Operador de clase de traza débil

En matemáticas, un operador de clase traza débil es un operador compacto en un espacio de Hilbert separable H con valores singulares del mismo orden que la secuencia armónica . Cuando la dimensión de H es infinita, el ideal de operadores de clase traza débil es estrictamente mayor que el ideal de operadores de clase traza y tiene propiedades fundamentalmente diferentes. La traza usual en los operadores de clase traza no se extiende a la clase traza débil. En cambio, el ideal de operadores de clase traza débil admite un número infinito de trazas cuasicontinuas linealmente independientes, y es el ideal bilateral más pequeño para el cual todas las trazas en él son trazas singulares .

Los operadores débiles de clase traza son un elemento clave en la geometría no conmutativa del matemático francés Alain Connes .

Un operador compacto A en un espacio de Hilbert separable de dimensión infinita H es de clase traza débil si μ( n , A ) = O( n ⁻¹ ), donde μ( A ) es la secuencia de valores singulares . En notación matemática, el ideal bilateral de todos los operadores de clase traza débil se denota,

${\displaystyle L_{1,\infty }=\{A\in K(H):\mu (n,A)=O(n^{-1})\}.}$

dónde${\displaystyle K(H)}$son los operadores compactos. El término clase de traza débil, o débil- L ₁ , se utiliza porque el ideal de operador corresponde, en la correspondencia de JW Calkin entre ideales bilaterales de operadores lineales acotados y espacios de secuencias invariantes de reordenamiento, al espacio de secuencias débil -l ₁ .

• Los operadores de clase de traza débil admiten una cuasi-norma definida por

${\displaystyle \|A\|_{w}=\sup _{n\geq 0}(1+n)\mu (n,A),}$

haciendo de L _1,∞ un ideal de operador cuasi-Banach, es decir, un ideal que también es un espacio cuasi-Banach .

• Espacio Lp
• triplete espectral
• traza singular
• Rastro de Dixmier

• B. Simon (2005). Ideales de traza y sus aplicaciones . Providence, RI: Amer. Math. Soc. ISBN 978-0-82-183581-4.
• A. Pietsch (1987). Autovalores y números s . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 978-0-52-132532-5.
• A. Connes (1994). Geometría no conmutativa . Boston, MA: Academic Press. ISBN 978-0-12-185860-5.
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