Distribución de Weibull

La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria de Weibull es ^{[ 4 ] [ 5 ]}

${\displaystyle f(x;\lambda ,k)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}},&x\geq 0,\\0,&x<0,\end{cases}}}$

donde k > 0 es el parámetro de forma y λ > 0 es el parámetro de escala de la distribución. Su función de distribución acumulativa complementaria es una función exponencial estirada . La distribución de Weibull está relacionada con varias otras distribuciones de probabilidad; en particular, interpola entre la distribución exponencial ( k = 1) y la distribución de Rayleigh ( k = 2 y${\displaystyle \lambda ={\sqrt {2}}\sigma }$). ^{[ 6 ]}

Si la cantidad x es un "tiempo hasta el fallo", la distribución de Weibull proporciona una distribución en la que la tasa de riesgo es proporcional a una potencia del tiempo. El parámetro de forma k es esa potencia más uno, por lo que este parámetro puede interpretarse directamente de la siguiente manera: ^{[ 7 ]}

• Un valor de${\displaystyle k<1\,}$indica que la tasa de riesgo disminuye con el tiempo (como en el caso del efecto Lindy , que sin embargo corresponde a distribuciones de Pareto ^{[ 8 ]} en lugar de distribuciones de Weibull). Esto sucede si hay una "mortalidad infantil" significativa, o artículos defectuosos que fallan pronto y la tasa de riesgo disminuye con el tiempo a medida que los artículos defectuosos se eliminan de la población. En el contexto de la difusión de innovaciones , esto significa boca a boca negativo: la función de riesgo es una función monótonamente decreciente de la proporción de adoptantes;
• Un valor de${\displaystyle k=1\,}$indica que la tasa de riesgo es constante en el tiempo. Esto podría sugerir que eventos externos aleatorios están causando mortalidad o fallas. La distribución de Weibull se reduce a una distribución exponencial ;
• Un valor de${\displaystyle k>1\,}$indica que la tasa de riesgo aumenta con el tiempo. Esto ocurre si hay un proceso de "envejecimiento" o si las piezas tienen más probabilidades de fallar con el paso del tiempo. En el contexto de la difusión de innovaciones , esto significa el boca a boca positivo: la función de riesgo es una función monótonamente creciente de la proporción de adoptantes. La función es primero convexa, luego cóncava con un punto de inflexión en${\displaystyle (e^{1/k}-1)/e^{1/k},\,k>1\,}$.

En el campo de la ciencia de los materiales , el parámetro de forma k de una distribución de resistencias se conoce como módulo de Weibull . En el contexto de la difusión de innovaciones , la distribución de Weibull es un modelo de imitación/rechazo "puro".

La forma de la función de densidad de la distribución de Weibull cambia drásticamente con el valor de k . Para 0 < k < 1, la función de densidad tiende a ∞ cuando x se aproxima a cero desde arriba y es estrictamente decreciente. Para k = 1, la función de densidad tiende a 1/ λ cuando x se aproxima a cero desde arriba y es estrictamente decreciente. Para k > 1, la función de densidad tiende a cero cuando x se aproxima a cero desde arriba, aumenta hasta su moda y luego disminuye. La función de densidad tiene una pendiente negativa infinita en x = 0 si 0 < k < 1, una pendiente positiva infinita en x = 0 si 1 < k < 2 y una pendiente nula en x = 0 si k > 2. Para k = 1, la densidad tiene una pendiente negativa finita en x = 0. Para k = 2, la densidad tiene una pendiente positiva finita en x = 0. Cuando k tiende a infinito, la distribución de Weibull converge a una distribución delta de Dirac centrada en x = λ. Además, la asimetría y el coeficiente de variación dependen únicamente del parámetro de forma. Una generalización de la distribución de Weibull es la distribución hiperbolástica de tipo III .

La función de distribución acumulativa para la distribución de Weibull es

${\displaystyle F(x;k,\lambda )=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\,}$

para x ≥ 0, y F ( x ; k ; λ) = 0 para x < 0.

Si x = λ, entonces F ( x ; k ; λ) =  1  − e ⁻¹ ≈ 0,632 para todos los valores de k . Recíprocamente: en F ( x ; k ; λ ) = 0,632 el valor de x ≈ λ .      

La función cuantil (distribución acumulativa inversa) para la distribución de Weibull es

${\displaystyle Q(p;k,\lambda )=\lambda (-\ln(1-p))^{1/k}}$

para 0 ≤ p < 1.

La tasa de fallos h (o función de riesgo) viene dada por

${\displaystyle h(x;k,\lambda )={k \over \lambda }\left({x \over \lambda }\right)^{k-1}.}$

El tiempo medio entre fallos MTBF es

${\displaystyle {\text{MTBF}}(k,\lambda )=\lambda \Gamma (1+1/k).}$

La función generadora de momentos del logaritmo de una variable aleatoria con distribución de Weibull viene dada por ^{[ 13 ].}

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{t\log X}\right]=\lambda ^{t}\Gamma \left({\frac {t}{k}}+1\right)}$

donde Γ es la función gamma . De manera similar, la función característica de log X viene dada por

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{it\log X}\right]=\lambda ^{it}\Gamma \left({\frac {it}{k}}+1\right).}$

En particular, el n -ésimo momento bruto de X viene dado por

${\displaystyle m_{n}=\lambda ^{n}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right).}$

La media y la varianza de una variable aleatoria de Weibull se pueden expresar como

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\,}$

y

${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}\right]\,.}$

La asimetría viene dada por

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {2\Gamma _{1}^{3}-3\Gamma _{1}\Gamma _{2}+\Gamma _{3}}{[\Gamma _{2}-\Gamma _{1}^{2}]^{3/2}}}}$

dónde${\displaystyle \Gamma _{i}=\Gamma (1+i/k)}$, que también puede escribirse como

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\Gamma \left(1+{\frac {3}{k}}\right)\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}}$

donde la media se denota por μ y la desviación estándar se denota por σ .

La curtosis en exceso viene dada por

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {-6\Gamma _{1}^{4}+12\Gamma _{1}^{2}\Gamma _{2}-3\Gamma _{2}^{2}-4\Gamma _{1}\Gamma _{3}+\Gamma _{4}}{[\Gamma _{2}-\Gamma _{1}^{2}]^{2}}}}$

dónde${\displaystyle \Gamma _{i}=\Gamma (1+i/k)}$El exceso de curtosis también puede escribirse como:

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\lambda ^{4}\Gamma (1+{\frac {4}{k}})-4\gamma _{1}\sigma ^{3}\mu -6\mu ^{2}\sigma ^{2}-\mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}-3.}$

Se dispone de diversas expresiones para la función generadora de momentos de X misma. Como serie de potencias , dado que los momentos brutos ya se conocen, se tiene

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right).}$

Alternativamente, se puede intentar abordar directamente la integral.

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\int _{0}^{\infty }e^{tx}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}\,dx.}$

Si se supone que el parámetro k es un número racional, expresado como k = p / q donde p y q son enteros, entonces esta integral se puede evaluar analíticamente. ^{[ a ]} ​​Sustituyendo t por − t , se obtiene

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{-tX}\right]={\frac {1}{\lambda ^{k}\,t^{k}}}\,{\frac {p^{k}\,{\sqrt {q/p}}}{({\sqrt {2\pi }})^{q+p-2}}}\,G_{p,q}^{\,q,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {1-k}{p}},{\frac {2-k}{p}},\dots ,{\frac {p-k}{p}}\\{\frac {0}{q}},{\frac {1}{q}},\dots ,{\frac {q-1}{q}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {p^{p}}{\left(q\,\lambda ^{k}\,t^{k}\right)^{q}}}\right)}$

donde G es la función G de Meijer .

La función característica también ha sido obtenida por Muraleedharan et al. (2007) ^{[ 16 ]}

Dejar${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ser variables aleatorias de Weibull independientes e idénticamente distribuidas con parámetro de escala${\displaystyle \lambda }$y parámetro de forma${\displaystyle k}$. Si el mínimo de estos${\displaystyle n}$Las variables aleatorias son${\displaystyle Z=\min(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})}$, entonces la distribución de probabilidad acumulada de${\displaystyle Z}$es dado por

${\displaystyle F(z)=1-e^{-n(z/\lambda )^{k}}.}$

Eso es,${\displaystyle Z}$También se distribuirá Weibull con parámetro de escala${\displaystyle n^{-1/k}\lambda }$y con parámetro de forma${\displaystyle k}$.

Arregla algunos${\displaystyle \alpha >0}$. Dejar${\displaystyle (\pi _{1},...,\pi _{n})}$ser no negativo, y no todos cero, y dejar${\displaystyle g_{1},...,g_{n}}$ser muestras independientes de${\displaystyle {\text{Weibull}}(1,\alpha ^{-1})}$, entonces ^{[ 17 ]}

• ${\displaystyle \arg \min _{i}(g_{i}\pi _{i}^{-\alpha })\sim {\text{Categorical}}\left({\frac {\pi _{j}}{\sum _{i}\pi _{i}}}\right)_{j}}$
• ${\displaystyle \min _{i}(g_{i}\pi _{i}^{-\alpha })\sim {\text{Weibull}}\left(\left(\sum _{i}\pi _{i}\right)^{-\alpha },\alpha ^{-1}\right)}$.

La entropía de la información viene dada por ^{[ 18 ].}

${\displaystyle H(\lambda ,k)=\gamma \left(1-{\frac {1}{k}}\right)+\ln \left({\frac {\lambda }{k}}\right)+1}$

dónde${\displaystyle \gamma }$es la constante de Euler-Mascheroni . La distribución de Weibull es la distribución de máxima entropía para una variable aleatoria real no negativa con un valor esperado fijo de x ^k igual a λ ^k y un valor esperado fijo de ln( x ^k ) igual a ln( λ ^k )  − ${\displaystyle \gamma }$.

La divergencia de Kullback-Leibler entre dos distribuciones de Weibull viene dada por ^{[ 19 ].}

${\displaystyle D_{\text{KL}}(\mathrm {Weib} _{1}\parallel \mathrm {Weib} _{2})=\log {\frac {k_{1}}{\lambda _{1}^{k_{1}}}}-\log {\frac {k_{2}}{\lambda _{2}^{k_{2}}}}+(k_{1}-k_{2})\left[\log \lambda _{1}-{\frac {\gamma }{k_{1}}}\right]+\left({\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}\right)^{k_{2}}\Gamma \left({\frac {k_{2}}{k_{1}}}+1\right)-1}$

El ajuste de una distribución de Weibull a los datos se puede evaluar visualmente mediante un gráfico de Weibull. ^{[ 20 ]} El gráfico de Weibull es una representación gráfica de la función de distribución acumulativa empírica.${\displaystyle {\widehat {F}}(x)}$de datos en ejes especiales en un tipo de gráfico Q-Q . Los ejes son${\displaystyle \ln(-\ln(1-{\widehat {F}}(x)))}$versus${\displaystyle \ln(x)}$La razón de este cambio de variables es que la función de distribución acumulativa se puede linealizar:

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\\[4pt]-\ln(1-F(x))&=(x/\lambda )^{k}\\[4pt]\underbrace {\ln(-\ln(1-F(x)))} _{\textrm {'y'}}&=\underbrace {k\ln x} _{\textrm {'mx'}}-\underbrace {k\ln \lambda } _{\textrm {'c'}}\end{aligned}}}$

que puede observarse que tiene la forma estándar de una línea recta. Por lo tanto, si los datos provienen de una distribución de Weibull, se espera una línea recta en un gráfico de Weibull.

Existen varios enfoques para obtener la función de distribución empírica a partir de datos. Un método consiste en obtener la coordenada vertical para cada punto utilizando

${\displaystyle {\widehat {F}}={\frac {i-0.3}{n+0.4}}}$,

dónde${\displaystyle i}$es el rango del punto de datos y${\displaystyle n}$es el número de puntos de datos. ^{[ 21 ] [ 22 ]} Otro estimador común ^{[ 23 ]} es

${\displaystyle {\widehat {F}}={\frac {i-0.5}{n}}}$.

La regresión lineal también se puede utilizar para evaluar numéricamente la bondad de ajuste y estimar los parámetros de la distribución de Weibull. El gradiente informa directamente sobre el parámetro de forma.${\displaystyle k}$y el parámetro de escala${\displaystyle \lambda }$También se puede inferir.

El coeficiente de variación de la distribución de Weibull depende únicamente del parámetro de forma: ^{[ 24 ]}

${\displaystyle CV^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{\mu ^{2}}}={\frac {\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}}{\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}}}.}$

Igualando las cantidades de las muestras${\displaystyle s^{2}/{\bar {x}}^{2}}$a${\displaystyle \sigma ^{2}/\mu ^{2}}$, la estimación del momento del parámetro de forma${\displaystyle k}$se puede leer ya sea de una tabla de consulta o de un gráfico de${\displaystyle CV^{2}}$versus${\displaystyle k}$Una estimación más precisa de${\displaystyle {\hat {k}}}$se puede encontrar utilizando un algoritmo de búsqueda de raíces para resolver

${\displaystyle {\frac {\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}}{\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}}}={\frac {s^{2}}{{\bar {x}}^{2}}}.}$

La estimación del momento del parámetro de escala se puede encontrar entonces utilizando la ecuación del primer momento como

${\displaystyle {\hat {\lambda }}={\frac {\bar {x}}{\Gamma \left(1+{\frac {1}{\hat {k}}}\right)}}.}$

El estimador de máxima verosimilitud para el${\displaystyle \lambda }$parámetro dado${\displaystyle k}$es ^{[ 24 ]}

${\displaystyle {\widehat {\lambda }}=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}\right)^{\frac {1}{k}}}$

El estimador de máxima verosimilitud para${\displaystyle k}$es la solución para k de la siguiente ecuación ^{[ 25 ]}

${\displaystyle 0={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}\ln x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}}}-{\frac {1}{k}}-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln x_{i}}$

Esta ecuación define${\displaystyle {\widehat {k}}}$solo implícitamente, generalmente hay que resolver${\displaystyle k}$por medios numéricos.

Cuando${\displaystyle x_{1}>x_{2}>\cdots >x_{N}}$son los${\displaystyle N}$muestras observadas más grandes de un conjunto de datos de más de${\displaystyle N}$muestras, luego el estimador de máxima verosimilitud para el${\displaystyle \lambda }$parámetro dado${\displaystyle k}$es ^{[ 25 ]}

${\displaystyle {\widehat {\lambda }}^{k}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}-x_{N}^{k})}$

Además, dada esa condición, el estimador de máxima verosimilitud para${\displaystyle k}$es

${\displaystyle 0={\frac {\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}\ln x_{i}-x_{N}^{k}\ln x_{N})}{\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}-x_{N}^{k})}}-{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln x_{i}}$

Nuevamente, al tratarse de una función implícita, generalmente se debe resolver para${\displaystyle k}$por medios numéricos.