función elíptica de Weierstrass

En matemáticas , las funciones elípticas de Weierstrass son funciones elípticas que adoptan una forma particularmente simple. Reciben su nombre de Karl Weierstrass . Esta clase de funciones también se conoce como funciones ℘ y se suelen denotar con el símbolo  ℘, una letra p de estilo particular . Desempeñan un papel importante en la teoría de las funciones elípticas, es decir, las funciones meromorfas doblemente periódicas . Una función ℘, junto con su derivada, puede utilizarse para parametrizar curvas elípticas y genera el campo de funciones elípticas con respecto a una red periódica dada.

Símbolo de Weierstrass${\displaystyle \wp }$-función

Un cubo de la forma${\displaystyle C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}\}}$, dónde${\displaystyle g_{2},g_{3}\in \mathbb {C} }$son números complejos con${\displaystyle g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\neq 0}$, no puede ser parametrizado racionalmente . ^{[ 1 ]} Sin embargo, uno todavía quiere encontrar una manera de parametrizarlo.

Para la cuádrica${\displaystyle K=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=1\right\}}$; el círculo unitario , existe una parametrización (no racional) que utiliza la función seno y su derivada, la función coseno: $${\displaystyle \psi$$ :\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \to K,\quad t\mapsto (\sin t,\cos t).} Debido a la periodicidad del seno y el coseno${\displaystyle \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$se elige como dominio, por lo que la función es biyectiva.

De manera similar se puede obtener una parametrización de${\displaystyle C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$mediante el doble periódico${\displaystyle \wp }$-función y su derivada, a saber, a través de${\displaystyle (x,y)=(\wp (z),\wp '(z))}$. Esta parametrización tiene el dominio${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$, que es topológicamente equivalente a un toro . ^{[ 2 ]}

Existe otra analogía con las funciones trigonométricas . Consideremos la función integral. $${\displaystyle a(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dy}{\sqrt {1-y^{2}}}}.}$$ Se puede simplificar sustituyendo${\displaystyle y=\sin t}$y${\displaystyle s=\arcsin x}$: $${\displaystyle a(x)=\int _{0}^{s}dt=s=\arcsin x.}$$ Eso significa${\displaystyle a^{-1}(x)=\sin x}$. Por lo tanto, la función seno es una función inversa de una función integral. ^{[ 3 ]}

Las funciones elípticas son las funciones inversas de las integrales elípticas . En particular, sea: $${\displaystyle u(z)=\int _{z}^{\infty }{\frac {ds}{\sqrt {4s^{3}-g_{2}s-g_{3}}}}.}$$ Luego la extensión de${\displaystyle u^{-1}}$al plano complejo es igual a${\displaystyle \wp }$-función. ^{[ 4 ]} Esta invertibilidad se utiliza en el análisis complejo para proporcionar una solución a ciertas ecuaciones diferenciales no lineales que satisfacen la propiedad de Painlevé , es decir, aquellas ecuaciones que admiten polos como sus únicas singularidades móviles . ^{[ 5 ]}

Dejar${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} }$sean dos números complejos que sean linealmente independientes sobre${\displaystyle \mathbb {R} }$y dejar${\displaystyle \Lambda$ :=\mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}:=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m,n\in \mathbb {Z} \}} sea la red periódica generada por esos números. Entonces,${\displaystyle \wp }$-La función se define de la siguiente manera:

${\displaystyle \wp (z,\omega _{1},\omega _{2}):=\wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right).}$

Esta serie converge localmente de forma uniforme y absoluta en el toro complejo.${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$.

Es común usar${\displaystyle 1}$y${\displaystyle \tau }$en el semiplano superior${\displaystyle \mathbb {H}$ :=\{z\in \mathbb {C}  :\operatorname {Im} (z)>0\}} como generadores del retículo . Dividiendo por${\textstyle \omega _{1}}$mapea la red${\displaystyle \mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}}$isomórficamente sobre la red${\displaystyle \mathbb {Z} +\mathbb {Z} \tau }$con${\textstyle \tau ={\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$. Porque${\displaystyle -\tau }$puede ser sustituido por${\displaystyle \tau }$Sin pérdida de generalidad podemos asumir${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$y luego definir${\displaystyle \wp (z,\tau ):=\wp (z,1,\tau )}$. Con esa definición, tenemos${\displaystyle \wp (z,\omega _{1},\omega _{2})=\omega _{1}^{-2}\wp (z/\omega _{1},\omega _{2}/\omega _{1})}$.

• ${\displaystyle \wp }$es una función meromorfa con un polo de orden 2 en cada período${\displaystyle \lambda }$en${\displaystyle \Lambda }$.
• ${\displaystyle \wp }$es una función homogénea en el sentido de que:

${\displaystyle \wp (\lambda z,\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-2}\wp (z,\omega _{1},\omega _{2}).}$

• ${\displaystyle \wp }$es una función par. Eso significa${\displaystyle \wp (z)=\wp (-z)}$a pesar de${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \Lambda }$, lo cual puede verse de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}\wp (-z)&={\frac {1}{(-z)^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(-z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z+\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)=\wp (z).\end{aligned}}}$

La segunda última igualdad se cumple porque${\displaystyle \{-\lambda$ :\lambda \in \Lambda \}=\Lambda } . Dado que la suma converge absolutamente, este reordenamiento no cambia el límite.

• El derivado de${\displaystyle \wp }$está dado por: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle \wp '(z)=-2\sum _{\lambda \in \Lambda }{\frac {1}{(z-\lambda )^{3}}}.}$$
• ${\displaystyle \wp }$y${\displaystyle \wp '}$son doblemente periódicos con los períodos${\displaystyle \omega _{1}}$y${\displaystyle \omega _{2}}$. ^{[ 6 ]} Esto significa:$${\displaystyle {\begin{aligned}\wp (z+\omega _{1})&=\wp (z)=\wp (z+\omega _{2}),\ {\textrm {and}}\\[3mu]\wp '(z+\omega _{1})&=\wp '(z)=\wp '(z+\omega _{2}).\end{aligned}}}$$Resulta que${\displaystyle \wp (z+\lambda )=\wp (z)}$y${\displaystyle \wp '(z+\lambda )=\wp '(z)}$a pesar de${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$.

Dejar${\displaystyle r:=\min\{{|\lambda }|:0\neq \lambda \in \Lambda \}}$. Luego para${\displaystyle 0<|z|<r}$el${\displaystyle \wp }$-La función tiene la siguiente expansión de Laurent.$${\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)G_{2n+2}z^{2n}}$$ dónde $${\displaystyle G_{n}=\sum _{0\neq \lambda \in \Lambda }\lambda ^{-n}}$$para${\displaystyle n\geq 3}$son las llamadas series de Eisenstein . ^{[ 6 ]}

Colocar${\displaystyle g_{2}=60G_{4}}$y${\displaystyle g_{3}=140G_{6}}$. Entonces el${\displaystyle \wp }$La función satisface la ecuación diferencial ^{[ 6 ].}$${\displaystyle \wp '^{2}(z)=4\wp ^{3}(z)-g_{2}\wp (z)-g_{3}.}$$ Esta relación se puede verificar formando una combinación lineal de potencias de${\displaystyle \wp }$y${\displaystyle \wp '}$para eliminar el poste en${\displaystyle z=0}$Esto produce una función elíptica completa que debe ser constante según el teorema de Liouville . ^{[ 6 ]}

Invariantes

Los coeficientes de la ecuación diferencial anterior${\displaystyle g_{2}}$y${\displaystyle g_{3}}$Se les conoce como invariantes . Porque dependen de la red${\displaystyle \Lambda }$pueden ser vistas como funciones en${\displaystyle \omega _{1}}$y${\displaystyle \omega _{2}}$.

La expansión de la serie sugiere que${\displaystyle g_{2}}$y${\displaystyle g_{3}}$son funciones homogéneas de grado${\displaystyle -4}$y${\displaystyle -6}$. Eso es ^{[ 7 ]}$${\displaystyle g_{2}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})}$$$${\displaystyle g_{3}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})}$$para${\displaystyle \lambda \neq 0}$.

Si${\displaystyle \omega _{1}}$y${\displaystyle \omega _{2}}$son elegidos de tal manera que${\displaystyle \operatorname {Im} \left({\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}\right)>0}$,${\displaystyle g_{2}}$y${\displaystyle g_{3}}$pueden interpretarse como funciones en el semiplano superior${\displaystyle \mathbb {H}$ :=\{z\in \mathbb {C}  :\operatorname {Im} (z)>0\}} .

Dejar${\displaystyle \tau ={\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$. Uno tiene: ^{[ 8 ]}$${\displaystyle g_{2}(1,\tau )=\omega _{1}^{4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2}),}$$$${\displaystyle g_{3}(1,\tau )=\omega _{1}^{6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2}).}$$ Eso significa que _g2 y g3 solo _se escalan haciendo esto. $${\displaystyle g_{2}(\tau ):=g_{2}(1,\tau )}$$y$${\displaystyle g_{3}(\tau ):=g_{3}(1,\tau ).}$$ Como funciones de${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$,${\displaystyle g_{2}}$y${\displaystyle g_{3}}$son las llamadas formas modulares.

La serie de Fourier para${\displaystyle g_{2}}$y${\displaystyle g_{3}}$se dan de la siguiente manera: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle g_{2}(\tau )={\frac {4}{3}}\pi ^{4}\left[1+240\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{3}(k)q^{2k}\right]}$$$${\displaystyle g_{3}(\tau )={\frac {8}{27}}\pi ^{6}\left[1-504\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{5}(k)q^{2k}\right]}$$ dónde $${\displaystyle \sigma _{m}(k):=\sum _{d\mid {k}}d^{m}}$$ es la función divisora ​​y${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$es el nombre .

discriminante modular

El discriminante modular${\displaystyle \Delta }$se define como el discriminante del polinomio característico de la ecuación diferencial$${\displaystyle \wp '^{2}(z)=4\wp ^{3}(z)-g_{2}\wp (z)-g_{3}}$$como sigue: $${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}.}$$ El discriminante es una forma modular de peso${\displaystyle 12}$. Es decir, bajo la acción del grupo modular , se transforma como $${\displaystyle \Delta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\left(c\tau +d\right)^{12}\Delta (\tau )}$$ dónde${\displaystyle a,b,d,c\in \mathbb {Z} }$con${\displaystyle ad-bc=1}$. ^{[ 10 ]}

Tenga en cuenta que${\displaystyle \Delta =(2\pi )^{12}\eta ^{24}}$dónde${\displaystyle \eta }$es la función eta de Dedekind . ^{[ 11 ]}

Para los coeficientes de Fourier de${\displaystyle \Delta }$, consulte Función tau de Ramanujan .

Para trabajos numéricos, a menudo resulta conveniente calcular la función elíptica de Weierstrass en términos de las funciones elípticas de Jacobi .

Las relaciones básicas son: ^{[ 15 ]}$${\displaystyle \wp (z)=e_{3}+{\frac {e_{1}-e_{3}}{\operatorname {sn} ^{2}w}}=e_{2}+(e_{1}-e_{3}){\frac {\operatorname {dn} ^{2}w}{\operatorname {sn} ^{2}w}}=e_{1}+(e_{1}-e_{3}){\frac {\operatorname {cn} ^{2}w}{\operatorname {sn} ^{2}w}}}$$ dónde${\displaystyle e_{1},e_{2}}$y${\displaystyle e_{3}}$son las tres raíces descritas anteriormente y donde el módulo k de las funciones de Jacobi es igual a $${\displaystyle k={\sqrt {\frac {e_{2}-e_{3}}{e_{1}-e_{3}}}}}$$ y su argumento w es igual a $${\displaystyle w=z{\sqrt {e_{1}-e_{3}}}.}$$

La función${\displaystyle \wp (z,\tau )=\wp (z,1,\omega _{2}/\omega _{1})}$pueden representarse mediante las funciones theta de Jacobi : $${\displaystyle \wp (z,\tau )=\left(\pi \theta _{2}(0,q)\theta _{3}(0,q){\frac {\theta _{4}(\pi z,q)}{\theta _{1}(\pi z,q)}}\right)^{2}-{\frac {\pi ^{2}}{3}}\left(\theta _{2}^{4}(0,q)+\theta _{3}^{4}(0,q)\right)}$$ dónde${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$es el nombre y${\displaystyle \tau }$es la razón del período${\displaystyle (\tau \in \mathbb {H} )}$. ^{[ 16 ]} Esto también proporciona un algoritmo muy rápido para el cálculo${\displaystyle \wp (z,\tau )}$.

Consideremos la incrustación de la curva cúbica en el plano proyectivo complejo.

${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}\}\cup \{O\}\subset \mathbb {C} ^{2}\cup \mathbb {P} _{1}(\mathbb {C} )=\mathbb {P} _{2}(\mathbb {C} ).}$

dónde${\displaystyle O}$es un punto que se encuentra en la línea en el infinito${\displaystyle \mathbb {P} _{1}(\mathbb {C} )}$. Para esta cúbica no existe parametrización racional, si${\displaystyle \Delta \neq 0}$. ^{[ 1 ]} En este caso también se le llama curva elíptica. Sin embargo, existe una parametrización en coordenadas homogéneas que utiliza la${\displaystyle \wp }$-función y su derivada${\displaystyle \wp '}$: ^{[ 17 ]}

${\displaystyle \varphi (\wp ,\wp '):\mathbb {C} /\Lambda \to {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} },\quad z\mapsto {\begin{cases}\left[\wp (z):\wp '(z):1\right]&z\notin \Lambda \\\left[0:1:0\right]\quad &z\in \Lambda \end{cases}}}$

Ahora el mapa${\displaystyle \varphi }$es biyectiva y parametriza la curva elíptica.${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$.

${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$es un grupo abeliano y un espacio topológico , equipado con la topología cociente .

Se puede demostrar que cada cúbica de Weierstrass se da de tal manera. Es decir, que para cada par${\displaystyle g_{2},g_{3}\in \mathbb {C} }$con${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\neq 0}$Existe una red${\displaystyle \mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}}$, de tal manera que

${\displaystyle g_{2}=g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})}$y${\displaystyle g_{3}=g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})}$. ^{[ 18 ]}

El teorema de adición establece ^{[ 19 ]} que si${\displaystyle z,w,}$y${\displaystyle z+w}$no pertenecen a${\displaystyle \Lambda }$, entonces $${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}1&\wp (z)&\wp '(z)\\1&\wp (w)&\wp '(w)\\1&\wp (z+w)&-\wp '(z+w)\end{bmatrix}}=0.}$$ Esto indica que los puntos${\displaystyle P=(\wp (z),\wp '(z)),}$${\displaystyle Q=(\wp (w),\wp '(w)),}$y${\displaystyle R=(\wp (z+w),-\wp '(z+w))}$son colineales, la forma geométrica de la ley de grupo de una curva elíptica .

Esto se puede demostrar ^{[ 20 ]} considerando constantes .${\displaystyle A,B}$de tal manera que $${\displaystyle \wp '(z)=A\wp (z)+B,\quad \wp '(w)=A\wp (w)+B.}$$ Entonces la función elíptica $${\displaystyle \wp '(\zeta )-A\wp (\zeta )-B}$$ tiene un polo de orden tres en cero, y por lo tanto tres ceros cuya suma pertenece a${\displaystyle \Lambda }$Dos de los ceros son${\displaystyle z}$y${\displaystyle w}$y por lo tanto el tercero es congruente con${\displaystyle -z-w}$.

The Weierstrass's elliptic function is usually written with a rather special, lower case script letter ℘, which was Weierstrass's own notation introduced in his lectures of 1862–1863.^{[footnote 1]} It should not be confused with the normal mathematical script letters P: 𝒫 and 𝓅.

In computing, the letter ℘ is available as \wp in TeX. In Unicode the code point is U+2118℘SCRIPT CAPITAL P, with the more correct alias weierstrass elliptic function.^{[footnote 2]} In HTML, it can be escaped as ℘ or ℘.

• Weierstrass functions
• Jacobi elliptic functions
• Lemniscate elliptic functions

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 18". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 627. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
• N. I. Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
• Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0 (See chapter 1.)
• K. Chandrasekharan, Elliptic functions (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4
• Konrad Knopp, Funktionentheorie II (1947), Dover Publications; Republished in English translation as Theory of Functions (1996), Dover Publications ISBN 0-486-69219-1
• Serge Lang, Elliptic Functions (1973), Addison-Wesley, ISBN 0-201-04162-6
• E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis, Cambridge University Press, 1952, chapters 20 and 21

• "Weierstrass elliptic functions", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weierstrass's elliptic functions on Mathworld.
• Chapter 23, Weierstrass Elliptic and Modular Functions in DLMF (Digital Library of Mathematical Functions) by W. P. Reinhardt and P. L. Walker.
• Weierstrass P function and its derivative implemented in C by David Dumas