Grupo de espín

En matemáticas, el grupo de espín , denotado Spin( n ), ^{[ 1 ] [ 2 ]} es un grupo de Lie cuya variedad subyacente es el recubrimiento doble del grupo ortogonal especial SO( n ) = SO( n , R ) , de tal manera que existe una secuencia exacta corta de grupos de Lie (cuando n ≠ 2 )

${\displaystyle 1\to \mathbb {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)\to 1.}$

La ley de multiplicación de grupos en la doble cubierta se da elevando la multiplicación en${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$.

Como grupo de Lie, Spin( n ) comparte su dimensión , ⁠ n ( n − 1) / 2 ⁠ , y su álgebra de Lie con el grupo ortogonal especial.

Para n > 2 , Spin( n ) es simplemente conexo y, por lo tanto, coincide con la cubierta universal de SO( n ) .

El elemento no trivial del núcleo se denota −1, que no debe confundirse con la transformada ortogonal de reflexión a través del origen , generalmente denotada − I .

Spin( n ) puede construirse como un subgrupo de los elementos invertibles en el álgebra de Clifford Cl( n ). Un artículo aparte analiza las representaciones de spin .

El grupo de espín se utiliza en física para describir las simetrías de los fermiones (eléctricamente neutros, sin carga) . Su complejización, Spinc, se utiliza para describir fermiones con carga eléctrica, sobre todo el electrón . Estrictamente hablando, el grupo de espín describe un fermión en un espacio cero-dimensional; sin embargo, el espacio no es cero-dimensional, por lo que el grupo de espín se utiliza para definir estructuras de espín (inexistentes) como herramienta de cálculo en variedades (pseudo)riemannianas : el grupo de espín es el grupo de estructura de un fibrado espinorial . La conexión afín en un fibrado espinorial es la conexión de espín ; la conexión de espín puede simplificar los cálculos en la relatividad general . La conexión de espín, a su vez, permite escribir la ecuación de Dirac en el espaciotiempo curvo (efectivamente en las coordenadas de la tétrada ).

La construcción del grupo Spin a menudo comienza con la construcción de un álgebra de Clifford sobre un espacio vectorial real V con una forma cuadrática definida q . ^{[ 3 ]} El álgebra de Clifford es el cociente del álgebra tensorial T V de V por un ideal de dos lados. El álgebra tensorial (sobre los reales) se puede escribir como

${\displaystyle \mathrm {T} V=\mathbb {R} \oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus \cdots }$

El álgebra de Clifford Cl( V ) es entonces el álgebra cociente.

${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)=\mathrm {T} V/\left(v\otimes vq(v)\right),}$

dónde${\displaystyle q(v)}$es la forma cuadrática aplicada a un vector${\displaystyle v\in V}$El espacio resultante es de dimensión finita, graduado naturalmente (como un espacio vectorial) y, por lo tanto, puede escribirse como

${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)=\operatorname {Cl} ^{0}\oplus \operatorname {Cl} ^{1}\oplus \operatorname {Cl} ^{2}\oplus \cdots \oplus \operatorname {Cl} ^{n}}$

dónde${\displaystyle n}$es la dimensión de${\displaystyle V}$,${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{0}=\mathbb {R} }$y${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{1}=V}$. El álgebra de espín${\displaystyle {\mathfrak {spin}}}$se define como la subálgebra bivectorial

${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{2}={\mathfrak {spin}}(V)={\mathfrak {spin}}(n),}$

donde el último es una abreviatura de V siendo un espacio vectorial real de dimensión real n . Es un álgebra de Lie con el conmutador como multiplicación; tiene una acción natural sobre V y es isomorfo al álgebra de Lie.${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}$del grupo ortogonal especial : Si el conjunto${\displaystyle \{e_{i}\}}$Si son una base ortonormal del espacio vectorial (real) V , entonces el cociente anterior dota al álgebra de Clifford de una estructura anticonmutativa natural:

${\displaystyle e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}}$para${\displaystyle i\neq j,}$

lo cual se deduce al considerar${\displaystyle v\otimes v}$para${\displaystyle v=e_{i}+e_{j}}$. Luego en${\displaystyle {\mathfrak {spin}}(n)}$tenemos que el conmutador de Lie${\displaystyle [e_{i}\otimes e_{j},e_{j}\otimes e_{k}]=2e_{i}\otimes e_{k}}$y${\displaystyle [e_{i}\otimes e_{j},e_{k}\otimes e_{l}]=0}$, entonces${\displaystyle e_{i}\otimes e_{j}\rightarrow 2e_{i}\otimes e_{j}-2e_{j}\otimes e_{i}}$da el isomorfismo a${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}$. En el lado derecho${\displaystyle \otimes }$es el producto exterior . La multiplicación por 2 explica por qué al rotar un espinor 360 grados se obtiene menos el espinor: en${\displaystyle e^{i\phi b}}$Dividir el elemento base b por 2 da como resultado media rotación de 360 ​​grados.

El grupo de pines${\displaystyle \operatorname {Pin} (V)}$es un subgrupo de${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)}$El grupo Clifford de todos los elementos de la forma

${\displaystyle v_{1}v_{2}\cdots v_{k},}$

donde cada${\displaystyle v_{i}\in V}$es de longitud unitaria:${\displaystyle q(v_{i})=1.}$

El grupo de espín se define entonces como

${\displaystyle \operatorname {Spin} (V)=\operatorname {Pin} (V)\cap \operatorname {Cl} ^{\text{even}},}$

dónde ${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{\text{even}}=\operatorname {Cl} ^{0}\oplus \operatorname {Cl} ^{2}\oplus \operatorname {Cl} ^{4}\oplus \cdots }$ es el subespacio generado por elementos que son producto de un número par de vectores. Es decir, Spin( V ) consta de todos los elementos de Pin( V ), dados anteriormente, con la restricción de que k sea un número par. La restricción al subespacio par es clave para la formación de espinores de dos componentes (Weyl), construidos a continuación.

La anticonmutación del álgebra de Clifford resulta ser importante en física, ya que captura la esencia del principio de exclusión de Pauli para fermiones . Una formulación precisa queda fuera del alcance de este texto, pero implica la creación de un fibrado espinorial en el espaciotiempo de Minkowski ; los campos espinoriales resultantes pueden considerarse anticonmutativos como consecuencia de la construcción del álgebra de Clifford. Esta propiedad de anticonmutación también es clave para la formulación de la supersimetría . El álgebra de Clifford y el grupo de espín poseen numerosas propiedades interesantes y curiosas, algunas de las cuales se enumeran a continuación.

Para un espacio cuadrático V , se puede dar explícitamente un recubrimiento doble de SO( V ) por Spin( V ), como sigue. Sea${\displaystyle \{e_{i}\}}$Sea una base ortonormal para V. Defina un antiautomorfismo .${\displaystyle t:\operatorname {Cl} (V)\to \operatorname {Cl} (V)}$por

${\displaystyle \left(e_{i}e_{j}\cdots e_{k}\right)^{t}=e_{k}\cdots e_{j}e_{i}.}$

Esto puede extenderse a todos los elementos de${\displaystyle a,b\in \operatorname {Cl} (V)}$por linealidad. Es un antihomomorfismo ya que

${\displaystyle (ab)^{t}=b^{t}a^{t}.}$

Observa que${\displaystyle \operatorname {Pin} (V)}$entonces se puede definir como todos los elementos${\displaystyle a\in \operatorname {Cl} (V)}$para qué

${\displaystyle aa^{t}=1.}$

Ahora definamos el automorfismo.${\displaystyle \alpha \colon \operatorname {Cl} (V)\to \operatorname {Cl} (V)}$que en elementos de grado 1 viene dado por

${\displaystyle \alpha (v)=-v,\quad v\in V,}$

y dejar${\displaystyle a^{*}}$denotar${\displaystyle \alpha (a)^{t}}$, que es un antiautomorfismo de${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)}$. Con esta notación, un recubrimiento doble explícito es el homomorfismo${\displaystyle \rho$ :\operatorname {Pin} (V)\to \operatorname {O} (V)} dado por

${\displaystyle \rho (a)v=ava^{*},}$

dónde${\displaystyle v\in V}$. Cuando${\displaystyle a}$tiene grado 1 (es decir${\displaystyle a\in V}$),${\displaystyle \rho (a)}$es la reflexión a través del hiperplano ortogonal a${\displaystyle a}$; esto se deduce de la propiedad anticonmutativa del álgebra de Clifford.

Esto proporciona una doble cobertura de ambos${\displaystyle \operatorname {O} (V)}$por${\displaystyle \operatorname {Pin} (V)}$y de${\displaystyle \operatorname {SO} (V)}$por${\displaystyle \operatorname {Spin} (V)}$porque${\displaystyle a}$da la misma transformación que${\displaystyle -a}$.

Vale la pena revisar cómo se construyen el espacio espinorial y los espinores de Weyl , dado este formalismo. Dado un espacio vectorial real V de dimensión n = 2 m un número par, su complejización es${\displaystyle V\otimes \mathbf {C} }$. Se puede escribir como la suma directa de un subespacio${\displaystyle W}$de espinores y un subespacio${\displaystyle {\overline {W}}}$de antiespinadores:

${\displaystyle V\otimes \mathbf {C} =W\oplus {\overline {W}}}$

El espacio${\displaystyle W}$está abarcado por los espinores ${\displaystyle \eta _{k}=\left(e_{2k-1}-ie_{2k}\right)/{\sqrt {2}}}$ para${\displaystyle 1\leq k\leq m}$y los espinores conjugados complejos abarcan${\displaystyle {\overline {W}}}$Es fácil ver que los espinores anticonmutan y que el producto de un espinor y un antiespinor es un escalar.

El espacio espinorial se define como el álgebra exterior.${\displaystyle \textstyle {\bigwedge }W}$. El álgebra de Clifford (complejizada) actúa naturalmente sobre este espacio; el grupo de espín (complejizado) corresponde a los endomorfismos que preservan la longitud . Existe una graduación natural en el álgebra exterior: el producto de un número impar de copias de${\displaystyle W}$corresponden a la noción física de fermiones; el subespacio par corresponde a los bosones. Las representaciones de la acción del grupo de espín sobre el espacio espinorial se pueden construir de una manera relativamente sencilla. ^{[ 3 ]}

El grupo Spin ^C se define por la secuencia exacta

${\displaystyle 1\to \mathrm {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} ^{\mathbf {C} }(n)\to \operatorname {SO} (n)\times \operatorname {U} (1)\to 1.}$

Es un subgrupo multiplicativo de la complejización.${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)\otimes \mathbf {C} }$del álgebra de Clifford, y específicamente, es el subgrupo generado por Spin( V ) y el círculo unitario en C. Alternativamente, es el cociente

${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathbf {C} }(V)=\left(\operatorname {Spin} (V)\times S^{1}\right)/\sim }$

donde la equivalencia${\displaystyle \sim }$identifica ( a , u ) con (− a , − u ) .

Esto tiene aplicaciones importantes en la teoría de variedades de 4 dimensiones y en la teoría de Seiberg-Witten . En física, el grupo Spin es apropiado para describir fermiones sin carga, mientras que el grupo Spin ^C se utiliza para describir fermiones con carga eléctrica. En este caso, la simetría U(1) es específicamente el grupo de gauge (grupo de estructura) del electromagnetismo .

En dimensiones bajas, existen isomorfismos entre los grupos de Lie clásicos llamados isomorfismos excepcionales . Por ejemplo, existen isomorfismos entre grupos de espín de baja dimensión y ciertos grupos de Lie clásicos, debido a isomorfismos de baja dimensión entre los sistemas de raíces (y los isomorfismos correspondientes de diagramas de Dynkin ) de las diferentes familias de álgebras de Lie simples . Escribiendo R para los reales, C para los números complejos, H para los cuaterniones y la comprensión general de que Cl( n ) es una abreviatura de Cl( Rn ⁾ y que Spin( n ) es una abreviatura de Spin( Rn ⁾ y así sucesivamente, entonces se tiene que ^{[ 3 ]}

Para n = 7 y 8 , quedan ciertos vestigios de estos isomorfismos (véase Spin(8) para más detalles). Para valores mayores de n , estos isomorfismos desaparecen por completo.

En firma indefinida , el grupo de espín${\displaystyle {\text{Spin}}(p,q)}$se construye a través de álgebras de Clifford de manera similar a los grupos de espín estándar. Es una doble cubierta de${\displaystyle {\text{SO}}_{0}(p,q)}$, el componente conexo de la identidad del grupo ortogonal indefinido${\displaystyle {\text{SO}}(p,q)}$. Para${\displaystyle p+q>2}$,${\displaystyle {\text{Spin}}(p,q)}$está conectado; para${\displaystyle (p,q)=(1,1)}$, hay dos componentes conectados. ^{[ 4 ] : 193}

Al igual que en la signatura definida, existen algunos isomorfismos accidentales en dimensiones bajas:

Tenga en cuenta que${\displaystyle {\text{Spin}}(p,q)={\text{Spin}}(q,p)}$.

Los grupos de Lie conexos y simplemente conexos se clasifican según su álgebra de Lie. Así, si G es un grupo de Lie conexo con un álgebra de Lie simple, donde G ′ es la cubierta universal de G , existe una inclusión.

${\displaystyle \pi _{1}(G)\subset \operatorname {Z} (G'),}$

con Z( G ′) el centro de G ′. Esta inclusión y el álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$de G determinan G completamente (tenga en cuenta que no es el caso que${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$y π ₁ ( G ) determinan G completamente; por ejemplo, SL(2, R ) y PSL(2, R ) tienen la misma álgebra de Lie y el mismo grupo fundamental Z , pero no son isomorfos).

Las signaturas definidas Spin( n ) están todas conectadas simplemente para n  >  2, por lo que son los recubrimientos universales de SO( n ).

En signatura indefinida, Spin( p , q ) no es necesariamente conexo, y en general el componente identidad , Spin ₀ ( p , q ), no es simplemente conexo, por lo que no es un recubrimiento universal. El grupo fundamental se entiende más fácilmente considerando el subgrupo compacto maximal de SO( p , q ), que es SO( p )  ×  SO( q ), y observando que en lugar de ser el producto de los recubrimientos dobles (por lo tanto, un recubrimiento cuádruple), Spin( p , q ) es el recubrimiento doble "diagonal"; es un cociente doble del recubrimiento cuádruple. Explícitamente, el subgrupo conexo compacto maximal de Spin( p , q ) es

Spin( p ) × Spin( q )/{(1, 1), (−1, −1)}.

Esto nos permite calcular los grupos fundamentales de SO( p , q ), tomando p ≥ q :

${\displaystyle \pi _{1}({\mbox{SO}}(p,q))={\begin{cases}0&(p,q)=(1,1){\mbox{ or }}(1,0)\\\mathbb {Z} _{2}&p>2,q=0,1\\\mathbb {Z} &(p,q)=(2,0){\mbox{ or }}(2,1)\\\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &(p,q)=(2,2)\\\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} _{2}&p>2,q=2\\\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}&p,q>2\\\end{cases}}}$

Así, una vez que p , q > 2, el grupo fundamental es Z2 _, ya que es un cociente doble de un producto de dos recubrimientos universales.

Los mapas en los grupos fundamentales se dan de la siguiente manera. Para p , q > 2 , esto implica que el mapa π ₁ (Spin( p , q )) → π ₁ (SO( p , q )) está dado por 1 ∈ Z ₂ que va a (1, 1) ∈ Z ₂ × Z ₂ . Para p = 2, q > 2 , este mapa está dado por 1 ∈ Z → (1,1) ∈ Z × Z ₂ . Y finalmente, para p = q = 2 , (1, 0) ∈ Z × Z se envía a (1,1) ∈ Z × Z y (0, 1) se envía a (1, −1) .

Los centros de los grupos de espín, para n ≥ 3 , (complejos y reales) se dan de la siguiente manera: ^{[ 4 ] : 208}

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (n,\mathbf {C} ))&={\begin{cases}\mathrm {Z} _{2}&n=2k+1\\\mathrm {Z} _{4}&n=4k+2\\\mathrm {Z} _{2}\oplus \mathrm {Z} _{2}&n=4k\\\end{cases}}\\\operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (p,q))&={\begin{cases}\mathrm {Z} _{2}&p{\text{ or }}q{\text{ odd}}\\\mathrm {Z} _{4}&n=4k+2,{\text{ and }}p,q{\text{ even}}\\\mathrm {Z} _{2}\oplus \mathrm {Z} _{2}&n=4k,{\text{ and }}p,q{\text{ even}}\\\end{cases}}\end{aligned}}}$

Los grupos cociente se pueden obtener a partir de un grupo espín dividiendo su cociente por un subgrupo del centro, de modo que el grupo espín resultante sea un grupo de recubrimiento del cociente resultante, y ambos grupos tengan la misma álgebra de Lie.

Al cociente por todo el centro se obtiene el grupo mínimo de este tipo, el grupo ortogonal especial proyectivo , que no tiene centro , mientras que al cociente por {±1} se obtiene el grupo ortogonal especial; si el centro es igual a {±1} (es decir, en dimensión impar), estos dos grupos cociente coinciden. Si el grupo de espín es simplemente conexo (como lo es Spin( n ) para n > 2 ), entonces Spin es el grupo máximo en la secuencia, y se tiene una secuencia de tres grupos.

Spin( n )  →  SO( n )  →  PSO( n ),

La división por paridad produce:

Spin(2 n )  →  SO(2 n )  →  PSO(2 n ),

Spin(2 n +1)  →  SO(2 n +1)  =  PSO(2 n +1),

que son las tres formas reales compactas (o dos, si SO = PSO ) del álgebra de Lie compacta${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbf {R} ).}$

Los grupos de homotopía de la cubierta y el cociente están relacionados por la secuencia exacta larga de una fibración , con fibra discreta (la fibra es el núcleo); por lo tanto, todos los grupos de homotopía para k > 1 son iguales, pero π ₀ y π ₁ pueden diferir.

Para n > 2 , Spin( n ) es simplemente conectado ( π ₀ = π ₁ = Z ₁ es trivial), por lo que SO( n ) es conectado y tiene grupo fundamental Z ₂ mientras que PSO( n ) es conectado y tiene grupo fundamental igual al centro de Spin( n ).

En signatura indefinida, los recubrimientos y los grupos de homotopía son más complicados: Spin( p , q ) no es simplemente conexo, y el cociente también afecta a los componentes conexos. El análisis es más sencillo si se considera el SO( p ) × SO( q ) ⊂ SO( p , q ) compacto maximal (conexo) y el grupo de componentes de Spin( p , q ) .

El grupo de espín aparece en una torre de Whitehead anclada por el grupo ortogonal :

${\displaystyle \ldots \rightarrow {\text{Fivebrane}}(n)\rightarrow {\text{String}}(n)\rightarrow {\text{Spin}}(n)\rightarrow {\text{SO}}(n)\rightarrow {\text{O}}(n)}$

La torre se obtiene eliminando sucesivamente grupos de homotopía de orden creciente. Esto se logra construyendo secuencias exactas cortas que comienzan con un espacio de Eilenberg-MacLane para el grupo de homotopía que se va a eliminar. Al eliminar el grupo de homotopía π ₃ en Spin( n ), se obtiene el grupo de cuerdas de dimensión infinita String( n ).

Los subgrupos discretos del grupo de espín se pueden entender relacionándolos con subgrupos discretos del grupo ortogonal especial ( grupos puntuales rotacionales ).

Dado el recubrimiento doble Spin( n ) → SO( n ) , por el teorema de retículo , hay una conexión de Galois entre subgrupos de Spin( n ) y subgrupos de SO( n ) (grupos puntuales rotacionales): la imagen de un subgrupo de Spin( n ) es un grupo puntual rotacional, y la preimagen de un grupo puntual es un subgrupo de Spin( n ), y el operador de cierre en subgrupos de Spin( n ) es la multiplicación por {±1}. Estos pueden llamarse "grupos puntuales binarios"; el más conocido es el caso tridimensional, conocido como grupos poliédricos binarios .

Concretamente, cada grupo de puntos binario es o bien la preimagen de un grupo de puntos (de ahí que se denote 2 G , para el grupo de puntos G ), o bien es un subgrupo de índice 2 de la preimagen de un grupo de puntos que se mapea (isomórficamente) sobre el grupo de puntos; en este último caso, el grupo binario completo es abstractamente${\displaystyle \mathrm {C} _{2}\times G}$(ya que {±1} es central). Como ejemplo de estos últimos, dado un grupo cíclico de orden impar${\displaystyle \mathrm {Z} _{2k+1}}$en SO( n ), su preimagen es un grupo cíclico del doble de orden,${\displaystyle \mathrm {C} _{4k+2}\cong \mathrm {Z} _{2k+1}\times \mathrm {Z} _{2},}$y el subgrupo Z _{2 k +1} < Spin( n ) se mapea isomorfamente a Z _{2 k +1} < SO( n ) .

Cabe destacar dos series:

• grupos tetraédricos binarios superiores , correspondientes al recubrimiento doble de simetrías del n -símplex; este grupo también puede considerarse como el recubrimiento doble del grupo simétrico , 2⋅A _n → A _n , siendo el grupo alternante el grupo de simetría (rotacional) del n -símplex.
• grupos octaédricos binarios superiores , que corresponden a las cubiertas de 2 pliegues del grupo hiperoctaédrico (simetrías del hipercubo , o equivalentemente de su dual, el politopo cruzado ).

Para grupos de puntos que invierten la orientación, la situación es más complicada, ya que hay dos grupos de pines , por lo que hay dos posibles grupos binarios que corresponden a un grupo de puntos dado.

• La dimensión esencial de los grupos de espín es OEIS:A280191 .
• El "índice de torsión" de Grothendieck es OEIS:A096336 .

• Karoubi, Max (2008). Teoría K. Springer. pp. 210–214 . ISBN  978-3-540-79889-7.