Teorema de Weyl sobre la reducibilidad completa

La demostración original de Weyl (para álgebras de Lie semisimples complejas) era de naturaleza analítica: utilizó, como es bien sabido, el truco unitario . Específicamente, se puede demostrar que toda álgebra de Lie semisimple compleja${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es la complejización del álgebra de Lie de un grupo de Lie compacto simplemente conexo${\displaystyle K}$. ^{[ 4 ]} (Si, por ejemplo,${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathrm {sl} (n;\mathbb {C} )}$, entonces${\displaystyle K=\mathrm {SU} (n)}$.) Dada una representación${\displaystyle \pi }$de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$en un espacio vectorial${\displaystyle V,}$uno puede primero restringir${\displaystyle \pi }$al álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$de${\displaystyle K}$. Entonces, dado que${\displaystyle K}$simplemente está conectado , ^{[ 5 ]} hay una representación asociada${\displaystyle \Pi }$de${\displaystyle K}$Integración sobre .${\displaystyle K}$produce un producto interno en${\displaystyle V}$para qué${\displaystyle \Pi }$es unitario. ^{[ 6 ]} Reducibilidad completa de${\displaystyle \Pi }$Entonces, los argumentos inmediatos y elementales muestran que la representación original${\displaystyle \pi }$de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$También es completamente reducible.

Dejar${\displaystyle (\pi ,V)}$sea ​​una representación de dimensión finita de un álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$sobre un cuerpo de característica cero. El teorema es una consecuencia sencilla del lema de Whitehead , que dice:${\displaystyle V\to \operatorname {Der} ({\mathfrak {g}},V),v\mapsto \cdot v}$es sobreyectiva, donde un mapa lineal${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\to V}$es una derivación si${\displaystyle f([x,y])=x\cdot f(y)-y\cdot f(x)}$La prueba se debe esencialmente a Whitehead. ^{[ 7 ]}

Dejar${\displaystyle W\subset V}$sea ​​una subrepresentación. Considere el subespacio vectorial${\displaystyle L_{W}\subset \operatorname {End} (V)}$que consta de todos los mapas lineales${\displaystyle t:V\to V}$de tal manera que${\displaystyle t(V)\subset W}$y${\displaystyle t(W)=0}$Tiene una estructura de un${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-módulo dado por: para${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}},t\in L_{W}}$,

${\displaystyle x\cdot t=[\pi (x),t]}$.

Ahora, elige alguna proyección${\displaystyle p:V\to V}$hacia W y considere${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\to L_{W}}$dado por${\displaystyle f(x)=[p,\pi (x)]}$. Desde${\displaystyle f}$es una derivación, por el lema de Whitehead, podemos escribir${\displaystyle f(x)=x\cdot t}$para algunos${\displaystyle t\in L_{W}}$. Entonces tenemos${\displaystyle [\pi (x),p+t]=0,x\in {\mathfrak {g}}}$; es decir${\displaystyle p+t}$es${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-lineal. Además, como t mata${\displaystyle W}$,${\displaystyle p+t}$es un idempotente tal que${\displaystyle (p+t)(V)=W}$. El núcleo de${\displaystyle p+t}$es entonces una representación complementaria a${\displaystyle W}$.${\displaystyle \square }$

El lema de Whitehead se demuestra típicamente mediante el elemento de Casimir cuadrático del álgebra envolvente universal , ^{[ 8 ]} y también hay una demostración del teorema que utiliza el elemento de Casimir directamente en lugar del lema de Whitehead.

Dado que el elemento cuadrático de Casimir${\displaystyle C}$está en el centro del álgebra envolvente universal, el lema de Schur nos dice que${\displaystyle C}$actúa como múltiple${\displaystyle c_{\lambda }}$de la identidad en la representación irreductible de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$con mayor peso${\displaystyle \lambda }$. Un punto clave es establecer que${\displaystyle c_{\lambda }}$es distinto de cero siempre que la representación no sea trivial. Esto se puede hacer mediante un argumento general ^{[ 9 ]} o mediante la fórmula explícita para${\displaystyle c_{\lambda }}$.

Consideremos un caso muy especial del teorema de reducibilidad completa: el caso en el que una representación${\displaystyle V}$contiene un subespacio invariante, irreducible y no trivial${\displaystyle W}$de codimensión uno.${\displaystyle C_{V}}$denotan la acción de${\displaystyle C}$en${\displaystyle V}$. Desde${\displaystyle V}$no es irreductible,${\displaystyle C_{V}}$no es necesariamente un múltiplo de la identidad, pero es un operador autoentrelazado para${\displaystyle V}$. Entonces la restricción de${\displaystyle C_{V}}$a${\displaystyle W}$es un múltiplo distinto de cero de la identidad. Pero dado que el cociente${\displaystyle V/W}$es una representación unidimensional —y por lo tanto trivial— de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, la acción de${\displaystyle C}$sobre el cociente es trivial. Entonces se deduce fácilmente que${\displaystyle C_{V}}$debe tener un núcleo distinto de cero, y el núcleo es un subespacio invariante, ya que${\displaystyle C_{V}}$es un autoentrelazador. El núcleo es entonces un subespacio invariante unidimensional, cuya intersección con${\displaystyle W}$es cero. Por lo tanto,${\displaystyle \mathrm {ker} (C_{V})}$es un complemento invariante de${\displaystyle W}$, de modo que${\displaystyle V}$se descompone como una suma directa de subespacios irreducibles:

${\displaystyle V=W\oplus \mathrm {ker} (C_{V})}$.

Si bien esto establece solo un caso muy particular del resultado deseado, este paso es en realidad el crucial en el argumento general.

El teorema se puede deducir de la teoría de los módulos de Verma , que caracteriza un módulo simple como el cociente de un módulo de Verma por un submódulo maximal . ^{[ 10 ]} Este enfoque tiene la ventaja de que puede utilizarse para debilitar las suposiciones de dimensionalidad finita (sobre álgebra y representación).

Dejar${\displaystyle V}$sea ​​una representación de dimensión finita de un álgebra de Lie semisimple de dimensión finita${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero. Sea${\displaystyle {\mathfrak {b}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {n}}_{+}\subset {\mathfrak {g}}}$Sea la subálgebra de Borel determinada por la elección de una subálgebra de Cartan y raíces positivas.${\displaystyle V^{0}=\{v\in V|{\mathfrak {n}}_{+}(v)=0\}}$. Entonces${\displaystyle V^{0}}$es un${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$-módulo y por lo tanto tiene el${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$-descomposición del espacio de pesos:

${\displaystyle V^{0}=\bigoplus _{\lambda \in L}V_{\lambda }^{0}}$

dónde${\displaystyle L\subset {\mathfrak {h}}^{*}}$. Para cada${\displaystyle \lambda \in L}$, elegir${\displaystyle 0\neq v_{\lambda }\in V_{\lambda }}$y${\displaystyle V^{\lambda }\subset V}$el${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-submódulo generado por${\displaystyle v_{\lambda }}$y${\displaystyle V'\subset V}$el${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-submódulo generado por${\displaystyle V^{0}}$Afirmamos:${\displaystyle V=V'}$. Suponer${\displaystyle V\neq V'}$. Por el teorema de Lie , existe un${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$-vector de peso en${\displaystyle V/V'}$; por lo tanto, podemos encontrar un${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$-vector de peso${\displaystyle v}$de tal manera que${\displaystyle 0\neq e_{i}(v)\in V'}$para algunos${\displaystyle e_{i}}$entre los generadores Chevalley . Ahora,${\displaystyle e_{i}(v)}$tiene peso${\displaystyle \mu +\alpha _{i}}$. Desde${\displaystyle L}$está parcialmente ordenado, hay un${\displaystyle \lambda \in L}$de tal manera que${\displaystyle \lambda \geq \mu +\alpha _{i}}$; es decir,${\displaystyle \lambda >\mu }$. Pero esto es una contradicción ya que${\displaystyle \lambda ,\mu }$son ambos pesos primitivos (se sabe que los pesos primitivos son incomparables ). De manera similar, cada${\displaystyle V^{\lambda }}$es tan simple como un${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-módulo. De hecho, si no es simple, entonces, para algunos${\displaystyle \mu <\lambda }$,${\displaystyle V_{\mu }^{0}}$contiene algún vector distinto de cero que no es un vector de peso máximo; de nuevo una contradicción.${\displaystyle \square }$