Función de Weierstrass

En matemáticas , la función de Weierstrass , que recibe su nombre de su descubridor, Karl Weierstrass , es un ejemplo de una función de valores reales que es continua en todas partes pero no diferenciable en ninguna. También es un ejemplo de curva fractal .

La función de Weierstrass ha servido históricamente como una función patológica , siendo el primer ejemplo publicado (1872) específicamente concebido para desafiar la noción de que toda función continua es diferenciable excepto en un conjunto de puntos aislados. ^{[ a ]} ​​La demostración de Weierstrass de que la continuidad no implicaba diferenciabilidad casi en todas partes revolucionó las matemáticas, derrocando varias demostraciones que se basaban en la intuición geométrica y definiciones vagas de suavidad . Este tipo de funciones eran rechazadas por sus contemporáneos. Por ejemplo, Charles Hermite , al descubrir que una clase de funciones en la que trabajaba tenía tal propiedad, la describió como un "azote lamentable". ^{[ 1 ]} Las funciones eran difíciles de visualizar hasta la llegada de las computadoras en el siglo siguiente, y los resultados no obtuvieron una amplia aceptación hasta que aplicaciones prácticas como los modelos de movimiento browniano requirieron funciones infinitamente irregulares (ahora conocidas como curvas fractales ). ^{[ 2 ]}

En el artículo original de Weierstrass, la función se definió como una serie de Fourier :

$${\displaystyle \ f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos(b^{n}\pi x)\ ,}$$

dónde${\textstyle \ 0<a<1\ ,}$y${\textstyle \ b\ }$es un número entero impar positivo, y

$${\displaystyle \ a\ b>1+{\tfrac {3}{2}}\ \pi ~.}$$

El valor mínimo de${\textstyle \ b\ }$para lo cual existe${\textstyle \ 0<a<1\ }$de tal manera que se satisfagan estas restricciones es${\textstyle \ b=7~.}$Esta construcción, junto con la demostración de que la función no es diferenciable en ningún punto, fue presentada por primera vez por Weierstrass en un artículo presentado a la Königliche Akademie der Wissenschaften el 18  de julio de 1872. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ b ]}

A pesar de no ser diferenciable en ningún punto, la función es continua: Dado que los términos de la serie infinita que la define están acotados por${\textstyle \ \pm a^{n}\ }$y esto tiene una suma finita para${\textstyle \ 0<a<1\ ,}$La convergencia de la suma de los términos es uniforme según la prueba M de Weierstrass con${\textstyle \ M_{n}=a^{n}~.}$Dado que cada suma parcial es continua, por el teorema del límite uniforme , se deduce que${\textstyle \ f\ }$es continua. Además, dado que cada suma parcial es uniformemente continua , se deduce que${\textstyle \ f\ }$También es uniformemente continuo.

Cabría esperar que una función continua tuviera derivada, o que el conjunto de puntos donde no es diferenciable fuera infinito numerable o finito. Según Weierstrass en su artículo, matemáticos anteriores, incluido Gauss, a menudo habían asumido que esto era cierto. Esto podría deberse a la dificultad de representar gráficamente o visualizar una función continua cuyo conjunto de puntos no diferenciables no sea numerable. Existen resultados análogos para clases de funciones continuas con mejor comportamiento, como por ejemplo las funciones de Lipschitz , cuyo conjunto de puntos de no diferenciabilidad debe ser un conjunto nulo de Lebesgue ( teorema de Rademacher ). Al intentar representar gráficamente una función continua general, solemos representar la gráfica de una función que sea de Lipschitz o que tenga un buen comportamiento. Además, el hecho de que el conjunto de puntos de no diferenciabilidad para una función monótona sea de medida cero implica que las rápidas oscilaciones de la función de Weierstrass son necesarias para garantizar que no sea diferenciable en ningún punto.

La función de Weierstrass fue uno de los primeros fractales estudiados, aunque este término no se utilizó hasta mucho después. La función presenta detalles en todos los niveles, por lo que al ampliar una parte de la curva no se observa que se acerque progresivamente a una línea recta. En cambio, entre dos puntos cualesquiera, por muy cercanos que estén, la función no será monótona.

El cálculo de la dimensión de Hausdorff${\textstyle \ D\ }$de la gráfica de la función clásica de Weierstrass fue un problema abierto hasta 2018, mientras que generalmente se creía que${\textstyle \ D=2+\log _{b}(a)<2~.}$^{[ 5 ] [ 6 ]} QueDsea estrictamente menor que 2 se deduce de las condiciones sobre${\textstyle \ a\ }$y${\textstyle \ b\ }$desde arriba. Solo después de más de 30  años se demostró esto rigurosamente. ^{[ 7 ]}

El término función de Weierstrass se usa a menudo en análisis real para referirse a cualquier función con propiedades y construcción similares al ejemplo original de Weierstrass. Por ejemplo, la función coseno puede reemplazarse en la serie infinita por una función lineal a trozos en zigzag . GH Hardy demostró que la función de la construcción anterior no es diferenciable en ningún punto con las suposiciones.${\textstyle \ 0<a<1\ ,~a\ b\geq 1~.}$^{[ 8 ]}

La función de Weierstrass se basa en la función de Riemann anterior, que se afirma que no es diferenciable en ningún punto. Ocasionalmente, esta función $${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(n^{2}x)}{n^{2}}}}$$ También se la ha llamado "la" función de Weierstrass o "una" función de Weierstrass. ^{[ 9 ]}

Aunque Bernhard Riemann afirmó rotundamente que la función no es diferenciable en ningún punto, Riemann no publicó ninguna prueba de ello, y Weierstrass señaló que no encontró ninguna evidencia de que hubiera sobrevivido ni en los documentos de Riemann ni de forma oral por parte de sus alumnos.

En 1916, GH Hardy confirmó que la función no tiene una derivada finita en ningún valor de${\textstyle \pi x}$donde x es irracional o es racional con la forma de${\textstyle {\frac {2A}{4B+1}}}$o${\textstyle \ {\frac {2A+1}{2B}}\ ,}$donde A y B son enteros. ^{[ 8 ]} En 1969, Joseph Gerver descubrió que la función de Riemann tiene un diferencial definido en cada valor de x que puede expresarse en la forma de${\textstyle \ {\frac {2A+1}{2B+1}}\ \pi \ }$con enteros A y B ; es decir, multiplicadores racionales de${\displaystyle \ \pi \ }$con numerador y denominador impares. En estos puntos, la función tiene una derivada de${\estilo de texto \ -{\frac {1}{2}}\ }$. ^{[ 10 ]} En 1971, J.  Gerver demostró que la función no tiene diferencial finito en los valores de x que se pueden expresar en la forma de${\textstyle \ {\frac {2A}{2B+1}}\ \pi \ ,}$completando el problema de la diferenciabilidad de la función de Riemann. ^{[ 11 ]}

Como la función de Riemann solo es diferenciable en un conjunto nulo de puntos, no es diferenciable en casi ningún lugar .

Es conveniente escribir la función de Weierstrass de forma equivalente como

$${\displaystyle \ W_{\alpha }(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b^{-n\alpha }\ \cos(b^{n}\pi x)\ }$$

para${\textstyle \ \alpha \equiv -{\frac {\ln(a)}{\ln(b)}}~.}$Entonces${\textstyle \ W_{\alpha }(x)\ }$es Hölder continua de exponente α , lo que significa que existe una constante K tal que

$${\displaystyle \ {\Bigl |}\ W_{\alpha }(x)-W_{\alpha }(y)\ {\Bigr |}\ \leq \ K\ \left|\ x-y\ \right|^{\alpha }\ }$$

a pesar de${\textstyle \ x\ }$y${\textstyle \ y~.}$^{[ 12 ]} Además,${\textstyle \ W_{1}\ }$Hölder es continuo de todos los pedidos${\textstyle \ \alpha <1\ }$pero no continua de Lipschitz .

Resulta que la función de Weierstrass está lejos de ser un ejemplo aislado: aunque es "patológica", también es "típica" de las funciones continuas:

• En un sentido topológico : el conjunto de funciones reales no diferenciables en [0,  1] es co-diferenciable en el espacio vectorial C ([0, 1]; ℝ) de todas las funciones reales continuas en [0, 1] con la topología de convergencia uniforme . ^{[ 13 ] [ 14 ]} 
• En un sentido de teoría de la medida : cuando el espacio C ([0, 1]; ℝ) está equipado con la medida de Wiener clásica γ , el conjunto de funciones que son diferenciables incluso en un solo punto de [0, 1] tiene medida γ cero . Lo mismo es cierto incluso si se toman "segmentos" de dimensión finita de C ([0, 1]; ℝ) , en el sentido de que las funciones no diferenciables en ningún punto forman un subconjunto predominante de C ([0, 1]; ℝ) . 

• Curva de blancmange
• Copo de nieve de Koch
• En ninguna parte hay función continua

Referencias generales

• La función monstruosa y dentada que rompió el cálculo - Revista Quanta
• Weisstein, Eric W. "Función de Weierstrass" . MundoMatemático .(una función de Weierstrass diferente que también es continua y no diferenciable en ningún punto)
• Prueba de existencia de una función continua no diferenciable en ningún punto utilizando el principio de contracción de Banach .
• Prueba de existencia de una función continua monótona en ninguna parte utilizando el teorema de la categoría de Baire .
• Johan Thim. "Funciones continuas no diferenciables en ningún punto" . Tesis de maestría, Universidad Tecnológica de Luleå , 2003. Archivado del original el 22 de febrero de 2017. Recuperado el 28 de julio de 2006 .
• Función de Weierstrass en el plano complejo. Archivado el 24 de septiembre de 2009 en Wayback Machine . Hermoso fractal.
• SpringerLink - Revista de Análisis de Fourier y Aplicaciones, Volumen 16, Número 1 Pruebas sencillas de no diferenciabilidad en ningún punto para la función de Weierstrass y casos de crecimiento lento
• Funciones de Weierstrass: continuas pero no diferenciables en ningún punto.
• La función de Weierstrass por Brent Nelson en Berkeley, que muestra no diferenciables