función elíptica de Weierstrass

En matemáticas , las funciones elípticas de Weierstrass son funciones elípticas que adoptan una forma particularmente simple. Reciben su nombre de Karl Weierstrass . Esta clase de funciones también se conoce como funciones ℘ y se suelen denotar con el símbolo ℘, una letra p de estilo particular . Desempeñan un papel importante en la teoría de las funciones elípticas, es decir, las funciones meromorfas doblemente periódicas . Una función ℘, junto con su derivada, puede utilizarse para parametrizar curvas elípticas y genera el campo de funciones elípticas con respecto a una red periódica dada.

Símbolo para la función de Weierstrass${\displaystyle \wp }$

Una cúbica de la forma , donde son números complejos con , no puede ser parametrizada racionalmente . ^{[ 1 ]} Sin embargo, uno todavía quiere encontrar una manera de parametrizarla. ${\displaystyle C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}\}}$${\displaystyle g_{2},g_{3}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\neq 0}$

Para la cuádrica ; el círculo unitario , existe una parametrización (no racional) que utiliza la función seno y su derivada la función coseno: Debido a la periodicidad del seno y el coseno se elige como dominio, por lo que la función es biyectiva. ${\displaystyle K=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=1\right\}}$$${\displaystyle \psi :\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \to K,\quad t\mapsto (\sin t,\cos t).}$$${\displaystyle \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$

De manera similar se puede obtener una parametrización de mediante la función doblemente periódica y su derivada, es decir, a través de . Esta parametrización tiene el dominio , que es topológicamente equivalente a un toro . ^{[ 2 ]}${\displaystyle C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$${\displaystyle \wp }$${\displaystyle (x,y)=(\wp (z),\wp '(z))}$${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$

Existe otra analogía con las funciones trigonométricas. Consideremos la función integral. Se puede simplificar sustituyendo y : Esto significa . Por lo tanto, la función seno es una función inversa de una función integral. ^{[ 3 ]}$${\displaystyle a(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dy}{\sqrt {1-y^{2}}}}.}$$${\displaystyle y=\sin t}$${\displaystyle s=\arcsin x}$$${\displaystyle a(x)=\int _{0}^{s}dt=s=\arcsin x.}$$${\displaystyle a^{-1}(x)=\sin x}$

Las funciones elípticas son las funciones inversas de las integrales elípticas . En particular, sea: Entonces, la extensión de al plano complejo es igual a la función . ^{[ 4 ]} Esta invertibilidad se utiliza en el análisis complejo para proporcionar una solución a ciertas ecuaciones diferenciales no lineales que satisfacen la propiedad de Painlevé , es decir, aquellas ecuaciones que admiten polos como sus únicas singularidades móviles . ^{[ 5 ]}$${\displaystyle u(z)=\int _{z}^{\infty }{\frac {ds}{\sqrt {4s^{3}-g_{2}s-g_{3}}}}.}$$${\displaystyle u^{-1}}$${\displaystyle \wp }$

Sean dos números complejos linealmente independientes sobre y sea la red periódica generada por esos números. Entonces la función se define de la siguiente manera: ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \Lambda :=\mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}:=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m,n\in \mathbb {Z} \}}$${\displaystyle \wp }$

${\displaystyle \wp (z,\omega _{1},\omega _{2}):=\wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right).}$

Esta serie converge localmente de forma uniforme y absolutamente en el toro complejo . ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$

Es común usar y en el semiplano superior como generadores de la red . Dividiendo por mapea la red isomórficamente sobre la red con . Como se puede sustituir por , sin pérdida de generalidad podemos asumir , y luego definir . Con esa definición, tenemos . ${\displaystyle 1}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \mathbb {H} :=\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)>0\}}$${\textstyle \omega _{1}}$${\displaystyle \mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} +\mathbb {Z} \tau }$${\textstyle \tau ={\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$${\displaystyle -\tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$${\displaystyle \wp (z,\tau ):=\wp (z,1,\tau )}$${\displaystyle \wp (z,\omega _{1},\omega _{2})=\omega _{1}^{-2}\wp (z/\omega _{1},\omega _{2}/\omega _{1})}$

• ${\displaystyle \wp }$es una función meromorfa con un polo de orden 2 en cada período de .${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \Lambda }$
• ${\displaystyle \wp }$es una función homogénea en el sentido de que:

${\displaystyle \wp (\lambda z,\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-2}\wp (z,\omega _{1},\omega _{2}).}$

• ${\displaystyle \wp }$es una función par. Eso significa que para todo , lo cual puede verse de la siguiente manera:${\displaystyle \wp (z)=\wp (-z)}$${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \Lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\wp (-z)&={\frac {1}{(-z)^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(-z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z+\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)=\wp (z).\end{aligned}}}$

La penúltima igualdad se cumple porque . Dado que la suma converge absolutamente, esta reordenación no cambia el límite.${\displaystyle \{-\lambda :\lambda \in \Lambda \}=\Lambda }$

• La derivada de viene dada por: ^{[ 6 ]}${\displaystyle \wp }$$${\displaystyle \wp '(z)=-2\sum _{\lambda \in \Lambda }{\frac {1}{(z-\lambda )^{3}}}.}$$
• ${\displaystyle \wp }$y son doblemente periódicas con los períodos y . ^{[ 6 ]} Esto significa: Se deduce que y para todo .${\displaystyle \wp '}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\wp (z+\omega _{1})&=\wp (z)=\wp (z+\omega _{2}),\ {\textrm {and}}\\[3mu]\wp '(z+\omega _{1})&=\wp '(z)=\wp '(z+\omega _{2}).\end{aligned}}}$$${\displaystyle \wp (z+\lambda )=\wp (z)}$${\displaystyle \wp '(z+\lambda )=\wp '(z)}$${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$

Sea . Entonces, para la función tiene la siguiente expansión de Laurent donde para son las llamadas series de Eisenstein . ^{[ 6 ]}${\displaystyle r:=\min\{{|\lambda }|:0\neq \lambda \in \Lambda \}}$${\displaystyle 0<|z|<r}$${\displaystyle \wp }$$${\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)G_{2n+2}z^{2n}}$$$${\displaystyle G_{n}=\sum _{0\neq \lambda \in \Lambda }\lambda ^{-n}}$$${\displaystyle n\geq 3}$

Sea y . Entonces la función satisface la ecuación diferencial ^{[ 6 ].} Esta relación se puede verificar formando una combinación lineal de potencias de y para eliminar el polo en . Esto produce una función elíptica completa que debe ser constante según el teorema de Liouville . ^{[ 6 ]}${\displaystyle g_{2}=60G_{4}}$${\displaystyle g_{3}=140G_{6}}$${\displaystyle \wp }$$${\displaystyle \wp '^{2}(z)=4\wp ^{3}(z)-g_{2}\wp (z)-g_{3}.}$$${\displaystyle \wp }$${\displaystyle \wp '}$${\displaystyle z=0}$

Los coeficientes de la ecuación diferencial anterior y se conocen como invariantes . Debido a que dependen de la red, pueden verse como funciones en y . ${\displaystyle g_{2}}$${\displaystyle g_{3}}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$

El desarrollo en serie sugiere que y son funciones homogéneas de grado y . Es decir ^{[ 7 ]} para . ${\displaystyle g_{2}}$${\displaystyle g_{3}}$${\displaystyle -4}$${\displaystyle -6}$$${\displaystyle g_{2}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})}$$$${\displaystyle g_{3}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})}$$${\displaystyle \lambda \neq 0}$

Si y se eligen de tal manera que , y pueden interpretarse como funciones en el semiplano superior . ${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle \operatorname {Im} \left({\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}\right)>0}$${\displaystyle g_{2}}$${\displaystyle g_{3}}$${\displaystyle \mathbb {H} :=\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)>0\}}$

Sea . Se tiene: ^{[ 8 ]} Eso significa que g ₂ y g ₃ solo se escalan haciendo esto. Se establece y Como funciones de , y son las llamadas formas modulares.${\displaystyle \tau ={\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$$${\displaystyle g_{2}(1,\tau )=\omega _{1}^{4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2}),}$$$${\displaystyle g_{3}(1,\tau )=\omega _{1}^{6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2}).}$$$${\displaystyle g_{2}(\tau ):=g_{2}(1,\tau )}$$$${\displaystyle g_{3}(\tau ):=g_{3}(1,\tau ).}$$${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$${\displaystyle g_{2}}$${\displaystyle g_{3}}$

Las series de Fourier para y se dan de la siguiente manera: ^{[ 9 ]} donde es la función divisora ​​y es el nome . ${\displaystyle g_{2}}$${\displaystyle g_{3}}$$${\displaystyle g_{2}(\tau )={\frac {4}{3}}\pi ^{4}\left[1+240\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{3}(k)q^{2k}\right]}$$$${\displaystyle g_{3}(\tau )={\frac {8}{27}}\pi ^{6}\left[1-504\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{5}(k)q^{2k}\right]}$$$${\displaystyle \sigma _{m}(k):=\sum _{d\mid {k}}d^{m}}$$${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$

El discriminante modular se define como el discriminante del polinomio característico de la ecuación diferencial de la siguiente manera: El discriminante es una forma modular de peso . Es decir, bajo la acción del grupo modular , se transforma como donde con . ^{[ 10 ]}${\displaystyle \Delta }$$${\displaystyle \wp '^{2}(z)=4\wp ^{3}(z)-g_{2}\wp (z)-g_{3}}$$$${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}.}$$${\displaystyle 12}$$${\displaystyle \Delta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\left(c\tau +d\right)^{12}\Delta (\tau )}$$${\displaystyle a,b,d,c\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle ad-bc=1}$

Nótese que donde es la función eta de Dedekind . ^{[ 11 ]}${\displaystyle \Delta =(2\pi )^{12}\eta ^{24}}$${\displaystyle \eta }$

Para los coeficientes de Fourier de , véase la función tau de Ramanujan . ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle e_{1}}$y se utilizan habitualmente para denotar los valores de la función en los semiperíodos. Son distintos entre sí y solo dependen de la red y no de sus generadores. ^{[ 12 ]}${\displaystyle e_{2}}$${\displaystyle e_{3}}$${\displaystyle \wp }$$${\displaystyle e_{1}\equiv \wp \left({\frac {\omega _{1}}{2}}\right)}$$$${\displaystyle e_{2}\equiv \wp \left({\frac {\omega _{2}}{2}}\right)}$$$${\displaystyle e_{3}\equiv \wp \left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}\right)}$$${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle e_{1}}$y son las raíces del polinomio cúbico y están relacionadas por la ecuación: Debido a que esas raíces son distintas, el discriminante no se anula en el semiplano superior. ^{[ 13 ]} Ahora podemos reescribir la ecuación diferencial: Eso significa que los semiperíodos son ceros de . ${\displaystyle e_{2}}$${\displaystyle e_{3}}$${\displaystyle 4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}}$$${\displaystyle e_{1}+e_{2}+e_{3}=0.}$$${\displaystyle \Delta }$$${\displaystyle \wp '^{2}(z)=4(\wp (z)-e_{1})(\wp (z)-e_{2})(\wp (z)-e_{3}).}$$${\displaystyle \wp '}$

Los invariantes y pueden expresarse en términos de estas constantes de la siguiente manera: ^{[ 14 ]} , y están relacionados con la función lambda modular : ${\displaystyle g_{2}}$${\displaystyle g_{3}}$$${\displaystyle g_{2}=-4(e_{1}e_{2}+e_{1}e_{3}+e_{2}e_{3})}$$$${\displaystyle g_{3}=4e_{1}e_{2}e_{3}}$$${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle e_{2}}$${\displaystyle e_{3}}$$${\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {e_{3}-e_{2}}{e_{1}-e_{2}}},\quad \tau ={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}.}$$

Para trabajos numéricos, a menudo resulta conveniente calcular la función elíptica de Weierstrass en términos de las funciones elípticas de Jacobi .

Las relaciones básicas son: ^{[ 15 ]} donde y son las tres raíces descritas anteriormente y donde el módulo k de las funciones de Jacobi es igual a y su argumento w es igual a $${\displaystyle \wp (z)=e_{3}+{\frac {e_{1}-e_{3}}{\operatorname {sn} ^{2}w}}=e_{2}+(e_{1}-e_{3}){\frac {\operatorname {dn} ^{2}w}{\operatorname {sn} ^{2}w}}=e_{1}+(e_{1}-e_{3}){\frac {\operatorname {cn} ^{2}w}{\operatorname {sn} ^{2}w}}}$$${\displaystyle e_{1},e_{2}}$${\displaystyle e_{3}}$$${\displaystyle k={\sqrt {\frac {e_{2}-e_{3}}{e_{1}-e_{3}}}}}$$$${\displaystyle w=z{\sqrt {e_{1}-e_{3}}}.}$$

La función puede representarse mediante las funciones theta de Jacobi : donde es el nomo y es la razón del período . ^{[ 16 ]} Esto también proporciona un algoritmo muy rápido para calcular . ${\displaystyle \wp (z,\tau )=\wp (z,1,\omega _{2}/\omega _{1})}$$${\displaystyle \wp (z,\tau )=\left(\pi \theta _{2}(0,q)\theta _{3}(0,q){\frac {\theta _{4}(\pi z,q)}{\theta _{1}(\pi z,q)}}\right)^{2}-{\frac {\pi ^{2}}{3}}\left(\theta _{2}^{4}(0,q)+\theta _{3}^{4}(0,q)\right)}$$${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle (\tau \in \mathbb {H} )}$${\displaystyle \wp (z,\tau )}$

Consideremos la incrustación de la curva cúbica en el plano proyectivo complejo.

${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}\}\cup \{O\}\subset \mathbb {C} ^{2}\cup \mathbb {P} _{1}(\mathbb {C} )=\mathbb {P} _{2}(\mathbb {C} ).}$

donde es un punto situado en la línea en el infinito . Para esta cúbica no existe una parametrización racional, si . ^{[ 1 ]} En este caso también se denomina curva elíptica. Sin embargo, existe una parametrización en coordenadas homogéneas que utiliza la función y su derivada : ^{[ 17 ]}${\displaystyle O}$${\displaystyle \mathbb {P} _{1}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle \Delta \neq 0}$${\displaystyle \wp }$${\displaystyle \wp '}$

${\displaystyle \varphi (\wp ,\wp '):\mathbb {C} /\Lambda \to {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} },\quad z\mapsto {\begin{cases}\left[\wp (z):\wp '(z):1\right]&z\notin \Lambda \\\left[0:1:0\right]\quad &z\in \Lambda \end{cases}}}$

Ahora el mapa es biyectivo y parametriza la curva elíptica . ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$

${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$es un grupo abeliano y un espacio topológico , equipado con la topología cociente .

Se puede demostrar que toda cúbica de Weierstrass se da de tal manera. Es decir, que para cada par con existe una red , tal que ${\displaystyle g_{2},g_{3}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\neq 0}$${\displaystyle \mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}}$

${\displaystyle g_{2}=g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})}$y . ^{[ 18 ]}${\displaystyle g_{3}=g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})}$

La afirmación de que las curvas elípticas sobre pueden parametrizarse sobre , se conoce como el teorema de modularidad . Este es un teorema importante en la teoría de números . Formó parte de la demostración de Andrew Wiles (1995) del último teorema de Fermat . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

El teorema de adición establece ^{[ 19 ]} que si y no pertenecen a , entonces Esto establece que los puntos y son colineales, la forma geométrica de la ley de grupo de una curva elíptica . ${\displaystyle z,w,}$${\displaystyle z+w}$${\displaystyle \Lambda }$$${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}1&\wp (z)&\wp '(z)\\1&\wp (w)&\wp '(w)\\1&\wp (z+w)&-\wp '(z+w)\end{bmatrix}}=0.}$$${\displaystyle P=(\wp (z),\wp '(z)),}$${\displaystyle Q=(\wp (w),\wp '(w)),}$${\displaystyle R=(\wp (z+w),-\wp '(z+w))}$

Esto se puede demostrar ^{[ 20 ]} considerando constantes tales que Entonces la función elíptica tiene un polo de orden tres en cero, y por lo tanto tres ceros cuya suma pertenece a . Dos de los ceros son y , y por lo tanto el tercero es congruente con . ${\displaystyle A,B}$$${\displaystyle \wp '(z)=A\wp (z)+B,\quad \wp '(w)=A\wp (w)+B.}$$$${\displaystyle \wp '(\zeta )-A\wp (\zeta )-B}$$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle z}$${\displaystyle w}$${\displaystyle -z-w}$

El teorema de adición se puede expresar en la forma alternativa, para : ^{[ 21 ]}${\displaystyle z,w,z-w,z+w\not \in \Lambda }$$${\displaystyle \wp (z+w)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp '(z)-\wp '(w)}{\wp (z)-\wp (w)}}\right]^{2}-\wp (z)-\wp (w).}$$

Además de la fórmula de duplicación: ^{[ 21 ]}$${\displaystyle \wp (2z)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp ''(z)}{\wp '(z)}}\right]^{2}-2\wp (z).}$$

Esto se puede demostrar a partir del teorema de adición mostrado anteriormente. Los puntos y son colineales y se encuentran en la curva . La pendiente de esa línea es Por lo tanto , , y todos satisfacen una ecuación cúbica donde es una constante. Esto se convierte en Por lo tanto, lo que proporciona la fórmula deseada .${\displaystyle P=(\wp (u),\wp '(u)),Q=(\wp (v),\wp '(v)),}$${\displaystyle R=(\wp (u+v),-\wp '(u+v))}$${\displaystyle y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}}$$${\displaystyle m={\frac {y_{P}-y_{Q}}{x_{P}-x_{Q}}}={\frac {\wp '(u)-\wp '(v)}{\wp (u)-\wp (v)}}.}$$${\displaystyle x=x_{P}=\wp (u)}$${\displaystyle x=x_{Q}=\wp (v)}$${\displaystyle x=x_{R}=\wp (u+v)}$$${\displaystyle (mx+q)^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3},}$$${\displaystyle q}$$${\displaystyle 4x^{3}-m^{2}x^{2}-(2mq+g_{2})x-g_{3}-q^{2}=0.}$$${\displaystyle x_{P}+x_{Q}+x_{R}={\frac {m^{2}}{4}}}$${\displaystyle \wp (u+v)+\wp (u)+\wp (v)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp '(u)-\wp '(v)}{\wp (u)-\wp (v)}}\right]^{2}.}$

Una demostración directa es la siguiente. ^{[ 22 ]} Cualquier función elíptica puede expresarse como: donde es la función sigma de Weierstrass y son los respectivos ceros y polos en el paralelogramo periódico . Considerando la función como una función de , tenemos Multiplicando ambos lados por y haciendo , tenemos , por lo que ${\displaystyle f}$$${\displaystyle f(u)=c\prod _{i=1}^{n}{\frac {\sigma (u-a_{i})}{\sigma (u-b_{i})}}\quad c\in \mathbb {C} }$$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle a_{i},b_{i}}$${\displaystyle \wp (u)-\wp (v)}$${\displaystyle u}$$${\displaystyle \wp (u)-\wp (v)=c{\frac {\sigma (u+v)\sigma (u-v)}{\sigma (u)^{2}}}.}$$${\displaystyle u^{2}}$${\displaystyle u\to 0}$${\displaystyle 1=-c\sigma (v)^{2}}$${\displaystyle c=-{\frac {1}{\sigma (v)^{2}}}\implies \wp (u)-\wp (v)=-{\frac {\sigma (u+v)\sigma (u-v)}{\sigma (u)^{2}\sigma (v)^{2}}}.}$

Por definición, la función zeta de Weierstrass : por lo tanto, diferenciamos logarítmicamente ambos lados con respecto a para obtener: Una vez más por definición , así que diferenciando una vez más en ambos lados y reordenando los términos obtenemos Sabiendo que tiene la siguiente ecuación diferencial y reordenando los términos se obtiene la fórmula deseada ${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ln \sigma (z)=\zeta (z)}$${\displaystyle u}$$${\displaystyle {\frac {\wp '(u)}{\wp (u)-\wp (v)}}=\zeta (u+v)-2\zeta (u)-\zeta (u-v)}$$${\displaystyle \zeta '(z)=-\wp (z)}$$${\displaystyle -\wp (u+v)=-\wp (u)+{\frac {1}{2}}{\frac {\wp ''(v)[\wp (u)-\wp (v)]-\wp '(u)[\wp '(u)-\wp '(v)]}{[\wp (u)-\wp (v)]^{2}}}}$$${\displaystyle \wp ''}$${\displaystyle 2\wp ''=12\wp ^{2}-g_{2}}$$${\displaystyle \wp (u+v)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp '(u)-\wp '(v)}{\wp (u)-\wp (v)}}\right]^{2}-\wp (u)-\wp (v).}$$

La función elíptica de Weierstrass se suele escribir con una letra cursiva minúscula bastante especial, ℘, que fue la notación propia de Weierstrass introducida en sus conferencias de 1862-1863. ^{[ nota 1 ]} No debe confundirse con las letras cursivas matemáticas normales P: 𝒫 y 𝓅.

En informática, la letra ℘ está disponible como \wpen TeX . En Unicode , el punto de código es U+2118 ℘ SCRIPT CAPITAL P , con el alias más correcto weierstrass elliptic function . ^{[ nota al pie 2 ]} En HTML , se puede escapar como ℘o ℘.

• Funciones de Weierstrass
• funciones elípticas de Jacobi
• funciones elípticas lemniscatas

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. «Capítulo 18» . Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. Vol. 55 (novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima edición original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington D. C.; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Dover Publications. pág. 627. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . MR  0167642 . LCCN  65-12253 .
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• "Funciones elípticas de Weierstrass" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Las funciones elípticas de Weierstrass en Mathworld .
• Capítulo 23, Funciones elípticas y modulares de Weierstrass en DLMF ( Biblioteca digital de funciones matemáticas ) por WP Reinhardt y PL Walker.
• Función P de Weierstrass y su derivada implementadas en C por David Dumas