Latitud

En navegación astronómica , la latitud se determina mediante el método de altitud meridiana . Para una medición más precisa de la latitud, es necesario comprender el campo gravitatorio de la Tierra, ya sea para instalar teodolitos o para determinar las órbitas de los satélites GPS. El estudio de la forma de la Tierra junto con su campo gravitatorio es la ciencia de la geodesia .

La cuadrícula está formada por líneas de latitud y longitud constantes, construidas con referencia al eje de rotación de la Tierra. Los puntos de referencia primarios son los polos, donde el eje de rotación de la Tierra interseca la superficie de referencia. Los planos que contienen el eje de rotación intersecan la superficie en los meridianos ; y el ángulo entre cualquier plano meridiano y el que pasa por el meridiano de Greenwich define la longitud: los meridianos son líneas de longitud constante. El plano que pasa por el centro de la Tierra y es perpendicular al eje de rotación interseca la superficie en un círculo máximo llamado ecuador . Los planos paralelos al plano ecuatorial intersecan la superficie en círculos de latitud constante; estos son los paralelos. El ecuador tiene una latitud de 0°, el Polo Norte tiene una latitud de 90° Norte (escrito 90°  N o +90°), y el Polo Sur tiene una latitud de 90° Sur (escrito 90°  S o −90°). La latitud de un punto arbitrario es el ángulo entre el plano ecuatorial y la normal a la superficie en ese punto: la normal a la superficie de la esfera está a lo largo del vector radial.

La latitud, definida de esta manera para la esfera, se denomina a menudo latitud esférica, para evitar ambigüedades con la latitud geodésica y las latitudes auxiliares definidas en secciones posteriores de este artículo.

Además del ecuador, otros cuatro paralelos son importantes:

El plano de la órbita terrestre alrededor del Sol se llama eclíptica , y el plano perpendicular al eje de rotación de la Tierra es el plano ecuatorial. El ángulo entre la eclíptica y el plano ecuatorial se denomina indistintamente inclinación axial, oblicuidad o inclinación de la eclíptica, y se denota convencionalmente por i . La latitud de los círculos tropicales es igual a i y la latitud de los círculos polares es su complemento (90° - i ). El eje de rotación varía lentamente con el tiempo y los valores que se dan aquí corresponden a la época actual . La variación temporal se analiza con mayor detalle en el artículo sobre la inclinación axial . ^{[ a ]}

La figura muestra la geometría de una sección transversal del plano perpendicular a la eclíptica que pasa por los centros de la Tierra y el Sol en el solsticio de diciembre , cuando el Sol se encuentra directamente sobre el Trópico de Capricornio . Las latitudes polares del sur, por debajo del Círculo Polar Antártico, están iluminadas por el día, mientras que las latitudes polares del norte, por encima del Círculo Polar Ártico, están de noche. La situación se invierte en el solsticio de junio, cuando el Sol se encuentra directamente sobre el Trópico de Cáncer. Solo en latitudes intermedias entre ambos trópicos es posible que el Sol se encuentre directamente sobre el cenit .

En las proyecciones cartográficas no existe una regla universal sobre cómo deben representarse los meridianos y paralelos. Los ejemplos que se muestran a continuación ilustran los paralelos (representados con líneas rojas) en la proyección Mercator, de uso común , y en la proyección Mercator Transversal . En la primera, los paralelos son horizontales y los meridianos verticales, mientras que en la segunda no existe una relación exacta entre paralelos y meridianos y las direcciones horizontales y verticales: ambos son curvas complejas.

En 1687, Isaac Newton publicó los Principia Mathematica de la filosofía natural , en los que demostró que un cuerpo fluido autogravitante en rotación y en equilibrio adopta la forma de un elipsoide achatado . ^{[ 3 ]} (Este artículo utiliza el término elipsoide en lugar del término más antiguo esferoide ). El resultado de Newton fue confirmado por mediciones geodésicas en el siglo XVIII. (Véase arco meridiano ). Un elipsoide achatado es la superficie tridimensional generada por la rotación de una elipse alrededor de su eje menor. En el resto de este artículo, «elipsoide achatado de revolución» se abrevia como «elipsoide». (Los elipsoides que no tienen un eje de simetría se denominan triaxiales ).

En la historia de la geodesia se han utilizado muchos elipsoides de referencia diferentes . Antes de la era de los satélites, se diseñaban para ajustarse bien al geoide en el área limitada de un estudio, pero con la llegada del GPS , se ha vuelto habitual utilizar elipsoides de referencia (como el WGS84 ) con el centro en el centro de masa de la Tierra y el eje menor alineado con el eje de rotación terrestre. Estos elipsoides geocéntricos suelen estar a menos de 100 m (330 pies) del geoide. Dado que la latitud se define con respecto a un elipsoide, la posición de un punto dado es diferente en cada elipsoide: no se puede especificar con exactitud la latitud y la longitud de un accidente geográfico sin especificar el elipsoide utilizado. Muchos mapas mantenidos por agencias nacionales se basan en elipsoides antiguos, por lo que es necesario saber cómo se transforman los valores de latitud y longitud de un elipsoide a otro. Los dispositivos GPS incluyen software para realizar transformaciones de datum que vinculan el sistema WGS84 con el elipsoide de referencia local y su cuadrícula asociada.  

La forma de un elipsoide de revolución está determinada por la forma de la elipse que gira alrededor de su eje menor (más corto). Se requieren dos parámetros. Uno es invariablemente el radio ecuatorial, que es el semieje mayor , a . El otro parámetro suele ser (1)  el radio polar o semieje menor , b ; o (2) el achatamiento  (primero) , f ; o (3) la excentricidad , e . Estos parámetros no son independientes: están relacionados por 

${\displaystyle f={\frac {ab}{a}},\qquad e^{2}=2f-f^{2},\qquad b=a(1-f)=a{\sqrt {1-e^{2}}}\,.}$

Muchos otros parámetros (véase elipse , elipsoide ) aparecen en el estudio de la geodesia, la geofísica y las proyecciones cartográficas, pero todos pueden expresarse en términos de uno o dos miembros del conjunto a , b , f y e . Tanto f como e son pequeños y a menudo aparecen en expansiones en serie en los cálculos; son del orden de 1/298 y 0,0818 respectivamente. Los valores para varios elipsoides se dan en la Figura de la Tierra . Los elipsoides de referencia se definen generalmente por el semieje mayor y el aplanamiento inverso , 1 / f . Por ejemplo, los valores que definen el elipsoide WGS84 , utilizado por todos los dispositivos GPS, son ^{[ 4 ].}

• a (radio ecuatorial):6 378 137 .0  m exactamente
• 1 / f ( aplanamiento inverso) :298.257 223 563 exactamente

de los cuales se derivan

• b (radio polar):6 356 752 .314 25  m
• e ² (excentricidad al cuadrado):0,006 694 379 990 14

La diferencia entre el semieje mayor y el semieje menor es de aproximadamente 21 km (13 millas) y, como fracción del semieje mayor, equivale al achatamiento; en un monitor de computadora, el elipsoide podría tener un tamaño de 300 por 299 píxeles. Esto sería prácticamente indistinguible de una esfera de 300 por 300 píxeles, por lo que las ilustraciones suelen exagerar el achatamiento. 

La cuadrícula en el elipsoide se construye exactamente igual que en la esfera. La normal en un punto de la superficie de un elipsoide no pasa por el centro, excepto en los puntos del ecuador o de los polos, pero la definición de latitud permanece inalterada como el ángulo entre la normal y el plano ecuatorial. La terminología de latitud debe precisarse distinguiendo:

• Latitud geodésica : el ángulo entre la normal y el plano ecuatorial. La notación estándar en las publicaciones en inglés es ϕ . Esta es la definición que se da por sentada cuando se usa la palabra latitud sin ninguna especificación. La definición debe ir acompañada de la descripción del elipsoide.
• Geocentric latitude (also known as spherical latitude, after the 3D polar angle): the angle between the radius (from centre to the point on the surface) and the equatorial plane. (Figure below). There is no standard notation: examples from various texts include θ, ψ, q, ϕ′, ϕ_c, ϕ_g. This article uses θ.

Geographic latitude must be used with care, as some authors use it as a synonym for geodetic latitude whilst others use it as an alternative to the astronomical latitude. "Latitude" (unqualified) should normally refer to the geodetic latitude.

The importance of specifying the reference datum may be illustrated by a simple example. On the reference ellipsoid for WGS84, the centre of the Eiffel Tower has a geodetic latitude of 48° 51′ 29″ N, or 48.8583° N and longitude of 2° 17′ 40″ E or 2.2944°E. The same coordinates on the datum ED50 define a point on the ground which is 140 metres (460 feet) distant from the tower. A web search may produce several different values for the latitude of the tower; the reference ellipsoid is rarely specified.

On the sphere the normal passes through the centre and the latitude (ϕ) is therefore equal to the angle subtended at the centre by the meridian arc from the equator to the point concerned. If the meridian distance is denoted by m(ϕ) then $${\displaystyle m(\phi )={\frac {\pi }{180^{\circ }}}R\phi _{\mathrm {grados} }=R\phi _{\mathrm {radianes} }}$$ where R denotes the mean radius of the Earth. R is equal to 6,371 km or 3,959 miles. No higher accuracy is appropriate for R since higher-precision results necessitate an ellipsoid model. With this value for R the meridian length of 1 degree of latitude on the sphere is 111.2 km (69.1 statute miles) (60.0 nautical miles). The length of one minute of latitude is 1.853 km (1.151 statute miles) (1.00 nautical miles), while the length of 1 second of latitude is 30.8 m or 101 feet (see nautical mile).

En el arco meridiano y en textos estándar ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]} se muestra que la distancia a lo largo de un meridiano desde la latitud ϕ hasta el ecuador viene dada por ( ϕ en radianes)

$${\displaystyle m(\phi )=\int _ {0}^{\phi }M(\phi ')\,d\phi '=a\left(1-e^{2}\right)\int _ {0}^{\phi }\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi '\right)^{-{\frac {3}{2}}}\,d\phi '}$$

donde M ( ϕ ) es el radio de curvatura meridional .

La distancia del cuarto de meridiano desde el ecuador hasta el polo es

$${\displaystyle m_{\mathrm {p} }=m\left({\frac {\pi }{2}}\right)\,}$$

Para WGS84 esta distancia es10 001 .965 729  km .

La evaluación de la integral de la distancia meridiana es fundamental para muchos estudios en geodesia y proyección cartográfica. Se puede evaluar expandiendo la integral mediante la serie binomial e integrando término a término: véase Arco meridiano para más detalles. La longitud del arco meridiano entre dos latitudes dadas se obtiene sustituyendo los límites de la integral por las latitudes correspondientes. La longitud de un pequeño arco meridiano viene dada por ^{[ 6 ] [ 7 ].}

$${\displaystyle \delta m(\phi )=M(\phi )\,\delta \phi =a\left(1-e^{2}\right)\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi \right)^{-{\frac {3}{2}}}\,\delta \phi }$$

Cuando la diferencia de latitud es de 1 grado, que corresponde a π / 180 radianes , la distancia del arco es aproximadamente $${\displaystyle \Delta _{\text{lat}}^{1}={\frac {\pi a\left(1-e^{2}\right)}{180^{\circ }\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi \right)^{\frac {3}{2}}}}}$$

La distancia en metros (con una precisión de 0,01 metros) entre latitudes${\displaystyle \phi }$ −  0,5 grados y${\displaystyle \phi }$ +  0,5 grados en el esferoide WGS84 es $${\displaystyle \Delta _{\text{lat}}^{1}=111\,132.954-559.822\cos 2\phi +1.175\cos 4\phi }$$

La variación de esta distancia con la latitud (en WGS84 ) se muestra en la tabla junto con la longitud de un grado de longitud (distancia este-oeste): $${\displaystyle \Delta _{\text{long}}^{1}={\frac {\pi a\cos \phi }{180^{\circ }{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}}}\,}$$La Agencia Nacional de Inteligencia Geoespacial (NGA) del Gobierno de los Estados Unidos proporciona una calculadora para cualquier latitud . ^{[ 8 ]}

La latitud geocéntrica es el ángulo entre el plano ecuatorial y el radio desde el centro hasta un punto de interés.

Cuando el punto se encuentra en la superficie del elipsoide, la relación entre la latitud geocéntrica ( θ ) y la latitud geodésica ( ϕ ) es:

${\displaystyle \theta (\phi )=\tan ^{-1}\left(\left(1-e^{2}\right)\tan \phi \right)=\tan ^{-1}\left((1-f)^{2}\tan \phi \right)\,.}$

Para los puntos que no están en la superficie del elipsoide, la relación implica además la altura elipsoidal h :

${\displaystyle \theta (\phi ,h)=\tan ^{-1}\left({\frac {N(1-f)^{2}+h}{N+h}}\tan \phi \right)}$

donde N es el radio de curvatura vertical principal. Las latitudes geodésica y geocéntrica son iguales en el ecuador y en los polos, pero en otras latitudes difieren en unos pocos minutos de arco. Tomando el valor de la excentricidad al cuadrado como 0,0067 (depende de la elección del elipsoide), la diferencia máxima de${\displaystyle \phi {-}\theta }$Se puede demostrar que es de aproximadamente 11,5 minutos de arco a una latitud geodésica de aproximadamente 45°  6′. ^{[ b ]}

La latitud paramétrica o latitud reducida , β , se define por el radio trazado desde el centro del elipsoide hasta el punto Q en la esfera circundante (de radio a ) que es la proyección paralela al eje terrestre de un punto P en el elipsoide a latitud ϕ . Fue introducida por Legendre ^{[ 11 ]} y Bessel ^{[ 12 ]} , quienes resolvieron problemas para geodésicas en el elipsoide transformándolos en un problema equivalente para geodésicas esféricas utilizando esta latitud menor. La notación de Bessel, u ( ϕ ) , también se utiliza en la literatura actual. La latitud paramétrica se relaciona con la latitud geodésica mediante: ^{[ 6 ] [ 7 ]}

${\displaystyle \beta (\phi )=\tan ^{-1}\left({\sqrt {1-e^{2}}}\tan \phi \right)=\tan ^{-1}\left((1-f)\tan \phi \right)}$

El nombre alternativo surge de la parametrización de la ecuación de la elipse que describe una sección meridiana. En términos de coordenadas cartesianas p , la distancia desde el eje menor, y z , la distancia sobre el plano ecuatorial, la ecuación de la elipse es:

${\displaystyle {\frac {p^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1\,.}$

Las coordenadas cartesianas del punto se parametrizan mediante

${\displaystyle p=a\cos \beta \,,\qquad z=b\sin \beta \,;}$

Cayley sugirió el término latitud paramétrica debido a la forma de estas ecuaciones. ^{[ 13 ]}

La latitud paramétrica no se utiliza en la teoría de las proyecciones cartográficas. Su aplicación más importante se encuentra en la teoría de las geodésicas elipsoidales ( Vincenty , Karney ^{[ 14 ]} ).

La latitud rectificadora , μ , es la distancia meridiana escalada de modo que su valor en los polos sea igual a 90 grados o π / 2 radianes :

${\displaystyle \mu (\phi )={\frac {\pi }{2}}{\frac {m(\phi )}{m_{\mathrm {p} }}}}$

donde la distancia meridiana desde el ecuador a una latitud ϕ es (ver Arco meridiano )

${\displaystyle m(\phi )=a\left(1-e^{2}\right)\int _{0}^{\phi }\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi '\right)^{-{\frac {3}{2}}}\,d\phi '\,,}$

y la longitud del cuadrante meridiano desde el ecuador hasta el polo (la distancia polar ) es

${\displaystyle m_{\mathrm {p} }=m\left({\frac {\pi }{2}}\right)\,.}$

Utilizar la latitud rectificadora para definir una latitud en una esfera de radio

${\displaystyle R={\frac {2m_{\mathrm {p} }}{\pi }}}$

define una proyección del elipsoide a la esfera tal que todos los meridianos tengan longitud verdadera y escala uniforme. La esfera puede luego proyectarse al plano con una proyección equirrectangular para dar una doble proyección del elipsoide al plano tal que todos los meridianos tengan longitud verdadera y escala meridiana uniforme. Un ejemplo del uso de la latitud rectificadora es la proyección cónica equidistante . (Snyder, Sección 16). ^{[ 9 ]} La latitud rectificadora también es de gran importancia en la construcción de la proyección de Mercator Transversal .

La latitud autálica (del griego " misma área "), ξ , proporciona una proyección de igual área a una esfera.

${\displaystyle \xi (\phi )=\sin ^{-1}\left({\frac {q(\phi )}{q_{\mathrm {p} }}}\right)}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}q(\phi )&={\frac {\left(1-e^{2}\right)\sin \phi }{1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}-{\frac {1-e^{2}}{2e}}\ln \left({\frac {1-e\sin \phi }{1+e\sin \phi }}\right)\\[2pt]&={\frac {\left(1-e^{2}\right)\sin \phi }{1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}+{\frac {1-e^{2}}{e}}\tanh ^{-1}(e\sin \phi )\end{aligned}}}$

y

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{\mathrm {p} }=q\left({\frac {\pi }{2}}\right)&=1-{\frac {1-e^{2}}{2e}}\ln \left({\frac {1-e}{1+e}}\right)\\&=1+{\frac {1-e^{2}}{e}}\tanh ^{-1}e\end{aligned}}}$

y el radio de la esfera se toma como

${\displaystyle R_{q}=a{\sqrt {\frac {q_{\mathrm {p} }}{2}}}\,.}$

Un ejemplo del uso de la latitud autálica es la proyección cónica de igual área de Albers . ^{[ 9 ] : §14}

La latitud conforme , χ , proporciona una transformación que conserva el ángulo ( conforme ) a la esfera. ^{[ 15 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (\phi )&=2\tan ^{-1}\left[\left({\frac {1+\sin \phi }{1-\sin \phi }}\right)\left({\frac {1-e\sin \phi }{1+e\sin \phi }}\right)^{e}\right]^{\frac {1}{2}}-{\frac {\pi }{2}}\\[2pt]&=2\tan ^{-1}\left[\tan \left({\frac {\phi }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left({\frac {1-e\sin \phi }{1+e\sin \phi }}\right)^{\frac {e}{2}}\right]-{\frac {\pi }{2}}\\[2pt]&=\tan ^{-1}\left[\sinh \left(\sinh ^{-1}(\tan \phi )-e\tanh ^{-1}(e\sin \phi )\right)\right]\\&=\operatorname {gd} \left[\operatorname {gd} ^{-1}(\phi )-e\tanh ^{-1}(e\sin \phi )\right]\end{aligned}}}$

donde gd( x ) es la función de Gudermann . (Véase también proyección de Mercator ).

La latitud conforme define una transformación del elipsoide a una esfera de radio arbitrario , de modo que el ángulo de intersección entre dos líneas cualesquiera del elipsoide sea igual al ángulo correspondiente en la esfera (para que la forma de los elementos pequeños se conserve bien). Una transformación conforme adicional de la esfera al plano produce una doble proyección conforme del elipsoide al plano. Esta no es la única forma de generar dicha proyección conforme. Por ejemplo, la versión «exacta» de la proyección de Mercator Transversal sobre el elipsoide no es una doble proyección. (Sin embargo, sí implica una generalización de la latitud conforme al plano complejo).

La latitud isométrica , ψ , se utiliza en el desarrollo de las versiones elipsoidales de la proyección Mercator normal y la proyección Mercator transversal . El nombre "isométrica" ​​proviene del hecho de que en cualquier punto del elipsoide, incrementos iguales de ψ y longitud λ dan lugar a desplazamientos de igual distancia a lo largo de los meridianos y paralelos, respectivamente. La retícula definida por las líneas de ψ constante y λ constante divide la superficie del elipsoide en una malla de cuadrados (de tamaño variable). La latitud isométrica es cero en el ecuador, pero diverge rápidamente de la latitud geodésica, tendiendo al infinito en los polos. La notación convencional se da en Snyder (página 15): ^{[ 9 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (\phi )&=\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\phi }{2}}\right)\right]+{\frac {e}{2}}\ln \left[{\frac {1-e\sin \phi }{1+e\sin \phi }}\right]\\&=\sinh ^{-1}(\tan \phi )-e\tanh ^{-1}(e\sin \phi )\\&=\operatorname {gd} ^{-1}(\phi )-e\tanh ^{-1}(e\sin \phi ).\end{aligned}}}$

Para la proyección Mercator normal (sobre el elipsoide), esta función define el espaciado de los paralelos: si la longitud del ecuador en la proyección es E (unidades de longitud o píxeles), entonces la distancia, y , de un paralelo de latitud ϕ desde el ecuador es

${\displaystyle y(\phi )={\frac {E}{2\pi }}\psi (\phi )\,.}$

La latitud isométrica ψ está estrechamente relacionada con la latitud conforme χ :

${\displaystyle \psi (\phi )=\operatorname {gd} ^{-1}\chi (\phi )\,.}$

Las fórmulas de las secciones anteriores dan la latitud auxiliar en función de la latitud geodésica. Las expresiones para las latitudes geocéntrica y paramétrica pueden invertirse directamente, pero esto es imposible en los cuatro casos restantes: las latitudes rectificadoras, autálicas, conformes e isométricas. Hay dos métodos para proceder.

• El primer método consiste en la inversión numérica de la ecuación definitoria para cada valor particular de la latitud auxiliar. Los métodos disponibles son la iteración de punto fijo y el método de Newton-Raphson para la búsqueda de raíces.
  • Al convertir de isométrico o conforme a geodésico, dos iteraciones de Newton-Raphson dan una precisión doble . ^{[ 16 ]}
• El otro enfoque, más útil, consiste en expresar la latitud auxiliar como una serie en términos de la latitud geodésica y luego invertir la serie mediante el método de reversión de Lagrange . Adams presenta dichas series utilizando expansiones en serie de Taylor y proporciona coeficientes en términos de la excentricidad. ^{[ 10 ]} Orihuela ^{[ 17 ]} proporciona series para las conversiones entre todos los pares de latitudes auxiliares en términos del tercer aplanamiento, n = ( a - b )/( a + b ) . Karney ^{[ 18 ]} establece que los errores de truncamiento para dichas series son consistentemente menores que los de la serie equivalente en términos de la excentricidad. El método de series no es aplicable a la latitud isométrica y se debe encontrar la latitud conforme en un paso intermedio. ^{[ 6 ]}

El gráfico de la derecha muestra la diferencia entre la latitud geodésica y las latitudes auxiliares distintas de la latitud isométrica (que diverge al infinito en los polos) para el caso del elipsoide WGS84. Las diferencias mostradas en el gráfico están en minutos de arco. En el hemisferio norte (latitudes positivas), θ ≤ χ ≤ μ ≤ ξ ≤ β ≤ ϕ ; en el hemisferio sur (latitudes negativas), las desigualdades se invierten, con igualdad en el ecuador y los polos. Aunque el gráfico parece simétrico respecto a 45°, los mínimos de las curvas se encuentran en realidad entre 45° 2′ y 45° 6′. Algunos puntos de datos representativos se presentan en la tabla siguiente. Las latitudes conformes y geocéntricas son prácticamente indistinguibles, un hecho que se aprovechó en la época de las calculadoras manuales para agilizar la construcción de proyecciones cartográficas. ^{[ 9 ] : 108}

En primera aproximación en el aplanamiento f , las latitudes auxiliares se pueden expresar como ζ = ϕ − Cf sin 2 ϕ donde la constante C toma los valores [ 1 ⁄ 2 , 2 ⁄ 3 , 3 ⁄ 4 , 1, 1] para ζ = [ β , ξ , μ , χ , θ ].

En un punto arbitrario P, consideremos la línea PN , perpendicular al elipsoide de referencia. Las coordenadas geodésicas P( ɸ , λ , h ) son la latitud y la longitud del punto N en el elipsoide, y la distancia PN . Esta altura difiere de la altura sobre el geoide o de una altura de referencia, como la altura sobre el nivel medio del mar en una ubicación específica. La dirección de PN también difiere de la dirección de una plomada vertical. La relación entre estas alturas requiere conocer la forma del geoide y el campo gravitatorio de la Tierra.

La latitud geocéntrica θ es el complemento del ángulo polar o colatitud θ′ en coordenadas polares esféricas convencionales , donde las coordenadas de un punto son P( r , θ ′, λ ) , siendo r la distancia de P al centro O , θ′ el ángulo entre el vector radio y el eje polar, y λ la longitud. Dado que la normal en un punto cualquiera del elipsoide no pasa por el centro, es evidente que los puntos P' sobre la normal, que tienen la misma latitud geodésica, tendrán latitudes geocéntricas diferentes. Los sistemas de coordenadas polares esféricas se utilizan en el análisis del campo gravitatorio.

La latitud paramétrica también puede extenderse a un sistema de coordenadas tridimensional. Para un punto P que no se encuentra en el elipsoide de referencia (semiejes OA y OB ), se construye un elipsoide auxiliar que es confocal (mismos focos F y F′ ) con el elipsoide de referencia: la condición necesaria es que el producto ae del semieje mayor y la excentricidad sea el mismo para ambos elipsoides. Sea u el semieje menor ( OD ) del elipsoide auxiliar. Además, sea β la latitud paramétrica de P en el elipsoide auxiliar. El conjunto ( u , β , λ ) define las coordenadas elipsoidales-armónicas ^{[ 19 ]} o simplemente coordenadas elipsoidales ^{[ 5 ] : §4.2.2} (aunque ese término también se usa para referirse a coordenadas geodésicas). Estas coordenadas son la elección natural en los modelos del campo gravitatorio para un cuerpo elipsoidal en rotación. Lo anterior se aplica a un elipsoide biaxial (un esferoide, como en coordenadas esferoidales achatadas ); para una generalización, véase coordenadas elipsoidales triaxiales .

Las relaciones entre los sistemas de coordenadas mencionados, así como las coordenadas cartesianas, no se presentan aquí. La transformación entre coordenadas geodésicas y cartesianas se puede encontrar en la conversión de coordenadas geográficas . La relación entre coordenadas cartesianas y polares esféricas se describe en el sistema de coordenadas esféricas . La relación entre coordenadas cartesianas y elipsoidales se analiza en Torge. ^{[ 5 ]}