Teorema de Wolstenholme

En matemáticas , el teorema de Wolstenholme establece que para un número primo p ≥ 5, la congruencia

${\displaystyle {2p-1 \choose p-1}\equiv 1{\pmod {p^{3}}}}$

se cumple, donde los paréntesis denotan un coeficiente binomial . Por ejemplo, con p = 7, esto dice que 1716 es uno más que un múltiplo de 343. El teorema fue demostrado por primera vez por Joseph Wolstenholme en 1862. En 1819, Charles Babbage demostró la misma congruencia módulo p ² , que se cumple para p ≥ 3. Una formulación equivalente es la congruencia

${\displaystyle {ap \choose bp}\equiv {a \choose b}{\pmod {p^{3}}}}$

para p ≥ 5, que se debe a Wilhelm Ljunggren ^{[ 1 ]} (y, en el caso especial b = 1, a JWL Glaisher ) y está inspirado en el teorema de Lucas .

No se conocen números compuestos que satisfagan el teorema de Wolstenholme, y se conjetura que no existen (véase más abajo). Un número primo que satisface la congruencia módulo p ⁴ se denomina primo de Wolstenholme (véase más abajo).

Como el propio Wolstenholme estableció, su teorema también puede expresarse como un par de congruencias para números armónicos (generalizados) :

${\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+\dots +{1 \over p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}{\mbox{, y}}}$

${\displaystyle 1+{1 \over 2^{2}}+{1 \over 3^{2}}+\dots +{1 \over (p-1)^{2}}\equiv 0{\pmod {p}}.}$

desde

${\displaystyle {2p-1 \choose p-1}=\prod _{1\leq k\leq p-1}{\frac {2p-k}{k}}\equiv 1-2p\sum _{1\leq k\leq p-1}{\frac {1}{k}}{\pmod {p^{2}}}}$

(Las congruencias con fracciones tienen sentido, siempre que los denominadores sean coprimos con el módulo). Por ejemplo, con p = 7, la primera de estas afirma que el numerador de 49/20 es un múltiplo de 49, mientras que la segunda afirma que el numerador de 5369/3600 es un múltiplo de 7.

Un número primo p se denomina primo de Wolstenholme si y solo si se cumple la siguiente condición:

${\displaystyle {{2p-1} \choose {p-1}}\equiv 1{\pmod {p^{4}}}.}$

Los únicos primos de Wolstenholme conocidos hasta ahora son 16843 y 2124679 (secuencia A088164 en el OEIS ) ; cualquier otro primo de Wolstenholme debe ser mayor que 10 ¹¹ . ^{[ 2 ]} Este resultado es consistente con el argumento heurístico de que el residuo módulo p ⁴ es un múltiplo pseudoaleatorio de p ³ . Esta heurística predice que el número de primos de Wolstenholme entre K y N es aproximadamente ln ln N − ln ln K . La condición de Wolstenholme se ha comprobado hasta 10 ¹¹ , y la heurística dice que debería haber aproximadamente un primo de Wolstenholme entre 10 ¹¹ y 10 ²⁴ . Una heurística similar predice que no hay primos "doblemente Wolstenholme", ​​para los cuales la congruencia se cumpliría módulo p ⁵ .

Existen varias maneras de demostrar el teorema de Wolstenholme. Aquí presentamos una demostración que valida directamente la versión de Glaisher utilizando tanto combinatoria como álgebra.

Por el momento, sea p cualquier número primo, y sean a y b cualesquiera enteros no negativos. Entonces, un conjunto A con ap elementos puede dividirse en a anillos de longitud p , y los anillos pueden rotarse por separado. Por lo tanto, la suma directa a -ésima del grupo cíclico de orden p actúa sobre el conjunto A , y por extensión actúa sobre el conjunto de subconjuntos de tamaño bp . Cada órbita de esta acción de grupo tiene p ^k elementos, donde k es el número de anillos incompletos, es decir, si hay k anillos que solo intersecan parcialmente un subconjunto B en la órbita. Hay${\displaystyle \textstyle {a \choose b}}$órbitas de tamaño 1 y no hay órbitas de tamaño p . ^{[ 3 ]} Por lo tanto, primero obtenemos el teorema de Babbage.

${\displaystyle {ap \choose bp}\equiv {a \choose b}{\pmod {p^{2}}}.}$

Al examinar las órbitas de tamaño p ² , también obtenemos

${\displaystyle {ap \choose bp}\equiv {a \choose b}+{a \choose 2}\left({2p \choose p}-2\right){a-2 \choose b-1}{\pmod {p^{3}}}.}$

Entre otras consecuencias, esta ecuación nos dice que el caso a = 2 y b = 1 implica el caso general de la segunda forma del teorema de Wolstenholme.

Pasando de la combinatoria al álgebra, ambos lados de esta congruencia son polinomios en a para cada valor fijo de b . Por lo tanto, la congruencia se cumple cuando a es cualquier entero , positivo o negativo, siempre que b sea un entero positivo fijo. En particular, si a = −1 y b = 1, la congruencia se convierte en

${\displaystyle {-p \choose p}\equiv {-1 \choose 1}+{-1 \choose 2}\left({2p \choose p}-2\right){\pmod {p^{3}}}.}$

Esta congruencia se convierte en una ecuación para${\displaystyle \textstyle {2p \choose p}}$utilizando la relación

${\displaystyle {-p \choose p}={\frac {(-1)^{p}}{2}}{2p \choose p}.}$

Cuando p es impar, la relación es

${\displaystyle 3{2p \choose p}\equiv 6{\pmod {p^{3}}}.}$

Cuando p ≠ 3, podemos dividir ambos lados por 3 para completar el argumento.

Una derivación similar módulo p ⁴ establece que

${\displaystyle {ap \choose bp}\equiv {a \choose b}{\pmod {p^{4}}}}$

para todo a y b positivos si y solo si se cumple cuando a = 2 y b = 1, es decir, si y solo si p es un primo de Wolstenholme.

Se conjetura que si

Cuando k = 3, entonces n es primo. La conjetura se puede entender considerando k = 1 y 2, así como 3. Cuando k = 1, el teorema de Babbage implica que se cumple para n = p ² para p un primo impar, mientras que el teorema de Wolstenholme implica que se cumple para n = p ³ para p > 3, y se cumple para n = p ⁴ si p es un primo de Wolstenholme. Cuando k = 2, se cumple para n = p ² si p es un primo de Wolstenholme. Estos tres números, 4 = 2 ² , 8 = 2 ³ , y 27 = 3 ³ no se cumplen para ( 1 ) con k = 1, pero todos los demás cuadrados primos y cubos primos se cumplen para ( 1 ) con k = 1. Solo se conocen otros 5 valores compuestos (ni cuadrados primos ni cubos primos) de n que se cumplen para ( 1 ) con k = 1, se llaman pseudoprimos de Wolstenholme , son

27173, 2001341, 16024189487, 80478114820849201, 20378551049298456998947681, ... (secuencia A082180 en el OEIS )

Los tres primeros no son potencias de primos (secuencia A228562 en la OEIS ) , los dos últimos son 16843⁴ ^y 2124679⁴ , 16843 y 2124679 son ^primos de Wolstenholme (secuencia A088164 en la OEIS ) . Además, con excepción de 16843² ^y 2124679² ^, no se conocen compuestos que se cumplan para ( 1 ) con k = 2, y mucho menos k = 3. Por lo tanto, la conjetura se considera probable porque la congruencia de Wolstenholme parece excesivamente restringida y artificial para números compuestos. Además, si la congruencia se cumple para cualquier n particular que no sea un primo o una potencia de primo , y cualquier k particular , no implica que

${\displaystyle {an \choose bn}\equiv {a \choose b}{\pmod {n^{k}}}.}$

El número de pseudoprimos de Wolstenholme hasta x es${\displaystyle O(x^{1/2}\log(\log(x))^{499712})}$, por lo que la suma de los recíprocos de esos números converge. La constante 499712 se deduce de la existencia de solo tres pseudoprimos de Wolstenholme hasta 10 ¹² . El número de pseudoprimos de Wolstenholme hasta 10 ¹² debería ser al menos 7 si la suma de sus recíprocos divergiera, y como esto no se cumple porque solo hay 3 de ellos en este rango, la función de conteo de estos pseudoprimos es como máximo${\displaystyle O(x^{1/2}\log(\log(x))^{C})}$para alguna constante C computable eficientemente ; podemos tomar C como 499712. La constante en la notación O grande también es efectivamente computable en${\displaystyle O(x^{1/2}\log(\log(x))^{499712})}$.

Leudesdorf ha demostrado que para un entero positivo n coprimo con 6, se cumple la siguiente congruencia: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \sum _{i=1 \atop \gcd(i,n)=1}^{n-1}{\frac {1}{i}}\equiv 0{\pmod {n^{2}}}.}$

En 1900, Glaisher ^{[ 5 ] [ 6 ]} demostró además que: para primo p > 3,

${\displaystyle {\binom {2p-1}{p-1}}\equiv 1-{\frac {2p^{3}}{3}}B_{p-3}{\pmod {p^{4}}}.}$

Donde B _n es el número de Bernoulli .

• El pequeño teorema de Fermat
• Teorema de Wilson
• Wieferich primo
• Wilson primo
• Muro-Sol-Sol en su punto máximo
• Lista de clases especiales de números primos
• Tabla de congruencias

• Babbage, C. (1819), "Demostración de un teorema relacionado con los números primos" , The Edinburgh Philosophical Journal , 1 : 46–49.
• Glaisher, JWL (1900), "Congruencias relativas a las sumas de productos de los primeros n números y a otras sumas de productos" , The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics , 31 : 1–35.
• Glaisher, JWL (1900), "Residuos de los coeficientes del teorema binomial con respecto a p ³ ", The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics , 31 : 110–124.
• Glaisher, JWL ( 1900), "Sobre los residuos de las sumas de productos de los primeros p − 1 números y sus potencias, módulo p ² o p ³ ", The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics , 31 : 321–353.
• Granville, Andrew (1997), "Coeficientes binomiales módulo potencias primas" (PDF) , Actas de la Conferencia de la Sociedad Matemática Canadiense , 20 : 253–275 , MR 1483922 , archivado del original (PDF) el 2 de febrero de 2017. .
• McIntosh, RJ (1995), "Sobre el recíproco del teorema de Wolstenholme" (PDF) , Acta Arithmetica , 71 (4): 381–389 , doi : 10.4064/aa-71-4-381-389.
• R. Mestrovic, El teorema de Wolstenholme: sus generalizaciones y extensiones en los últimos ciento cincuenta años (1862-2012) .
• Wolstenholme, Joseph (1862), "Sobre ciertas propiedades de los números primos" , The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics , 5 : 35–39.

• El glosario Prime: Wolstenholme Prime
• Estado de la búsqueda de números primos de Wolstenholme