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Articulo de referencia

Ecuación cuadrática

En matemáticas , una ecuación cuadrática ( del latín quadratus ' cuadrado ' ) es una ecuación que se puede reorganizar en forma estándar como [ 1 ]. a incógnita 2 + b incógnit...

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En matemáticas , una ecuación cuadrática ( del latín quadratus ' cuadrado ' ) es una ecuación que se puede reorganizar en forma estándar como [ 1 ]. aincógnita2+bincógnita+do=0,{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,,} donde la variableincógnita{\displaystyle x}⁠ representa un número desconocido, y a , b y c representan números conocidos, donde a ≠ 0. (Si a = 0 y b ≠ 0 , entonces la ecuación es lineal , no cuadrática). Los números a , b y c son los coeficientes de la ecuación y se pueden distinguir denominándolos, respectivamente, coeficiente cuadrático , coeficiente lineal y coeficiente constante o término libre . [ 2 ]

Los valores de ⁠incógnita{\displaystyle x}Las expresiones que satisfacen la ecuación se denominan soluciones de la ecuación, y raíces o ceros de la función cuadrática en su lado izquierdo. Una ecuación cuadrática tiene como máximo dos soluciones. Si solo hay una solución, se dice que es una raíz doble . Si todos los coeficientes son números reales , hay dos soluciones reales, o una raíz doble real, o dossoluciones complejas que son conjugadas complejas entre sí. Una ecuación cuadrática siempre tiene dos raíces, si se incluyen las raíces complejas y una raíz doble se cuenta como dos. Una ecuación cuadrática se puede factorizar en una ecuación equivalente [ 3 ].aincógnita2+bincógnita+do=a(incógnita−r)(incógnita−s)=0{\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-r)(x-s)=0} donde r y s son las soluciones para ⁠incógnita{\displaystyle x}.​

La fórmula cuadráticaincógnita=−b±b2−4ado2a{\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} expresa las soluciones en términos de a , b y c . Completar el cuadrado es una de las varias maneras de derivar la fórmula.

Las soluciones a problemas que pueden expresarse en términos de ecuaciones cuadráticas se conocían ya en el año 2000 a. C. [ 4 ] [ 5 ]

La ecuación cuadrática contiene solo potencias de ⁠incógnita{\displaystyle x}que son enteros no negativos, y por lo tanto es una ecuación polinómica . En particular, es una ecuación polinómica de segundo grado , ya que la mayor potencia es dos.

Resolver la ecuación cuadrática

Figura 1. Gráficas de la función cuadrática, y = eh x al cuadrado más bx más c, variando cada coeficiente por separado mientras los demás coeficientes se mantienen fijos en los valores eh = 1, b = 0, c = 0. La gráfica de la izquierda ilustra la variación de c. Cuando c es igual a 0, el vértice de la parábola que representa la función cuadrática se centra en el origen, y la parábola se eleva a ambos lados del origen, abriéndose hacia arriba. Cuando c es mayor que cero, la parábola no cambia de forma, pero su vértice se eleva por encima del origen. Cuando c es menor que cero, el vértice de la parábola se baja por debajo del origen. La gráfica central ilustra la variación de b. Cuando b es menor que cero, la parábola que representa la función cuadrática no cambia de forma, pero su vértice se desplaza a la derecha y por debajo del origen. Cuando b es mayor que cero, su vértice se desplaza a la izquierda y por debajo del origen. Los vértices de la familia de curvas generadas al variar b siguen una curva parabólica. El gráfico de la derecha ilustra la variación de eh. Cuando eh es positivo, la función cuadrática es una parábola que se abre hacia arriba. Cuando eh es cero, la función cuadrática es una línea recta horizontal. Cuando eh es negativo, la función cuadrática es una parábola que se abre hacia abajo.
Figura 1. Gráficas de la función cuadrática y = ax² + bx + c , variando cada coeficiente por separado mientras los demás coeficientes se mantienen fijos (con valores a  =  1, b  =  0, c  =  0) .

Una ecuación cuadrática cuyos coeficientes son números reales puede tener cero, una o dos soluciones reales distintas, también llamadas raíces . Cuando solo hay una raíz distinta, se puede interpretar como dos raíces con el mismo valor, lo que se denomina raíz doble . Cuando no hay raíces reales, los coeficientes se pueden considerar como números complejos con parte imaginaria cero , y la ecuación cuadrática aún tiene dos raíces de valor complejo, conjugadas entre sí con parte imaginaria distinta de cero. Una ecuación cuadrática cuyos coeficientes son números complejos arbitrarios siempre tiene dos raíces de valor complejo que pueden ser distintas o no.

Las soluciones de una ecuación cuadrática se pueden encontrar mediante varios métodos alternativos.

Factorización por inspección

Es posible expresar una ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0 como un producto ( px + q )( rx + s ) = 0. En algunos casos, mediante simple inspección, se pueden determinar valores de p , q , r y s que hacen que ambas formas sean equivalentes. Si la ecuación cuadrática se escribe en la segunda forma, la "Propiedad del Factor Cero" establece que la ecuación se satisface si px + q = 0 o rx + s = 0. La resolución de estas dos ecuaciones lineales proporciona las raíces de la ecuación cuadrática.

Para la mayoría de los estudiantes, la factorización por inspección es el primer método de resolución de ecuaciones cuadráticas al que se exponen. [ 6 ] : 202–207 Si se da una ecuación cuadrática de la forma x 2 + bx + c = 0 , la factorización buscada tiene la forma ( x + q )( x + s ) , y hay que encontrar dos números q y s que sumen b y cuyo producto sea c (esto a veces se llama "regla de Vieta" [ 7 ] y está relacionado con las fórmulas de Vieta ). Como ejemplo, x 2 + 5 x + 6 se factoriza como ( x + 3)( x + 2) . El caso más general donde a no es igual a 1 puede requerir un esfuerzo considerable en ensayo y error, suponiendo que se pueda factorizar por inspección.

Excepto en casos especiales como cuando b = 0 o c = 0 , la factorización por inspección solo funciona para ecuaciones cuadráticas con raíces racionales. Esto significa que la gran mayoría de las ecuaciones cuadráticas que surgen en aplicaciones prácticas no pueden resolverse mediante factorización por inspección. [ 6 ] : 207

Completando el cuadrado

La Figura 2 ilustra una gráfica xy de la función cuadrática f de x igual a x al cuadrado menos x menos 2. La coordenada x de los puntos donde la gráfica interseca el eje x, x igual a −1 y x igual a 2, son las soluciones de la ecuación cuadrática x al cuadrado menos x menos 2 igual a cero.
Figura 2. Para la función cuadrática y = x² − x − 2 , los puntos donde la gráfica cruza el eje x , x = −1 y x = 2 , son las soluciones de la ecuación cuadrática x² − x − 2 = 0 .

El proceso de completar el cuadrado utiliza la identidad algebraica.incógnita2+2hincógnita+h2=(incógnita+h)2,{\displaystyle x^{2}+2hx+h^{2}=(x+h)^{2},}que representa un algoritmo bien definido que puede utilizarse para resolver cualquier ecuación cuadrática. [ 6 ] : 207 Partiendo de una ecuación cuadrática en forma estándar, ax² + bx + c = 0

  1. Divide cada lado por a , el coeficiente del término al cuadrado.
  2. Resta el término constante c / a de ambos lados.
  3. Suma el cuadrado de la mitad de b / a , el coeficiente de x , a ambos lados. Esto "completa el cuadrado", convirtiendo el lado izquierdo en un cuadrado perfecto.
  4. Escribe el lado izquierdo como un cuadrado y simplifica el lado derecho si es necesario.
  5. Genera dos ecuaciones lineales igualando la raíz cuadrada del lado izquierdo con las raíces cuadradas positiva y negativa del lado derecho.
  6. Resuelve cada una de las dos ecuaciones lineales.

Ilustramos el uso de este algoritmo resolviendo 2 x 2 + 4 x − 4 = 02incógnita2+4incógnita−4=0{\displaystyle 2x^{2}+4x-4=0} incógnita2+2incógnita−2=0{\displaystyle \ x^{2}+2x-2=0} incógnita2+2incógnita=2{\displaystyle \ x^{2}+2x=2} incógnita2+2incógnita+1=2+1{\displaystyle \ x^{2}+2x+1=2+1}(incógnita+1)2=3{\displaystyle \left(x+1\right)^{2}=3} incógnita+1=±3{\displaystyle \ x+1=\pm {\sqrt {3}}} incógnita=−1±3{\displaystyle \ x=-1\pm {\sqrt {3}}}

El símbolo de más-menos "±" indica que ambosincógnita=−1+3{\textstyle x=-1+{\sqrt {3}}}yincógnita=−1−3{\textstyle x=-1-{\sqrt {3}}}son soluciones de la ecuación cuadrática. [ 8 ]

Fórmula cuadrática y su derivación

Completar el cuadrado puede utilizarse para derivar una fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas, denominada fórmula cuadrática. [ 9 ] A continuación, se resumirá brevemente la demostración matemática . [ 10 ] Mediante un desarrollo polinómico , se puede observar fácilmente que la siguiente ecuación es equivalente a la ecuación cuadrática: (incógnita+b2a)2=b2−4ado4a2.{\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}.} Tomando la raíz cuadrada de ambos lados y despejando x , obtenemos: incógnita=−b±b2−4ado2a.{\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}

Algunas fuentes, sobre todo las más antiguas, utilizan parametrizaciones alternativas de la ecuación cuadrática , como ax² + 2bx + c = 0 o ax² − 2bx + c = 0 [ 11 ] , donde b  tiene una magnitud equivalente a la mitad de la más común , posiblemente con signo opuesto. Estas parametrizaciones dan como resultado formas ligeramente diferentes para la solución, pero por lo demás son equivalentes.

En la literatura se pueden encontrar diversas derivaciones alternativas . Estas demostraciones son más sencillas que el método estándar de completar el cuadrado, representan aplicaciones interesantes de otras técnicas de uso frecuente en álgebra u ofrecen perspectivas sobre otras áreas de las matemáticas.

Una fórmula cuadrática menos conocida, como la que se usa en el método de Muller , proporciona las mismas raíces a través de la ecuación. incógnita=2do−b±b2−4ado.{\displaystyle x={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}.} Esto se puede deducir de la fórmula cuadrática estándar mediante las fórmulas de Vieta , que afirman que el producto de las raíces es c / a . También se deduce de dividir la ecuación cuadrática porincógnita2{\displaystyle x^{2}}donacióndoincógnita−2+bincógnita−1+a=0,{\displaystyle cx^{-2}+bx^{-1}+a=0,}resolver esto paraincógnita−1,{\displaystyle x^{-1},}y luego invirtiendo.

Una propiedad de esta forma es que produce una raíz válida cuando a = 0 , mientras que la otra raíz contiene una división por cero, porque cuando a = 0 , la ecuación cuadrática se convierte en una ecuación lineal, que tiene una raíz. Por el contrario, en este caso, la fórmula más común tiene una división por cero para una raíz y una forma indeterminada 0/0 para la otra raíz. Por otro lado, cuando c = 0 , la fórmula más común produce dos raíces correctas, mientras que esta forma produce la raíz cero y una forma indeterminada 0/0 .

Cuando ni a ni c son cero, la igualdad entre la fórmula cuadrática estándar y el método de Muller, 2do−b−b2−4ado=−b+b2−4ado2a,{\displaystyle {\frac {2c}{-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,,} se puede verificar mediante la multiplicación cruzada , y de manera similar para la otra elección de signos.

Ecuación cuadrática reducida

A veces resulta conveniente reducir una ecuación cuadrática de modo que su coeficiente principal sea uno. Esto se logra dividiendo ambos lados por a , lo cual siempre es posible ya que a es distinto de cero. Esto produce la ecuación cuadrática reducida : [ 12 ]

incógnita2+pagincógnita+q=0,{\displaystyle x^{2}+px+q=0,}

donde p = b / a y q = c / a . Esta ecuación polinómica mónica tiene las mismas soluciones que la original.

La fórmula cuadrática para las soluciones de la ecuación cuadrática reducida, escrita en términos de sus coeficientes, es incógnita=−pag2±(pag2)2−q.{\displaystyle x=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}\,.}

Discriminante

Figura 3. Esta figura representa tres funciones cuadráticas en un mismo plano cartesiano para ilustrar los efectos de los valores discriminantes. Cuando el discriminante, delta, es positivo, la parábola interseca el eje x en dos puntos. Cuando delta es cero, el vértice de la parábola toca el eje x en un solo punto. Cuando delta es negativo, la parábola no interseca el eje x en absoluto.
Figura 3. Signos discriminantes

En la fórmula cuadrática, la expresión que se encuentra debajo del signo de raíz cuadrada se llama discriminante de la ecuación cuadrática y a menudo se representa utilizando una D mayúscula o una delta griega mayúscula : [ 13 ]Δ=b2−4ado.{\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac.} Una ecuación cuadrática con coeficientes reales puede tener una o dos raíces reales distintas, o dos raíces complejas distintas. En este caso, el discriminante determina el número y la naturaleza de las raíces. Hay tres casos:

  • Si el discriminante es positivo, entonces hay dos raíces distintas.−b+Δ2ay−b−Δ2a,{\displaystyle {\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}},}ambos son números reales. Para ecuaciones cuadráticas con coeficientes racionales , si el discriminante es un número cuadrado , entonces las raíces son racionales; en otros casos pueden ser irracionales cuadráticos .
  • Si el discriminante es cero, entonces hay exactamente una raíz real .−b2a,{\displaystyle -{\frac {b}{2a}},}a veces se le llama raíz repetida o doble , o dos raíces iguales.
  • Si el discriminante es negativo, entonces no hay raíces reales. Más bien, hay dos raíces complejas (no reales) distintas [ 14 ].−b2a+i−Δ2ay−b2a−i−Δ2a,{\displaystyle -{\frac {b}{2a}}+i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}}\quad {\text{and}}\quad -{\frac {b}{2a}}-i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}},}que son conjugados complejos entre sí. En estas expresiones, i es la unidad imaginaria .

Por lo tanto, las raíces son distintas si y solo si el discriminante es distinto de cero, y las raíces son reales si y solo si el discriminante es no negativo.

Interpretación geométrica

Visualización de las raíces complejas de y = ax² + bx + c : la parábola se rota 180° alrededor de su vértice ( naranja ). Sus intersecciones con el eje x se rotan 90° alrededor de su punto medio, y el plano cartesiano se interpreta como el plano complejo ( verde ). [ 15 ]

La función f ( x ) = ax² + bx + c es una función cuadrática . [ 16 ] La gráfica de cualquier función cuadrática tiene la misma forma general, que se llama parábola . La ubicación y el tamaño de la parábola, y cómo se abre, dependen de los valores de a , b y c . Si a > 0 , la parábola tiene un punto mínimo y se abre hacia arriba. Si a < 0 , la parábola tiene un punto máximo y se abre hacia abajo. El punto extremo de la parábola, ya sea mínimo o máximo, corresponde a su vértice . La coordenada x del vértice estará ubicada enincógnita=−b2a{\displaystyle \scriptstyle x={\tfrac {-b}{2a}}}y la coordenada y del vértice se puede encontrar sustituyendo este valor de x en la función. La intersección con el eje y se encuentra en el punto (0, c ) .

Las soluciones de la ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0 corresponden a las raíces de la función f ( x ) = ax² + bx + c , ya que son los valores de x para los cuales f ( x ) = 0. Si a , b y c son números reales y el dominio de f es el conjunto de los números reales, entonces las raíces de f son precisamente las coordenadas x de los puntos donde la gráfica toca el eje x . Si el discriminante es positivo, la gráfica toca el eje x en dos puntos; si es cero, lo toca en un punto; y si es negativo, no lo toca .

Factorización cuadrática

El término incógnita−r{\displaystyle x-r} es un factor del polinomio aincógnita2+bincógnita+do{\displaystyle ax^{2}+bx+c} si y solo si r es una raíz de la ecuación cuadrática aincógnita2+bincógnita+do=0.{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.} De la fórmula cuadrática se deduce que aincógnita2+bincógnita+do=a(incógnita−−b+b2−4ado2a)(incógnita−−b−b2−4ado2a).{\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right).} En el caso especial b² = 4ac , donde el polinomio cuadrático tiene solo una raíz distinta ( es decir, el discriminante es cero), el polinomio cuadrático se puede factorizar como aincógnita2+bincógnita+do=a(incógnita+b2a)2.{\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}.}

Solución gráfica

Figura 4. Cálculo con calculadora gráfica de una de las dos raíces de la ecuación cuadrática 2 x² + 4 x − 4 = 0. Aunque la pantalla muestra solo cinco cifras significativas de precisión, el valor obtenido de xc es 0,732050807569, con una precisión de doce cifras significativas.
Una función cuadrática sin raíz real: y = ( x − 5) 2 + 9 . El "3" es la parte imaginaria de la intersección con el eje x . La parte real es la coordenada x del vértice. Por lo tanto, las raíces son 5 ± 3 i .

Las soluciones de la ecuación cuadrática aincógnita2+bincógnita+do=0{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} se puede obtener a partir de la gráfica de la función cuadráticaF(incógnita)=aincógnita2+bincógnita+do,{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,} que es una parábola .

Si la parábola interseca el eje x en dos puntos, hay dos raíces reales , que son las coordenadas x de estos dos puntos (también llamadas intersecciones con el eje x ).

Si la parábola es tangente al eje x , existe una raíz doble, que es la coordenada x del punto de contacto entre la gráfica y la parábola.

Si la parábola no interseca el eje x , existen dos raíces complejas conjugadas . Aunque estas raíces no se pueden visualizar en el gráfico, sí se pueden visualizar sus partes real e imaginaria . [ 17 ]

Sean h y k respectivamente la coordenada x y la coordenada y del vértice de la parábola (es decir, el punto con la coordenada y máxima o mínima) . La función cuadrática puede reescribirse y=a(incógnita−h)2+k.{\displaystyle y=a(x-h)^{2}+k.} Sea d la distancia entre el punto de coordenada y 2k en el eje de la parábola y un punto en la parábola con la misma coordenada y (véase la figura; hay dos puntos de este tipo que dan la misma distancia debido a la simetría de la parábola). Entonces, la parte real de las raíces es h y su parte imaginaria es ± d . Es decir, las raíces son h+idyh−id,{\displaystyle h+id\quad {\text{and}}\quad h-id,} o en el caso del ejemplo de la figura 5+3iy5−3i.{\displaystyle 5+3i\quad {\text{and}}\quad 5-3i.}

Evitar la pérdida de significado

Aunque la fórmula cuadrática proporciona una solución exacta, el resultado no es exacto si se aproximan números reales durante el cálculo, como suele ocurrir en el análisis numérico , donde los números reales se aproximan mediante números de coma flotante (denominados "reales" en muchos lenguajes de programación ). En este contexto, la fórmula cuadrática no es completamente estable .

Esto ocurre cuando las raíces tienen diferente orden de magnitud , o, equivalentemente, cuando b² y b² − 4ac son de magnitud similar. En este caso, la resta de dos números casi iguales provocará una pérdida de significancia o una cancelación catastrófica en la raíz menor. Para evitar esto, la raíz de menor magnitud, r , se puede calcular como(do/a)/R{\displaystyle (c/a)/R}donde R es la raíz de mayor magnitud. Esto es equivalente a usar la fórmula

incógnita=−2dob±b2−4ado{\displaystyle x={\frac {-2c}{b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}}

usando el signo más sib>0{\displaystyle b>0}y el signo menos sib<0.{\displaystyle b<0.}

Una segunda forma de cancelación puede ocurrir entre los términos b 2 y 4 ac del discriminante, es decir, cuando las dos raíces están muy próximas. Esto puede provocar la pérdida de hasta la mitad de las cifras significativas correctas en las raíces. [ 11 ] [ 18 ]

Ejemplos y aplicaciones

La trayectoria del saltador de acantilado es parabólica porque el desplazamiento horizontal es una función lineal del tiempo.incógnita=vincógnitat{\displaystyle x=v_{x}t}mientras que el desplazamiento vertical es una función cuadrática del tiempo.y=12at2+vyt+h{\displaystyle y={\tfrac {1}{2}}at^{2}+v_{y}t+h}Como resultado, la trayectoria sigue una ecuación cuadrática.y=a2vincógnita2incógnita2+vyvincógnitaincógnita+h{\displaystyle y={\tfrac {a}{2v_{x}^{2}}}x^{2}+{\tfrac {v_{y}}{v_{x}}}x+h}, dóndevincógnita{\displaystyle v_{x}}yvy{\displaystyle v_{y}}son las componentes horizontal y vertical de la velocidad original, a es la aceleración gravitatoria y h es la altura original. El valor de a debe considerarse negativo, ya que su dirección (hacia abajo) es opuesta a la de la altura (hacia arriba).

La proporción áurea se encuentra como la solución positiva de la ecuación cuadrática.incógnita2−incógnita−1=0.{\displaystyle x^{2}-x-1=0.}

Las ecuaciones del círculo y de las demás secciones cónicas —elipses , parábolas e hipérbolas— son ecuaciones cuadráticas con dos variables.

Dado el coseno o el seno de un ángulo, encontrar el coseno o el seno de un ángulo que sea la mitad de grande implica resolver una ecuación cuadrática.

El proceso de simplificar expresiones que involucran la raíz cuadrada de una expresión que a su vez involucra la raíz cuadrada de otra expresión implica encontrar las dos soluciones de una ecuación cuadrática.

El teorema de Descartes establece que, para cada cuatro círculos tangentes entre sí, sus radios satisfacen una ecuación cuadrática particular.

La ecuación dada por el teorema de Fuss , que establece la relación entre el radio de la circunferencia inscrita de un cuadrilátero bicéntrico , el radio de su circunferencia circunscrita y la distancia entre los centros de dichas circunferencias, puede expresarse como una ecuación cuadrática cuya solución es la distancia entre los centros de las dos circunferencias en función de sus radios. La otra solución de la misma ecuación, también en función de los radios correspondientes, proporciona la distancia entre el centro de la circunferencia circunscrita y el centro de la circunferencia ex-tangente de un cuadrilátero ex-tangente .

Los puntos críticos de una función cúbica y los puntos de inflexión de una función cuártica se obtienen resolviendo una ecuación cuadrática.

En física , para el movimiento con aceleración constantea{\displaystyle a}, el desplazamiento o posiciónincógnita{\displaystyle x}La velocidad de un cuerpo en movimiento puede expresarse como una función cuadrática del tiempo.t{\displaystyle t}dada la posición inicialincógnita0{\displaystyle x_{0}}y velocidad inicialv0{\displaystyle v_{0}}:incógnita=incógnita0+v0t+12at2{\textstyle x=x_{0}+v_{0}t+{\frac {1}{2}}at^{2}}.

En química , el pH de una solución de ácido débil se puede calcular a partir del logaritmo negativo en base 10 de la raíz positiva de una ecuación cuadrática en función de la constante de acidez y la concentración analítica del ácido.

Historia

Los matemáticos babilonios , ya en el año 2000 a. C. (como se muestra en tablillas de arcilla paleobabilónicas ), podían resolver problemas relacionados con las áreas y los lados de los rectángulos. Hay evidencia que data este algoritmo hasta la Tercera Dinastía de Ur . [ 19 ] En notación moderna, los problemas generalmente implicaban resolver un par de ecuaciones simultáneas de la forma: incógnita+y=pag,  incógnitay=q,{\displaystyle x+y=p,\ \ xy=q,} lo cual es equivalente a la afirmación de que x e y son las raíces de la ecuación: [ 20 ] : 86z2+q=pagz.{\displaystyle z^{2}+q=pz.}

Los pasos dados por los escribas babilonios para resolver el problema del rectángulo anterior, en términos de x e y , fueron los siguientes:

  1. Calcula la mitad de p .
  2. Eleva al cuadrado el resultado.
  3. Resta q .
  4. Encuentra la raíz cuadrada (positiva) usando una tabla de cuadrados.
  5. Suma los resultados de los pasos (1) y (4) para obtener x .

En notación moderna esto significa calcularincógnita=pag2+(pag2)2−q{\displaystyle x={\frac {p}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}}, que es equivalente a la fórmula cuadrática moderna para la raíz real mayor (si la hay)incógnita=−b+b2−4ado2a{\displaystyle x={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}con a = 1 , b = − p , y c = q .

Se utilizaron métodos geométricos para resolver ecuaciones cuadráticas en Babilonia, Egipto, Grecia, China e India. El Papiro de Berlín egipcio , que data del Reino Medio (2050 a. C. a 1650 a. C.), contiene la solución de una ecuación cuadrática de dos términos. [ 21 ] Los matemáticos babilonios de alrededor del 400 a. C. y los matemáticos chinos de alrededor del 200 a. C. utilizaron métodos geométricos de disección para resolver ecuaciones cuadráticas con raíces positivas. [ 22 ] [ 23 ] Las reglas para ecuaciones cuadráticas se dieron en Los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático , un tratado chino sobre matemáticas. [ 23 ] [ 24 ] Estos primeros métodos geométricos no parecen haber tenido una fórmula general. Euclides , el matemático griego , produjo un método geométrico más abstracto alrededor del 300 a. C. Con un enfoque puramente geométrico, Pitágoras y Euclides crearon un procedimiento general para encontrar soluciones de la ecuación cuadrática. En su obra Arithmetica , el matemático griego Diofanto resolvió la ecuación cuadrática, pero dio solo una raíz, incluso cuando ambas raíces eran positivas. [ 25 ]

En el año 628 d. C., Brahmagupta , un matemático indio , dio en su libro Brāhmasphuṭasiddhānta la primera solución explícita (aunque todavía no completamente general) de la ecuación cuadrática ax² + bx = c de la siguiente manera: "Al número absoluto multiplicado por cuatro veces el [coeficiente del] cuadrado, se le suma el cuadrado del [coeficiente del] término central; la raíz cuadrada de este, menos el [coeficiente del] término central, dividida por el doble del [coeficiente del] cuadrado es el valor." [ 26 ] Esto es equivalente a incógnita=4ado+b2−b2a.{\displaystyle x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}.} El manuscrito Bakhshali , escrito en la India en el siglo VII d.C., contenía una fórmula algebraica para resolver ecuaciones cuadráticas, así como ecuaciones lineales indeterminadas (originalmente del tipo ax / c = y ).

Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (siglo IX) desarrolló un conjunto de fórmulas que funcionaban para soluciones positivas. Al-Khwarizmi va más allá al proporcionar una solución completa a la ecuación cuadrática general, aceptando una o dos respuestas numéricas para cada ecuación cuadrática, mientras proporciona demostraciones geométricas en el proceso. [ 27 ] También describió el método de completar el cuadrado y reconoció que el discriminante debe ser positivo, [ 27 ] [ 28 ] : 230 lo cual fue demostrado por su contemporáneo 'Abd al-Hamīd ibn Turk (Asia Central, siglo IX) quien dio figuras geométricas para demostrar que si el discriminante es negativo, una ecuación cuadrática no tiene solución. [ 28 ] : 234 Si bien el propio al-Khwarizmi no aceptó soluciones negativas, los matemáticos islámicos posteriores que lo sucedieron aceptaron soluciones negativas, [ 27 ] : 191 así como números irracionales como soluciones. [ 29 ] Abū Kāmil Shujā ibn Aslam (Egipto, siglo X) en particular fue el primero en aceptar números irracionales (a menudo en forma de raíz cuadrada , raíz cúbica o raíz cuarta ) como soluciones de ecuaciones cuadráticas o como coeficientes en una ecuación. [ 30 ] El matemático indio del siglo IX, Sridhara, escribió reglas para resolver ecuaciones cuadráticas. [ 31 ]

El matemático judío Abraham bar Hiyya Ha-Nasi (siglo XII, España) fue autor del primer libro europeo que incluyó la solución completa de la ecuación cuadrática general. [ 32 ] Su solución se basó en gran medida en el trabajo de Al-Juarismi. [ 27 ] El escrito del matemático chino Yang Hui (1238–1298 d. C.) es el primero conocido en el que aparecen ecuaciones cuadráticas con coeficientes negativos de 'x', aunque él lo atribuye al anterior Liu Yi . [ 33 ] Hacia 1545, Gerolamo Cardano recopiló los trabajos relacionados con las ecuaciones cuadráticas. La fórmula cuadrática que abarca todos los casos fue obtenida por primera vez por Simon Stevin en 1594. [ 34 ] En 1637, René Descartes publicó La Géométrie que contenía la fórmula cuadrática en la forma que conocemos hoy.

Temas avanzados

Métodos alternativos para el cálculo de raíces

Fórmulas de Vieta

Las fórmulas de Vieta (llamadas así en honor a François Viète ) son las relaciones incógnita1+incógnita2=−ba,incógnita1incógnita2=doa{\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}} entre las raíces de un polinomio cuadrático y sus coeficientes. Resultan de comparar término por término la relación (incógnita−incógnita1)(incógnita−incógnita2)=incógnita2−(incógnita1+incógnita2)incógnita+incógnita1incógnita2=0{\displaystyle \left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)=x^{2}-\left(x_{1}+x_{2}\right)x+x_{1}x_{2}=0} con la ecuación incógnita2+baincógnita+doa=0.{\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0.}

La primera fórmula de Vieta es útil para graficar una función cuadrática. Dado que la gráfica es simétrica con respecto a una línea vertical que pasa por el vértice , la coordenada x del vértice se encuentra en el promedio de las raíces (o intersecciones). Por lo tanto, la coordenada x del vértice es incógnitaV=incógnita1+incógnita22=−b2a.{\displaystyle x_{V}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}=-{\frac {b}{2a}}.} La coordenada y se puede obtener sustituyendo el resultado anterior en la ecuación cuadrática dada, lo que da como resultado: yV=−b24a+do=−b2−4ado4a.{\displaystyle y_{V}=-{\frac {b^{2}}{4a}}+c=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}.} Además, estas fórmulas para el vértice se pueden deducir directamente de la fórmula (ver Completar el cuadrado ). aincógnita2+bincógnita+do=a(incógnita+b2a)2−b2−4ado4a.{\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}.}

Para el cálculo numérico, las fórmulas de Vieta proporcionan un método útil para hallar las raíces de una ecuación cuadrática en el caso de que una raíz sea mucho menor que la otra. Si | x₂ | < < | x₁ | , entonces x₁ + x₂ ≈ x₁ , y tenemos la estimación :incógnita1≈−ba.{\displaystyle x_{1}\approx -{\frac {b}{a}}.} La segunda fórmula de Vieta proporciona entonces: incógnita2=doaincógnita1≈−dob.{\displaystyle x_{2}={\frac {c}{ax_{1}}}\approx -{\frac {c}{b}}.} Estas fórmulas son mucho más fáciles de evaluar que la fórmula cuadrática cuando hay una raíz grande y una pequeña, ya que la fórmula cuadrática evalúa la raíz pequeña como la diferencia de dos números casi iguales (el caso de b grande ), lo que provoca un error de redondeo en la evaluación numérica. La figura muestra la diferencia entre (i)  una evaluación directa usando la fórmula cuadrática (precisa cuando las raíces tienen valores cercanos) y (ii)  una evaluación basada en la aproximación anterior de las fórmulas de Vieta (precisa cuando las raíces están muy separadas). A medida que aumenta el coeficiente lineal b , inicialmente la fórmula cuadrática es precisa y la fórmula aproximada mejora en precisión, lo que resulta en una menor diferencia entre los métodos a medida que b aumenta. Sin embargo, en algún punto la fórmula cuadrática comienza a perder precisión debido al error de redondeo, mientras que el método aproximado continúa mejorando. En consecuencia, la diferencia entre los métodos comienza a aumentar a medida que la fórmula cuadrática se vuelve cada vez menos precisa.

Esta situación se presenta comúnmente en el diseño de amplificadores, donde se desean raíces ampliamente separadas para garantizar un funcionamiento estable (véase Respuesta escalón ).

Solución trigonométrica

Antes de la invención de las calculadoras, se utilizaban tablas matemáticas —listas de números que mostraban los resultados de cálculos con distintos argumentos— para simplificar y agilizar las operaciones. Las tablas de logaritmos y funciones trigonométricas eran comunes en los libros de texto de matemáticas y ciencias. Se publicaban tablas especializadas para aplicaciones como la astronomía, la navegación celeste y la estadística. Existían métodos de aproximación numérica, denominados prostaféresis , que ofrecían atajos para operaciones que consumían mucho tiempo, como la multiplicación y el cálculo de potencias y raíces. [ 35 ] Los astrónomos, en particular, estaban interesados ​​en métodos que pudieran acelerar la larga serie de cálculos que implican las operaciones de mecánica celeste .

Es dentro de este contexto que podemos comprender el desarrollo de los medios para resolver ecuaciones cuadráticas mediante la sustitución trigonométrica . Consideremos la siguiente forma alternativa de la ecuación cuadrática:

donde el signo del símbolo ± se elige de manera que tanto a como c puedan ser positivos. Sustituyendo

y luego multiplicando por cos 2 ( θ ) / c , obtenemos

Introduciendo funciones de 2 θ y reordenando, obtenemos

donde los subíndices n y p corresponden, respectivamente, al uso de un signo negativo o positivo en la ecuación [1] . Sustituyendo los dos valores de θ n o θ p obtenidos de las ecuaciones [4] o [5] en [2] se obtienen las raíces requeridas de [1] . Las raíces complejas aparecen en la solución basada en la ecuación [5] si el valor absoluto de sin 2 θ p excede la unidad. El esfuerzo necesario para resolver ecuaciones cuadráticas utilizando esta estrategia mixta de búsqueda en tablas trigonométricas y logarítmicas fue dos tercios del esfuerzo utilizando solo tablas logarítmicas. [ 36 ] El cálculo de raíces complejas requeriría el uso de una forma trigonométrica diferente. [ 37 ]

Para ilustrarlo, supongamos que disponemos de tablas trigonométricas y de logaritmos de siete decimales y deseamos resolver la siguiente ecuación con una precisión de seis cifras significativas: 4.16130incógnita2+9.15933incógnita−11.4207=0{\displaystyle 4.16130x^{2}+9.15933x-11.4207=0}

  1. Una tabla de búsqueda de siete posiciones podría tener solo 100.000 entradas, y el cálculo de resultados intermedios hasta siete posiciones generalmente requeriría una interpolación entre entradas adyacentes.
  2. registro⁡a=0,6192290,registro⁡b=0,9618637,registro⁡do=1.0576927{\displaystyle \log a=0.6192290,\log b=0.9618637,\log c=1.0576927}
  3. 2ado/b=2×10(0,6192290+1.0576927)/2−0,9618637=1.505314{\displaystyle 2{\sqrt {ac}}/b=2\times 10^{(0.6192290+1.0576927)/2-0.9618637}=1.505314}
  4. θ=(broncearse−1⁡1.505314)/2=28.20169∘ o −61.79831∘{\displaystyle \theta =(\tan ^{-1}1.505314)/2=28.20169^{\circ }{\text{ or }}-61.79831^{\circ }}
  5. registro⁡|broncearse⁡θ|=−0,2706462 o 0,2706462{\displaystyle \log |\tan \theta |=-0.2706462{\text{ or }}0.2706462}
  6. registro⁡do/a=(1.0576927−0,6192290)/2=0,2192318{\displaystyle \log {\textstyle {\sqrt {c/a}}}=(1.0576927-0.6192290)/2=0.2192318}
  7. incógnita1=100,2192318−0,2706462=0,888353{\displaystyle x_{1}=10^{0.2192318-0.2706462}=0.888353}(redondeado a seis cifras significativas)incógnita2=−100,2192318+0,2706462=−3.08943{\displaystyle x_{2}=-10^{0.2192318+0.2706462}=-3.08943}

Solución para raíces complejas en coordenadas polares

Si la ecuación cuadráticaaincógnita2+bincógnita+do=0{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}con coeficientes reales tiene dos raíces complejas : el caso en el queb2−4ado<0,{\displaystyle b^{2}-4ac<0,}si se requiere que a y c tengan el mismo signo , entonces las soluciones para las raíces se pueden expresar en forma polar como [ 38 ].

incógnita1,incógnita2=r(porque⁡θ±ipecado⁡θ),{\displaystyle x_{1},\,x_{2}=r(\cos \theta \pm i\sin \theta ),}

dónder=doa{\displaystyle r={\sqrt {\tfrac {c}{a}}}}yθ=porque−1⁡(−b2ado).{\displaystyle \theta =\cos ^{-1}\left({\tfrac {-b}{2{\sqrt {ac}}}}\right).}

solución geométrica

Figura 6. Solución geométrica de eh x al cuadrado más bx más c = 0 usando el método de Lill. La construcción geométrica es la siguiente: Dibuje un trapecio S Eh B C. La línea S Eh de longitud eh es el lado izquierdo vertical del trapecio. La línea Eh B de longitud b es la parte inferior horizontal del trapecio. La línea BC de longitud c es el lado derecho vertical del trapecio. La línea CS completa el trapecio. Desde el punto medio de la línea CS, dibuje un círculo que pase por los puntos C y S. Dependiendo de las longitudes relativas de eh, b y c, el círculo puede o no intersecar la línea Eh B. Si lo hace, entonces la ecuación tiene una solución. Si llamamos a los puntos de intersección X 1 y X 2, entonces las dos soluciones están dadas por -Eh X 1 dividido por S Eh, y -Eh X 2 dividido por S Eh.
Figura 6. Solución geométrica de ax² + bx + c = 0 utilizando el método de Lill. Las soluciones son −AX1/SA, −AX2/SA

La ecuación cuadrática puede resolverse geométricamente de varias maneras. Una de ellas es mediante el método de Lill . Los tres coeficientes a , b y c se representan formando ángulos rectos entre ellos, como en SA, AB y BC de la Figura  6. Se traza un círculo con el punto inicial y final SC como diámetro. Si este círculo corta la línea central AB de los tres, entonces la ecuación tiene una solución, y las soluciones se obtienen dividiendo el negativo de la distancia a lo largo de esta línea desde A entre el primer coeficiente a o SA. Si a es igual a 1, los coeficientes se pueden leer directamente. Así, las soluciones en el diagrama son −AX1 /SA y −AX2 /SA. [ 39 ]

Círculo de Carlyle de la ecuación cuadrática x² − sx + p = 0.      

El círculo de Carlyle , llamado así en honor a Thomas Carlyle , tiene la propiedad de que las soluciones de la ecuación cuadrática son las coordenadas horizontales de las intersecciones del círculo con el eje horizontal . [ 40 ] Los círculos de Carlyle se han utilizado para desarrollar construcciones de polígonos regulares con regla y compás .

Generalización de la ecuación cuadrática

La fórmula y su deducción siguen siendo correctas si los coeficientes a , b y c son números complejos o, más generalmente, miembros de cualquier cuerpo cuya característica no sea 2. (En un cuerpo de característica 2, el elemento 2a es cero y es imposible dividirlo).

El símbolo ±b2−4ado{\displaystyle \pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}En la fórmula , debe entenderse como "cualquiera de los dos elementos cuyo cuadrado sea b² − 4ac , si tales elementos existen". En algunos cuerpos, algunos elementos no tienen raíces cuadradas y otros tienen dos; solo el cero tiene una única raíz cuadrada, excepto en cuerpos de característica 2. Incluso si un cuerpo no contiene la raíz cuadrada de algún número, siempre existe un cuerpo de extensión cuadrática que sí la contiene, por lo que la fórmula cuadrática siempre tendrá sentido como fórmula en ese cuerpo de extensión.

Característica 2

En un campo de característica 2 , la fórmula cuadrática, que se basa en que 2 sea una unidad , no se cumple. Consideremos el polinomio cuadrático mónico.incógnita2+bincógnita+do{\displaystyle x^{2}+bx+c} sobre un campo de característica 2. Si b = 0 , entonces la solución se reduce a extraer una raíz cuadrada, por lo que la solución es incógnita=do{\displaystyle x={\sqrt {c}}} y solo hay una raíz ya que −do=−do+2do=do.{\displaystyle -{\sqrt {c}}=-{\sqrt {c}}+2{\sqrt {c}}={\sqrt {c}}.} En resumen, incógnita2+do=(incógnita+do)2.{\displaystyle \displaystyle x^{2}+c=(x+{\sqrt {c}})^{2}.} Consulte el apartado de residuos cuadráticos para obtener más información sobre cómo extraer raíces cuadradas en campos finitos.

En el caso de que b ≠ 0 , hay dos raíces distintas, pero si el polinomio es irreducible , no se pueden expresar en términos de raíces cuadradas de números en el campo de coeficientes. En su lugar, definimos la raíz 2 R ( c ) de c como una raíz del polinomio x 2 + x + c , un elemento del campo de descomposición de ese polinomio. Se verifica que R ( c ) + 1 también es una raíz. En términos de la operación de raíz 2, las dos raíces del polinomio cuadrático (no mónico) ax 2 + bx + c son baR(adob2){\displaystyle {\frac {b}{a}}R\left({\frac {ac}{b^{2}}}\right)} y ba(R(adob2)+1).{\displaystyle {\frac {b}{a}}\left(R\left({\frac {ac}{b^{2}}}\right)+1\right).}

Por ejemplo, sea a un generador multiplicativo del grupo de unidades de F 4 , el cuerpo de Galois de orden cuatro (por lo tanto, a y a + 1 son raíces de x 2 + x + 1 sobre F 4 . Debido a que ( a + 1) 2 = a , a + 1 es la solución única de la ecuación cuadrática x 2 + a = 0 . Por otra parte, el polinomio x 2 + ax + 1 es irreducible sobre F 4 , pero se divide sobre F 16 , donde tiene las dos raíces ab y ab + a , donde b es una raíz de x 2 + x + a en F 16 .

Este es un caso especial de la teoría de Artin-Schreier .

Véase también

Referencias

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