Ruido blanco

El ruido blanco se usa comúnmente en la producción de música electrónica , generalmente de forma directa o como entrada para un filtro que crea otros tipos de señales de ruido. Se usa ampliamente en la síntesis de audio , típicamente para recrear instrumentos de percusión como platillos o cajas , que tienen un alto contenido de ruido en su dominio de frecuencia. ^{[ 12 ]} Un ejemplo simple de ruido blanco es una estación de radio inexistente (estática).

El ruido blanco también se utiliza para obtener la respuesta impulsional de un circuito eléctrico, en particular de amplificadores y otros equipos de audio. ^{[ 13 ]} No se utiliza para probar altavoces, ya que su espectro contiene una cantidad excesiva de frecuencias altas. El ruido rosa , que se diferencia del ruido blanco en que tiene la misma energía en cada octava, se utiliza para probar transductores como altavoces y micrófonos. ^{[ 14 ]}

El ruido blanco se utiliza como base de algunos generadores de números aleatorios . Por ejemplo, Random.org utiliza un sistema de antenas atmosféricas para generar patrones de dígitos aleatorios a partir de fuentes que pueden modelarse adecuadamente mediante ruido blanco. ^{[ 15 ]}

El ruido blanco es una fuente común de ruido sintético utilizada para enmascarar el sonido mediante un enmascarador de tinnitus . ^{[ 16 ]} Las máquinas de ruido blanco y otras fuentes de ruido blanco se venden como potenciadores de la privacidad y ayudas para dormir (ver música y sueño ) y para enmascarar el tinnitus . ^{[ 17 ]} El Marpac Sleep-Mate fue la primera máquina de ruido blanco de uso doméstico construida en 1962 por el vendedor ambulante Jim Buckwalter. ^{[ 18 ]} Como alternativa, el uso de una radio AM sintonizada a frecuencias no utilizadas ("estática") es una fuente de ruido blanco más simple y rentable. ^{[ 19 ]} Sin embargo, el ruido blanco generado por un receptor de radio comercial común sintonizado a una frecuencia no utilizada es extremadamente vulnerable a la contaminación con señales espurias, como estaciones de radio adyacentes, armónicos de estaciones de radio no adyacentes, equipos eléctricos en las proximidades de la antena receptora que causan interferencia, o incluso eventos atmosféricos como erupciones solares y especialmente rayos.

Los efectos del ruido blanco sobre la función cognitiva son contradictorios. Un pequeño estudio publicado en 2007 halló que la estimulación de fondo con ruido blanco mejora el funcionamiento cognitivo en estudiantes de secundaria con trastorno por déficit de atención con hiperactividad (TDAH), mientras que disminuye el rendimiento de los estudiantes sin TDAH. ^{[ 20 ] [ 21 ]} Otros trabajos indican que es eficaz para mejorar el estado de ánimo y el rendimiento de los trabajadores al enmascarar el ruido ambiental de la oficina, ^{[ 22 ]} pero disminuye el rendimiento cognitivo en tareas complejas de clasificación de tarjetas. ^{[ 23 ]}

De manera similar, se realizó un experimento con sesenta y seis participantes sanos para observar los beneficios del uso de ruido blanco en un entorno de aprendizaje. El experimento consistió en que los participantes identificaran diferentes imágenes con distintos sonidos de fondo. En general, el experimento demostró que el ruido blanco sí tiene beneficios para el aprendizaje. Los experimentos mostraron que el ruido blanco mejoró ligeramente las habilidades de aprendizaje y la memoria de reconocimiento de los participantes. ^{[ 24 ]}

Se dice que un vector aleatorio (es decir, una variable aleatoria con valores en R ⁿ ) es un vector de ruido blanco o vector aleatorio blanco si cada uno de sus componentes tiene una distribución de probabilidad con media cero y varianza finita . Si bien las definiciones estándar de procesamiento de señales exigen estrictamente que estas varianzas sean idénticas para garantizar un espectro de potencia perfectamente plano, los tratamientos estadísticos más amplios a veces solo requieren que las varianzas sean finitas y que los componentes sean estadísticamente independientes : es decir, su distribución de probabilidad conjunta debe ser el producto de las distribuciones de los componentes individuales. ^{[ 25 ]}

Una condición necesaria (pero, en general, no suficiente ) para la independencia estadística de dos variables es que no estén correlacionadas estadísticamente ; es decir, su covarianza es cero. Por lo tanto, la matriz de covarianza R de los componentes de un vector de ruido blanco w con n elementos debe ser una matriz diagonal de n por n , donde cada elemento diagonal R _ii es la varianza del componente w _i ; y la matriz de correlación debe ser la matriz identidad de n por n . (Si las varianzas son idénticas, la matriz de covarianza se simplifica a un múltiplo escalar de la matriz identidad,${\displaystyle R=\sigma ^{2}I}$).

Si, además de ser independientes, cada variable en w también tiene una distribución normal con media cero y la misma varianza${\displaystyle \sigma ^{2}}$Se dice que w es un vector de ruido blanco gaussiano. En ese caso, la distribución conjunta de w es una distribución normal multivariada ; la independencia entre las variables implica entonces que la distribución tiene simetría esférica en el espacio n- dimensional. Por lo tanto, cualquier transformación ortogonal del vector dará como resultado un vector aleatorio blanco gaussiano. En particular, bajo la mayoría de los tipos de transformada discreta de Fourier , como FFT y Hartley , la transformada W de w también será un vector de ruido blanco gaussiano; es decir, los n coeficientes de Fourier de w serán variables gaussianas independientes con media cero y la misma varianza.${\displaystyle \sigma ^{2}}$.

El espectro de potencia P de un vector aleatorio w se puede definir como el valor esperado del módulo al cuadrado de cada coeficiente de su transformada de Fourier W , es decir, P _i = E(| W _i | ² ). Bajo esa definición, un vector de ruido blanco gaussiano tendrá un espectro de potencia perfectamente plano, con P _i  = σ ² para todo i .  

Si w es un vector aleatorio blanco, pero no uno gaussiano, sus coeficientes de Fourier W _i no serán completamente independientes entre sí; aunque para n grande y distribuciones de probabilidad comunes las dependencias son muy sutiles y se puede suponer que sus correlaciones por pares son cero.

A menudo, en la definición de ruido blanco se utiliza la condición más débil de no correlación estadística, en lugar de independencia estadística. Sin embargo, algunas de las propiedades comúnmente esperadas del ruido blanco (como un espectro de potencia plano) pueden no cumplirse para esta versión más débil. Bajo esta suposición, la versión más estricta puede denominarse explícitamente vector de ruido blanco independiente. ^{[ 26 ] : p.60} Otros autores utilizan en su lugar los términos fuertemente blanco y débilmente blanco. ^{[ 27 ]}

Un ejemplo de un vector aleatorio que es ruido blanco gaussiano en el sentido débil pero no en el sentido fuerte es${\displaystyle x=[x_{1},x_{2}]}$dónde${\displaystyle x_{1}}$es una variable aleatoria normal con media cero, y${\displaystyle x_{2}}$es igual a${\displaystyle +x_{1}}$o para${\displaystyle -x_{1}}$, con igual probabilidad. Estas dos variables no están correlacionadas y tienen una distribución normal individual, pero no tienen una distribución normal conjunta y no son independientes. Si${\displaystyle x}$Si se rota 45 grados, sus dos componentes seguirán sin estar correlacionadas, pero su distribución ya no será normal.

En algunas situaciones, se puede relajar la definición permitiendo que cada componente de un vector aleatorio blanco${\displaystyle w}$tener un valor esperado distinto de cero${\displaystyle \mu }$En el procesamiento de imágenes , especialmente, donde las muestras suelen estar restringidas a valores positivos, a menudo se toma${\displaystyle \mu }$ser la mitad del valor máximo de la muestra. En ese caso, el coeficiente de Fourier${\displaystyle W_{0}}$correspondiente al componente de frecuencia cero (esencialmente, el promedio de la${\displaystyle w_{i}}$) también tendrá un valor esperado distinto de cero.${\displaystyle \mu {\sqrt {n}}}$y el espectro de potencia${\displaystyle P}$será plana únicamente en las frecuencias distintas de cero.

Un proceso estocástico de tiempo discreto${\displaystyle W(n)}$es una generalización de un vector aleatorio con un número finito de componentes a un número infinito de componentes. Un proceso estocástico de tiempo discreto${\displaystyle W(n)}$Se denomina ruido blanco de sentido débil (o a menudo simplemente "ruido blanco" en el procesamiento de señales) si su media es igual a cero para todo${\displaystyle n}$, es decir,${\displaystyle \operatorname {E} [W(n)]=0}$y si su función de autocorrelación${\displaystyle R_{W}(n)=\operatorname {E} [W(k+n)W(k)]}$tiene un valor distinto de cero solo para${\displaystyle n=0}$, es decir,${\displaystyle R_{W}(n)=\sigma ^{2}\delta (n)}$, dónde${\displaystyle \sigma ^{2}}$es la varianza y${\displaystyle \delta (n)}$es el delta de Kronecker . ^{[ 28 ]}

Las variables${\displaystyle W(n)}$Solo se requiere que las variables aleatorias no estén correlacionadas (no necesariamente que sean estadísticamente independientes ) porque la densidad espectral de potencia plana característica del ruido blanco depende completamente de los momentos de segundo orden del proceso (su función de autocorrelación). Un proceso que requiere estrictamente que las muestras sean independientes e idénticamente distribuidas (i.i.d.) se denomina ruido blanco en sentido estricto . Cabe destacar que, si las variables aleatorias no correlacionadas son conjuntamente gaussianas , esto garantiza inherentemente que también sean estadísticamente independientes.

Para definir la noción de ruido blanco en la teoría de señales de tiempo continuo , hay que reemplazar el concepto de vector aleatorio por una señal aleatoria de tiempo continuo; es decir, un proceso aleatorio que genera una función${\displaystyle w}$de un parámetro de valor real${\displaystyle t}$.

Se dice que tal proceso es ruido blanco en el sentido más estricto si el valor${\displaystyle w(t)}$en cualquier momento${\displaystyle t}$es una variable aleatoria que es estadísticamente independiente de toda su historia anterior.${\displaystyle t}$Una definición más débil requiere independencia solo entre los valores.${\displaystyle w(t_{1})}$y${\displaystyle w(t_{2})}$en cada par de momentos distintos${\displaystyle t_{1}}$y${\displaystyle t_{2}}$. Una definición aún más débil solo requiere que tales pares${\displaystyle w(t_{1})}$y${\displaystyle w(t_{2})}$no estar correlacionados. ^{[ 29 ]} Al igual que en el caso discreto, algunos autores adoptan la definición más débil para el ruido blanco y utilizan el calificador independiente para referirse a cualquiera de las definiciones más fuertes. Otros utilizan débilmente blanco y fuertemente blanco para distinguirlos.

Sin embargo, una definición precisa de estos conceptos no es trivial, porque algunas cantidades que son sumas finitas en el caso discreto finito deben ser reemplazadas por integrales que pueden no converger. De hecho, el conjunto de todas las instancias posibles de una señal${\displaystyle w}$ya no es un espacio de dimensión finita${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, pero un espacio de funciones de dimensión infinita . Además, por cualquier definición, una señal de ruido blanco.${\displaystyle w}$tendría que ser esencialmente discontinuo en cada punto; por lo tanto, incluso las operaciones más simples en${\displaystyle w}$, al igual que la integración sobre un intervalo finito, requieren maquinaria matemática avanzada.

Algunos textos introductorios de ingeniería tratan esto como una heurística en lugar de una definición matemática estricta, y requieren que cada valor${\displaystyle w(t)}$ser una variable aleatoria de valor real con esperanza${\displaystyle \mu }$y alguna varianza finita${\displaystyle \sigma ^{2}}$. Entonces la covarianza${\displaystyle \mathrm {E} (w(t_{1})\cdot w(t_{2}))}$entre los valores en dos momentos${\displaystyle t_{1}}$y${\displaystyle t_{2}}$está bien definido: es cero si los tiempos son distintos y${\displaystyle \sigma ^{2}}$si son iguales. Sin embargo, según esta definición, la integral

${\displaystyle W_{[a,a+r]}=\int _{a}^{a+r}w(t)\,dt}$

sobre cualquier intervalo con ancho positivo${\displaystyle r}$sería simplemente el ancho multiplicado por la expectativa:${\displaystyle r\mu }$Si bien el hecho de que la esperanza sea cero no es intrínsecamente problemático, si la varianza puntual es finita, la varianza de esta integral sería cero, lo que significa que la señal no tiene energía medible. Esta propiedad hace que el concepto sea inadecuado como modelo de señales de ruido blanco, tanto en un sentido físico como matemático, porque un verdadero proceso de ruido blanco debe poseer una densidad espectral de potencia plana , lo que requiere que la varianza puntual sea infinita en lugar de finita.

Por lo tanto, la mayoría de los autores definen la señal${\displaystyle w}$indirectamente especificando valores aleatorios para las integrales de${\displaystyle w(t)}$y${\displaystyle |w(t)|^{2}}$en cada intervalo${\displaystyle [a,a+r]}$. Sin embargo, en este enfoque, el valor de${\displaystyle w(t)}$en un momento aislado no puede definirse como una variable aleatoria estándar de valor real. ^{[ 30 ]} También la covarianza${\displaystyle \mathrm {E} (w(t_{1})\cdot w(t_{2}))}$se vuelve infinito cuando${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$y la función de autocovarianza (a menudo denominada informalmente autocorrelación en contextos de ingeniería).${\displaystyle \mathrm {R} (t_{1},t_{2})}$debe definirse como${\displaystyle N\delta (t_{1}-t_{2})}$, dónde${\displaystyle N}$es alguna constante real que representa la densidad espectral de potencia y${\displaystyle \delta }$es la función delta de Dirac , una medida no acotada que refleja correctamente la varianza infinita en${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$.

En este enfoque, se suele especificar que la integral${\displaystyle W_{I}}$de${\displaystyle w(t)}$durante un intervalo${\displaystyle I=[a,b]}$es una variable aleatoria real con distribución normal, media cero y varianza${\displaystyle (ba)\sigma ^{2}}$; y también que la covarianza${\displaystyle \mathrm {E} (W_{I}\cdot W_{J})}$de las integrales${\displaystyle W_{I}}$,${\displaystyle W_{J}}$es${\displaystyle r\sigma ^{2}}$, dónde${\displaystyle r}$es el ancho de la intersección${\displaystyle I\cap J}$de los dos intervalos${\displaystyle I,J}$Este modelo se denomina señal (o proceso) de ruido blanco gaussiano.

En el campo matemático conocido como análisis de ruido blanco , un ruido blanco gaussiano${\displaystyle w}$se define como una distribución temperada estocástica, es decir, una variable aleatoria con valores en el espacio${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )}$de distribuciones templadas . Análogo al caso de vectores aleatorios de dimensión finita, una ley de probabilidad en el espacio de dimensión infinita.${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )}$puede definirse mediante su función característica (la existencia y unicidad están garantizadas por una extensión del teorema de Bochner-Minlos, que se conoce como teorema de Bochner-Minlos-Sazanov):

• De forma análoga al caso de la distribución normal multivariada${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}_{n}(\mu,\Sigma)}$, que tiene una función característica:

${\displaystyle \forall k\in \mathbb {R} ^{n}:\quad \mathrm {E} (\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \langle k,X\rangle })=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \langle k,\mu \rangle -{\frac {1}{2}}\langle k,\Sigma k\rangle },}$

• El ruido blanco${\displaystyle w:\Omega \to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )}$debe satisfacer:

${\displaystyle \forall \varphi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ):\quad \mathrm {E} (\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \langle w,\varphi \rangle })=\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}\|\varphi \|_{2}^{2}},}$

• Dónde${\displaystyle \langle w,\varphi \rangle }$es el emparejamiento natural de la distribución templada${\displaystyle w(\omega )}$con la función Schwartz${\displaystyle \varphi }$(es decir, consideramos${\displaystyle \varphi }$como una función lineal fija en${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )}$análogo a${\displaystyle k}$arriba).
• Y${\displaystyle \|\varphi \|_{2}^{2}=\int _{\mathbb {R} }\vert \varphi (x)\vert ^{2}\,\mathrm {d} x}$.

En estadística y econometría, a menudo se asume que una serie observada de valores de datos es la suma de los valores generados por un proceso lineal determinista , que depende de ciertas variables independientes (explicativas) y de una serie de valores de ruido aleatorio. Luego, se utiliza el análisis de regresión para inferir los parámetros del proceso del modelo a partir de los datos observados, por ejemplo, mediante mínimos cuadrados ordinarios , y para contrastar la hipótesis nula de que cada uno de los parámetros es cero frente a la hipótesis alternativa de que es distinto de cero. La prueba de hipótesis suele asumir que los valores de ruido no están correlacionados entre sí, tienen media cero y la misma distribución de probabilidad gaussiana ; en otras palabras, que el ruido es blanco gaussiano (no simplemente blanco). ^{[ 31 ]} Si existe una correlación distinta de cero entre los valores de ruido subyacentes a diferentes observaciones, entonces los parámetros del modelo estimados siguen siendo insesgados , pero las estimaciones de sus incertidumbres (como los intervalos de confianza ) estarán sesgadas (no serán precisas en promedio). Esto también es cierto si el ruido es heterocedástico , es decir, si tiene varianzas diferentes para diferentes puntos de datos.  

Alternativamente, en el subconjunto del análisis de regresión conocido como análisis de series temporales, a menudo no hay variables explicativas aparte de los valores pasados ​​de la variable que se está modelando (la variable dependiente ). En este caso, el proceso de ruido se suele modelar como un proceso de media móvil , en el que el valor actual de la variable dependiente depende de los valores actuales y pasados ​​de un proceso de ruido blanco secuencial. ^{[ 32 ]}

Mediante una transformación lineal adecuada (una transformación de coloración ), un vector aleatorio blanco puede utilizarse para producir un vector aleatorio no blanco (es decir, una lista de variables aleatorias) cuyos elementos poseen una matriz de covarianza predefinida . A la inversa, un vector aleatorio con una matriz de covarianza conocida puede transformarse en un vector aleatorio blanco mediante una transformación de blanqueamiento adecuada . ^{[ 33 ]}

Estas dos ideas son cruciales en aplicaciones como la estimación de canales y la ecualización de canales en comunicaciones y audio . Estos conceptos también se utilizan en la compresión de datos .