Modelo Black-Derman-Toy

En finanzas matemáticas , el modelo Black-Derman-Toy ( BDT ) es un modelo popular de tasa a corto plazo utilizado en la valoración de opciones sobre bonos , swaptions y otros derivados de tasas de interés ; véase Modelo reticular (finanzas) §  Derivados de tasas de interés . Es un modelo de un factor; es decir, un único factor estocástico —la tasa a corto plazo— determina la evolución futura de todas las tasas de interés. Fue el primer modelo en combinar el comportamiento de reversión a la media de la tasa a corto plazo con la distribución log-normal , ^{[ 1 ]} y todavía se utiliza ampliamente. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

El modelo fue presentado por Fischer Black , Emanuel Derman y William (Bill) Toy. ^{[ 4 ]} Fue desarrollado inicialmente para uso interno por Goldman Sachs en la década de 1980 y se publicó en el Financial Analysts Journal en 1990. Un relato personal del desarrollo del modelo se encuentra en las memorias de Emanuel Derman , My Life as a Quant . ^{[ 5 ]}

En el marco de la teoría de tipos de interés binomial (BDT), mediante una red binomial , se calibran los parámetros del modelo para ajustarlos tanto a la estructura temporal actual de los tipos de interés ( curva de rendimiento ) como a la estructura de volatilidad de los límites máximos de tipos de interés (generalmente según lo implícito en los precios Black-76 para cada componente); véase el recuadro. Utilizando la red calibrada, se puede valorar una variedad de valores y derivados de tipos de interés más complejos y sensibles a los tipos de interés .

Aunque inicialmente se desarrolló para un entorno basado en retículos, se ha demostrado que el modelo implica la siguiente ecuación diferencial estocástica continua : ^{[ 1 ] [ 6 ]}

${\displaystyle d\ln(r)=\left[\theta _{t}+{\frac {\sigma '_{t}}{\sigma _{t}}}\ln(r)\right]dt+\sigma _{t}\,dW_{t}}$

dónde,

${\displaystyle r\,}$= la tasa instantánea a corto plazo en el tiempo t

${\displaystyle \theta _{t}\,}$= valor del activo subyacente al vencimiento de la opción

${\displaystyle \sigma _{t}\,}$= volatilidad instantánea de la tasa a corto plazo

${\displaystyle W_{t}\,}$= un movimiento browniano estándar bajo una medida de probabilidad neutral al riesgo ;${\displaystyle dW_{t}\,}$su diferencial .

Para una volatilidad de tasa a corto plazo constante (independiente del tiempo),${\displaystyle \sigma \,}$, el modelo es:

${\displaystyle d\ln(r)=\theta _{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}}$

Una de las razones por las que el modelo sigue siendo popular es que los algoritmos estándar para encontrar raíces —como el método de Newton (el método de la secante ) o la bisección— se aplican con mucha facilidad a la calibración. ^{[ 7 ]} En este sentido, el modelo se describió originalmente en lenguaje algorítmico , y no utilizando cálculo estocástico ni martingalas . ^{[ 8 ]}

Notas

• Función de R para calcular el árbol de tasas cortas de Black-Derman-Toy , Andrea Ruberto
• Calculadora de BDT y generador de árboles en Excel , Serkan Gur