Ley de Weyl

En matemáticas , especialmente en teoría espectral , la ley de Weyl describe el comportamiento asintótico de los valores propios del operador de Laplace-Beltrami . Esta descripción fue descubierta en 1911 (en el${\displaystyle d=2,3}$caso) por Hermann Weyl para los autovalores del operador de Laplace-Beltrami que actúa sobre funciones que se anulan en el límite de un dominio acotado${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}$. En particular, demostró que el número,${\displaystyle N(\lambda )}$, de valores propios de Dirichlet (contando sus multiplicidades) menores o iguales a${\displaystyle \lambda }$Satisface

${\displaystyle \lim _{\lambda \rightarrow \infty }{\frac {N(\lambda )}{\lambda ^{d/2}}}=(2\pi )^{-d}\omega _{d}\mathrm {vol} (\Omega )}$

dónde ${\displaystyle \omega _{d}}$es el volumen de la bola unitaria en${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$. ^{[ 1 ]} En 1912 proporcionó una nueva demostración basada en métodos variacionales . ^{[ 2 ] [ 3 ]} La ley de Weyl puede extenderse a variedades riemannianas cerradas , donde se puede dar otra demostración utilizando la función zeta de Minakshisundaram-Pleijel .

La ley de Weyl se ha extendido a dominios y operadores más generales. Para el operador de Schrödinger

${\displaystyle H=-h^{2}\Delta +V(x)}$

se extendió a

${\displaystyle N(E,h)\sim (2\pi h)^{-d}\int _{\{|\xi |^{2}+V(x)<E\}}dx\,d\xi }$

como${\displaystyle E}$tendiendo a${\displaystyle +\infty }$o a un fondo del espectro esencial y/o${\displaystyle h\to +0}$. ^{[ 4 ]} Aquí${\displaystyle N(E,h)}$es el número de valores propios de${\displaystyle H}$abajo${\displaystyle E}$a menos que exista un espectro esencial a continuación${\displaystyle E}$en cuyo caso${\displaystyle N(E,h)=+\infty }$.

En el desarrollo de la asintótica espectral , los métodos variacionales y el análisis microlocal desempeñaron un papel crucial .

La ley de Weyl extendida falla en ciertas situaciones. En particular, la ley de Weyl extendida "afirma" que no hay un espectro esencial si y solo si la expresión de la derecha es finita para todo${\displaystyle E}$.

Si se consideran dominios con cúspides (es decir, que se contraen hacia el infinito), la ley de Weyl (extendida) afirma que no existe un espectro esencial si y solo si el volumen es finito. Sin embargo, para el laplaciano de Dirichlet, no existe un espectro esencial incluso si el volumen es infinito, siempre que las cúspides se contraigan al infinito (por lo que la finitud del volumen no es necesaria).

Por otro lado, para el laplaciano de Neumann hay un espectro esencial a menos que las cúspides se contraigan en el infinito más rápido que el exponente negativo (por lo que la finitud del volumen no es suficiente).

Weyl conjeturó que

${\displaystyle N(\lambda )=(2\pi )^{-d}\lambda ^{d/2}\omega _{d}\mathrm {vol} (\Omega )\mp {\frac {1}{4}}(2\pi )^{1-d}\omega _{d-1}\lambda ^{(d-1)/2}\mathrm {área} (\partial \Omega )+o(\lambda ^{(d-1)/2})}$

donde el término restante es negativo para las condiciones de contorno de Dirichlet y positivo para las de Neumann. La estimación del resto fue mejorada por muchos matemáticos.

En 1922, Richard Courant demostró ser un límite de${\displaystyle O(\lambda ^{(d-1)/2}\log \lambda )}$En 1952, Boris Levitan demostró el límite más estrecho de${\displaystyle O(\lambda ^{(d-1)/2})}$para variedades cerradas compactas. Robert Seeley extendió esto para incluir ciertos dominios euclidianos en 1978. ^{[ 5 ]} En 1975, Hans Duistermaat y Victor Guillemin demostraron la cota de ${\displaystyle o(\lambda ^{(d-1)/2})}$cuando el conjunto de bicaracterísticas periódicas tiene medida 0. ^{[ 6 ]} Esto fue finalmente generalizado por Victor Ivrii en 1980. ^{[ 7 ]} Esta generalización supone que el conjunto de trayectorias periódicas de un billar en${\displaystyle \Omega }$tiene medida 0, lo cual Ivrii conjeturó que se cumple para todos los dominios euclidianos acotados con fronteras suaves. Desde entonces, se han obtenido resultados similares para clases más amplias de operadores.

En una cavidad hueca cúbica con longitud tamaño${\displaystyle L}$y volumen${\displaystyle V=L^{3}}$la densidad de estados de la radiación electromagnética con frecuencia angular${\displaystyle \omega }$es dado por

${\displaystyle g(\omega )={\frac {V\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}}$

dónde${\displaystyle c}$es la velocidad de la luz. La ley de Weyl se puede utilizar para demostrar que esta densidad de estados se aplica a cavidades de cualquier forma si son suficientemente grandes . ^{[ 8 ]}