Teorema de Wigner

El teorema de Wigner , demostrado por Eugene Wigner en 1931, ^[2] es una piedra angular de la formulación matemática de la mecánica cuántica . El teorema especifica cómo se representan las simetrías físicas como rotaciones , traslaciones y transformaciones CPT en el espacio de estados de Hilbert .

Los estados físicos en una teoría cuántica se representan mediante vectores unitarios en el espacio de Hilbert hasta un factor de fase, es decir, mediante la línea o rayo complejo que abarca el vector. Además, por la regla de Born, el valor absoluto del producto interno del vector unitario con un vector propio unitario , o equivalentemente el coseno al cuadrado del ángulo entre las líneas que abarcan los vectores, corresponde a la probabilidad de transición. El espacio de rayos , en matemáticas conocido como espacio de Hilbert proyectivo , es el espacio de todos los vectores unitarios en el espacio de Hilbert hasta la relación de equivalencia de diferir en un factor de fase. Por el teorema de Wigner, cualquier transformación del espacio de rayos que preserve el valor absoluto de los productos internos puede representarse mediante una transformación unitaria o antiunitaria del espacio de Hilbert, que es única hasta un factor de fase. Como consecuencia, la representación de un grupo de simetría en el espacio de rayos puede elevarse a una representación proyectiva o, a veces, incluso a una representación ordinaria en el espacio de Hilbert.

Es un postulado de la mecánica cuántica que los vectores de estado en el espacio de Hilbert complejo separable que son múltiplos escalares distintos de cero entre sí representan el mismo estado puro , es decir, los vectores y , con , representan el mismo estado. ^[3] Al multiplicar los vectores de estado por el factor de fase , se obtiene un conjunto de vectores llamado rayo ^{[4] [5]} ${\estilo de visualización H}$${\displaystyle \Psi \en H\setminus \{0\}}$${\displaystyle \lambda \Psi}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$

${\displaystyle {\underline {\Psi }}=\left\{e^{i\alpha }\Psi :\alpha \in \mathbb {R} \right\}.}$

Dos vectores distintos de cero definen el mismo rayo, si y solo si difieren en algún número complejo distinto de cero: . Alternativamente, podemos considerar un rayo como un conjunto de vectores con norma 1, un rayo unitario , al intersecar la línea con la esfera unitaria ^[6]${\displaystyle \Psi _{1},\Psi _{2}}$${\displaystyle \Psi _{1}=\lambda \Psi _{2}}$${\displaystyle {\underline {\Psi }}}$${\displaystyle {\underline {\Psi }}}$

${\displaystyle SH=\{\Phi \in H\mid \|\Phi \|^{2}=1\}}$.

Dos vectores unitarios definen entonces el mismo rayo unitario si difieren en un factor de fase: . Esta es la imagen más habitual en física. El conjunto de rayos está en correspondencia uno a uno con el conjunto de rayos unitarios y podemos identificarlos. También existe una correspondencia uno a uno entre estados físicos puros y rayos (unitarios) dada por ${\displaystyle \Psi _{1},\Psi _{2}}$${\displaystyle {\underline {\Psi _{1}}}={\underline {\Psi _{2}}}}$${\displaystyle \Psi _{1}=e^{i\alpha }\Psi _{2}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\underline {\Phi }}}$

${\displaystyle \rho =P_{\Phi }={\frac {|\Phi \rangle \langle \Phi |}{\langle \Phi |\Phi \rangle }}}$

donde es la proyección ortogonal sobre la línea . En cualquier interpretación, si o entonces es un representante de . ^{[nb 1]}${\displaystyle P_{\Phi }}$${\displaystyle {\underline {\Phi }}}$${\displaystyle \Phi \in {\underline {\Psi }}}$${\displaystyle P_{\Phi }=P_{\Psi }}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle {\underline {\Psi }}}$

El espacio de todos los rayos es un espacio proyectivo de Hilbert llamado espacio de rayos . ^[7] Puede definirse de varias maneras. Se puede definir una relación de equivalencia en por ${\displaystyle \sim }$${\displaystyle H\setminus \{0\}}$

${\displaystyle \Psi \sim \Phi \Leftrightarrow \Psi =\lambda \Phi ,\quad \lambda \in \mathbb {C} \setminus \{0\},}$

y definir el espacio de rayos como el conjunto cociente

${\displaystyle \mathbf {P} (H)=(H\setminus \{0\})/{\sim }}$.

Alternativamente, para una relación de equivalencia en la esfera , el espacio de rayos unitario es una encarnación del espacio de rayos definido (sin hacer distinción de notación con el espacio de rayos) como el conjunto de clases de equivalencia ${\displaystyle SH}$

${\displaystyle \mathbf {P} (H)=SH/\sim }$.

Una tercera definición equivalente del espacio de rayos es la de espacio de rayos de estado puro, es decir, matrices de densidad que son proyecciones ortogonales de rango 1 ^{[ aclaración necesaria ]}

${\displaystyle \mathbf {P} (H)=\{P\in B(H)\mid P^{2}=P=P^{\dagger },\mathbb {tr} (P)=1\}}$.

Si es n -dimensional, es decir, , entonces es isomorfo al espacio proyectivo complejo . Por ejemplo ${\displaystyle H}$${\displaystyle H_{n}:=H}$${\displaystyle \mathbf {P} (H_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{n-1}=\mathbf {P} (\mathbb {C} ^{n})}$

${\displaystyle \lambda _{1}|+\rangle +\lambda _{2}|-\rangle ,\quad (\lambda _{1},\lambda _{2})\in \mathbb {C} ^{2}\setminus \{0\}}$

generar puntos en la esfera de Bloch ; isomorfo a la esfera de Riemann . ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}}$

El espacio de rayos (es decir, el espacio proyectivo ) no es un espacio vectorial sino más bien un conjunto de líneas vectoriales (subespacios vectoriales de dimensión uno) en un espacio vectorial de dimensión n + 1 . Por ejemplo, para cada dos vectores y cociente de números complejos (es decir, elemento de ) hay un rayo bien definido . Como tal, para rayos distintos (es decir, líneas linealmente independientes) hay una línea proyectiva de rayos de la forma en : todas las líneas complejas unidimensionales en el plano complejo bidimensional generado por y . Sin embargo, al contrario del caso de los espacios vectoriales, un conjunto generador independiente no es suficiente para definir coordenadas (véase: marco proyectivo ). ${\displaystyle \Psi _{1},\Psi _{2}\in H_{2}}$${\displaystyle (\lambda _{1}:\lambda _{2})}$${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}}$${\displaystyle {\underline {\lambda _{1}\Psi _{1}+\lambda _{2}\Psi _{2}}}}$${\displaystyle {\underline {\Psi }}_{1},{\underline {\Psi }}_{2}}$${\displaystyle {\underline {\lambda _{1}\Psi _{1}+\lambda _{2}\Psi _{2}}}}$${\displaystyle \mathbf {P} (H_{2})}$${\displaystyle \Psi _{1}}$${\displaystyle \Psi _{2}}$

La estructura del espacio de Hilbert define una estructura adicional en el espacio de rayos. Defina la correlación de rayos (o producto de rayos ) ${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }}={\frac {\left|\left\langle \Psi ,\Phi \right\rangle \right|}{\|\Phi \|\|\Psi \|}}={\sqrt {\mathrm {tr} (P_{\Psi }P_{\Phi })}},}$

donde es el producto interno del espacio de Hilbert , y son representantes de y . Nótese que el lado derecho es independiente de la elección de representantes. El significado físico de esta definición es que según la regla de Born , otro postulado de la mecánica cuántica, las probabilidades de transición entre estados normalizados y en el espacio de Hilbert están dadas por ${\displaystyle \langle \,,\,\rangle }$${\displaystyle \Psi ,\Phi }$${\displaystyle {\underline {\Phi }}}$${\displaystyle {\underline {\Psi }}}$${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle P(\Psi \rightarrow \Phi )=|\langle \Psi ,\Phi \rangle |^{2}=\left({\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }}\right)^{2}}$

es decir, podemos definir la regla de Born en el espacio de rayos por.

${\displaystyle P({\underline {\Psi }}\to {\underline {\Phi }}):=\left({\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }}\right)^{2}.}$

Geométricamente, podemos definir un ángulo con entre las líneas y por . El ángulo entonces resulta satisfacer la desigualdad del triángulo y define una estructura métrica en el espacio de rayos que proviene de una métrica de Riemann, la métrica de Fubini-Study . ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi /2}$${\displaystyle {\underline {\Phi }}}$${\displaystyle {\underline {\Psi }}}$${\displaystyle \cos(\theta )=({\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }})}$

En términos generales, una transformación de simetría es un cambio en el que "no sucede nada" ^[8] o un "cambio en nuestro punto de vista" ^[9] que no cambia los resultados de los posibles experimentos. Por ejemplo, trasladar un sistema en un entorno homogéneo no debería tener ningún efecto cualitativo en los resultados de los experimentos realizados en el sistema. Lo mismo ocurre con la rotación de un sistema en un entorno isotrópico . Esto se vuelve aún más claro cuando se consideran las transformaciones pasivas matemáticamente equivalentes , es decir, simplemente cambios de coordenadas y se deja que el sistema sea. Por lo general, los espacios de Hilbert de dominio y rango son los mismos. Una excepción sería (en una teoría no relativista) el espacio de Hilbert de estados de electrones que está sujeto a una transformación de conjugación de carga . En este caso, los estados de electrones se asignan al espacio de Hilbert de estados de positrones y viceversa. Sin embargo, esto significa que la simetría actúa sobre la suma directa de los espacios de Hilbert.

Una transformación de un sistema físico es una transformación de estados, por lo tanto, matemáticamente es una transformación, no del espacio de Hilbert, sino de su espacio de rayos. Por lo tanto, en mecánica cuántica, una transformación de un sistema físico da lugar a una transformación de rayos biyectiva . ${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T:\mathbf {P} (H)&\to \mathbf {P} (H)\\{\underline {\Psi }}&\mapsto T{\underline {\Psi }}.\\\end{aligned}}}$

Dado que la composición de dos transformaciones físicas y la inversión de una transformación física también son transformaciones físicas, el conjunto de todas las transformaciones de rayos así obtenidas es un grupo que actúa sobre . Sin embargo, no todas las biyecciones de son admisibles como transformaciones de simetría. Las transformaciones físicas deben preservar la regla de Born. ${\displaystyle \mathbf {P} (H)}$${\displaystyle \mathbf {P} (H)}$

Para una transformación física, las probabilidades de transición en los sistemas transformados y no transformados deben conservarse:

${\displaystyle P({\underline {\Psi }}\rightarrow {\underline {\Phi }})=\left({\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }}\right)^{2}=\left(T{\underline {\Psi }}\cdot T{\underline {\Phi }}\right)^{2}=P\left(T\Psi \rightarrow T\Phi \right)}$

Una transformación de rayos biyectiva se denomina transformación de simetría si y solo si ^[10] : . Una interpretación geométrica es que una transformación de simetría es una isometría del espacio de rayos. ${\displaystyle \mathbf {P} (H)\to \mathbf {P} (H)}$${\displaystyle T{\underline {\Psi }}\cdot T{\underline {\Phi }}={\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }},\quad \forall {\underline {\Psi }},{\underline {\Phi }}\in \mathbf {P} (H)}$

Algunos datos sobre las transformaciones de simetría que se pueden verificar utilizando la definición:

• El producto de dos transformaciones de simetría, es decir, dos transformaciones de simetría aplicadas sucesivamente, es una transformación de simetría.
• Cualquier transformación de simetría tiene una inversa.
• La transformación de identidad es una transformación de simetría.
• La multiplicación de transformaciones de simetría es asociativa.

El conjunto de transformaciones de simetría forma así un grupo , el grupo de simetría del sistema. Algunos subgrupos importantes que aparecen con frecuencia en el grupo de simetría de un sistema son realizaciones de

• El grupo simétrico con sus subgrupos. Esto es importante en el intercambio de etiquetas de partículas.
• El grupo de Poincaré codifica las simetrías fundamentales del espacio-tiempo [ NB: una simetría se define arriba como una función en el espacio de rayos que describe un sistema dado, la noción de simetría del espacio-tiempo no ha sido definida y no es clara ].
• Grupos de simetría interna como SU(2) y SU(3) . Describen las llamadas simetrías internas , como el isospín y la carga de color, características de los sistemas mecánicos cuánticos.

Estos grupos también se denominan grupos de simetría del sistema.

Se necesitan algunas definiciones preliminares para enunciar el teorema. Una transformación entre espacios de Hilbert es unitaria si es biyectiva y ${\displaystyle U:H\to K}$

${\displaystyle \langle U\Psi ,U\Phi \rangle =\langle \Psi ,\Phi \rangle .}$

Si entonces se reduce a un operador unitario cuyo inverso es igual a su adjunto . ${\displaystyle H=K}$${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U^{-1}=U^{\dagger }}$

De la misma manera, una transformación es antiunitaria si es biyectiva y ${\displaystyle A:H\to K}$

${\displaystyle \langle A\Psi ,A\Phi \rangle =\langle \Psi ,\Phi \rangle ^{*}=\langle \Phi ,\Psi \rangle .}$

Dada una transformación unitaria entre espacios de Hilbert, definir ${\displaystyle U:H\to K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{U}:\mathbf {P} (H)&\to \mathbf {P} (K)\\{\underline {\Psi }}&\mapsto {\underline {U\Psi }}\\\end{aligned}}}$

Esta es una transformación de simetría ya que $${\displaystyle T_{U}{\underline {\Psi }}\cdot T_{U}{\underline {\Phi }}={\frac {\left|\langle U\Psi ,U\Phi \rangle \right|}{\|U\Psi \|\|U\Phi \|}}={\frac {\left|\langle \Psi ,\Phi \rangle \right|}{\|\Psi \|\|\Phi \|}}={\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }}.}$$

De la misma manera, una transformación antiunitaria entre espacios de Hilbert induce una transformación de simetría. Se dice que una transformación entre espacios de Hilbert es compatible con la transformación entre espacios de rayos si o equivalentemente ${\displaystyle U:H\to K}$${\displaystyle T:\mathbf {P} (H)\to \mathbf {P} (K)}$${\displaystyle T=T_{U}}$

${\displaystyle U\Psi \in T{\underline {\Psi }}}$

para todos . ^[11]${\displaystyle \Psi \in H\setminus \{0\}}$

El teorema de Wigner enuncia un inverso de lo anterior: ^[12]

Se pueden encontrar pruebas en Wigner (1931, 1959), Bargmann (1964) y Weinberg (2002). Las transformaciones antiunitarias son menos prominentes en física. Todas están relacionadas con una inversión de la dirección del flujo del tiempo. ^[13]

Observación 1 : La importancia de la parte de unicidad del teorema es que especifica el grado de unicidad de la representación en . Por ejemplo, uno podría verse tentado a creer que ${\displaystyle H}$

${\displaystyle V\Psi =Ue^{i\alpha (\Psi )}\Psi ,\alpha (\Psi )\in \mathbb {R} ,\Psi \in H\quad ({\text{wrong unless }}\alpha (\Psi ){\text{ is const.}})}$

sería admisible, con pero este no es el caso según el teorema. ^{[nb 2] [14]} De hecho, tal no sería aditivo. ${\displaystyle \alpha (\Psi )\neq \alpha (\Phi )}$${\displaystyle \langle \Psi ,\Phi \rangle =0}$${\displaystyle V}$

Observación 2 : La topología determina si debe representarse mediante un operador unitario o antiunitario. Si , la segunda cohomología tiene un generador único tal que para una línea proyectiva compleja (equivalentemente para cada) , se tiene . Como es un homeomorfismo, también genera y por lo tanto tenemos . Si es unitario, entonces mientras que si es antilineal entonces . ${\displaystyle T}$${\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }(\mathbb {P} H)=\dim _{\mathbb {C} }(\mathbb {P} K)\geq 1}$ ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {P} H)}$${\displaystyle c_{\mathbb {P} H}}$${\displaystyle L\subset \mathbb {P} H}$${\displaystyle c_{\mathbb {P} H}\cap [L]=\deg _{L}(c_{\mathbb {P} H}|_{L})=1}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T^{*}c_{\mathbb {P} K}}$${\displaystyle H^{2}(\mathbb {P} H)}$${\displaystyle T^{*}c_{\mathbb {P} K}=\pm c_{\mathbb {P} H}}$${\displaystyle U:H\to K}$${\displaystyle T_{U}^{*}c_{\mathbb {P} K}=c_{\mathbb {P} H}}$${\displaystyle A:H\to K}$${\displaystyle T_{A}^{*}c_{\mathbb {P} K}=-c_{\mathbb {P} H}}$

Observación 3 : El teorema de Wigner está en estrecha relación con el teorema fundamental de la geometría proyectiva ^[15]

Si G es un grupo de simetría (en este último sentido de estar incrustado como un subgrupo del grupo de simetría del sistema que actúa en el espacio de rayos), y si f , g , h ∈ G con fg = h , entonces

${\displaystyle T(f)T(g)=T(h),}$

donde T son transformaciones de rayos. De la parte de unicidad del teorema de Wigner, se tiene para los representantes compatibles U ,

${\displaystyle U(f)U(g)=\omega (f,g)U(fg)=e^{i\xi (f,g)}U(fg),}$

donde ω ( f , g ) es un factor de fase. ^{[nb 3]}

La función ω se denomina 2 -cociclo o multiplicador de Schur . Una función U : G → GL( V ) que satisface la relación anterior para algún espacio vectorial V se denomina representación proyectiva o representación de rayos . Si ω ( f , g ) = 1 , entonces se denomina representación .

Cabe señalar que la terminología difiere entre las matemáticas y la física. En el artículo vinculado, el término representación proyectiva tiene un significado ligeramente diferente, pero el término tal como se presenta aquí entra como un ingrediente y las matemáticas per se son, por supuesto, las mismas. Si la realización del grupo de simetría, g → T ( g ) , se da en términos de acción sobre el espacio de rayos unitarios S = PH , entonces es una representación proyectiva G → PGL( H ) en el sentido matemático, mientras que su representante en el espacio de Hilbert es una representación proyectiva G → GL( H ) en el sentido físico.

Aplicando la última relación (varias veces) al producto fgh y apelando a la conocida asociatividad de la multiplicación de operadores en H , se encuentra

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega (f,g)\omega (fg,h)&=\omega (g,h)\omega (f,gh),\\\xi (f,g)+\xi (fg,h)&=\xi (g,h)+\xi (f,gh)\quad (\operatorname {mod} 2\pi ).\end{aligned}}}$

También satisfacen

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega (g,e)&=\omega (e,g)=1,\\\xi (g,e)&=\xi (e,g)=0\quad (\operatorname {mod} 2\pi ),\\\omega \left(g,g^{-1}\right)&=\omega (g^{-1},g),\\\xi \left(g,g^{-1}\right)&=\xi (g^{-1},g).\\\end{aligned}}}$

Tras la redefinición de las fases,

${\displaystyle U(g)\mapsto {\hat {U}}(g)=\eta (g)U(g)=e^{i\zeta (g)}U(g),}$

Lo cual está permitido por el último teorema, se encuentra ^{[16] [17]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\omega }}(g,h)&=\omega (g,h)\eta (g)\eta (h)\eta (gh)^{-1},\\{\hat {\xi }}(g,h)&=\xi (g,h)+\zeta (g)+\zeta (h)-\zeta (gh)\quad (\operatorname {mod} 2\pi ),\end{aligned}}}$

donde las cantidades señaladas se definen por

${\displaystyle {\hat {U}}(f){\hat {U}}(g)={\hat {\omega }}(f,g){\hat {U}}(fg)=e^{i{\hat {\xi }}(f,g)}{\hat {U}}(fg).}$

Los siguientes teoremas bastante técnicos y muchos más se pueden encontrar, con pruebas accesibles, en Bargmann (1954).

La libertad de elección de las fases se puede utilizar para simplificar los factores de fase. En algunos grupos, la fase se puede eliminar por completo.

En el caso del grupo de Lorentz y su subgrupo el grupo de rotación SO(3) , las fases pueden, para representaciones proyectivas, elegirse de manera que ω ( g , h ) = ± 1 . Para sus respectivos grupos de recubrimiento universales , SL(2,C) y Spin(3) , es posible según el teorema tener ω ( g , h ) = 1 , es decir, son representaciones propias.

El estudio de la redefinición de fases implica la cohomología de grupos . Se dice que dos funciones relacionadas como las versiones con sombrero y sin sombrero de ω anteriores son cohomólogas . Pertenecen a la misma segunda clase de cohomología , es decir, están representadas por el mismo elemento en H ² ( G ) , el segundo grupo de cohomología de G . Si un elemento de H ² ( G ) contiene la función trivial ω = 0 , entonces se dice que es trivial . ^[17] El tema se puede estudiar a nivel de álgebras de Lie y también de cohomología de álgebras de Lie . ^{[19] [20]}

Suponiendo que la representación proyectiva g → T ( g ) es débilmente continua, se pueden enunciar dos teoremas relevantes. Una consecuencia inmediata de la continuidad (débil) es que el componente de identidad está representado por operadores unitarios. ^{[nb 4]}

El teorema de Wigner se aplica a los automorfismos en el espacio de Hilbert de estados puros. Los teoremas de Kadison ^[22] y Simon ^[23] se aplican al espacio de estados mixtos (operadores positivos de clase traza) y utilizan nociones de simetría ligeramente diferentes. ^{[24] [25]}

• Física de partículas y teoría de la representación

• Bargmann, V. (1954). "Sobre representaciones de rayos unitarios de grupos continuos". Ann. of Math . 59 (1): 1–46. doi :10.2307/1969831. JSTOR  1969831.
• Bargmann, V. (1964). "Nota sobre el teorema de Wigner sobre operaciones de simetría". Journal of Mathematical Physics . 5 (7). AIP Publishing: 862–868. Bibcode :1964JMP.....5..862B. doi :10.1063/1.1704188. ISSN  0022-2488.
• Bogoliubov, NN ; Logunov, AA; Todorov, IT (1975). Introducción a la teoría cuántica axiomática de campos . Serie de monografías de física matemática. Vol. 18. Traducido al inglés por Stephan A. Fulling y Ludmila G. Popova. Nueva York: Benjamin. ASIN  B000IM4HLS.
• Bäuerle, Gerard GA; de Kerf, Eddy A. (1990). Álgebras de Lie, Parte 1: Álgebras de Lie de dimensión finita e infinita y aplicaciones en física . Estudios de física matemática. Ámsterdam: Holanda Septentrional. ISBN 0-444-88776-8.
• Faure, Claude-Alain (2002). "Una prueba elemental del teorema fundamental de la geometría proyectiva". Geometriae Dedicata . 90 : 145-151. doi :10.1023/A:1014933313332. S2CID  115770315.
• Page, Don N. (1987). "Descripción geométrica de la fase de Berry". Physical Review A . 36 (7). American Physical Society (APS): 3479–3481. Bibcode :1987PhRvA..36.3479P. doi :10.1103/physreva.36.3479. ISSN  0556-2791. PMID  9899276.
• Seitz, F.; Vogt, E.; Weinberg, AM (2000). "Eugene Paul Wigner. 17 de noviembre de 1902 - 1 de enero de 1995". Biogr. Mem. Fellows R. Soc . 46 : 577–592. doi : 10.1098/rsbm.1999.0102 .
• Simon, R.; Mukunda, N .; Chaturvedi, S.; Srinivasan, V.; Hamhalter, J. (2008). "Dos pruebas elementales del teorema de Wigner sobre simetría en mecánica cuántica". Phys. Lett. A . 372 (46): 6847–6852. arXiv : 0808.0779 . Bibcode :2008PhLA..372.6847S. doi :10.1016/j.physleta.2008.09.052. S2CID  53858196.
• Straumann, N. (2014). "Representaciones unitarias del grupo de Lorentz no homogéneo y su importancia en la física cuántica". En A. Ashtekar; V. Petkov (eds.). Springer Handbook of Spacetime . Springer Handbooks. págs. 265–278. arXiv : 0809.4942 . Bibcode :2014shst.book..265S. CiteSeerX  10.1.1.312.401 . doi :10.1007/978-3-642-41992-8_14. ISBN 978-3-642-41991-1. Número de identificación del sujeto  18493194.
• Weinberg, S. (2002), La teoría cuántica de campos , vol. I, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55001-7
• Wigner, EP (1931). Gruppentheorie und ihre Anwendung auf die Quanten mechanik der Atomspektren (en alemán). Braunschweig, Alemania: Friedrich Vieweg und Sohn. págs. 251-254. ASIN  B000K1MPEI.
• Wigner, EP (1959). Teoría de grupos y su aplicación a la mecánica cuántica de los espectros atómicos . Traducción del alemán de JJ Griffin. Nueva York: Academic Press. Págs. 233–236. ISBN. 978-0-1275-0550-3.

• Hall, Brian C. (2013). "Teoría cuántica para matemáticos". Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 267. Nueva York, NY: Springer New York. doi :10.1007/978-1-4614-7116-5. ISBN 978-1-4614-7115-8. ISSN  0072-5285. S2CID  117837329.
• Mouchet, Amaury (2013). "Una prueba alternativa del teorema de Wigner sobre transformaciones cuánticas basada en análisis complejo elemental". Physics Letters A . 377 (39): 2709–2711. arXiv : 1304.1376 . Bibcode :2013PhLA..377.2709M. doi :10.1016/j.physleta.2013.08.017. S2CID  42994708.
• Molnar, Lajos (1999). "Un enfoque algebraico del teorema unitario-antiunitario de Wigner" (PDF) . J. Austral. Math. Soc. Ser. A . 65 (3): 354–369. arXiv : math/9808033 . Bibcode :1998math......8033M. doi :10.1017/s144678870003593x. S2CID  119593689. Archivado desde el original (PDF) el 24 de abril de 2019 . Consultado el 7 de febrero de 2015 .