Infinito absoluto

Cuando se aplica el argumento diagonal a la colección de todos los conjuntos o al universo de conjuntos , al tomar su conjunto potencia, aparentemente se llega a una paradoja. Si el conjunto potencia es realmente un conjunto, entonces es un subconjunto del universo de conjuntos, y por lo tanto la función identidad del universo al conjunto potencia debería ser más que suficiente para cubrirlo, y sin embargo, el argumento diagonal puede mostrar que de alguna manera falta uno. Este conjunto tenía un carácter interesante, como señaló Bertrand Russell en 1901. El mecanismo del argumento diagonal de Cantor consiste en tomar la negación de la "diagonal" de estos subconjuntos .${\displaystyle D}$⁠ . Por ejemplo, el argumento diagonal en la aplicación ⁠${\displaystyle f}$⁠ de los números naturales a su conjunto potencia dice que 1 está en el primer subconjunto de la lista ⁠${\displaystyle f(1)}$⁠ , entonces 1 no está en el subconjunto ⁠${\displaystyle D}$⁠ , y en general, para cada número natural ⁠${\displaystyle n}$⁠ , se coloca en el subconjunto ⁠${\displaystyle D}$⁠ solo si el n-ésimo subconjunto de la lista ⁠${\displaystyle f(n)}$No contiene el número .${\displaystyle n}$⁠ . Por lo tanto, este argumento, aplicado al universo con la aplicación identidad, da como resultado el conjunto ⁠${\displaystyle R}$⁠ : la colección de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos. Entonces la paradoja de Russell plantea la pregunta: "¿ ⁠${\displaystyle R}$¿ Contenerse a sí mismo? Si es así, entonces${\displaystyle R}$⁠ tiene la propiedad de no contenerse a sí mismo (por definición de ⁠${\displaystyle R}$) , y viceversa. Dada la contradicción de que${\displaystyle R}$Se contiene a sí mismo si y solo si no se contiene a sí mismo. ^{[ 6 ]}

En sus Beiträge 1897, ^{[ 7 ]} Cantor publicó un resultado sobre los números ordinales . De manera informal, los ordinales generalizan la noción de orden a conjuntos infinitos. Por ejemplo, 2 viene después de 1, denotado ⁠${\displaystyle 1<2}$⁠ , y 3 viene después de ambos, denotado ⁠${\displaystyle 1<2<3}$⁠ . Luego, se define un nuevo número, ⁠${\displaystyle \omega }$⁠ , que viene después de cada número natural, denotado ⁠${\displaystyle 1<2<3<\cdots <\omega}$Además​​${\displaystyle \omega <\omega +1<\dots <\omega +\omega =\omega \cdot 2}$⁠ , y así sucesivamente. Específicamente, los números ordinales tienen la propiedad de que, para cualquier conjunto de números ordinales, siempre hay un siguiente ordinal único: sucesor o supremo (el tipo de orden del conjunto de todos los ordinales anteriores). Por ejemplo, el conjunto ⁠${\displaystyle \{\omega ,\omega \cdot 2,\omega \cdot 3\cdots \}}$⁠ tiene el ordinal límite único ⁠${\displaystyle \omega ^{2}}$; el conjunto${\displaystyle \{\omega ,\omega ^{2},\omega ^{3}\cdots \}}$tiene el límite${\displaystyle \omega ^{\omega }}$⁠ , y el conjunto de todos los ordinales contables tiene el límite ⁠${\displaystyle \omega _{1}}$( el primer ordinal no contable ). El resultado de Cantor demostró que cualquier colección de números ordinales puede estar bien ordenada : la noción usual de orden , con la propiedad de que cualquier subconjunto de un conjunto bien ordenado tiene un elemento mínimo. También en 1897, Cesare Burali-Forti publicó un artículo ^{[ 8 ]} sobre una propiedad de los números ordinales que, sin que él lo supiera, contradecía el resultado de Cantor de que los números ordinales no son un orden total ; hay números ordinales tales que ninguno de${\displaystyle a<b}$,​​${\displaystyle a=b}$,​​${\displaystyle a>b}$⁠ sostener — una noción de orden estrictamente más débil que el teorema de Cantor, creando lo que ahora se llama la paradoja de Burali-Forti . Burali-Forti demostró que, cuando se considera el conjunto de todos los números ordinales ⁠${\displaystyle {\mathcal {O}}}$⁠ , por definición de números ordinales, debe haber un ordinal mayor ⁠${\displaystyle \Omega }$⁠ y su sucesor ⁠${\displaystyle \Omega +1}$⁠ . Por definición de ⁠${\displaystyle {\mathcal {O}}}$, ambos​${\displaystyle \Omega }$y​​${\displaystyle \Omega +1}$⁠ debe ser miembro de ⁠${\displaystyle {\mathcal {O}}}$⁠ . Sin embargo, dado que ⁠${\displaystyle \Omega }$⁠ se definió como el siguiente ordinal más grande en ⁠${\displaystyle {\mathcal {O}}}$Debe ser que${\displaystyle \Omega +1\leq \Omega }$⁠ , contradiciendo eso ⁠${\displaystyle \Omega +1}$Fue un sucesor. Sin embargo, no fue hasta 1903, cuando Bertrand Russell señaló la contradicción y la publicó en sus Principios de Matemáticas ^{[ 9 ]} , que se la conoció como una paradoja. ^{[ 10 ]}

Cantor no trató estas paradojas como auténticas antinomias , sino más bien como limitaciones del lenguaje utilizado para describir estos objetos. En sus Grundlagen de 1883, antes del descubrimiento de cualquiera de estas paradojas, Cantor observó este tipo de objetos (universo de conjuntos, colecciones de todos los números cardinales u ordinales) y los consideró un tipo de infinito estrictamente diferente al de los números cardinales y ordinales. Concibió dos nociones de "infinito": el transfinito —la clase de infinito que trata con números cardinales y ordinales infinitos— y el absoluto —la noción de infinito más allá de la comprensión psicológica o matemática, y el tamaño de este tipo de objetos: ^{[ 11 ]}

"Una diferencia esencial, sin embargo, es que yo fijo los diferentes grados del infinito actual mediante los números [ ⁠${\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{1},\aleph _{2}}$] etc. de una vez por todas según ese concepto y solo entonces considero una tarea considerar las relaciones entre ellos, no solo investigar los números matemáticamente, sino también determinarlos y registrarlos dondequiera que aparezcan en la naturaleza. No me cabe duda de que continuaremos por este camino, sin alcanzar jamás un límite insuperable, pero tampoco ningún tipo de comprensión de lo absoluto. Lo absoluto solo puede ser reconocido, pero nunca conocido, ni siquiera aproximadamente conocido." – Georg Cantor, Grundlagen , 1883 (traducido por James Meyer). ^{[ 12 ]}

Además, Cantor utilizó el absoluto como herramienta para desarrollar su teoría de lo transfinito. Posteriormente, en cartas a David Hilbert y Richard Dedekind en 1897 y 1899 respectivamente, Cantor describió una paradoja similar a la de Burali-Forti, junto con otra paradoja de los números cardinales. Cantor demostró que, para cualquier conjunto de números cardinales, siempre falta al menos un cardinal: al ordenar el conjunto de números cardinales, o bien el cardinal máximo (si lo hay) tiene un conjunto potencia, que es estrictamente mayor y, por lo tanto, no está incluido; o bien, si no hay un elemento máximo, entonces la unión de esos números cardinales debe ser estrictamente mayor. Así, siguiendo el mismo razonamiento que la paradoja de Burali-Forti, se podría demostrar que el conjunto de todos los números cardinales produce una paradoja similar. En su carta de 1899 a Dedekind, Cantor añadió una lista de principios que formalizaban la noción de "conjunto", que anticipaba el enfoque axiomático utilizado posteriormente, y muchos de los axiomas utilizados, incluidos precursores informales del axioma de especificación (cualquier subconjunto definible es un conjunto), el axioma de reemplazo y limitación de tamaño (si dos colecciones son equinumerosas, entonces ambas son conjuntos o ambas son inconsistentes), y el axioma de unión (la unión de conjuntos también es un conjunto). Cantor utilizó estos axiomas en un intento de formalizar su noción del infinito absoluto y demostrar el teorema del buen ordenamiento : que todo conjunto tiene una cardinalidad equivalente a algún aleph . Esencialmente, el argumento era que, para cualquier conjunto${\displaystyle A}$⁠ , se podrían mapear iterativamente elementos del conjunto de todos los ordinales ⁠${\displaystyle \Omega }$en​​${\displaystyle A}$⁠ hasta que todos los elementos de ⁠${\displaystyle A}$⁠ se habían asignado y no se habían utilizado todos los ordinales, en cuyo caso ⁠${\displaystyle A}$⁠ se le asigna un aleph; o que todos los elementos de ⁠${\displaystyle \Omega }$⁠ se había utilizado y ⁠${\displaystyle A}$⁠ tiene algún subconjunto equinumérico con ⁠${\displaystyle \Omega }$⁠ completando toda la colección${\displaystyle A}$⁠ inconsistente, contradiciendo que fuera un conjunto. ^{[ 13 ]}

Hilbert, al ver la carta, no podía aceptar que el conjunto de todos los alephs fuera contradictorio. Al igual que Dedekind, Hilbert creía que el hecho de que el concepto de "aleph" estuviera bien definido era suficiente para que existiera la colección de todos los alephs, lo que convertía la demostración de Cantor en una auténtica contradicción. Durante los tres años siguientes, para el Congreso Internacional de Matemáticos de París de 1900 , Hilbert llegó a aceptar la visión de Cantor sobre la situación. Sin embargo, a diferencia de Cantor, Hilbert no aceptaba que la solución fuera a través de la fe platónica , sino que creía que las paradojas eran un síntoma del área subdesarrollada de la lógica, y que la solución radicaba en un estudio más riguroso de las leyes de la lógica en matemáticas. ^{[ 14 ]} Cantor no publicó estas paradojas ni la definición axiomática de conjunto a partir de estas cartas, y los resultados serían redescubiertos posteriormente por otros matemáticos. Aunque Hilbert y algunos de sus seguidores estaban preparados para el redescubrimiento de las paradojas, la secuencia de redescubrimientos de estas paradojas (junto con otros resultados) dio inicio a una era conocida como la crisis fundacional de las matemáticas . Russell redescubrió la paradoja del conjunto de todos los alephs en 1901, aunque no la interpretó como una paradoja genuina; sin embargo, esto marcó el comienzo de un período de seria desconfianza hacia el teorema de Cantor. Durante este período, se dedicó a un análisis más detallado de la paradoja, en el que comenzó a formular la paradoja que ahora lleva su nombre. Entre los años 1879 y 1903, el lógico y filósofo Gotlob Frege intentó utilizar la noción de cardinalidad de Cantor para derivar una base para la aritmética. El intento solo terminó cuando Russell le envió una carta a Frege describiendo su paradoja. Después de intentar inicialmente resolver la paradoja, para su muerte en 1925, creía que el trabajo de toda su vida, y la teoría de conjuntos como campo, habían sido "destruidos" por ella. ^{[ 15 ]}

Ernst Zermelo , seguidor de Hilbert y Cantor, criticó el uso que Cantor hacía del "tiempo" en muchos argumentos, como en su demostración del teorema del buen ordenamiento. Cantor asumía que podía "elegir" secuencialmente un nuevo elemento de un conjunto un número transfinito de veces. La solución de Zermelo fue un nuevo axioma que permitía "elegir" estos elementos simultáneamente, conocido como el Axioma de Elección . Este axioma se publicó posteriormente en su sistema de axiomas de 1908, ahora llamado teoría de conjuntos de Zermelo (la primera teoría axiomática de conjuntos), donde intentó demostrar el teorema del buen ordenamiento, evitando la paradoja de Russell. El sistema de Zermelo sería ampliado más tarde por Abraham Fraenkel y Thoralf Skolem en la década de 1920 para crear la base estándar de la teoría de conjuntos, denominada teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC, "C" por el Axioma de Elección), fundamento actual de las matemáticas modernas . Este sistema tenía un enfoque iterativo, por ejemplo, afirmando que si existe un conjunto X dado, entonces también existe un conjunto Y con propiedades específicas, excluyendo definiciones como "el conjunto de todos los objetos tales que..." como primitivas . Como teorema, demostró que las colecciones infinitas absolutas de Cantor que causaban las paradojas no existían (más específicamente, que no eran conjuntos). ^{[ 16 ]}

Una heurística que guiaba en aquel entonces para determinar qué tipos de axiomas eran admisibles era la limitación de tamaño , que sostenía que la causa de las paradojas de la teoría de conjuntos radicaba en que las teorías de conjuntos permitían colecciones "demasiado grandes" para ser consideradas "conjuntos", y rechazaban axiomas —como la comprensión irrestricta— que permitían la creación de dichos conjuntos. Inspirándose en el sistema de axiomas de Zermelo de 1908, en 1923, John von Neumann introdujo un nuevo sistema de axiomas capaz de incluir estos conjuntos "demasiado grandes" como parte de la teoría, aunque los separaba ontológicamente. Rechazó que estas colecciones "demasiado grandes" fueran elementos de otras colecciones. Posteriormente, las distinguió como "conjuntos" [Mengen] y "dominios" [Bereiche]; estos últimos ahora comúnmente llamados "clases", resolviendo problemas de autorreferencia causados, por ejemplo, al permitir que la colección de todos los conjuntos fuera un conjunto, o que la colección de todos los números ordinales fuera un ordinal. La intuición de Von Neumann sobre los conjuntos estuvo fuertemente influenciada por la doctrina de la limitación del tamaño de la época, que incorporó a su sistema como el axioma de limitación del tamaño (LdS): un dominio (clase o colección) era "demasiado grande" si y solo si era igual al dominio total de todos los conjuntos. Según admitió él mismo, este era un axioma muy efectivo, que implicaba muchos de los axiomas originales de Zermelo, lo que le pareció un buen motivo para desconfiar del axioma. Así pues, en 1928 publicó un artículo demostrando el axioma a partir de un sistema de axiomas más simple. Este sistema fue posteriormente refinado por Paul Bernays y Kurt Gödel entre las décadas de 1930 y 1950 para crear el sistema que hoy se conoce como teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG). Se demostró que este sistema era una extensión conservadora de ZFC, lo que significa que cualquier afirmación sobre conjuntos que pudiera probarse en NBG también podría probarse en ZFC, y la implementación de clases en NBG generalmente se considera que captura la noción original de Cantor del infinito absoluto. ^{[ 17 ]}