Factorial

En matemáticas , el factorial de un entero${\displaystyle n}$ no negativo , denotado por ,${\displaystyle n!}$ es el producto de todos los enteros positivos menores o iguales a .${\displaystyle n}$ El factorial de${\displaystyle n}$ también es igual al producto de con el factorial inmediatamente inferior: Por ejemplo, El valor de 0! es 1, según la convención para un producto vacío . ^{[ 1 ]}${\displaystyle n}$$${\displaystyle {\begin{aligned}n!&=n\times (n-1)\times (n-2)\times (n-3)\times \cdots \times 3\times 2\times 1\\&={\begin{cases}1,&{\text{si }}n=0\\n\times (n-1)!,&{\text{si }}n\geq 1.\end{cases}}\\\end{aligned}}}$$$${\displaystyle 5!=5\times 4!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120.}$$

Los factoriales se han descubierto en varias culturas antiguas, especialmente en las matemáticas indias en las obras canónicas de la literatura jainista , y por místicos judíos en el libro talmúdico Sefer Yetzirah . La operación factorial se encuentra en muchas áreas de las matemáticas, especialmente en combinatoria , donde su uso más básico es contar las posibles secuencias distintas —las permutaciones— de objetos distintos: hay . En análisis matemático , los factoriales se utilizan en series de potencias para la función exponencial y otras funciones, y también tienen aplicaciones en álgebra , teoría de números , teoría de la probabilidad e informática . ${\displaystyle n}$${\displaystyle n!}$

Gran parte de las matemáticas de la función factorial se desarrollaron a partir de finales del siglo XVIII y principios del XIX. La aproximación de Stirling proporciona una aproximación precisa al factorial de números grandes, mostrando que crece más rápidamente que el crecimiento exponencial . La fórmula de Legendre describe los exponentes de los números primos en una factorización prima de los factoriales, y puede usarse para contar los ceros finales de los factoriales. Daniel Bernoulli y Leonhard Euler interpolaron la función factorial a una función continua de números complejos , excepto en los enteros negativos, la función gamma (desplazada) .

Muchas otras funciones y secuencias numéricas importantes están estrechamente relacionadas con los factoriales, incluyendo los coeficientes binomiales , los factoriales dobles , los factoriales descendentes , los primoriales y los subfactoriales . Las implementaciones de la función factorial se utilizan comúnmente como ejemplo de diferentes estilos de programación informática y se incluyen en calculadoras científicas y bibliotecas de software de computación científica. Si bien el cálculo directo de factoriales grandes mediante la fórmula del producto o la recurrencia no es eficiente, se conocen algoritmos más rápidos que igualan, con una precisión de un factor constante, el tiempo de los algoritmos de multiplicación rápida para números con la misma cantidad de dígitos.

El concepto de factoriales ha surgido de forma independiente en muchas culturas:

• En las matemáticas indias , una de las descripciones más antiguas conocidas de factoriales proviene del Anuyogadvāra-sūtra, ^{[ 2 ]} una de las obras canónicas de la literatura jainista , a la que se le han asignado fechas que varían desde el 300 a. C. hasta el 400 d. C. ^{[ 3 ]} Separa el orden ordenado e invertido de un conjunto de elementos de los otros órdenes ("mixtos"), evaluando el número de órdenes mixtos restando dos de la fórmula habitual del producto para el factorial. La regla del producto para permutaciones también fue descrita por el monje jainista Jinabhadra en el siglo VI d. C. ^{[ 2 ]} Los eruditos hindúes han estado utilizando fórmulas factoriales desde al menos 1150, cuando Bhāskara II mencionó los factoriales en su obra Līlāvatī , en relación con un problema de cuántas maneras Vishnu podía sostener sus cuatro objetos característicos (una caracola , un disco , una maza y una flor de loto ) en sus cuatro manos, y un problema similar para un dios de diez manos. ^{[ 4 ]}
• En las matemáticas de Oriente Medio, el libro místico hebreo de la creación Sefer Yetzirah , del período talmúdico (200 a 500 d. C.), enumera factoriales hasta 7! como parte de una investigación sobre la cantidad de palabras que se pueden formar a partir del alfabeto hebreo . ^{[ 5 ] [ 6 ]} Los factoriales también fueron estudiados por razones similares por el gramático árabe del siglo VIII Al-Khalil ibn Ahmad al-Farahidi . ^{[ 5 ]} El matemático árabe Ibn al-Haytham (también conocido como Alhazen, c. 965 – c. 1040) fue el primero en formular el teorema de Wilson que relaciona los factoriales con los números primos . ^{[ 7 ]}
• En Europa, aunque las matemáticas griegas incluían cierta combinatoria, y Platón utilizó célebremente 5040 (un factorial) como la población de una comunidad ideal, en parte debido a sus propiedades de divisibilidad, ^{[ 8 ]} no hay evidencia directa de que la antigua Grecia estudiara los factoriales. En cambio, el primer trabajo sobre factoriales en Europa fue realizado por eruditos judíos como Shabbethai Donnolo , quien explicó el pasaje del Sefer Yetzirah. ^{[ 9 ]} En 1677, el autor británico Fabian Stedman describió la aplicación de los factoriales al cambio de campanas , un arte musical que implica el tañido de varias campanas afinadas. ^{[ 10 ] [ 11 ]}

Desde finales del siglo XV en adelante, los factoriales se convirtieron en objeto de estudio de los matemáticos occidentales. En un tratado de 1494, el matemático italiano Luca Pacioli calculó factoriales hasta 11!, en relación con un problema de disposición de mesas de comedor. ^{[ 12 ]} Christopher Clavius ​​discutió los factoriales en un comentario de 1603 sobre la obra de Johannes de Sacrobosco , y en la década de 1640, el polímata francés Marin Mersenne publicó grandes (pero no del todo correctas) tablas de factoriales, hasta 64!, basadas en la obra de Clavius. ^{[ 13 ]} La serie de potencias para la función exponencial , con los recíprocos de los factoriales como sus coeficientes, fue formulada por primera vez en 1676 por Isaac Newton en una carta a Gottfried Wilhelm Leibniz . ^{[ 14 ]} Otras obras importantes de las primeras matemáticas europeas sobre factoriales incluyen una amplia cobertura en un tratado de 1685 de John Wallis , un estudio de sus valores aproximados para valores grandes de realizado por Abraham de Moivre en 1721, una carta de 1729 de James Stirling a de Moivre que establece lo que se conoció como la aproximación de Stirling , y el trabajo simultáneo de Daniel Bernoulli y Leonhard Euler que formula la extensión continua de la función factorial a la función gamma . ^{[ 15 ]} Adrien-Marie Legendre incluyó la fórmula de Legendre , que describe los exponentes en la factorización de factoriales en potencias primas , en un texto de 1808 sobre teoría de números . ^{[ 16 ]}${\displaystyle n}$

La notación para factoriales fue introducida por el matemático francés Christian Kramp en 1808. ^{[ 17 ]} También se han utilizado muchas otras notaciones. Otra notación posterior , en la que el argumento del factorial estaba medio encerrado por los lados izquierdo e inferior de una caja, fue popular durante algún tiempo en Gran Bretaña y América, pero cayó en desuso, quizás porque es difícil de componer tipográficamente. ^{[ 17 ]} La palabra "factorial" (originalmente en francés: factorielle ) fue utilizada por primera vez en 1800 por Louis François Antoine Arbogast , ^{[ 18 ]} en el primer trabajo sobre la fórmula de Faà di Bruno , ^{[ 19 ]} pero refiriéndose a un concepto más general de productos de progresiones aritméticas . Los "factores" a los que se refiere este nombre son los términos de la fórmula del producto para el factorial. ^{[ 20 ]}${\displaystyle n!}$${\displaystyle \vert \!{\underline {\,n}}}$

La función factorial de un entero positivo se define por el producto de todos los enteros positivos no mayores que ^{[ 1 ]} Esto se puede escribir de forma más concisa en notación de producto como ^{[ 1 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-2)\cdot (n-1)\cdot n.}$$$${\displaystyle n!=\prod _{i=1}^{n}i.}$$

Si se cambia esta fórmula del producto para conservar todos los términos excepto el último, se definiría un producto de la misma forma, para un factorial más pequeño. Esto conduce a una relación de recurrencia , según la cual cada valor de la función factorial se puede obtener multiplicando el valor anterior por : ^{[ 21 ]}${\displaystyle n}$ Por ejemplo, .$${\displaystyle n!=n\cdot (n-1)!.}$$${\displaystyle 5!=5\cdot 4!=5\cdot 24=120}$

El factorial de ${\displaystyle 0}$es ,${\displaystyle 1}$ o en símbolos, . Existen varias razones para esta definición: ${\displaystyle 0!=1}$

• Para , la definición de como producto implica el producto de ningún número en absoluto, y por lo tanto es un ejemplo de la convención más amplia de que el producto vacío , un producto de ningún factor, es igual a la identidad multiplicativa. ^{[ 22 ]}${\displaystyle n=0}$${\displaystyle n!}$
• Existe exactamente una permutación de cero objetos: al no haber nada que permutar, la única reorganización posible es no hacer nada. ^{[ 21 ]}
• Esta convención hace que muchas identidades en combinatoria sean válidas para todas las elecciones válidas de sus parámetros. Por ejemplo, el número de maneras de elegir todos los elementos de un conjunto es una identidad de coeficiente binomial que solo sería válida con . ^{[ 23 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\textstyle {\tbinom {n}{n}}={\tfrac {n!}{n!0!}}=1,}$${\displaystyle 0!=1}$
• Con , la relación de recurrencia para el factorial sigue siendo válida en . Por lo tanto, con esta convención, un cálculo recursivo del factorial solo necesita tener el valor de cero como caso base , lo que simplifica el cálculo y evita la necesidad de casos especiales adicionales. ^{[ 24 ]}${\displaystyle 0!=1}$${\displaystyle n=1}$
• Esta configuración permite la expresión compacta de muchas fórmulas, como la función exponencial , como una serie de potencias : ^{[ 14 ]}${\displaystyle 0!=1}$${\textstyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}$
• Esta elección coincide con la función gamma , y ​​la función gamma se define como una función continua de números complejos que no implica una elección separada en este valor. ^{[ 25 ]}${\displaystyle 0!=\Gamma (0+1)=1}$

Los primeros usos de la función factorial implican contar permutaciones : hay diferentes maneras de ordenar objetos distintos en una secuencia. ^{[ 26 ]} Los factoriales aparecen más ampliamente en muchas fórmulas de combinatoria , para dar cuenta de diferentes ordenamientos de objetos. Por ejemplo, los coeficientes binomiales cuentan las combinaciones de -elementos (subconjuntos de elementos) de un conjunto con elementos, y se pueden calcular a partir de factoriales usando la fórmula ^{[ 27 ]} Los números de Stirling de primera especie suman los factoriales, y cuentan las permutaciones de agrupados en subconjuntos con el mismo número de ciclos. ^{[ 28 ]} Otra aplicación combinatoria es en el conteo de desordenamientos , permutaciones que no dejan ningún elemento en su posición original; el número de desordenamientos de elementos es el entero más cercano a . ^{[ 29 ]}${\displaystyle n!}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}.}$$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n!/e}$

En álgebra , los factoriales surgen a través del teorema del binomio , que utiliza coeficientes binomiales para expandir potencias de sumas. ^{[ 30 ]} También aparecen en los coeficientes utilizados para relacionar ciertas familias de polinomios entre sí, por ejemplo, en las identidades de Newton para polinomios simétricos . ^{[ 31 ]} Su uso en el conteo de permutaciones también puede reformularse algebraicamente: los factoriales son los órdenes de grupos simétricos finitos . ^{[ 32 ]} En cálculo , los factoriales aparecen en la fórmula de Faà di Bruno para encadenar derivadas de orden superior. ^{[ 19 ]} En análisis matemático , los factoriales aparecen frecuentemente en los denominadores de series de potencias , sobre todo en la serie para la función exponencial , ^{[ 14 ]} y en los coeficientes de otras series de Taylor (en particular las de las funciones trigonométricas e hiperbólicas ), donde cancelan factores de provenientes de la -ésima derivada de . ^{[ 33 ]} Este uso de factoriales en series de potencias se conecta de nuevo con la combinatoria analítica a través de la función generadora exponencial , que para una clase combinatoria con elementos de tamaño se define como la serie de potencias ^{[ 34 ]}$${\displaystyle e^{x}=1+{\frac {x}{1}}+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}},}$$${\displaystyle n!}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x^{n}}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle i}$$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}n_{k}}{k!}}.}$$

En teoría de números , la propiedad más destacada de los factoriales es la divisibilidad de por todos los enteros positivos hasta , descrita con mayor precisión para factores primos por la fórmula de Legendre . De ello se deduce que se pueden encontrar números primos arbitrariamente grandes como factores primos de los números , lo que lleva a una demostración del teorema de Euclides de que el número de primos es infinito. ^{[ 35 ]} Cuando es primo, se le llama primo factorial ; ^{[ 36 ]} de forma relacionada, el problema de Brocard , también planteado por Srinivasa Ramanujan , se refiere a la existencia de números cuadrados de la forma . ^{[ 37 ]} Por el contrario, los números deben ser todos compuestos, lo que demuestra la existencia de brechas de primos arbitrariamente grandes . ^{[ 38 ]} Una demostración elemental del postulado de Bertrand sobre la existencia de un primo en cualquier intervalo de la forma , uno de los primeros resultados de Paul Erdős , se basó en las propiedades de divisibilidad de los factoriales. ^{[ 39 ] [ 40 ]} El sistema numérico factorial es una notación de base mixta para números en la que los valores posicionales de cada dígito son factoriales. ^{[ 41 ]}${\displaystyle n!}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n!\pm 1}$${\displaystyle n!\pm 1}$${\displaystyle n!+1}$${\displaystyle n!+2,n!+3,\dots n!+n}$${\displaystyle [n,2n]}$

Los factoriales se utilizan ampliamente en la teoría de la probabilidad , por ejemplo en la distribución de Poisson ^{[ 42 ]} y en las probabilidades de permutaciones aleatorias . ^{[ 43 ]} En ciencias de la computación , además de aparecer en el análisis de búsquedas de fuerza bruta sobre permutaciones, ^{[ 44 ]} los factoriales surgen en el límite inferior del número de comparaciones necesarias para ordenar por comparación un conjunto de elementos, ^{[ 45 ]} y en el análisis de tablas hash encadenadas , donde la distribución de claves por celda puede aproximarse con precisión mediante una distribución de Poisson. ^{[ 46 ]} Además, los factoriales aparecen naturalmente en fórmulas de física cuántica y estadística , donde a menudo se consideran todas las permutaciones posibles de un conjunto de partículas. En mecánica estadística , los cálculos de entropía, como la fórmula de entropía de Boltzmann o la ecuación de Sackur-Tetrode, deben corregir el recuento de microestados dividiendo por los factoriales del número de cada tipo de partícula indistinguible para evitar la paradoja de Gibbs . La física cuántica proporciona la razón fundamental de por qué son necesarias estas correcciones. ^{[ 47 ]}${\displaystyle \log _{2}n!=n\log _{2}n-O(n)}$${\displaystyle n}$

Como función de ,${\displaystyle n}$ el factorial tiene un crecimiento más rápido que el exponencial , pero crece más lentamente que una función doble exponencial . ^{[ 48 ]} Su tasa de crecimiento es similar a ,${\displaystyle n^{n}}$ pero más lenta por un factor exponencial. Una forma de aproximarse a este resultado es tomando el logaritmo natural del factorial, lo que convierte su fórmula de producto en una suma, y ​​luego estimando la suma mediante una integral: Exponenciando el resultado (e ignorando el término despreciable) se aproxima como . ^{[ 49 ]} Limitando más cuidadosamente la suma tanto arriba como abajo mediante una integral, utilizando la regla del trapecio , se muestra que esta estimación necesita un factor de corrección proporcional a . La constante de proporcionalidad para esta corrección se puede encontrar a partir del producto de Wallis , que expresa como una razón límite de factoriales y potencias de dos. El resultado de estas correcciones es la aproximación de Stirling : ^{[ 50 ]} Aquí, el símbolo significa que, a medida que tiende a infinito, la razón entre los lados izquierdo y derecho se aproxima en el límite . La fórmula de Stirling proporciona el primer término de una serie asintótica que se vuelve aún más precisa al aumentar el número de términos: ^{[ 51 ]} Una versión alternativa (la aproximación derivada directamente de la fórmula de Euler-Maclaurin ) converge más rápido porque solo requiere exponentes impares en los términos de corrección: ^{[ 51 ]} Srinivasa Ramanujan , Bill Gosper y otros también han desarrollado muchas otras variaciones de estas fórmulas . ^{[ 51 ]}$${\displaystyle \ln n!=\sum _{x=1}^{n}\ln x\approx \int _{1}^{n}\ln x\,dx=n\ln n-n+1.}$$${\displaystyle +1}$${\displaystyle n!}$${\displaystyle (n/e)^{n}}$${\displaystyle {\sqrt {n}}}$${\displaystyle \pi }$$${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\,.}$$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle n}$${\displaystyle 1}$$${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}-{\frac {139}{51840n^{3}}}-{\frac {571}{2488320n^{4}}}+\cdots \right).}$$$${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\exp \left({\frac {1}{12n}}-{\frac {1}{360n^{3}}}+{\frac {1}{1260n^{5}}}-{\frac {1}{1680n^{7}}}+\cdots \right).}$$

El logaritmo binario del factorial, utilizado para analizar la ordenación por comparación , puede estimarse con gran precisión mediante la aproximación de Stirling. En la fórmula siguiente, el término utiliza la notación de la gran O. ^{[ 45 ]}${\displaystyle O(1)}$$${\displaystyle \log _{2}n!=n\log _{2}n-n\log _{2}e+{\frac {1}{2}}\log _{2}n+O(1).}$$

La fórmula del producto para el factorial implica que es divisible por todos los números primos que son como máximo , y por ningún número primo mayor. ^{[ 52 ]} Información más precisa sobre su divisibilidad la proporciona la fórmula de Legendre , que da el exponente de cada primo en la factorización prima de como ^{[ 53 ] [ 54 ]} Aquí denota la suma de los dígitos de la base de . El exponente dado por esta fórmula puede llamarse más técnicamente la valuación p -ádica del factorial. ^{[ 54 ]} Aplicando la fórmula de Legendre a la fórmula del producto para coeficientes binomiales se obtiene el teorema de Kummer , un resultado similar sobre el exponente de cada primo en la factorización de un coeficiente binomial. ^{[ 55 ]} Agrupando los factores primos del factorial en potencias primas de diferentes maneras se obtienen las particiones multiplicativas de factoriales . ^{[ 56 ]}${\displaystyle n!}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n!}$$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor ={\frac {n-s_{p}(n)}{p-1}}.}$$${\displaystyle s_{p}(n)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$

El caso especial de la fórmula de Legendre para da el número de ceros finales en la representación decimal de los factoriales. ^{[ 57 ]} Según esta fórmula, el número de ceros se puede obtener restando los dígitos en base 5 de de , y dividiendo el resultado por cuatro. ^{[ 58 ]} La fórmula de Legendre implica que el exponente del primo siempre es mayor que el exponente de , por lo que cada factor de cinco se puede emparejar con un factor de dos para producir uno de estos ceros finales. ^{[ 57 ]} Los dígitos iniciales de los factoriales se distribuyen según la ley de Benford . ^{[ 59 ]} Toda secuencia de dígitos, en cualquier base, es la secuencia de dígitos iniciales de algún número factorial en esa base. ^{[ 60 ]}${\displaystyle p=5}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p=2}$${\displaystyle p=5}$

Otro resultado sobre la divisibilidad de factoriales, el teorema de Wilson , establece que es divisible por si y solo si es un número primo . ^{[ 52 ]} Para cualquier entero dado , la función de Kempner de viene dada por el menor para el cual divide a . ^{[ 61 ]} Para casi todos los números (excepto un subconjunto de excepciones con densidad asintótica cero), coincide con el mayor factor primo de . ^{[ 62 ]}${\displaystyle (n-1)!+1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n!}$${\displaystyle x}$

El producto de dos factoriales, , siempre divide exactamente a . ^{[ 63 ]} Hay infinitos factoriales que son iguales al producto de otros factoriales: si es en sí mismo cualquier producto de factoriales, entonces es igual a ese mismo producto multiplicado por un factorial más, . Los únicos ejemplos conocidos de factoriales que son productos de otros factoriales pero que no son de esta forma "trivial" son , , y . ^{[ 64 ]} De la conjetura abc se seguiría que solo hay un número finito de ejemplos no triviales. ^{[ 65 ]}${\displaystyle m!\cdot n!}$${\displaystyle (m+n)!}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n!}$${\displaystyle (n-1)!}$${\displaystyle 9!=7!\cdot 3!\cdot 3!\cdot 2!}$${\displaystyle 10!=7!\cdot 6!=7!\cdot 5!\cdot 3!}$${\displaystyle 16!=14!\cdot 5!\cdot 2!}$

El máximo común divisor de los valores de un polinomio primitivo de grado sobre los enteros divide exactamente a . ^{[ 63 ]}${\displaystyle d}$${\displaystyle d!}$

Hay infinitas maneras de extender los factoriales a una función continua . ^{[ 66 ]} La más utilizada de estas ^{[ 67 ]} utiliza la función gamma , que puede definirse para números reales positivos como la integral La función resultante está relacionada con el factorial de un entero no negativo mediante la ecuación que puede utilizarse como definición del factorial para argumentos no enteros. Para todos los valores para los que tanto como están definidos, la función gamma obedece la ecuación funcional que generaliza la relación de recurrencia para los factoriales. ^{[ 66 ]}$${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}\,dx.}$$${\displaystyle n}$$${\displaystyle n!=\Gamma (n+1),}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle \Gamma (x)}$${\displaystyle \Gamma (x-1)}$$${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)\Gamma (n-1),}$$

La misma integral converge de forma más general para cualquier número complejo cuya parte real sea positiva. Puede extenderse a los puntos no enteros en el resto del plano complejo resolviendo la fórmula de reflexión de Euler . Sin embargo, esta fórmula no puede usarse en los enteros porque, para ellos, el término produciría una división por cero . El resultado de este proceso de extensión es una función analítica (más específicamente una función meromorfa ), la continuación analítica de la fórmula integral para la función gamma. Tiene un valor distinto de cero en todos los números complejos, excepto para los enteros no positivos donde tiene polos simples . Correspondientemente, esto proporciona una definición para el factorial en todos los números complejos distintos de los enteros negativos. ^{[ 67 ]} Una propiedad de la función gamma, que la distingue de otras interpolaciones continuas de los factoriales, viene dada por el teorema de Bohr-Mollerup , que establece que la función gamma (desplazada por uno) es la única función log-convexa en los números reales positivos que interpola los factoriales y obedece la misma ecuación funcional. Un teorema de unicidad relacionado de Helmut Wielandt establece que la función gamma compleja y sus múltiplos escalares son las únicas funciones holomorfas en el semiplano complejo positivo que obedecen la ecuación funcional y permanecen acotadas para números complejos con parte real entre 1 y 2. ^{[ 68 ]}${\displaystyle z}$$${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin \pi z}}.}$$${\displaystyle \sin \pi z}$

Otras funciones complejas que interpolan los valores factoriales incluyen la función gamma de Hadamard , que es una función completa sobre todos los números complejos, incluidos los enteros no positivos. ^{[ 69 ] [ 70 ]} En los números p -ádicos , no es posible interpolar continuamente la función factorial directamente, porque los factoriales de los enteros grandes (un subconjunto denso de los enteros p -ádicos) convergen a cero según la fórmula de Legendre, lo que obliga a que cualquier función continua que esté cerca de sus valores sea cero en todas partes. En cambio, la función gamma p -ádica proporciona una interpolación continua de una forma modificada del factorial, omitiendo los factores en el factorial que son divisibles por p . ^{[ 71 ]}

La función digamma es la derivada logarítmica de la función gamma. Así como la función gamma proporciona una interpolación continua de los factoriales, desplazada en uno, la función digamma proporciona una interpolación continua de los números armónicos , desplazada por la constante de Euler-Mascheroni . ^{[ 72 ]}

La función factorial es una característica común en las calculadoras científicas . ^{[ 73 ]} También está incluida en bibliotecas de programación científica como el módulo de funciones matemáticas de Python ^{[ 74 ]} y la biblioteca Boost C++ . ^{[ 75 ]}

Si la eficiencia no es una preocupación, calcular factoriales es trivial: simplemente se multiplica sucesivamente una variable inicializada en${\displaystyle 1}$ por los enteros hasta .${\displaystyle n}$ La simplicidad de este cálculo lo convierte en un ejemplo común en el uso de diferentes estilos y métodos de programación informática. ^{[ 76 ]} El cálculo de se puede expresar en pseudocódigo usando iteración ^{[ 77 ]} como ${\displaystyle n!}$

define factorial( n ): f  := 1 para i  := 1, 2, 3, ..., n : f  := f * i retornar f

o utilizando recursión ^{[ 78 ]} basada en su relación de recurrencia como

define factorial( n ): if ( n = 0) return 1 return n * factorial( n − 1) 

Otros métodos adecuados para su cálculo incluyen la memorización , ^{[ 79 ]} la programación dinámica , ^{[ 80 ]} y la programación funcional . ^{[ 81 ]} La complejidad computacional de estos algoritmos puede analizarse utilizando el modelo de computación de máquina de acceso aleatorio de costo unitario , en el que cada operación aritmética toma un tiempo constante y cada número utiliza una cantidad constante de espacio de almacenamiento. En este modelo, estos métodos pueden calcular en tiempo , y la versión iterativa utiliza espacio . A menos que se optimice para la recursión de cola , la versión recursiva toma espacio lineal para almacenar su pila de llamadas . ^{[ 82 ]} Sin embargo, este modelo de computación solo es adecuado cuando es lo suficientemente pequeño como para permitir que quepa en una palabra de máquina . ^{[ 83 ]} Los valores 12! y 20! son los factoriales más grandes que se pueden almacenar, respectivamente, en los enteros de 32 bits ^{[ 84 ]} y 64 bits . ^{[ 85 ]} Los números de punto flotante pueden representar factoriales más grandes, pero de forma aproximada en lugar de exacta, y seguirán desbordándose para factoriales mayores que . ^{[ 84 ]}${\displaystyle n!}$${\displaystyle O(n)}$${\displaystyle O(1)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n!}$${\displaystyle 170!}$

El cálculo exacto de factoriales grandes implica aritmética de precisión arbitraria , debido al rápido crecimiento y al desbordamiento de enteros . El tiempo de cálculo puede analizarse como una función del número de dígitos o bits en el resultado. ^{[ 85 ]} Según la fórmula de Stirling, tiene bits. ^{[ 86 ]} El algoritmo de Schönhage-Strassen puede producir un producto de bits en tiempo , y se conocen algoritmos de multiplicación más rápidos que toman tiempo . ^{[ 87 ]} Sin embargo, el cálculo del factorial implica productos repetidos, en lugar de una sola multiplicación, por lo que estos límites de tiempo no se aplican directamente. En este contexto, calcular multiplicando los números del 1 al en secuencia es ineficiente, porque implica multiplicaciones, una fracción constante de las cuales toma tiempo cada una, dando un tiempo total . Un mejor enfoque es realizar las multiplicaciones como un algoritmo de divide y vencerás que multiplica una secuencia de números dividiéndola en dos subsecuencias de números, multiplica cada subsecuencia y combina los resultados con una última multiplicación. Este enfoque para el factorial requiere un tiempo total : un logaritmo proviene del número de bits en el factorial, un segundo proviene del algoritmo de multiplicación y un tercero proviene de la estrategia de divide y vencerás. ^{[ 88 ]}${\displaystyle n!}$${\displaystyle b=O(n\log n)}$${\displaystyle b}$${\displaystyle O(b\log b\log \log b)}$${\displaystyle O(b\log b)}$${\displaystyle n!}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle O(n\log ^{2}n)}$${\displaystyle O(n^{2}\log ^{2}n)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i/2}$${\displaystyle O(n\log ^{3}n)}$

Se obtiene una eficiencia aún mayor calculando n ! a partir de su factorización prima, basándose en el principio de que la exponenciación por elevación al cuadrado es más rápida que la expansión de un exponente en un producto. ^{[ 86 ] [ 89 ]} Un algoritmo para esto, desarrollado por Arnold Schönhage, comienza por encontrar la lista de los primos hasta , por${\displaystyle n}$ ejemplo, utilizando la criba de Eratóstenes , y utiliza la fórmula de Legendre para calcular el exponente de cada primo. Luego calcula el producto de las potencias primas con estos exponentes, utilizando un algoritmo recursivo, como sigue:

• Utiliza la estrategia de divide y vencerás para calcular el producto de los números primos cuyos exponentes son impares.
• Divide todos los exponentes entre dos (redondeando hacia abajo al entero más cercano), calcula recursivamente el producto de las potencias de números primos con estos exponentes más pequeños y eleva al cuadrado el resultado.
• Multiplica los resultados de los dos pasos anteriores.

El producto de todos los primos hasta es un número de bits, según el teorema de los números primos , por lo que el tiempo para el primer paso es , con un logaritmo proveniente de la estrategia de divide y vencerás y otro proveniente del algoritmo de multiplicación. En las llamadas recursivas al algoritmo, el teorema de los números primos se puede invocar nuevamente para demostrar que la cantidad de bits en los productos correspondientes disminuye por un factor constante en cada nivel de recursión, por lo que el tiempo total para estos pasos en todos los niveles de recursión se suma en una serie geométrica a . El tiempo para elevar al cuadrado en el segundo paso y la multiplicación en el tercer paso son nuevamente , porque cada uno es una sola multiplicación de un número con bits. Nuevamente, en cada nivel de recursión los números involucrados tienen una fracción constante de bits (porque de lo contrario, elevarlos al cuadrado repetidamente produciría un resultado final demasiado grande), por lo que nuevamente las cantidades de tiempo para estos pasos en las llamadas recursivas se suman en una serie geométrica a . En consecuencia, todo el algoritmo toma un tiempo , proporcional a una sola multiplicación con la misma cantidad de bits en su resultado. ^{[ 89 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle O(n)}$${\displaystyle O(n\log ^{2}n)}$${\displaystyle O(n\log ^{2}n)}$${\displaystyle O(n\log ^{2}n)}$${\displaystyle O(n\log n)}$${\displaystyle O(n\log ^{2}n)}$${\displaystyle O(n\log ^{2}n)}$

Otras secuencias de números enteros son similares o están relacionadas con los factoriales:

Factorial alternante

El factorial alternado es el valor absoluto de la suma alternada de los primeros factoriales, . Estos se han estudiado principalmente en relación con su primalidad; solo un número finito de ellos pueden ser primos, pero no se conoce una lista completa de primos de esta forma. ^{[ 90 ]}${\displaystyle n}$${\textstyle \sum _{i=1}^{n}(-1)^{n-i}i!}$

Factorial de Bhargava

Los factoriales de Bhargava son una familia de secuencias de enteros definidas por Manjul Bhargava con propiedades de teoría de números similares a las de los factoriales, incluyendo a los propios factoriales como un caso especial. ^{[ 63 ]}

Factorial doble

El producto de todos los enteros impares hasta algún entero${\displaystyle n}$ positivo impar se llama factorial doble de ,${\displaystyle n}$ y se denota por . ^{[ 91 ]} Es decir, Por ejemplo, 9!! = 1 × 3 × 5 × 7 × 9 = 945 . Los factoriales dobles se utilizan en integrales trigonométricas , ^{[ 92 ]} en expresiones para la función gamma en semi-enteros y los volúmenes de hiperesferas , ^{[ 93 ]} y en el conteo de árboles binarios y emparejamientos perfectos . ^{[ 91 ] [ 94 ]}${\displaystyle n!!}$$${\displaystyle (2k-1)!!=\prod _{i=1}^{k}(2i-1)={\frac {(2k)!}{2^{k}k!}}.}$$

factorial exponencial

Así como los números triangulares suman los números desde hasta , y los factoriales toman su producto, el factorial exponencial se exponencia. El factorial exponencial se define recursivamente como . Por ejemplo, el factorial exponencial de 4 es Estos números crecen mucho más rápido que los factoriales regulares. ^{[ 95 ]}${\displaystyle 1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a_{0}=1,\ a_{n}=n^{a_{n-1}}}$$${\displaystyle 4^{3^{2^{1}}}=262144.}$$

Factorial descendente

Las notaciones o se utilizan a veces para representar el producto de los mayores enteros contando hasta e incluyendo , igual a . Esto también se conoce como factorial descendente o factorial hacia atrás, y la notación es un símbolo de Pochhammer. ^{[ 96 ]} Los factoriales descendentes cuentan el número de secuencias diferentes de elementos distintos que se pueden extraer de un universo de elementos. ^{[ 97 ]} Aparecen como coeficientes en las derivadas de orden superior de polinomios, ^{[ 98 ]} y en los momentos factoriales de variables aleatorias . ^{[ 99 ]}${\displaystyle (x)_{n}}$${\displaystyle x^{\underline {n}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x!/(x-n)!}$${\displaystyle (x)_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$

Hiperfactoriales

El hiperfactorial de es el producto . Estos números forman los discriminantes de los polinomios de Hermite . ^{[ 100 ]} Pueden interpolarse continuamente mediante la función K , ^{[ 101 ]} y obedecen a análogos de la fórmula de Stirling ^{[ 102 ]} y el teorema de Wilson. ^{[ 103 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle 1^{1}\cdot 2^{2}\cdots n^{n}}$

Cifras de Jordania-Pólya

Los números de Jordan-Pólya son productos de factoriales, lo que permite repeticiones. Cada árbol tiene un grupo de simetría cuyo número de simetrías es un número de Jordan-Pólya, y cada número de Jordan-Pólya cuenta las simetrías de algún árbol. ^{[ 104 ]}

Primordial

El primorial es el producto de números primos menores o iguales a ; esta construcción les confiere algunas propiedades de divisibilidad similares a las de los factoriales, ^{[ 36 ]} pero a diferencia de los factoriales son libres de cuadrados . ^{[ 105 ]} Al igual que con los primos factoriales , los investigadores han estudiado los primoriales . ^{[ 36 ]}${\displaystyle n\#}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n!\pm 1}$${\displaystyle n\#\pm 1}$

Subfactorial

El subfactorial produce el número de desordenamientos de un conjunto de objetos. A veces se denota como , y es igual al entero más cercano a . ^{[ 29 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle !n}$${\displaystyle n!/e}$

Superfactorial

El superfactorial de es el producto de los primeros factoriales. Los superfactoriales se interpolan continuamente mediante la función G de Barnes . ^{[ 106 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Número triangular

Así como el factorial es el producto de los primeros enteros positivos, el número triangular es la suma de los primeros enteros positivos. Donald Knuth propuso el nombre «termial» y la notación para los números triangulares, haciendo más explícita la analogía con los factoriales, pero estos no son de uso generalizado. ^{[ 107 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n?}$