Vorticidad

En mecánica de medios continuos , la vorticidad es un campo pseudovectorial (o vectorial axial) que describe el movimiento de rotación local de un medio continuo cerca de un punto (la tendencia de algo a rotar ^{[ 1 ]} ), tal como lo vería un observador ubicado en ese punto y que se desplaza junto con el flujo . Es una magnitud importante en la teoría dinámica de fluidos y proporciona un marco conveniente para comprender diversos fenómenos de flujo complejos, como la generación de sustentación en las alas. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Matemáticamente, la vorticidad${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$es el rizo de la velocidad del flujo${\displaystyle \mathbf {v} }$: ^{[ 4 ] [ 3 ]}

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\equiv \nabla \times \mathbf {v} \,,}$

dónde${\displaystyle \nabla }$es el operador nabla . Conceptualmente,${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$podría determinarse marcando partes de un continuo en un pequeño vecindario del punto en cuestión y observando sus desplazamientos relativos a medida que se mueven a lo largo del flujo. La vorticidad${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$sería el doble del vector de velocidad angular media de esas partículas con respecto a su centro de masa , orientado según la regla de la mano derecha . Por su propia definición, el vector de vorticidad es un campo solenoidal ya que${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\omega }}=0.}$

En un flujo bidimensional ,${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$siempre es perpendicular al plano del flujo y, por lo tanto, puede considerarse un campo escalar .

La dinámica de la vorticidad está fundamentalmente ligada a la resistencia a través de la relación de Josephson-Anderson. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

Matemáticamente, la vorticidad de un flujo tridimensional es un campo pseudovectorial, generalmente denotado por${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$, definido como el rotacional del campo de velocidad${\displaystyle \mathbf {v} }$que describe el movimiento continuo. En coordenadas cartesianas :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {v} =\left({\dfrac {\partial v_{z}}{\partial y}}-{\dfrac {\partial v_{y}}{\partial z}},{\dfrac {\partial v_{x}}{\partial z}}-{\dfrac {\partial v_{z}}{\partial x}},{\dfrac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\dfrac {\partial v_{x}}{\partial y}}\right)\,.\end{aligned}}}$

También podemos expresar esto en notación de índice como${\displaystyle \omega _{i}=\varepsilon _{ijk}{\frac {\partial v_{k}}{\partial x_{j}}}}$. ^{[ 7 ]} En otras palabras, la vorticidad indica cómo cambia el vector de velocidad cuando uno se mueve una distancia infinitesimal en una dirección perpendicular a él.

En un flujo bidimensional donde la velocidad es independiente de la${\displaystyle z}$-coordina y no tiene${\displaystyle z}$-componente, el vector de vorticidad siempre es paralelo al${\displaystyle z}$eje y, por lo tanto, puede expresarse como un campo escalar multiplicado por un vector unitario constante.${\displaystyle {\hat {z}}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {v} =\left({\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{z}\,.\end{aligned}}}$

La vorticidad también está relacionada con la circulación del flujo (integral de línea de la velocidad) a lo largo de una trayectoria cerrada mediante el teorema de Stokes (clásico) . Es decir, para cualquier elemento de superficie infinitesimal C con dirección normal${\displaystyle \mathbf {n} }$y área${\displaystyle dA}$la circulación${\displaystyle d\Gamma }$a lo largo del perímetro de${\displaystyle C}$es el producto escalar${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\cdot (\mathbf {n} \,dA)}$dónde${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$es la vorticidad en el centro de${\displaystyle C}$. ^{[ 8 ]}

Dado que la vorticidad es un vector axial, puede asociarse con un tensor antisimétrico de segundo orden.${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}$(el llamado tensor de vorticidad o rotación), que se dice que es el dual de${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$La relación entre las dos cantidades, en notación de índices, viene dada por

${\displaystyle \Omega _{ij}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{ijk}\omega _{k},\qquad \omega _{i}=\varepsilon _{ijk}\Omega _{jk}}$

dónde${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$es el tensor de Levi-Civita tridimensional . El tensor de vorticidad es simplemente la parte antisimétrica del tensor.${\displaystyle \nabla \mathbf {v} }$, es decir,

${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}={\frac {1}{2}}\left[(\nabla \mathbf {v} )^{T}-\nabla \mathbf {v} \right]\quad {\text{or}}\quad \Omega _{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}\right).}$

En una masa continua que gira como un cuerpo rígido, la vorticidad es el doble del vector de velocidad angular de dicha rotación. Este es el caso, por ejemplo, en el núcleo central de un vórtice de Rankine . ^{[ 9 ]}

La vorticidad puede ser distinta de cero incluso cuando todas las partículas fluyen a lo largo de trayectorias rectas y paralelas , si existe cizallamiento (es decir, si la velocidad del flujo varía a lo largo de las líneas de corriente ). Por ejemplo, en el flujo laminar dentro de una tubería de sección transversal constante , todas las partículas se mueven paralelas al eje de la tubería; pero más rápido cerca de dicho eje y prácticamente estacionarias junto a las paredes. La vorticidad será cero en el eje y máxima cerca de las paredes, donde el cizallamiento es mayor.

Por el contrario, un flujo puede tener vorticidad cero aunque sus partículas se desplacen siguiendo trayectorias curvas. Un ejemplo es el vórtice irrotacional ideal , donde la mayoría de las partículas giran alrededor de un eje recto, con una velocidad inversamente proporcional a su distancia a dicho eje. Una pequeña porción del continuo que no se encuentre sobre el eje girará en un sentido pero se deformará en el sentido opuesto, de tal manera que su velocidad angular media alrededor de su centro de masa sea cero.

Otra forma de visualizar la vorticidad es imaginar que, instantáneamente, una pequeña parte del continuo se solidifica y el resto del flujo desaparece. Si esa pequeña partícula sólida rota, en lugar de simplemente moverse con el flujo, entonces existe vorticidad en este. En la figura siguiente, la subfigura de la izquierda muestra la ausencia de vorticidad, mientras que la de la derecha muestra su existencia.

La evolución del campo de vorticidad en el tiempo se describe mediante la ecuación de vorticidad , que puede derivarse de las ecuaciones de Navier-Stokes . ^{[ 10 ]}

En muchos flujos reales donde la viscosidad puede despreciarse (más precisamente, en flujos con un número de Reynolds elevado), el campo de vorticidad puede modelarse mediante un conjunto de vórtices discretos, siendo la vorticidad despreciable en todas partes excepto en pequeñas regiones del espacio que rodean los ejes de los vórtices. Esto es cierto en el caso de un flujo potencial bidimensional (es decir, un flujo bidimensional de viscosidad cero), en cuyo caso el campo de flujo puede modelarse como un campo de valores complejos en el plano complejo .

La vorticidad es útil para comprender cómo se pueden perturbar las soluciones de flujo potencial ideales para modelar flujos reales. En general, la presencia de viscosidad provoca una difusión de la vorticidad desde los núcleos de los vórtices hacia el campo de flujo general; este flujo se tiene en cuenta mediante un término de difusión en la ecuación de transporte de vorticidad. ^{[ 11 ]}

Una línea de vórtice o línea de vorticidad es una línea que es tangente en todos los puntos al vector de vorticidad local. Las líneas de vórtice se definen mediante la relación ^{[ 12 ].}

${\displaystyle {\frac {dx}{\omega _{x}}}={\frac {dy}{\omega _{y}}}={\frac {dz}{\omega _{z}}}\,,}$

dónde${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=(\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z})}$es el vector de vorticidad en coordenadas cartesianas .

Un tubo de vórtice es la superficie en el continuo formada por todas las líneas de vórtice que pasan a través de una curva cerrada (reducible) dada en el continuo. La «intensidad» de un tubo de vórtice (también llamada flujo de vórtice ) ^{[ 13 ]} es la integral de la vorticidad a través de una sección transversal del tubo, y es la misma en todo el tubo (porque la vorticidad tiene divergencia cero). Es consecuencia de los teoremas de Helmholtz (o equivalentemente, del teorema de circulación de Kelvin ) que en un fluido no viscoso la «intensidad» del tubo de vórtice también es constante en el tiempo. Los efectos viscosos introducen pérdidas por fricción y dependencia temporal. ^{[ 14 ]}

En un flujo tridimensional, la vorticidad (medida por la integral de volumen del cuadrado de su magnitud) puede intensificarse cuando se extiende una línea de vórtice, un fenómeno conocido como estiramiento de vórtice . ^{[ 15 ]} Este fenómeno ocurre en la formación de un vórtice de bañera en agua que sale y en la formación de un tornado por corrientes de aire ascendentes.

• Ecuación de vorticidad barotrópica
• La paradoja de D'Alembert
• Enstrofía
• Palinstrofia
• Potencial de velocidad
• Vórtice
• tubo de vórtice
• Estiramiento de vórtices
• vórtice en forma de herradura
• vórtices en las puntas de las alas

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