de ondas sinusoidales componentes de diferentes números de onda , con fases y amplitudes tales que interfieren constructivamente solo en una pequeña región del espacio y destructivamente en otros lugares. [ 1 ] Cualquier señal de ancho limitado en el tiempo o el espacio requiere muchos componentes de frecuencia alrededor de una frecuencia central dentro de un ancho de banda inversamente proporcional a ese ancho; incluso una función gaussiana se considera un paquete de ondas porque su transformada de Fourier es un "paquete" de ondas de frecuencias agrupadas alrededor de una frecuencia central. [ 2 ] Cada función de onda componente , y por lo tanto el paquete de ondas, son soluciones de una ecuación de onda . Dependiendo de la ecuación de onda, el perfil del paquete de ondas puede permanecer constante (sin dispersión ) o puede cambiar ( dispersión ) mientras se propaga.

Antecedentes históricos

Las ideas relacionadas con los paquetes de ondas —modulación , ondas portadoras , velocidad de fase y velocidad de grupo— datan de mediados del siglo XIX. La idea de una velocidad de grupo distinta de la velocidad de fase de una onda fue propuesta por primera vez por W. R. Hamilton en 1839, y el primer tratamiento completo fue realizado por Rayleigh en su "Teoría del sonido" en 1877. [ 3 ]

Erwin Schrödinger introdujo la idea de los paquetes de ondas justo después de publicar su famosa ecuación de ondas . [ 4 ] Resolvió su ecuación de ondas para un oscilador armónico cuántico , introdujo el principio de superposición y lo utilizó para demostrar que un estado compacto podía persistir. Si bien este trabajo dio como resultado el importante concepto de estados coherentes , el concepto de paquete de ondas no perduró. Un año después del artículo de Schrödinger, Werner Heisenberg publicó su artículo sobre el principio de incertidumbre , demostrando en el proceso que los resultados de Schrödinger solo se aplicaban a los osciladores armónicos cuánticos , y no, por ejemplo, al potencial de Coulomb característico de los átomos. [ 4 ] : ​​829

Al año siguiente, en 1927, Charles Galton Darwin exploró la ecuación de Schrödinger para un electrón no ligado en el espacio libre, asumiendo un paquete de ondas gaussiano inicial . [ 5 ] Darwin demostró que en el tiempot{\displaystyle t}más tarde la posiciónincógnita{\displaystyle x}del paquete que viaja a velocidadv{\displaystyle v}sería

incógnita0+vt±σ2+(ht/2πσmetro)2{\displaystyle x_{0}+vt\pm {\sqrt {\sigma ^{2}+(ht/2\pi \sigma m)^{2}}}}

dóndeσ{\displaystyle \sigma }es la incertidumbre en la posición inicial.

Más tarde, en 1927, Paul Ehrenfest demostró que el tiempo,T{\displaystyle T}para un paquete de ondas de materia de anchoΔincógnita{\displaystyle \Delta x}y masametro{\displaystyle m}para propagarse por un factor de 2 fueT≈metroΔincógnita2/ℏ{\textstyle T\approx m{\Delta x}^{2}/\hbar }. Desdeℏ{\displaystyle \hbar }es tan pequeño que los paquetes de ondas a escala de objetos macroscópicos, con gran anchura y masa, se duplican solo en escalas de tiempo cósmicas . [ 6 ] : 49

Importancia en mecánica cuántica

La mecánica cuántica describe la naturaleza de los sistemas atómicos y subatómicos mediante la ecuación de onda de Schrödinger . El límite clásico de la mecánica cuántica y muchas formulaciones de la dispersión cuántica utilizan paquetes de ondas formados a partir de diversas soluciones de esta ecuación. Los perfiles de los paquetes de ondas cuánticas cambian durante su propagación; muestran dispersión. Los físicos han concluido que "los paquetes de ondas no serían adecuados como representaciones de partículas subatómicas". [ 4 ] : 829

Paquetes de ondas y el límite clásico

Schrödinger desarrolló paquetes de ondas con la esperanza de interpretar las soluciones de ondas cuánticas como grupos de ondas localmente compactos. [ 4 ] Dichos paquetes sacrifican la localización de la posición a cambio de la dispersión del momento. En la representación de coordenadas de la onda (como el sistema de coordenadas cartesianas ), la posición de la probabilidad localizada de la partícula viene determinada por la posición de la solución del paquete. Cuanto más estrecho sea el paquete de ondas espacial, y por lo tanto, mejor localizada esté su posición, mayor será la dispersión del momento de la onda. Este equilibrio entre la dispersión de la posición y la dispersión del momento es una característica del principio de incertidumbre de Heisenberg.

Un tipo de compromiso óptimo minimiza el producto de la incertidumbre de la posición.Δincógnita{\displaystyle \Delta x}y la incertidumbre del impulsoΔpagincógnita{\displaystyle \Delta p_{x}}[ 7 ] : 60 Si colocamos dicho paquete en reposo, permanece en reposo: el valor promedio de la posición y el momento coinciden con los de una partícula clásica. Sin embargo, se dispersa en todas direcciones con una velocidad dada por la incertidumbre del momento óptimo .Δpagincógnita{\displaystyle \Delta p_{x}}La propagación es tan rápida que, a la distancia de una vuelta completa alrededor de un átomo, el paquete de ondas resulta irreconocible.

Paquetes de ondas y dispersión cuántica

Las interacciones de partículas se denominan dispersión en física; el concepto de paquete de ondas desempeña un papel importante en los enfoques de dispersión cuántica . Una fuente monocromática (de un solo momento) produce dificultades de convergencia en los modelos de dispersión. [ 8 ] : 150 Los problemas de dispersión también tienen límites clásicos. Siempre que el objetivo de dispersión (por ejemplo, un átomo) tenga un tamaño mucho menor que el paquete de ondas, el centro del paquete de ondas sigue trayectorias clásicas de dispersión. En otros casos, el paquete de ondas se distorsiona y se dispersa al interactuar con el objetivo. [ 9 ] : 295

comportamientos básicos

No dispersivo

Un paquete de ondas sin dispersión (parte real o imaginaria)

Sin dispersión, el paquete de ondas mantiene su forma a medida que se propaga. Como ejemplo de propagación sin dispersión , consideremos las soluciones de onda de la siguiente ecuación de onda de la física clásica.∂2tú∂t2=do2∇2tú,{\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c^{2}\,\nabla ^{2}u,}

donde c es la velocidad de propagación de la onda en un medio dado.

Utilizando la convención de tiempo de la física, e − iωt , la ecuación de onda tiene soluciones de onda plana.tú(incógnita,t)=mii(k⋅incógnita−ω(k)t),{\displaystyle u(\mathbf {x} ,t)=e^{i{(\mathbf {k\cdot x} }-\omega (\mathbf {k} )t)},}

donde la relación entre la frecuencia angular ω y el vector de onda angular k viene dada por la relación de dispersión : ω(k)=±|k|do=±2πdoλ,{\displaystyle \omega (\mathbf {k} )=\pm |\mathbf {k} |c=\pm {\frac {2\pi c}{\lambda }},} de tal manera queω2/|k|2=do2{\displaystyle \omega ^{2}/|\mathbf {k} |^{2}=c^{2}}Esta relación debe ser válida para que la onda plana sea una solución de la ecuación de onda. Como la relación es lineal , se dice que la ecuación de onda no es dispersiva .

Para simplificar, consideremos la ecuación de onda unidimensional con ω(k) = ±kc . Entonces, la solución general es tú(incógnita,t)=Amiik(incógnita−dot)+Bmiik(incógnita+dot),{\displaystyle u(x,t)=Ae^{ik(x-ct)}+Be^{ik(x+ct)},} donde el primer y el segundo término representan una onda que se propaga en la dirección x positiva y negativa respectivamente .

Un paquete de ondas es una perturbación localizada que resulta de la suma de muchas formas de onda diferentes . Si el paquete está fuertemente localizado, se necesitan más frecuencias para permitir la superposición constructiva en la región de localización y la superposición destructiva fuera de la región. [ 10 ] A partir de las soluciones básicas de ondas planas unidimensionales, una forma general de un paquete de ondas se puede expresar como tú(incógnita,t)=12π∫−∞∞A(k) mii(kincógnita−ω(k)t)dk.{\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\,\infty }A(k)~e^{i(kx-\omega (k)t)}\,dk.} donde la amplitud A ( k ) , que contiene los coeficientes de la superposición de ondas , se obtiene al tomar la transformada inversa de Fourier de una onda inicial " suficientemente agradable " u ( x , t ) evaluada en t = 0 : A(k)=12π∫−∞∞tú(incógnita,0) mi−ikincógnitadincógnita.{\displaystyle A(k)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\,\infty }u(x,0)~e^{-ikx}\,dx.} y 1/2π{\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}}proviene de las convenciones de la transformada de Fourier .

Por ejemplo, elegir tú(incógnita,0)=mi−incógnita2+ik0incógnita,{\displaystyle u(x,0)=e^{-x^{2}+ik_{0}x},}

obtenemos A(k)=12mi−(k−k0)24,{\displaystyle A(k)={\frac {1}{\sqrt {2}}}e^{-{\frac {(k-k_{0})^{2}}{4}}},}

y finalmente tú(incógnita,t)=mi−(incógnita−dot)2+ik0(incógnita−dot)=mi−(incógnita−dot)2[porque⁡(2πincógnita−dotλ)+ipecado⁡(2πincógnita−dotλ)].{\displaystyle {\begin{aligned}u(x,t)&=e^{-(x-ct)^{2}+ik_{0}(x-ct)}\\&=e^{-(x-ct)^{2}}\left[\cos \left(2\pi {\frac {x-ct}{\lambda }}\right)+i\sin \left(2\pi {\frac {x-ct}{\lambda }}\right)\right].\end{aligned}}}

La propagación no dispersiva de la parte real o imaginaria de este paquete de ondas se presenta en la animación anterior.

Dispersivo

Un paquete de ondas con dispersión. Nótese que la onda se expande y su amplitud disminuye.
Densidad de probabilidad en el espacio de posiciones de un estado inicialmente gaussiano que se mueve en una dimensión con un momento constante y mínimamente incierto en el espacio libre.

Por el contrario, en el caso de la dispersión, una onda cambia de forma durante la propagación. Por ejemplo, la ecuación de Schrödinger libre , iℏ∂ψ∂t=−ℏ22metro∇2ψ,{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi ,} tiene soluciones de onda plana de la forma: ψ(r,t)=Amii[k⋅r−ω(k)t],{\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=Ae^{i{[\mathbf {k\cdot r} }-\omega (\mathbf {k} )t]},} dóndeA{\displaystyle A}es una constante y la relación de dispersión satisface [ 11 ] [ 12 ]ω(k)=ℏk22metro=ℏ2metro(kincógnita2+ky2+kz2),{\displaystyle \omega (\mathbf {k} )={\frac {\hbar \mathbf {k} ^{2}}{2m}}={\frac {\hbar }{2m}}(k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}),} con los subíndices denotando la notación del vector unitario . Como la relación de dispersión no es lineal, la ecuación de Schrödinger libre es dispersiva .

En este caso, el paquete de ondas viene dado por: ψ(r,t)=1(2π)3/2∫gramo(k)mii[k⋅r−ω(k)t]d3k{\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int g(\mathbf {k} )e^{i{[\mathbf {k\cdot r} }-\omega (\mathbf {k} )t]}d^{3}k} donde una vez másgramo(k){\displaystyle g(\mathbf {k} )}es simplemente la transformada de Fourier deψ(r,0){\displaystyle \psi (\mathbf {r},0)}. Siψ(r,0){\displaystyle \psi (\mathbf {r},0)}(y por lo tantogramo(k){\displaystyle g(\mathbf {k} )}) es una función gaussiana , el paquete de ondas se llama paquete de ondas gaussiano . [ 13 ]

Por ejemplo, la solución de la ecuación de Schrödinger libre unidimensional (con 2Δ x , m y ħ iguales a uno) que satisface la condición inicial ψ(incógnita,0)=2/π4exp⁡(−incógnita2+ik0incógnita),{\displaystyle \psi (x,0)={\sqrt[{4}]{2/\pi }}\exp \left({-x^{2}+ik_{0}x}\right),} representando un paquete de ondas localizado en el espacio en el origen como una función gaussiana, se observa que ψ(incógnita,t)=2/π41+2itmi−14k02 mi−11+2it(incógnita−ik02)2=2/π41+2itmi−11+4t2(incógnita−k0t)2 mii11+4t2((k0+2tincógnita)incógnita−12tk02) .{\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x,t)&={\frac {\sqrt[{4}]{2/\pi }}{\sqrt {1+2it}}}e^{-{\frac {1}{4}}k_{0}^{2}}~e^{-{\frac {1}{1+2it}}\left(x-{\frac {ik_{0}}{2}}\right)^{2}}\\&={\frac {\sqrt[{4}]{2/\pi }}{\sqrt {1+2it}}}e^{-{\frac {1}{1+4t^{2}}}(x-k_{0}t)^{2}}~e^{i{\frac {1}{1+4t^{2}}}\left((k_{0}+2tx)x-{\frac {1}{2}}tk_{0}^{2}\right)}~.\end{aligned}}}

Se obtiene una impresión del comportamiento dispersivo de este paquete de ondas al observar la densidad de probabilidad: |ψ(incógnita,t)|2=2/π1+4t2 mi−2(incógnita−k0t)21+4t2 .{\displaystyle |\psi (x,t)|^{2}={\frac {\sqrt {2/\pi }}{\sqrt {1+4t^{2}}}}~e^{-{\frac {2(x-k_{0}t)^{2}}{1+4t^{2}}}}~.} Es evidente que este paquete de ondas dispersivo, mientras se mueve con velocidad de grupo constante k o , se deslocaliza rápidamente: tiene un ancho que aumenta con el tiempo como √ 1 + 4 t 2 → 2 t , por lo que finalmente se difunde a una región ilimitada del espacio.

Paquetes de ondas gaussianas en mecánica cuántica

Superposición de ondas planas unidimensionales (azul) que se suman para formar un paquete de ondas gaussiano (rojo) que se propaga hacia la derecha mientras se expande. Los puntos azules representan la velocidad de fase de cada onda plana, mientras que la línea roja representa la velocidad de grupo central.
Paquete de ondas gaussianas unidimensional, mostrado en el plano complejo, para a = 2 y k = 4.

El paquete de ondas gaussianas dispersivas anterior, no normalizado y simplemente centrado en el origen, en cambio, en t =0, ahora se puede escribir en 3D, ahora en unidades estándar: [ 14 ] [ 15 ]ψ(r,0)=mi−r⋅r/2a,{\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,0)=e^{-\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} /2a},} La transformada de Fourier también es una gaussiana en términos del número de onda, el vector k ,ψ(k,0)=(2πa)3/2mi−ak⋅k/2.{\displaystyle \psi (\mathbf {k} ,0)=(2\pi a)^{3/2}e^{-a\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2}.} Con a y su inversa adhiriéndose a la relación de incertidumbreΔincógnitaΔpagincógnita=ℏ/2,{\displaystyle \Delta x\Delta p_{x}=\hbar /2,} de tal manera que a=2⟨r⋅r⟩/3⟨1⟩=2(Δincógnita)2,{\displaystyle a=2\langle \mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \rangle /3\langle 1\rangle =2(\Delta x)^{2},} puede considerarse el cuadrado del ancho del paquete de ondas , mientras que su inverso puede escribirse como 1/a=2⟨k⋅k⟩/3⟨1⟩=2(Δpagincógnita/ℏ)2.{\displaystyle 1/a=2\langle \mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \rangle /3\langle 1\rangle =2(\Delta p_{x}/\hbar )^{2}.}

Paquete de ondas gaussianas 1D, mostrado en el plano complejo, paraa=1,ℏ=1,k0=0,metro=1{\displaystyle a=1,\hbar =1,k_{0}=0,m=1}. La velocidad de grupo es cero. Ent=0{\displaystyle t=0}, la función de onda tiene fase cero y ancho mínimo. Parat<0{\displaystyle t<0}, la función de onda tiene fase cuadrática, ancho decreciente. Parat>0{\displaystyle t>0}La función de onda tiene una fase cuadrática y un ancho creciente.

Cada onda separada solo rota en fase en el tiempo, de modo que la solución transformada de Fourier dependiente del tiempo es

Ψ(k,t)=(2πa)3/2mi−ak⋅k/2mi−imit/ℏ=(2πa)3/2mi−ak⋅k/2−i(ℏ2k⋅k/2metro)t/ℏ=(2πa)3/2mi−(a+iℏt/metro)k⋅k/2.{\displaystyle {\begin{aligned}\Psi (\mathbf {k} ,t)&=(2\pi a)^{3/2}e^{-a\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2}e^{-iEt/\hbar }\\&=(2\pi a)^{3/2}e^{-a\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2-i(\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2m)t/\hbar }\\&=(2\pi a)^{3/2}e^{-(a+i\hbar t/m)\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2}.\end{aligned}}}

Paquete de ondas gaussianas 1D, mostrado en el plano complejo, paraa=1,ℏ=1,k0=1,metro=1{\displaystyle a=1,\hbar =1,k_{0}=1,m=1}La velocidad de grupo global es positiva y el paquete de ondas se mueve a medida que se dispersa.

La transformada inversa de Fourier sigue siendo una función gaussiana, pero ahora el parámetro a se ha vuelto complejo y existe un factor de normalización global.

Ψ(r,t)=(aa+iℏt/metro)3/2mi−r⋅r2(a+iℏt/metro).{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\left({a \over a+i\hbar t/m}\right)^{3/2}e^{-{\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \over 2(a+i\hbar t/m)}}.}

La integral de Ψ sobre todo el espacio es invariante, porque es el producto interno de Ψ con el estado de energía cero, que es una onda con longitud de onda infinita, una función constante del espacio. Para cualquier autoestado de energía η ( x ) , el producto interno, ⟨η|ψ⟩=∫η(r)ψ(r)d3r,{\displaystyle \langle \eta |\psi \rangle =\int \eta (\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} ,} Solo cambia en el tiempo de una manera simple: su fase rota con una frecuencia determinada por la energía de η . Cuando η tiene energía cero, como la onda de longitud de onda infinita, no cambia en absoluto.

Para un dadot{\displaystyle t}, la fase de la función de onda varía con la posición comoℏt/metro2(a2+(ℏt/metro)2)‖r‖2{\displaystyle {\frac {\hbar t/m}{2(a^{2}+(\hbar t/m)^{2})}}\|\mathbf {r} \|^{2}}Varía cuadráticamente con la posición, lo que significa que es diferente de la multiplicación por un factor de fase lineal.miik⋅r{\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}como es el caso de impartir un momento constante al paquete de ondas. En general, la fase de un paquete de ondas gaussiano tiene un término lineal y un término cuadrático. El coeficiente del término cuadrático comienza aumentando desde−∞{\displaystyle -\infty }hacia0{\displaystyle 0}A medida que el paquete de ondas gaussiano se vuelve más nítido, en el momento de máxima nitidez, la fase de la función de onda varía linealmente con la posición. Entonces, el coeficiente del término cuadrático aumenta desde0{\displaystyle 0}hacia+∞{\displaystyle +\infty }, a medida que el paquete de ondas gaussiano se expande de nuevo.

La integral ∫ |Ψ| 2 d 3 r también es invariante, lo cual es una afirmación de la conservación de la probabilidad. [ 16 ] Explícitamente, PAG(r)=|Ψ|2=Ψ∗Ψ=(aa2+(ℏt/metro)2)3 mi−ar⋅ra2+(ℏt/metro)2,{\displaystyle P(r)=|\Psi |^{2}=\Psi ^{*}\Psi =\left({a \over {\sqrt {a^{2}+(\hbar t/m)^{2}}}}\right)^{3}~e^{-{a\,\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \over a^{2}+(\hbar t/m)^{2}}},} donde r es la distancia desde el origen, la velocidad de la partícula es cero y el ancho viene dado por a2+(ℏt/metro)2a,{\displaystyle {\sqrt {a^{2}+(\hbar t/m)^{2} \over a}},} que es √ a en el tiempo (elegido arbitrariamente) t = 0 mientras que eventualmente crece linealmente en el tiempo, como ħt /( m √ a ) , lo que indica la propagación del paquete de ondas . [ 17 ]

Por ejemplo, si un paquete de ondas de electrones se localiza inicialmente en una región de dimensiones atómicas (es decir, 10⁻¹⁰ m) , entonces el ancho del paquete se duplica en aproximadamente 10⁻¹⁶ s. Claramente, los paquetes de ondas de partículas se extienden muy rápidamente (en el espacio libre): [ 18 ] Por ejemplo, después de 1 ms, el ancho habrá crecido hasta aproximadamente un kilómetro.

Este crecimiento lineal es un reflejo de la incertidumbre del momento (invariante en el tiempo): el paquete de ondas está confinado a un estrecho Δ x = √ a /2 , y por lo tanto tiene un momento que es incierto (según el principio de incertidumbre) por la cantidad ħ / √ 2 a , una dispersión en la velocidad de ħ/m √ 2 a , y por lo tanto en la posición futura por ħt /m √ 2 a . La relación de incertidumbre es entonces una desigualdad estricta, ¡muy lejos de la saturación, de hecho! La incertidumbre inicial Δ x Δ p = ħ /2 ha aumentado ahora por un factor de ħt/ma (para t grande ).

El caso 2D

Un paquete de ondas cuánticas gaussianas bidimensional. El color (amarillo, verde, azul) indica la fase de la función de onda.ψ{\displaystyle \psi }su brillo indica|ψ|2/|ψ|metroaincógnita2{\displaystyle |\psi |^{2}/|\psi |_{max}^{2}}.k0incógnita=k0{\displaystyle k_{0x}=k_{0}},k0y=0{\displaystyle k_{0y}=0}

Una función de onda cuántica gaussiana bidimensional:

ψ(incógnita,y,t)=ψ(incógnita,t)ψ(y,t){\displaystyle \psi (x,y,t)=\psi (x,t)\psi (y,t)}

ψ(incógnita,t)=(2a2π)1/4miiϕ(a4+4ℏ2t2metro2)1/4miik0incógnitaexp⁡[−(incógnita−ℏk0metrot)2a2+2iℏtmetro]{\displaystyle \psi (x,t)=\left({\frac {2a^{2}}{\pi }}\right)^{1/4}{\frac {e^{i\phi }}{\left(a^{4}+{\frac {4\hbar ^{2}t^{2}}{m^{2}}}\right)^{1/4}}}e^{ik_{0}x}\exp \left[-{\frac {\left(x-{\frac {\hbar k_{0}}{m}}t\right)^{2}}{a^{2}+{\frac {2i\hbar t}{m}}}}\right]}

donde [ 19 ]

ϕ=−θ−ℏk022metrot{\displaystyle \phi =-\theta -{\frac {\hbar k_{0}^{2}}{2m}}t}

broncearse⁡(2θ)=2ℏtmetroa2{\displaystyle \tan(2\theta )={\frac {2\hbar t}{ma^{2}}}}

El tren de olas de Airy

En contraste con el paquete de ondas gaussiano anterior, que se mueve a velocidad de grupo constante y siempre se dispersa, existe una función de onda basada en funciones de Airy , que se propaga libremente sin dispersión de la envolvente, manteniendo su forma y acelerando en el espacio libre: [ 20 ]ψ=Ai⁡[Bℏ2/3(incógnita−B3t24metro2)]mi(iB3t/2metroℏ)[incógnita−(B3t2/6metro2)],{\displaystyle \psi =\operatorname {Ai} \left[{\frac {B}{\hbar ^{2/3}}}\left(x-{\frac {B^{3}t^{2}}{4m^{2}}}\right)\right]e^{(iB^{3}t/2m\hbar )[x-(B^{3}t^{2}/6m^{2})]},} donde, por simplicidad (y adimensionalización ), al elegir ħ = 1 , m = 1/2 y B una constante arbitraria se obtiene ψ=Ai⁡[B(incógnita−B3t2)]miiB3t(incógnita−23B3t2).{\displaystyle \psi =\operatorname {Ai} [B(x-B^{3}t^{2})]\,e^{iB^{3}t(x-{\tfrac {2}{3}}B^{3}t^{2})}\,.}

En esta situación sin fuerzas, no existe ninguna contradicción con el teorema de Ehrenfest , ya que el estado no es normalizable y tiene un ⟨ x ⟩ indefinido (infinito) para todo momento. (En la medida en que pudiera definirse, ⟨ p ⟩ = 0 para todo momento, a pesar de la aparente aceleración del frente).

El tren de ondas de Airy es la única onda sin dispersión en el espacio libre unidimensional. [ 21 ] En dimensiones superiores, son posibles otras ondas sin dispersión. [ 22 ]

El tren de ondas de Airy en el espacio de fases. Su forma es una serie de parábolas con el mismo eje, pero que oscilan según la función de Airy. Su evolución temporal es un corte a lo largo delincógnita{\displaystyle x}-dirección. Cada parábola conserva su forma bajo esta cizalladura, y su vértice se desplaza a lo largo de otra parábola. Por lo tanto, el tren de ondas de Airy no se dispersa, y el movimiento de grupo del tren de ondas experimenta una aceleración constante.

En el espacio de fases , esto es evidente en la distribución de cuasiprobabilidad de Wigner de estado puro de este tren de ondas, cuya forma en x y p es invariante a medida que avanza el tiempo, pero cuyas características se aceleran hacia la derecha, en parábolas aceleradas. La función de Wigner satisfaceW(incógnita,pag;t)=W(incógnita−B3t2,pag−B3t;0)=121/3πBAi(22/3(B(incógnita−B3t2)+(pag/B−tB2)2))=W(incógnita−2pagt,pag;0).{\displaystyle {\begin{aligned}W(x,p;t)&=W(x-B^{3}t^{2},p-B^{3}t;0)\\&={\frac {1}{2^{1/3}\pi B}}\,\mathrm {Ai} \left(2^{2/3}\left(B(x-B^{3}t^{2}\right)+\left(p/B-tB^{2})^{2}\right)\right)\\&=W(x-2pt,p;0).\end{aligned}}}Las tres igualdades demuestran tres hechos:

  1. La evolución temporal es equivalente a una traslación en el espacio de fases por(B3t2,B3t){\displaystyle (B^{3}t^{2},B^{3}t)}.
  2. Las líneas de contorno de la función de Wigner son parábolas de formaB(incógnita−B3t2)+(pag/B−tB2)2=do{\textstyle B\left(x-B^{3}t^{2}\right)+\left(p/B-tB^{2}\right)^{2}=C}.
  3. La evolución temporal es equivalente a un corte en el espacio de fases a lo largo delincógnita{\displaystyle x}-dirección a velocidadpag/metro=2pag{\displaystyle p/m=2p}.

Nótese que la distribución de momento obtenida al integrar sobre todos los x es constante. Dado que esta es la densidad de probabilidad en el espacio de momentos , es evidente que la función de onda en sí misma no es normalizable.

Propagador gratuito

El límite de ancho estrecho de la solución del paquete de ondas gaussiano discutido es el núcleo propagador libre K. Para otras ecuaciones diferenciales, esto generalmente se llama la función de Green , [ 23 ] pero en mecánica cuántica es tradicional reservar el nombre de función de Green para la transformada de Fourier temporal de K.

Volviendo a una dimensión por simplicidad, con m y ħ iguales a uno, cuando a es la cantidad infinitesimal ε , la condición inicial gaussiana, reescalada de modo que su integral sea uno, ψ0(incógnita)=12πεmi−incógnita22ε{\displaystyle \psi _{0}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi \varepsilon }}}e^{-{x^{2} \over 2\varepsilon }}\,} se convierte en una función delta , δ ( x ) , de modo que su evolución temporal, Kt(incógnita)=12π(it+ε)mi−incógnita22(it+ε){\displaystyle K_{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi (it+\varepsilon )}}}e^{-x^{2} \over 2(it+\varepsilon )}\,} produce el propagador.

Nótese que un paquete de ondas inicial muy estrecho se vuelve instantáneamente infinitamente ancho, pero con una fase que oscila más rápidamente para valores grandes de x . Esto puede parecer extraño: la solución pasa de estar localizada en un punto a estar "en todas partes" en todos los instantes posteriores , pero es un reflejo de la enorme incertidumbre del momento de una partícula localizada, como se explicó anteriormente.

Cabe señalar además que la norma de la función de onda es infinita, lo cual también es correcto, ya que el cuadrado de una función delta diverge de la misma manera.

El factor que involucra a ε es una cantidad infinitesimal que sirve para asegurar que las integrales sobre K estén bien definidas. En el límite cuando ε → 0 , K se vuelve puramente oscilatorio y las integrales de K no convergen absolutamente. En el resto de esta sección, se establecerá a cero, pero para que todas las integraciones sobre estados intermedios estén bien definidas, el límite ε → 0 solo debe tomarse después de calcular el estado final.

El propagador es la amplitud para alcanzar el punto x en el tiempo t , cuando se parte del origen, x = 0. Por invariancia de traslación, la amplitud para alcanzar un punto x cuando se parte del punto y es la misma función, solo que ahora trasladada, Kt(incógnita,y)=Kt(incógnita−y)=12πitmii(incógnita−y)22t.{\displaystyle K_{t}(x,y)=K_{t}(x-y)={1 \over {\sqrt {2\pi it}}}e^{i(x-y)^{2} \over 2t}\,.}

En el límite cuando t es pequeño, el propagador se convierte en una función delta. límitet→0Kt(incógnita−y)=δ(incógnita−y) ,{\displaystyle \lim _{t\to 0}K_{t}(x-y)=\delta (x-y)~,} pero solo en el sentido de distribuciones : la integral de esta cantidad multiplicada por una función de prueba diferenciable arbitraria da el valor de la función de prueba en cero.

Para ver esto, observe que la integral sobre todo el espacio de K es igual a 1 en todo momento, ∫Kt(incógnita)dincógnita=1,{\displaystyle \int K_{t}(x)dx=1\,,} Dado que esta integral es el producto interno de K con la función de onda uniforme, el factor de fase en el exponente tiene una derivada espacial distinta de cero en todas partes excepto en el origen. Por lo tanto, cuando el tiempo es pequeño, se producen cancelaciones de fase rápidas en todos los puntos, salvo en uno. Esto se cumple rigurosamente cuando se toma el límite ε → 0 al final.

Así pues, el núcleo de propagación es la evolución temporal (futura) de una función delta, y es continua, en cierto sentido: tiende a la función delta inicial en tiempos pequeños. Si la función de onda inicial es un pico infinitamente estrecho en la posición y , ψ0(incógnita)=δ(incógnita−y),{\displaystyle \psi _{0}(x)=\delta (x-y)\,,} se convierte en la onda oscilatoria, ψt(incógnita)=12πitmii(incógnita−y)2/2t.{\displaystyle \psi _{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi it}}}e^{i(x-y)^{2}/2t}\,.}

Ahora bien, puesto que cada función puede escribirse como una suma ponderada de tales picos estrechos, ψ0(incógnita)=∫ψ0(y)δ(incógnita−y)dy,{\displaystyle \psi _{0}(x)=\int \psi _{0}(y)\delta (x-y)dy\,,} La evolución temporal de cada función ψ 0 está determinada por este núcleo de propagación K ,

ψt(incógnita)=∫ψ0(y)12πitmii(incógnita−y)2/2tdy.{\displaystyle \psi _{t}(x)=\int \psi _{0}(y){1 \over {\sqrt {2\pi it}}}e^{i(x-y)^{2}/2t}dy\,.}

Por lo tanto, esta es una forma formal de expresar la solución fundamental o solución general . La interpretación de esta expresión es que la amplitud para que una partícula se encuentre en el punto x en el tiempo t es la amplitud con la que comenzó en y , multiplicada por la amplitud con la que pasó de y a x , sumada sobre todos los posibles puntos de partida . En otras palabras, es una convolución del núcleo K con la condición inicial arbitraria ψ 0 , ψt=K∗ψ0.{\displaystyle \psi _{t}=K*\psi _{0}\,.}

Dado que la amplitud para viajar de x a y después de un tiempo t + t ' puede considerarse en dos pasos, el propagador obedece la identidad de composición, ∫K(incógnita−y;t)K(y−z;t′)dy=K(incógnita−z;t+t′) ,{\displaystyle \int K(x-y;t)K(y-z;t')dy=K(x-z;t+t')~,} lo cual puede interpretarse de la siguiente manera: la amplitud para viajar de x a z en el tiempo t + t ' es la suma de la amplitud para viajar de x a y en el tiempo t , multiplicada por la amplitud para viajar de y a z en el tiempo t ', sumada sobre todos los posibles estados intermedios y . Esta es una propiedad de un sistema cuántico arbitrario, y al subdividir el tiempo en muchos segmentos, permite expresar la evolución temporal como una integral de trayectoria . [ 24 ]

Continuación analítica de la difusión

La propagación de paquetes de ondas en mecánica cuántica está directamente relacionada con la propagación de densidades de probabilidad en difusión . Para una partícula que camina aleatoriamente , la función de densidad de probabilidad satisface la ecuación de difusión [ 25 ].∂∂tρ=12∂2∂incógnita2ρ,{\displaystyle {\partial \over \partial t}\rho ={1 \over 2}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\rho ,} donde el factor de 2, que puede eliminarse reescalando el tiempo o el espacio, es solo por conveniencia.

Una solución de esta ecuación es la función gaussiana variable en el tiempo.ρt(incógnita)=12πtmi−incógnita22t,{\displaystyle \rho _{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi t}}}e^{-x^{2} \over 2t},} que es una forma del núcleo de calor . Dado que la integral de ρ t es constante mientras que el ancho se vuelve estrecho en tiempos pequeños, esta función se aproxima a una función delta en t =0, límitet→0ρt(incógnita)=δ(incógnita){\displaystyle \lim _{t\to 0}\rho _{t}(x)=\delta (x)} nuevamente solo en el sentido de distribuciones, de modo que límitet→0∫incógnitaF(incógnita)ρt(incógnita)=F(0){\displaystyle \lim _{t\to 0}\int _{x}f(x)\rho _{t}(x)=f(0)} para cualquier función de prueba f .

La gaussiana variable en el tiempo es el núcleo de propagación para la ecuación de difusión y obedece la identidad de convolución ,Kt+t′=Kt∗Kt′,{\displaystyle K_{t+t'}=K_{t}*K_{t'}\,,} lo que permite expresar la difusión como una integral de trayectoria. El propagador es la exponencial de un operador H , Kt(incógnita)=mi−tH,{\displaystyle K_{t}(x)=e^{-tH}\,,} que es el operador de difusión infinitesimal, H=−∇22.{\displaystyle H=-{\nabla ^{2} \over 2}\,.}

Una matriz tiene dos índices, lo que en el espacio continuo la convierte en una función de x y x '. En este caso, debido a la invariancia traslacional, el elemento de la matriz K solo depende de la diferencia de posición, y un abuso conveniente de notación es referirse al operador, a los elementos de la matriz y a la función de la diferencia con el mismo nombre: Kt(incógnita,incógnita′)=Kt(incógnita−incógnita′).{\displaystyle K_{t}(x,x')=K_{t}(x-x')\,.}

La invariancia de traslación significa que la multiplicación continua de matrices , do(incógnita,incógnita″)=∫incógnita′A(incógnita,incógnita′)B(incógnita′,incógnita″),{\displaystyle C(x,x'')=\int _{x'}A(x,x')B(x',x'')\,,} es esencialmente convolución, do(Δ)=do(incógnita−incógnita″)=∫incógnita′A(incógnita−incógnita′)B(incógnita′−incógnita″)=∫yA(Δ−y)B(y).{\displaystyle C(\Delta )=C(x-x'')=\int _{x'}A(x-x')B(x'-x'')=\int _{y}A(\Delta -y)B(y)\,.}

La exponencial se puede definir sobre un rango de t s que incluye valores complejos, siempre que las integrales sobre el núcleo de propagación permanezcan convergentes, Kz(incógnita)=mi−zH.{\displaystyle K_{z}(x)=e^{-zH}\,.} Siempre que la parte real de z sea positiva, para valores grandes de x , K es exponencialmente decreciente, y las integrales sobre K son, de hecho, absolutamente convergentes.

El límite de esta expresión para z aproximándose al eje puramente imaginario es el propagador de Schrödinger encontrado anteriormente, KtSdohr=Kit+ε=mi−(it+ε)H,{\displaystyle K_{t}^{\rm {Schr}}=K_{it+\varepsilon }=e^{-(it+\varepsilon )H}\,,} lo cual ilustra la evolución temporal de las gaussianas descrita anteriormente.

A partir de la identidad fundamental de la exponenciación, o integración de trayectoria, Kz∗Kz′=Kz+z′{\displaystyle K_{z}*K_{z'}=K_{z+z'}\,} Esto se cumple para todos los valores complejos de z , donde las integrales son absolutamente convergentes, de modo que los operadores están bien definidos.

Por lo tanto, la evolución cuántica de una gaussiana, que es el núcleo de difusión complejo K , ψ0(incógnita)=Ka(incógnita)=Ka∗δ(incógnita){\displaystyle \psi _{0}(x)=K_{a}(x)=K_{a}*\delta (x)\,} equivale al estado evolucionado en el tiempo, ψt=Kit∗Ka=Ka+it.{\displaystyle \psi _{t}=K_{it}*K_{a}=K_{a+it}\,.}

Esto ilustra la forma difusiva anterior de las soluciones gaussianas complejas, ψt(incógnita)=12π(a+it)mi−incógnita22(a+it).{\displaystyle \psi _{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi (a+it)}}}e^{-{x^{2} \over 2(a+it)}}\,.}

Véase también

Notas

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Referencias

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  • Jackson, John David (1998). Electrodinámica clásica . Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-30932-1.
  • Kozdron, Michael J. (2008). "Movimiento browniano y la ecuación del calor" (PDF) . Universidad de Regina . Recuperado el 29 de octubre de 2024 .
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  • Simulación de un paquete de ondas en 2D (Según la síntesis de Fourier en 2D)
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