Álgebra de Lie semisimple

En matemáticas , un álgebra de Lie es semisimple si es una suma directa de álgebras de Lie simples . (Un álgebra de Lie simple es un álgebra de Lie no abeliana sin ideales propios distintos de cero ).

A lo largo del artículo, a menos que se indique lo contrario, un álgebra de Lie es un álgebra de Lie de dimensión finita sobre un cuerpo de característica 0. Para tal álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Si es distinto de cero, las siguientes condiciones son equivalentes:

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es semisimple;
• la forma asesina${\displaystyle \kappa (x,y)=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (x)\operatorname {ad} (y))}$no es degenerado ;
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$no tiene ideales abelianos distintos de cero;
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$no tiene ideales resolubles distintos de cero;
• el radical (ideal máximo soluble) de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es cero.

La importancia de la semisimplicidad radica, en primer lugar, en la descomposición de Levi , que establece que toda álgebra de Lie de dimensión finita es el producto semidirecto de un ideal resoluble (su radical) y un álgebra semisimple. En particular, no existe ninguna álgebra de Lie no nula que sea a la vez resoluble y semisimple.

Las álgebras de Lie semisimples poseen una clasificación muy elegante, en marcado contraste con las álgebras de Lie resolubles . Las álgebras de Lie semisimples sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero se clasifican completamente por su sistema de raíces , que a su vez se clasifica mediante diagramas de Dynkin . Las álgebras semisimples sobre cuerpos no algebraicamente cerrados pueden entenderse en términos de aquellas sobre el cierre algebraico, aunque la clasificación es algo más compleja; véase la forma real para el caso de las álgebras de Lie semisimples reales, que fueron clasificadas por Élie Cartan .

Además, la teoría de representación de las álgebras de Lie semisimples es mucho más clara que la de las álgebras de Lie generales. Por ejemplo, la descomposición de Jordan en un álgebra de Lie semisimple coincide con la descomposición de Jordan en su representación; esto no ocurre en las álgebras de Lie en general.

Si${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es semisimple, entonces${\displaystyle {\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$. En particular, toda álgebra de Lie semisimple lineal es una subálgebra de${\displaystyle {\mathfrak {sl}}}$, el álgebra de Lie lineal especial . El estudio de la estructura de${\displaystyle {\mathfrak {sl}}}$constituye una parte importante de la teoría de la representación para las álgebras de Lie semisimples.

Las álgebras de Lie semisimples sobre los números complejos fueron clasificadas por primera vez por Wilhelm Killing (1888-1890), aunque su demostración carecía de rigor. Élie Cartan (1894) la riguró en su tesis doctoral, clasificando también las álgebras de Lie reales semisimples. Posteriormente, esta clasificación se perfeccionó, y la clasificación actual mediante diagramas de Dynkin fue presentada por Eugene Dynkin, de 22 años en aquel entonces , en 1947. Se han realizado algunas modificaciones menores (en particular por J.P. Serre), pero la demostración permanece inalterada en sus aspectos esenciales y puede encontrarse en cualquier referencia estándar, como ( Humphreys 1972 ) .

• Todo ideal, cociente y producto de álgebras de Lie semisimples es también semisimple. ^{[ 1 ]}
• El centro de un álgebra de Lie semisimple${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es trivial (ya que el centro es un ideal abeliano). En otras palabras, la representación adjunta${\displaystyle \operatorname {ad} }$ es inyectivo. Además, la imagen resulta ^{[ 2 ]} ser${\displaystyle \operatorname {Der} ({\mathfrak {g}})}$de derivaciones en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Por eso,${\displaystyle \operatorname {ad}$ :{\mathfrak {g}}{\overset {\sim }{\to }}\operatorname {Der} ({\mathfrak {g}})} es un isomorfismo. ^{[ 3 ]} (Este es un caso especial del lema de Whitehead .)
• Dado que la representación adjunta es inyectiva, un álgebra de Lie semisimple es un álgebra de Lie lineal bajo dicha representación. Esto puede generar cierta ambigüedad, ya que toda álgebra de Lie es lineal con respecto a algún otro espacio vectorial ( teorema de Ado ), aunque no necesariamente a través de la representación adjunta. Sin embargo, en la práctica, esta ambigüedad rara vez se presenta.
• Si${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es un álgebra de Lie semisimple, entonces${\displaystyle {\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$(porque${\displaystyle {\mathfrak {g}}/[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$es semisimple y abeliano). ^{[ 4 ]}
• Un álgebra de Lie de dimensión finita${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$sobre un campo k de característica cero es semisimple si y solo si la extensión base${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes _{k}F}$es semisimple para cada extensión de campo${\displaystyle F\supset k}$. ^{[ 5 ]} Así, por ejemplo, un álgebra de Lie real de dimensión finita es semisimple si y solo si su complejización es semisimple.

Cada endomorfismo x de un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo de característica cero puede descomponerse de forma única en una parte semisimple (es decir, diagonalizable sobre la clausura algebraica) y una parte nilpotente.

${\displaystyle x=s+n\ }$

de tal manera que s y n conmutan entre sí. Además, cada uno de s y n es un polinomio en x . Esta es la descomposición de Jordan de x .

Lo anterior se aplica a la representación adjunta.${\displaystyle \operatorname {ad} }$de un álgebra de Lie semisimple${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Un elemento x de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Se dice que es semisimple (o nilpotente) si${\displaystyle \operatorname {ad} (x)}$es un operador semisimple (resp. nilpotente). ^{[ 6 ]} Si${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$, entonces la descomposición abstracta de Jordan establece que x puede escribirse de forma única como:

${\displaystyle x=s+n}$

dónde${\displaystyle s}$es semisimple,${\displaystyle n}$es nilpotente y${\displaystyle [s,n]=0}$. ^{[ 7 ]} Además, si${\displaystyle y\in {\mathfrak {g}}}$si conmuta con x , entonces conmuta con ambos${\displaystyle s,n}$también.

Los factores de descomposición de Jordan abstractos a través de cualquier representación de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$en el sentido de que dada cualquier representación ρ,

${\displaystyle \rho (x)=\rho (s)+\rho (n)\,}$

es la descomposición de Jordan de ρ( x ) en el álgebra de endomorfismos del espacio de representación. ^{[ 8 ]} (Esto se demuestra como consecuencia del teorema de reducibilidad completa de Weyl ; véase el teorema de Weyl sobre reducibilidad completa#Aplicación: preservación de la descomposición de Jordan ).

Dejar${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Sea un álgebra de Lie semisimple (de dimensión finita) sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero. La estructura de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$puede describirse mediante una acción adjunta de una cierta subálgebra distinguida sobre ella, una subálgebra de Cartan . Por definición, ^{[ 9 ]} una subálgebra de Cartan (también llamada subálgebra toral maximal )${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es una subálgebra maximal tal que, para cada${\displaystyle h\in {\mathfrak {h}}}$,${\displaystyle \operatorname {ad} (h)}$es diagonalizable . Resulta que,${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$es abeliano y por lo tanto todos los operadores en${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})}$son simultáneamente diagonalizables . Para cada funcional lineal${\displaystyle \alpha }$de${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$, dejar

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }=\{x\in {\mathfrak {g}}|\operatorname {ad} (h)x:=[h,x]=\alpha (h)x\,{\text{ for all }}h\in {\mathfrak {h}}\}}$.

(Tenga en cuenta que${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$es el centralizador de${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$.) Entonces

(El elemento más difícil de mostrar es${\displaystyle \dim {\mathfrak {g}}_{\alpha }=1}$. Todas las demostraciones estándar utilizan algunos hechos de la teoría de la representación de${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$; por ejemplo, Serre utiliza el hecho de que un${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$-módulo con un elemento primitivo de peso negativo es de dimensión infinita, lo cual es contradictorio.${\displaystyle \dim {\mathfrak {g}}<\infty }$.)

Dejar${\displaystyle h_{\alpha }\in {\mathfrak {h}},e_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{\alpha },f_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha }}$con las relaciones de conmutación${\displaystyle [e_{\alpha },f_{\alpha }]=h_{\alpha },[h_{\alpha },e_{\alpha }]=2e_{\alpha },[h_{\alpha },f_{\alpha }]=-2f_{\alpha }}$; es decir, el${\displaystyle h_{\alpha },e_{\alpha },f_{\alpha }}$corresponder a la base estándar de${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$.

Los funcionales lineales en${\displaystyle \Phi }$se llaman las raíces de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$relativo a${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$Las raíces se extienden${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$(ya que si${\displaystyle \alpha (h)=0,\alpha \in \Phi }$, entonces${\displaystyle \operatorname {ad} (h)}$es el operador cero; es decir,${\displaystyle h}$está en el centro, que es cero.) Además, de la teoría de la representación de${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$, se deducen las siguientes propiedades de simetría e integrales de${\displaystyle \Phi }$: para cada${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }$,

Tenga en cuenta que${\displaystyle s_{\alpha }}$tiene las propiedades (1)${\displaystyle s_{\alpha }(\alpha )=-\alpha }$y (2) el conjunto de puntos fijos es${\displaystyle \{\gamma \in {\mathfrak {h}}^{*}|\gamma (h_{\alpha })=0\}}$, lo que significa que${\displaystyle s_{\alpha }}$es la reflexión con respecto al hiperplano correspondiente a${\displaystyle \alpha }$Lo anterior dice entonces que${\displaystyle \Phi }$es un sistema de raíces .

De la teoría general de un sistema radicular se deduce que${\displaystyle \Phi }$contiene una base${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{l}}$de${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$de tal manera que cada raíz sea una combinación lineal de${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{l}}$con coeficientes enteros del mismo signo; las raíces${\displaystyle \alpha _{i}}$se llaman raíces simples .${\displaystyle e_{i}=e_{\alpha _{i}}}$, etc. Luego el${\displaystyle 3l}$elementos${\displaystyle e_{i},f_{i},h_{i}}$(llamados generadores Chevalley ) generan${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$como un álgebra de Lie. Además, satisfacen las relaciones (llamadas relaciones de Serre ): con${\displaystyle a_{ij}=\alpha _{j}(h_{i})}$,

${\displaystyle [h_{i},h_{j}]=0,}$

${\displaystyle [e_{i},f_{i}]=h_{i},[e_{i},f_{j}]=0,i\neq j,}$

${\displaystyle [h_{i},e_{j}]=a_{ij}e_{j},[h_{i},f_{j}]=-a_{ij}f_{j},}$

${\displaystyle \operatorname {ad} (e_{i})^{-a_{ij}+1}(e_{j})=\operatorname {ad} (f_{i})^{-a_{ij}+1}(f_{j})=0,i\neq j}$.

Lo contrario también es cierto: es decir, el álgebra de Lie generada por los generadores y las relaciones como las anteriores es un álgebra de Lie semisimple (de dimensión finita) que tiene la descomposición del espacio raíz como se indicó anteriormente (siempre que${\displaystyle [a_{ij}]_{1\leq i,j\leq l}}$es una matriz de Cartan ). Este es un teorema de Serre . En particular, dos álgebras de Lie semisimples son isomorfas si tienen el mismo sistema de raíces.

La implicación de la naturaleza axiomática de un sistema de raíces y del teorema de Serre es que se pueden enumerar todos los posibles sistemas de raíces; por lo tanto, "todas las posibles" álgebras de Lie semisimples (de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero).

El grupo de Weyl es el grupo de transformaciones lineales de${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}\simeq {\mathfrak {h}}}$generado por el${\displaystyle s_{\alpha }}$El grupo de Weyl es una simetría importante del problema; por ejemplo, los pesos de cualquier representación de dimensión finita de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$son invariantes bajo el grupo de Weyl. ^{[ 11 ]}

Para${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )}$y la subálgebra de Cartan${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$de matrices diagonales, definir${\displaystyle \lambda _{i}\in {\mathfrak {h}}^{*}}$por

${\displaystyle \lambda _{i}(d(a_{1},\ldots ,a_{n}))=a_{i}}$,

dónde${\displaystyle d(a_{1},\ldots ,a_{n})}$denota la matriz diagonal con${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$en la diagonal. Entonces la descomposición viene dada por

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \left(\bigoplus _{i\neq j}{\mathfrak {g}}_{\lambda _{i}-\lambda _{j}}\right)}$

dónde

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda _{i}-\lambda _{j}}={\text{Span}}_{\mathbb {C} }(e_{ij})}$

para el vector${\displaystyle e_{ij}}$en${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )}$con la base estándar (matricial), lo que significa${\displaystyle e_{ij}}$representa el vector base en el${\displaystyle i}$-ésima fila y${\displaystyle j}$-ésima columna. Esta descomposición de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$tiene un sistema radicular asociado:

${\displaystyle \Phi =\{\lambda _{i}-\lambda _{j}:i\neq j\}}$

Como se señala en #Structure , las álgebras de Lie semisimples sobre${\displaystyle \mathbb {C} }$(o, más generalmente, un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero) se clasifican según el sistema de raíces asociado a sus subálgebras de Cartan, y los sistemas de raíces, a su vez, se clasifican según sus diagramas de Dynkin. Ejemplos de álgebras de Lie semisimples, las álgebras de Lie clásicas , con notación derivada de sus diagramas de Dynkin , son:

• ${\displaystyle A_{n}:}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n+1}}$, el álgebra de Lie lineal especial .
• ${\displaystyle B_{n}:}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n+1}}$, el álgebra de Lie ortogonal especial de dimensión impar .
• ${\displaystyle C_{n}:}$${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{2n}}$, el álgebra de Lie simpléctica .
• ${\displaystyle D_{n}:}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n}}$, el álgebra de Lie ortogonal especial de dimensión par (${\displaystyle n>1}$).

La restricción${\displaystyle n>1}$en el${\displaystyle D_{n}}$La familia es necesaria porque${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2}}$es unidimensional y conmutativo y, por lo tanto, no es semisimple.

Estas álgebras de Lie se numeran de modo que n sea el rango . Casi todas estas álgebras de Lie semisimples son en realidad simples y los miembros de estas familias son casi todos distintos, excepto por algunas colisiones en rango pequeño. Por ejemplo${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{4}\cong {\mathfrak {so}}_{3}\oplus {\mathfrak {so}}_{3}}$y${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{2}\cong {\mathfrak {so}}_{5}}$Estas cuatro familias, junto con cinco excepciones ( E6, E7, E8, F4 y G2 ) , _{son de} hecho las _únicas álgebras de Lie _simples sobre los números complejos _.

Toda álgebra de Lie semisimple sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica 0 es una suma directa de álgebras de Lie simples (por definición), y las álgebras de Lie simples de dimensión finita se dividen en cuatro familias: A _n , B _n , C _n , y D _n , con cinco excepciones: E ₆ , E ₇ , E ₈ , F ₄ , y G ₂ . Las álgebras de Lie simples se clasifican mediante los diagramas de Dynkin conexos , que se muestran a la derecha, mientras que las álgebras de Lie semisimples corresponden a diagramas de Dynkin no necesariamente conexos, donde cada componente del diagrama corresponde a un sumando de la descomposición del álgebra de Lie semisimple en álgebras de Lie simples.

La clasificación procede considerando una subálgebra de Cartan (véase más adelante) y su acción adjunta sobre el álgebra de Lie. El sistema de raíces de la acción determina el álgebra de Lie original y debe tener una forma muy restringida, que puede clasificarse mediante los diagramas de Dynkin. Consulte la sección siguiente que describe las subálgebras de Cartan y los sistemas de raíces para obtener más detalles.

Esta clasificación se considera uno de los resultados más elegantes de las matemáticas: una breve lista de axiomas proporciona, mediante una demostración relativamente corta, una clasificación completa pero no trivial con una estructura sorprendente. Esto contrasta con la clasificación de grupos simples finitos , que es considerablemente más compleja.

La enumeración de las cuatro familias no es redundante y consiste únicamente en álgebras simples si${\displaystyle n\geq 1}$para A _n ,${\displaystyle n\geq 2}$para B _n ,${\displaystyle n\geq 3}$para C _n , y${\displaystyle n\geq 4}$para D _n . Si se empieza a numerar más abajo, la enumeración es redundante y se tienen isomorfismos excepcionales entre álgebras de Lie simples, que se reflejan en isomorfismos de diagramas de Dynkin ; los E _n también se pueden extender hacia abajo, pero por debajo de E ₆ son isomorfos a otras álgebras no excepcionales.

Sobre un cuerpo no algebraicamente cerrado, la clasificación es más compleja: se clasifican las álgebras de Lie simples sobre la clausura algebraica y, para cada una de ellas, se clasifican las álgebras de Lie simples sobre el cuerpo original que tienen esta forma (sobre la clausura). Por ejemplo, para clasificar las álgebras de Lie reales simples, se clasifican las álgebras de Lie reales con una complejización dada, que se conocen como formas reales del álgebra de Lie compleja; esto se puede hacer mediante diagramas de Satake , que son diagramas de Dynkin con datos adicionales ("decoraciones"). ^{[ 12 ]}

Dejar${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Sea un álgebra de Lie semisimple (de dimensión finita) sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero. Entonces, como en #Structure ,${\textstyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$dónde${\displaystyle \Phi }$es el sistema radicular. Elija las raíces simples en${\displaystyle \Phi }$; una raíz${\displaystyle \alpha }$de${\displaystyle \Phi }$entonces se llama positivo y se denota por${\displaystyle \alpha >0}$Si se trata de una combinación lineal de raíces simples con coeficientes enteros no negativos. Sea${\textstyle {\mathfrak {b}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha >0}{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$, que es una subálgebra resoluble máxima de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, la subálgebra de Borel .

Sea V un conjunto simple (posiblemente de dimensión infinita)${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-módulo. Si V resulta admitir un${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$-vector de peso${\displaystyle v_{0}}$, ^{[ 13 ]} entonces es único salvo escalado y se denomina el vector de peso más alto de V. También es un${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$-vector de peso y el${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$-peso de${\displaystyle v_{0}}$, un funcional lineal de${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$, se denomina el peso más alto de V. Los hechos básicos pero no triviales ^{[ 14 ]} son ​​entonces (1) a cada funcional lineal${\displaystyle \mu \in {\mathfrak {h}}^{*}}$, existe una solución simple${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-módulo${\displaystyle V^{\mu }}$teniendo${\displaystyle \mu }$como su peso máximo y (2) dos módulos simples que tienen el mismo peso máximo son equivalentes. En resumen, existe una biyección entre${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$y el conjunto de las clases de equivalencia de simples${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-módulos que admiten un vector de peso de Borel.

Para aplicaciones, a menudo se está interesado en un modelo simple de dimensión finita.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-módulo (una representación irreducible de dimensión finita). Este es el caso especialmente cuando${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es el álgebra de Lie de un grupo de Lie (o complejización del mismo), ya que, mediante la correspondencia de Lie , una representación de álgebra de Lie puede integrarse a una representación de grupo de Lie cuando se superan las obstrucciones. El siguiente criterio aborda entonces esta necesidad: mediante la cámara de Weyl positiva${\displaystyle C\subset {\mathfrak {h}}^{*}}$Nos referimos al cono convexo${\displaystyle C=\{\mu \in {\mathfrak {h}}^{*}|\mu (h_{\alpha })\geq 0,\alpha \in \Phi >0\}}$dónde${\displaystyle h_{\alpha }\in [{\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{-\alpha }]}$es un vector único tal que${\displaystyle \alpha (h_{\alpha })=2}$. El criterio entonces dice: ^{[ 15 ]}

• ${\displaystyle \dim V^{\mu }<\infty }$si y solo si, para cada raíz positiva${\displaystyle \alpha >0}$, (1)${\displaystyle \mu (h_{\alpha })}$es un número entero y (2)${\displaystyle \mu }$se encuentra en${\displaystyle C}$.

Un funcional lineal${\displaystyle \mu }$que satisface la condición de equivalencia anterior se denomina peso integral dominante. Por lo tanto, en resumen, existe una biyección entre los pesos integrales dominantes y las clases de equivalencia de funciones simples de dimensión finita.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-módulos, el resultado conocido como el teorema del peso más alto . El carácter de un módulo simple de dimensión finita a su vez se calcula mediante la fórmula del carácter de Weyl .

El teorema debido a Weyl dice que, sobre un cuerpo de característica cero, todo módulo de dimensión finita de un álgebra de Lie semisimple${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es completamente reducible ; es decir, es una suma directa de expresiones simples.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-módulos. Por lo tanto, los resultados anteriores se aplican a representaciones de dimensión finita de un álgebra de Lie semisimple.

Para un álgebra de Lie semisimple sobre un cuerpo de característica cero pero no algebraicamente cerrada, no existe una teoría de estructura general como la que se aplica a los álgebras sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero. Sin embargo, sobre el cuerpo de los números reales, aún existen resultados de estructura.

Dejar${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$sea ​​un álgebra de Lie semisimple real de dimensión finita y${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {g}}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$la complejización de la misma (que de nuevo es semisimple). El álgebra de Lie real${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$se llama una forma real de${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }}$Una forma real se denomina forma compacta si la forma de Killing definida sobre ella es negativa; es necesariamente el álgebra de Lie de un grupo de Lie compacto (de ahí el nombre).

Si${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathrm {sl} (n,\mathbb {C} )}$, entonces${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$puede tomarse como la subálgebra diagonal de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, que consiste en matrices diagonales cuyas entradas diagonales suman cero. Dado que${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$tiene dimensión${\displaystyle n-1}$, vemos que${\displaystyle \mathrm {sl} (n;\mathbb {C} )}$tiene rango${\displaystyle n-1}$.

Los vectores raíz${\displaystyle X}$en este caso pueden tomarse como matrices${\displaystyle E_{i,j}}$con${\displaystyle i\neq j}$, dónde${\displaystyle E_{i,j}}$es la matriz con un 1 en la${\displaystyle (i,j)}$punto y ceros en otros lugares. ^{[ 18 ]} Si${\displaystyle H}$es una matriz diagonal con entradas diagonales${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$, entonces tenemos

${\displaystyle [H,E_{i,j}]=(\lambda _{i}-\lambda _{j})E_{i,j}}$.

Por lo tanto, las raíces de${\displaystyle \mathrm {sl} (n,\mathbb {C} )}$son los funcionales lineales${\displaystyle \alpha _{i,j}}$dado por

${\displaystyle \alpha _{i,j}(H)=\lambda _{i}-\lambda _{j}}$.

Después de identificar${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$Con su dualidad, las raíces se convierten en vectores.${\displaystyle \alpha _{i,j}:=e_{i}-e_{j}}$en el espacio de${\displaystyle n}$-tuplas que suman cero. Este es el sistema raíz conocido como${\displaystyle A_{n-1}}$en el etiquetado convencional.

La reflexión asociada a la raíz${\displaystyle \alpha _{i,j}}$actúa en${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$transponiendo el${\displaystyle i}$y${\displaystyle j}$entradas diagonales. El grupo de Weyl es entonces simplemente el grupo de permutaciones en${\displaystyle n}$elementos, actuando mediante la permutación de las entradas diagonales de las matrices en${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$.

Las álgebras de Lie semisimples admiten ciertas generalizaciones. En primer lugar, muchas afirmaciones que son verdaderas para las álgebras de Lie semisimples son verdaderas de forma más general para las álgebras de Lie reductivas . En abstracto, un álgebra de Lie reductiva es aquella cuya representación adjunta es completamente reducible , mientras que, concretamente, un álgebra de Lie reductiva es una suma directa de un álgebra de Lie semisimple y un álgebra de Lie abeliana ; por ejemplo,${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}}$es semisimple y${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$es reductivo. Muchas propiedades de las álgebras de Lie semisimples dependen únicamente de la reducibilidad.

Muchas propiedades de las álgebras de Lie semisimples/reductivas complejas se cumplen no solo para las álgebras de Lie semisimples/reductivas sobre cuerpos algebraicamente cerrados, sino también, de forma más general, para las álgebras de Lie semisimples/reductivas escindidas sobre otros cuerpos: las álgebras de Lie semisimples/reductivas sobre cuerpos algebraicamente cerrados siempre están escindidas, pero sobre otros cuerpos esto no siempre es así. Las álgebras de Lie escindidas tienen esencialmente la misma teoría de representación que las álgebras de Lie semisimples sobre cuerpos algebraicamente cerrados; por ejemplo, la subálgebra de Cartan escindida desempeña el mismo papel que la subálgebra de Cartan sobre cuerpos algebraicamente cerrados. Este es el enfoque seguido en ( Bourbaki 2005 ) , por ejemplo, que clasifica las representaciones de las álgebras de Lie semisimples/reductivas escindidas.

Un grupo de Lie conexo se denomina semisimple si su álgebra de Lie es un álgebra de Lie semisimple, es decir, una suma directa de álgebras de Lie simples. Se denomina reductivo si su álgebra de Lie es una suma directa de álgebras de Lie simples y triviales (unidimensionales). Los grupos reductivos aparecen de forma natural como simetrías de varios objetos matemáticos en álgebra, geometría y física. Por ejemplo, el grupo${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {R} )}$de simetrías de un espacio vectorial real n -dimensional (equivalentemente, el grupo de matrices invertibles) es reductivo.

• Álgebra de Lie
• Sistema radicular
• representación del álgebra de Lie
• Grupo compacto
• Grupo Simple Lie
• subálgebra de Borel
• Teorema de Jacobson-Morozov