Teorema de 2π

En matemáticas , el teorema 2π de Gromov y Thurston establece una condición suficiente para que el relleno de Dehn en una 3-variedad hiperbólica con cúspides dé como resultado una 3-variedad de curvatura negativa .

Sea M una 3-variedad hiperbólica con cúspides. Se pueden seleccionar vecindarios de horobolas disjuntos para cada cúspide. Los límites de estos vecindarios son cocientes de horósferas y, por lo tanto, tienen métricas euclidianas. Una pendiente, es decir, una clase de isotopía no orientada de curvas cerradas simples en estos límites, tiene una longitud bien definida al tomar la longitud euclidiana mínima sobre todas las curvas de la clase de isotopía. El teorema 2π establece que un relleno de Dehn de M con cada pendiente de relleno mayor que 2π resulta en una 3-variedad con una métrica completa de curvatura seccional negativa. De hecho, esta métrica puede seleccionarse para que sea idéntica a la métrica hiperbólica original fuera de los vecindarios de horobolas .

La idea básica de la demostración consiste en construir explícitamente una métrica con curvatura negativa dentro de cada vecindario de la horoesfera que coincida con la métrica cerca del límite horosférico. Esta construcción, utilizando coordenadas cilíndricas, funciona cuando la pendiente de llenado es mayor que 2π . Véase Bleiler y Hodgson (1996) para más detalles. 

Según la conjetura de geometrización , estas 3-variedades de curvatura negativa deben admitir una métrica hiperbólica completa. Un argumento de empaquetamiento de horobolas, propuesto por Thurston, muestra que existen como máximo 48 pendientes que deben evitarse en cada cúspide para obtener una 3-variedad hiperbólica. Para las 3-variedades hiperbólicas con una cúspide, una mejora propuesta por Colin Adams proporciona 24 pendientes excepcionales.

Este resultado fue mejorado posteriormente de forma independiente por Ian Agol ( 2000 ) y Marc Lackenby ( 2000 ) con el teorema 6. El "teorema 6" establece que el llenado de Dehn a lo largo de pendientes de longitud mayor que 6 da como resultado una 3-variedad hiperbólica , es decir, una 3-variedad irreducible , atoroidal , no fibrada en Seifert con un grupo fundamental hiperbólico de palabras infinitas . Asumiendo nuevamente la conjetura de geometrización , estas variedades tienen una métrica hiperbólica completa. Un argumento de Agol muestra que hay como máximo 12 pendientes excepcionales.  

• Agol, Ian (2000), "Límites del llenado excepcional de Dehn", Geometry & Topology , 40 : 431–449 , arXiv : math/9906183 , doi : 10.2140/gt.2000.4.431 , MR 1799796 .
• Bleiler, Steven A.; Hodgson, Craig D. (1996), "Formas espaciales esféricas y relleno de Dehn", Topology , 35 (3): 809– 833, doi : 10.1016/0040-9383(95)00040-2 , MR 1396779 .
• Lackenby, Marc (2000), "Cirugía hiperbólica de Dehn", Inventiones Mathematicae , 140 (2): 243–282 , arXiv : math/9808120 , Bibcode : 2000InMat.140..243L , doi : 10.1007/s002220000047 , MR 1756996 .