Aceleración en serie

En matemáticas , un método de aceleración de series es cualquiera de un conjunto de transformaciones de secuencias que mejoran la tasa de convergencia de una serie . Las técnicas de aceleración de series se aplican frecuentemente en el análisis numérico , donde se utilizan para mejorar la velocidad de la integración numérica . Estas técnicas también pueden emplearse, por ejemplo, para obtener diversas identidades en funciones especiales . Así, la transformada de Euler aplicada a la serie hipergeométrica proporciona algunas de las identidades clásicas y bien conocidas de series hipergeométricas.

Dada una serie infinita con una sucesión de sumas parciales

${\displaystyle (S_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

tener un límite

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=S,}$

Una serie acelerada es una serie infinita con una segunda secuencia de sumas parciales.

${\displaystyle (S'_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

que converge asintóticamente más rápido a${\displaystyle S}$que la secuencia original de sumas parciales:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {S'_{n}-S}{S_{n}-S}}=0.}$

Un método de aceleración de series es una transformación de secuencias que convierte las secuencias convergentes de sumas parciales de una serie en secuencias de sumas parciales de una serie acelerada, con convergencia más rápida y el mismo límite. Si se aplica un método de aceleración de series a una serie divergente , el límite propio de la serie queda indefinido, pero la transformación de secuencias aún puede ser útil como método de extrapolación a un antilímite de la serie.

Las transformaciones de la serie original a la serie transformada pueden ser transformaciones de secuencias lineales o no lineales. En general, las transformaciones de secuencias no lineales tienden a ser más potentes.

Dos técnicas clásicas para la aceleración de series son la transformación de Euler de series ^{[ 1 ]} y la transformación de Kummer de series . ^{[ 2 ]} En el siglo XX se desarrollaron diversas herramientas mucho más rápidas y para casos especiales, entre las que se incluyen la extrapolación de Richardson , introducida por Lewis Fry Richardson a principios del siglo XX, pero también conocida y utilizada por Katahiro Takebe en 1722; el proceso delta-cuadrado de Aitken , introducido por Alexander Aitken en 1926, pero también conocido y utilizado por Takakazu Seki en el siglo XVIII; el método épsilon dado por Peter Wynn en 1956; la transformada u de Levin; y el método de Wilf-Zeilberger-Ekhad o método WZ .

Para series alternas , existen varias técnicas potentes que ofrecen tasas de convergencia de${\displaystyle 5.828^{-n}}$hasta el final${\displaystyle 17.93^{-n}}$para un resumen de${\displaystyle n}$Los términos son descritos por Cohen et al . ^{[ 3 ].}

Un ejemplo básico de transformación de secuencia lineal , que ofrece una convergencia mejorada, es la transformada de Euler. Está diseñada para aplicarse a una serie alternada; viene dada por

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(\Delta ^{n}a)_{0}}{2^{n+1}}}}$

dónde${\displaystyle \Delta }$es el operador de diferencia hacia adelante , para el cual se tiene la fórmula

${\displaystyle (\Delta ^{n}a)_{0}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}a_{nk}.}$

Si la serie original, en el lado izquierdo, converge lentamente, las diferencias hacia adelante tenderán a disminuir con bastante rapidez; la potencia adicional de dos mejora aún más la velocidad a la que converge el lado derecho.

Una implementación numérica particularmente eficiente de la transformada de Euler es la transformada de van Wijngaarden . ^{[ 4 ]}

Una serie

${\displaystyle S=\sum _ {n=0}^{\infty }a_ {n}}$

se puede escribir como${\displaystyle f(1)}$donde la función f se define como

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}.}$

La función${\displaystyle f(z)}$puede tener singularidades en el plano complejo ( singularidades de punto de ramificación , polos o singularidades esenciales ), que limitan el radio de convergencia de la serie. Si el punto${\displaystyle z=1}$está cerca o en el límite del disco de convergencia, la serie para${\displaystyle S}$convergerá muy lentamente. Entonces se puede mejorar la convergencia de la serie mediante un mapeo conforme que mueve las singularidades de tal manera que el punto que se mapea a${\displaystyle z=1}$termina más profundamente en el nuevo disco de convergencia.

La transformación conforme${\displaystyle z=\Phi (w)}$debe ser elegido de tal manera que${\displaystyle \Phi (0)=0}$y normalmente se elige una función que tenga una derivada finita en w = 0. Se puede suponer que${\displaystyle \Phi (1)=1}$sin pérdida de generalidad, ya que siempre se puede reescalar w para redefinir${\displaystyle \Phi }$. A continuación, consideramos la función

${\displaystyle g(w)=f(\Phi (w)).}$

Desde${\displaystyle \Phi (1)=1}$, tenemos${\displaystyle f(1)=g(1)}$Podemos obtener el desarrollo en serie de${\displaystyle g(w)}$al poner${\displaystyle z=\Phi (w)}$en la expansión de la serie de${\displaystyle f(z)}$porque${\displaystyle \Phi (0)=0}$; la primera${\displaystyle n}$términos de la expansión de la serie para${\displaystyle f(z)}$producirá el primero${\displaystyle n}$términos de la expansión de la serie para${\displaystyle g(w)}$si${\displaystyle \Phi '(0)\neq 0}$. Poniendo${\displaystyle w=1}$En ese caso, la expansión en serie dará como resultado una serie tal que, si converge, convergerá al mismo valor que la serie original.

Ejemplos de tales transformaciones de secuencias no lineales son las aproximaciones de Padé , la transformación de Shanks y las transformaciones de secuencias de tipo Levin .

En particular, las transformaciones de secuencias no lineales suelen proporcionar métodos numéricos potentes para la suma de series divergentes o asintóticas que surgen, por ejemplo, en la teoría de perturbaciones , y por lo tanto pueden utilizarse como métodos de extrapolación eficaces .

• Transformación de Shanks
• Extrapolación polinómica mínima
• Transformación de Van Wijngaarden

• C. Brezinski y M. Redivo Zaglia , Métodos de extrapolación. Teoría y práctica , North-Holland, 1991.
• GA Baker Jr. y P. Graves-Morris, Padé Approximants , Cambridge UP, 1996.
• Weisstein, Eric W. "Mejora de la convergencia" . MundoMatemático .
• Herbert HH Homeier: Transformaciones de secuencias escalares de tipo Levin , Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 122, n.º 1–2, pág. 81 (2000). Homeier, HHH (2000). "Transformaciones de secuencias escalares de tipo Levin". Journal of Computational and Applied Mathematics . 122 ( 1–2 ): 81–147 . arXiv : math/0005209 . Bibcode : 2000JCoAM.122...81H . doi : 10.1016/S0377-0427(00)00359-9 ., arXiv : math/0005209 .
• Brezinski Claude y Redivo-Zaglia Michela  : "La génesis y los primeros desarrollos del proceso de Aitken, la transformación de Shanks, la${\displaystyle \epsilon }$-algoritmo y métodos de punto fijo relacionados", Algoritmos Numéricos, Vol. 80, No. 1, (2019), pp. 11-133.
• Delahaye JP  : "Transformaciones de secuencia", Springer-Verlag, Berlín, ISBN 978-3540152835 (1988).
• Sidi Avram  : "Métodos de extrapolación vectorial con aplicaciones", SIAM, ISBN 978-1-61197-495-9 (2017).
• Brezinski Claude, Redivo-Zaglia Michela y Saad Yousef  : "Transformaciones de la secuencia de Shanks y aceleración de Anderson", SIAM Review, vol. 60, n.º 3 (2018), págs. 646-669. doi:10.1137/17M1120725.
• Brezinski Claude  : "Reminiscencias de Peter Wynn ", Algoritmos Numéricos, Vol. 80 (2019), págs. 5-10.
• Brezinski Claude y Redivo-Zaglia Michela  : "Extrapolación y aproximación racional", Springer, ISBN 978-3-030-58417-7 (2020).

• Aceleración de la convergencia de series
• Biblioteca Científica GNU, Aceleración de Serie
• Biblioteca digital de funciones matemáticas