Grupo hiperbólico

El lema de Švarc–Milnor ^{[ 2 ]} establece que si un grupo${\displaystyle G}$actúa propiamente de forma discontinua y con cociente compacto (dicha acción se denomina a menudo geométrica ) en un espacio de longitud propia.${\displaystyle Y}$, entonces es finitamente generado, y cualquier grafo de Cayley para${\displaystyle G}$es cuasi isométrico a${\displaystyle Y}$. Por lo tanto, un grupo es (finitamente generado y) hiperbólico si y solo si tiene una acción geométrica sobre un espacio hiperbólico propio.

Si${\displaystyle G'\subset G}$es un subgrupo con índice finito (es decir, el conjunto${\displaystyle G/G'}$es finito), entonces la inclusión induce una cuasi-isometría en los vértices de cualquier grafo de Cayley localmente finito de${\displaystyle G'}$en cualquier grafo de Cayley localmente finito de${\displaystyle G}$. De este modo${\displaystyle G'}$es hiperbólica si y solo si${\displaystyle G}$en sí mismo lo es. Más generalmente, si dos grupos son conmensurables , entonces uno es hiperbólico si y solo si el otro lo es.

Los ejemplos más simples de grupos hiperbólicos son los grupos finitos (cuyos gráficos de Cayley tienen un diámetro finito, por lo tanto${\displaystyle \delta }$-hiperbólico con${\displaystyle \delta }$igual a este diámetro).

Otro ejemplo sencillo lo proporciona el grupo cíclico infinito.${\displaystyle \mathbb {Z} }$: el gráfico de Cayley de${\displaystyle \mathbb {Z} }$con respecto al conjunto generador${\displaystyle \{\pm 1\}}$es una línea, por lo que todos los triángulos son segmentos de línea y la gráfica es${\displaystyle 0}$-hiperbólico. De ello se deduce que cualquier grupo que sea virtualmente cíclico (contiene una copia de${\displaystyle \mathbb {Z} }$de índice finito) también es hiperbólico, por ejemplo el grupo diedral infinito .

Los miembros de esta clase de grupos suelen denominarse grupos hiperbólicos elementales (la terminología se adapta de la de las acciones en el plano hiperbólico).

Dejar${\displaystyle S=\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}$sea ​​un conjunto finito y${\displaystyle F}$ser el grupo libre con conjunto generador${\displaystyle S}$. Luego, el gráfico de Cayley de${\displaystyle F}$con respecto a${\displaystyle S}$es un árbol localmente finito y, por lo tanto, un espacio 0-hiperbólico. Por lo tanto,${\displaystyle F}$es un grupo hiperbólico.

En términos más generales, vemos que cualquier grupo${\displaystyle G}$que actúa de manera discontinua sobre un árbol localmente finito (en este contexto esto significa exactamente que los estabilizadores en${\displaystyle G}$de los vértices son finitos) es hiperbólica. De hecho, esto se deduce del hecho de que${\displaystyle G}$posee un subárbol invariante sobre el cual actúa con cociente compacto, y el lema de Svarc-Milnor. Dichos grupos son, de hecho, virtualmente libres (es decir, contienen un subgrupo libre finitamente generado de índice finito), lo que proporciona otra prueba de su hiperbolicidad.

Un ejemplo interesante es el grupo modular.${\displaystyle G=\mathrm {SL} _ {2}(\mathbb {Z} )}$: actúa sobre el árbol dado por el 1-esqueleto de la teselación asociada del plano hiperbólico y tiene un subgrupo finito libre de índice (en dos generadores) de índice 6 (por ejemplo, el conjunto de matrices en${\displaystyle G}$que se reduce a la identidad módulo 2 es tal grupo). Nótese una característica interesante de este ejemplo: actúa propiamente de forma discontinua sobre un espacio hiperbólico (el plano hiperbólico ), pero la acción no es cocompacta (y de hecho${\displaystyle G}$no es cuasi-isométrico al plano hiperbólico).

Generalizando el ejemplo del grupo modular, un grupo fuchsiano es un grupo que admite una acción propiamente discontinua en el plano hiperbólico (equivalentemente, un subgrupo discreto de${\displaystyle \mathrm {SL} _ {2}(\mathbb {R} )}$). El plano hiperbólico es un${\displaystyle \delta }$-espacio hiperbólico y por lo tanto el lema de Svarc-Milnor nos dice que los grupos fuchsianos cocompactos son hiperbólicos.

Ejemplos de ello son los grupos fundamentales de superficies cerradas de característica de Euler negativa . De hecho, estas superficies pueden obtenerse como cocientes del plano hiperbólico, tal como lo implica el teorema de uniformización de Poincaré-Koebe .

Otro tipo de grupos fuchsianos cocompactos son los grupos triangulares : todos, salvo un número finito, son hiperbólicos.

Generalizando el ejemplo de superficies cerradas, los grupos fundamentales de variedades riemannianas compactas con curvatura seccional estrictamente negativa son hiperbólicos. Por ejemplo, las redes cocompactas en el grupo ortogonal o unitario conservan una forma de signatura.${\displaystyle (n,1)}$son hiperbólicas.

Una generalización adicional viene dada por grupos que admiten una acción geométrica en un espacio CAT(k) , cuando${\displaystyle k}$es cualquier número negativo. ^{[ 3 ]} Existen ejemplos que no son conmensurables a ninguna de las construcciones anteriores (por ejemplo, grupos que actúan geométricamente sobre edificios hiperbólicos ).

Los grupos cuyas presentaciones satisfacen condiciones de cancelación pequeñas son hiperbólicos. Esto proporciona ejemplos que no tienen un origen geométrico como los mencionados anteriormente. De hecho, una de las motivaciones para el desarrollo inicial de los grupos hiperbólicos fue ofrecer una interpretación más geométrica de la cancelación pequeña.

En cierto sentido, la mayoría de los grupos finitamente representados con grandes relaciones definitorias son hiperbólicos. Para una explicación cuantitativa de lo que esto significa, véase Grupo aleatorio .

• El ejemplo más sencillo de un grupo que no es hiperbólico es el grupo abeliano libre de rango 2.${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$. De hecho, es casi isométrico al plano euclidiano , que se ve fácilmente que no es hiperbólico (por ejemplo, debido a la existencia de homotecias ).
• En términos más generales, cualquier grupo que contenga${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$como subgrupo no es hiperbólico. ^{[ 4 ] [ 5 ]} En particular, retículos en grupos de Lie semisimples de rango superior y los grupos fundamentales${\displaystyle \pi _{1}(S^{3}\setminus K)}$Los complementos de nudos no triviales entran en esta categoría y, por lo tanto, no son hiperbólicos. Esto también se aplica a los grupos de clases de mapeo de superficies hiperbólicas cerradas.
• Los grupos de Baumslag-Solitar B ( m , n ) y cualquier grupo que contenga un subgrupo isomorfo a algún B ( m , n ) no son hiperbólicos (ya que B (1,1) =${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$(esto generaliza el ejemplo anterior).
• Un retículo no uniforme en un grupo de Lie simple de rango 1 es hiperbólico si y solo si el grupo es isógeno a${\displaystyle \mathrm {SL} _ {2}(\mathbb {R} )}$(equivalentemente, el espacio simétrico asociado es el plano hiperbólico). Un ejemplo de esto lo dan los grupos de nudos hiperbólicos . Otro ejemplo son los grupos de Bianchi , por ejemplo.${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}({\sqrt {-1}})}$.

• Los grupos hiperbólicos satisfacen la alternativa de Tits : o bien son virtualmente solubles (esta posibilidad solo la satisfacen los grupos hiperbólicos elementales) o bien tienen un subgrupo isomorfo a un grupo libre no abeliano.
• Los grupos hiperbólicos no elementales no son simples en un sentido muy fuerte: si${\displaystyle G}$Si es hiperbólica no elemental, entonces existe un subgrupo infinito.${\displaystyle H\triangleleft G}$de tal manera que${\displaystyle H}$y${\displaystyle G/H}$ambos son infinitos.
• Se desconoce si existe un grupo hiperbólico que no sea residualmente finito .

• Los grupos hiperbólicos no elementales (infinitos y no virtualmente cíclicos) siempre tienen una tasa de crecimiento exponencial (esto es una consecuencia de la alternativa de Tits).
• Los grupos hiperbólicos satisfacen una desigualdad isoperimétrica lineal . ^{[ 6 ]}

• Los grupos hiperbólicos siempre están presentados de forma finita . De hecho, se puede construir explícitamente un complejo (el complejo de Rips ) que es contraíble y sobre el cual el grupo actúa geométricamente ^{[ 7 ]} , por lo que es de tipo F _∞ . Cuando el grupo es libre de torsión, la acción es libre, lo que demuestra que el grupo tiene dimensión cohomológica finita .
• En 2002, I. Mineyev demostró que los grupos hiperbólicos son precisamente aquellos grupos finitamente generados para los cuales el mapa de comparación entre la cohomología acotada y la cohomología ordinaria es sobreyectivo en todos los grados, o equivalentemente, en grado 2. ^{[ 8 ]}

• Los grupos hiperbólicos tienen un problema de palabras resoluble . Son biautomáticos y automáticos . ^{[ 9 ]} De hecho, son fuertemente geodésicamente automáticos , es decir, hay una estructura automática en el grupo, donde el lenguaje aceptado por el aceptador de palabras es el conjunto de todas las palabras geodésicas.
• En 2010 se demostró que los grupos hiperbólicos tienen un problema de isomorfismo marcado decidible . ^{[ 10 ]} Es notable que esto significa que el problema del isomorfismo, los problemas de órbitas (en particular el problema de conjugación) y el problema de Whitehead son todos decidibles.
• Cannon y Swenson han demostrado que los grupos hiperbólicos con una 2-esfera en el infinito tienen una regla de subdivisión natural . ^{[ 11 ]} Esto está relacionado con la conjetura de Cannon .

Los grupos relativamente hiperbólicos son una clase que generaliza los grupos hiperbólicos . Aproximadamente ^{[ 12 ]}${\displaystyle G}$es hiperbólico en relación con una colección${\displaystyle {\mathcal {G}}}$de subgrupos si admite una acción propiamente discontinua ( no necesariamente cocompacta ) sobre un espacio hiperbólico propio${\displaystyle X}$lo cual es "agradable" en el límite de${\displaystyle X}$y de tal manera que los estabilizadores en${\displaystyle G}$de puntos en el límite son subgrupos en${\displaystyle {\mathcal {G}}}$Esto es interesante cuando ambos${\displaystyle X}$y la acción de${\displaystyle G}$en${\displaystyle X}$no son elementales (en particular${\displaystyle X}$es infinito: por ejemplo, ¡cada grupo es hiperbólico en relación consigo mismo a través de su acción sobre un solo punto!

Ejemplos interesantes de esta clase incluyen, en particular, retículos no uniformes en grupos de Lie semisimples de rango 1 , por ejemplo, grupos fundamentales de variedades hiperbólicas no compactas de volumen finito. Los no ejemplos son los retículos en grupos de Lie de rango superior y los grupos de clases de mapeo.

Una noción aún más general es la de un grupo hiperbólico acilíndrico. ^{[ 13 ]} Acilindricidad de una acción de un grupo${\displaystyle G}$en un espacio métrico${\displaystyle X}$es un debilitamiento de la discontinuidad propia de la acción. ^{[ 14 ]}

Se dice que un grupo es hiperbólico acilíndricamente si admite una acción acilíndrica no elemental sobre un espacio hiperbólico de Gromov ( no necesariamente propio ). Esta noción incluye grupos de clases que mapean mediante sus acciones sobre complejos de curvas . Los retículos en grupos de Lie de rango superior (¡aún!) no son hiperbólicos acilíndricos.

En otra dirección, se puede debilitar la suposición sobre la curvatura en los ejemplos anteriores: un grupo CAT(0) es un grupo que admite una acción geométrica sobre un espacio CAT(0) . Esto incluye grupos cristalográficos euclidianos y redes uniformes en grupos de Lie de rango superior.

Se desconoce si existe un grupo hiperbólico que no sea CAT(0). ^{[ 15 ]}