Número suave

En teoría de números , un número n -suave (o n -friable ) es un entero cuyos factores primos son todos menores o iguales a n . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Por ejemplo, un número 7-suave es un número en el que cada factor primo es como máximo 7. Por lo tanto, 49 = 7 ² y 15750 = 2 × 3 ² × 5 ³ × 7 son ambos 7-suaves, mientras que 11 y 702 = 2 × 3 ³ × 13 no son 7-suaves. El término parece haber sido acuñado por Leonard Adleman . ^{[ 3 ]} Los números suaves son especialmente importantes en criptografía , que se basa en la factorización de enteros. Los números 2-suaves son simplemente las potencias de 2 , mientras que los números 5-suaves también se conocen como números regulares .

Un entero positivo se denomina B - suave si ninguno de sus factores primos es mayor que B. Por ejemplo, 1620 tiene factorización prima 2² ^× 3⁴ ^× 5; por lo tanto, 1620 es 5-suave porque ninguno de sus factores primos es mayor que 5. Esta definición incluye números que carecen de algunos de los factores primos más pequeños; por ejemplo, tanto 10 como 12 son 5-suaves, aunque no tengan los factores primos 3 y 5, respectivamente. Todos los números 5-suaves tienen la forma 2a ^× 3b ^× 5c ^, donde a , b y c son enteros no negativos.

Los números 3-suaves también se han llamado "números armónicos", ^{[ 4 ]} aunque ese nombre tiene otros significados más ampliamente utilizados, sobre todo para la suma de los recíprocos de los números naturales . Los números 5-suaves también se llaman números regulares o números de Hamming; ^{[ 5 ]} los números 7-suaves también se llaman números humildes , ^{[ 6 ]} y a veces se llaman altamente compuestos , ^{[ 7 ]} aunque esto entra en conflicto con otro significado de números altamente compuestos .

Cabe señalar que no es necesario que B aparezca entre los factores de un número B -suave. Si el mayor factor primo de un número es p, entonces el número es B -suave para cualquier B ≥ p . En muchos casos, B es primo , pero también se permiten números compuestos . Un número es B -suave si y solo si es p -suave, donde p es el mayor primo menor o igual que B.

Una importante aplicación práctica de los números suaves son los algoritmos de transformada rápida de Fourier (FFT) (como el algoritmo FFT de Cooley-Tukey ), que funciona descomponiendo recursivamente un problema de tamaño n en problemas del tamaño de sus factores. Al usar números B -suaves, se garantiza que los casos base de esta recursión sean primos pequeños, para los cuales existen algoritmos eficientes. (Los primos grandes requieren algoritmos menos eficientes, como el algoritmo FFT de Bluestein ).

Los números que son 5-suaves o regulares juegan un papel especial en las matemáticas babilónicas . ^{[ 8 ]} También son importantes en la teoría musical (véase Límite (música) ), ^{[ 9 ]} y el problema de generar estos números de manera eficiente se ha utilizado como un problema de prueba para la programación funcional . ^{[ 10 ]}

Los números suaves tienen varias aplicaciones en criptografía. ^{[ 11 ]} Si bien la mayoría de las aplicaciones se centran en el criptoanálisis (por ejemplo, los algoritmos de factorización de enteros más rápidos conocidos , como el cribado de campos numéricos general ), la función hash VSH es otro ejemplo de un uso constructivo de la suavidad para obtener un diseño demostrablemente seguro .

En música, una afinación de límite p es el conjunto de intervalos musicales que son razones de dos números p -suaves. ^{[ 12 ]}

Dejar${\displaystyle \Psi (x,y)}$denota el número de enteros suaves de y menores o iguales a x (la función de De Bruijn).

Si el límite de suavidad B es fijo y pequeño, existe una buena estimación para${\displaystyle \Psi (x,B)}$:

${\displaystyle \Psi (x,B)\sim {\frac {1}{\pi (B)!}}\prod _{p\leq B}{\frac {\log x}{\log p}}.}$

dónde${\displaystyle \pi (B)}$denota el número de primos menores o iguales a${\displaystyle B}$.

De lo contrario, defina el parámetro u como u = log x / log y : es decir, x = y ^u . Entonces,  

${\displaystyle \Psi (x,y)=x\cdot \rho (u)+O\left({\frac {x}{\log y}}\right)}$

dónde${\displaystyle \rho (u)}$es la función de Dickman .

Para cualquier k , casi todos los números naturales no serán k -suaves.

Si${\displaystyle n=n_{1}n_{2}}$dónde${\displaystyle n_{1}}$es${\displaystyle B}$-suave y${\displaystyle n_{2}}$no es (o es igual a 1), entonces${\displaystyle n_{1}}$se llama el${\displaystyle B}$-parte lisa de${\displaystyle n}$. El tamaño relativo de la${\displaystyle x^{1/u}}$-parte suave de un número entero aleatorio menor o igual a${\displaystyle x}$Se sabe que se descompone mucho más lentamente que${\displaystyle \rho (u)}$. ^{[ 13 ]}

Además, m se denomina n - potencias suaves (o n - ultrafriable ) si todas las potencias primas son iguales.${\displaystyle p^{\nu }}$La división de m satisface:

${\displaystyle p^{\nu }\leq n.\,}$

Por ejemplo, 720 (2 ⁴ × 3 ² × 5 ¹ ) es 5-suave pero no 5-potencia suave (porque hay varias potencias primas mayores que 5, p. ej.${\displaystyle 3^{2}=9\nleq 5}$y${\displaystyle 2^{4}=16\nleq 5}$). Es 16-potencia suave ya que su mayor potencia de factor primo es 2 ⁴ = 16. El número también es 17-potencia suave, 18-potencia suave, etc.

A diferencia de los números n -suaves, para cualquier entero positivo n solo existen un número finito de números n -potenciassuaves. De hecho, los números n -potenciassuaves son exactamente los divisores positivos del " mínimo común múltiplo de 1, 2, 3, ..., n " (secuencia A003418 en la OEIS ) ; por ejemplo, los números 9-potenciassuaves (y también los números 10-potenciassuaves) son exactamente los divisores positivos de 2520.

Los números n -suaves y n -potenciales suaves tienen aplicaciones en la teoría de números, como en el algoritmo p − 1 de Pollard y ECM . A menudo se dice que dichas aplicaciones trabajan con "números suaves", sin especificar n ; esto significa que los números involucrados deben ser n -potenciales suaves, para algún número pequeño n no especificado. A medida que n aumenta, el rendimiento del algoritmo o método en cuestión se degrada rápidamente. Por ejemplo, el algoritmo de Pohlig-Hellman para calcular logaritmos discretos tiene un tiempo de ejecución de O ( n ^1/2 )—para grupos de orden n -suave .

Además, se dice que m es suave sobre un conjunto A si existe una factorización de m donde los factores son potencias de elementos en A. Por ejemplo, dado que 12 = 4 × 3, 12 es suave sobre los conjuntos A ₁ = {4, 3}, A ₂ = {2, 3} y${\displaystyle \mathbb {Z} }$, sin embargo, no sería suave sobre el conjunto A ₃ = {3, 5}, ya que 12 contiene el factor 4 = 2 ² , y ni 4 ni 2 están en A ₃ .

Nótese que el conjunto A no tiene por qué ser un conjunto de factores primos, pero suele ser un subconjunto propio de los primos como se ve en la base de factores del método de factorización de Dixon y la criba cuadrática . Del mismo modo, es lo que utiliza la criba de cuerpos numéricos general para construir su noción de suavidad, bajo el homomorfismo.${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {Z} [\theta ]\to \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } . ^{[ 14 ]}

• Número altamente compuesto
• Número aproximado
• Número redondo
• Teorema de Størmer
• Número inusual

• G. Tenenbaum, Introducción a la teoría analítica y probabilística de números , (AMS, 2015) ISBN 978-0821898543
• A. Granville , Números suaves: Teoría computacional de números y más allá , Actas del taller MSRI, 2008

• Weisstein, Eric W. "Número suave" . MathWorld .

La Enciclopedia en Línea de Secuencias de Enteros (OEIS) enumera números B -suaves para valores pequeños de B :

• Números 2-suaves: A000079 (2 ⁱ )
• 3 números suaves: A003586 (2 ⁱ 3 ^j )
• 5 números suaves: A051037 (2 ⁱ 3 ^j 5 ^k )
• Números suaves de 7: A002473 (2 ⁱ 3 ^j 5 ^k 7 ^l )
• 11 números suaves: A051038 (etc...)
• 13 números suaves: A080197
• 17 números suaves: A080681
• 19 números suaves: A080682
• 23 números suaves: A080683