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Efecto Aharonov-Bohm

Aparato del efecto Aharonov-Bohm que muestra la barrera, X; las ranuras S 1 y S 2 ; las trayectorias de los electrones e 1 y e 2 ; el filamento magnético, W; la pantalla, P; el ...

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Aparato del efecto Aharonov-Bohm que muestra la barrera, X; las ranuras S 1 y S 2 ; las trayectorias de los electrones e 1 y e 2 ; el filamento magnético, W; la pantalla, P; el patrón de interferencia, I; la densidad de flujo magnético, B (que apunta fuera de la figura); y el potencial vectorial magnético, A. B es prácticamente nulo fuera del filamento. En algunos experimentos, el filamento se reemplaza por un solenoide. Los electrones en la trayectoria 1 están desfasados ​​con respecto a los electrones en la trayectoria 2 debido al potencial vectorial, aunque la densidad de flujo sea nula.
Yakir Aharonov
David Bohm

El efecto Aharonov-Bohm , a veces llamado efecto Ehrenberg-Siday-Aharonov-Bohm , es un fenómeno mecánico cuántico en el que una partícula cargada eléctricamente se ve afectada por un potencial electromagnético (φ{\displaystyle \varphi },A{\displaystyle \mathbf {A} }), a pesar de estar confinado a una región en la que tanto el campo magnéticoB{\displaystyle \mathbf {B} }y campo eléctricomi{\displaystyle \mathbf {E} }son cero. [ 1 ] El mecanismo subyacente es el acoplamiento del potencial electromagnético con la fase compleja de la función de onda de una partícula cargada , y el efecto Aharonov-Bohm se ilustra en consecuencia mediante experimentos de interferencia .

El caso más comúnmente descrito, a veces llamado efecto solenoide de Aharonov-Bohm , ocurre cuando la función de onda de una partícula cargada que pasa alrededor de un solenoide largo experimenta un cambio de fase como resultado del campo magnético confinado, a pesar de que el campo magnético es despreciable en la región por la que pasa la partícula y la función de onda de la partícula es despreciable dentro del solenoide. Este cambio de fase se ha observado experimentalmente. [ 2 ] También existen efectos magnéticos de Aharonov-Bohm en energías ligadas y secciones transversales de dispersión, pero estos casos no se han probado experimentalmente. También se predijo un fenómeno eléctrico de Aharonov-Bohm, en el que una partícula cargada se ve afectada por regiones con diferentes potenciales eléctricos pero campo eléctrico cero, pero esto aún no tiene confirmación experimental. [ 2 ] Se propuso un efecto "molecular" de Aharonov-Bohm separado para el movimiento nuclear en regiones multiplemente conectadas, pero se ha argumentado que este es un tipo diferente de fase geométrica ya que "no es ni no local ni topológica", dependiendo solo de cantidades locales a lo largo de la trayectoria nuclear. [ 3 ]

Werner Ehrenberg (1901-1975 ) y Raymond E. Siday predijeron el efecto por primera vez en 1949. [ 4 ] Yakir Aharonov y David Bohm publicaron su análisis en 1959. [ 1 ] Tras la publicación del artículo de 1959, Bohm fue informado del trabajo de Ehrenberg y Siday, que fue reconocido y acreditado en el artículo posterior de Bohm y Aharonov de 1961. [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] El efecto fue confirmado experimentalmente mientras Bohm aún vivía (y por supuesto también Aharonov), primero por Robert G. Chambers , [ 8 ] con un error demasiado grande para ser generalmente aceptado, y luego por Akira Tonomura , con un error suficientemente bajo. [ 9 ]

Significado

En los siglos XVIII y XIX, la física estuvo dominada por la dinámica newtoniana, con su énfasis en las fuerzas . Los fenómenos electromagnéticos se dilucidaron mediante una serie de experimentos que implicaban la medición de fuerzas entre cargas, corrientes e imanes en diversas configuraciones. Finalmente, surgió una descripción según la cual las cargas, las corrientes y los imanes actuaban como fuentes locales de campos de fuerza propagantes, que luego actuaban localmente sobre otras cargas y corrientes a través de la ley de fuerza de Lorentz . En este marco, debido a que una de las propiedades observadas del campo eléctrico era su irrotacionalidad , y una de las propiedades observadas del campo magnético era su falta de divergencia , fue posible expresar un campo electrostático como el gradiente de un potencial escalar (por ejemplo, el potencial electrostático de Coulomb , que es matemáticamente análogo al potencial gravitatorio clásico) y un campo magnético estacionario como el rotacional de un potencial vectorial (un concepto entonces novedoso; la idea de un potencial escalar ya estaba bien aceptada por analogía con el potencial gravitatorio). El lenguaje de los potenciales se generalizó sin problemas al caso totalmente dinámico, pero, dado que todos los efectos físicos podían describirse en términos de los campos que eran las derivadas de los potenciales, estos (a diferencia de los campos) no estaban determinados de forma única por los efectos físicos: los potenciales solo estaban definidos hasta un potencial electrostático constante aditivo arbitrario y un potencial vectorial magnético estacionario irrotacional.

El efecto Aharonov-Bohm es importante conceptualmente porque se relaciona con tres cuestiones evidentes en la reformulación de la teoría electromagnética clásica ( de Maxwell ) como una teoría de gauge , que antes del advenimiento de la mecánica cuántica podía considerarse una reformulación matemática sin consecuencias físicas. Las tres cuestiones son:

  1. si los potenciales son " reales " o simplemente una herramienta matemática conveniente;
  2. si los principios de acción son fundamentales;
  3. el principio de localidad .

Los experimentos mentales de Aharonov-Bohm y su realización experimental implican que los problemas no eran solo filosóficos . Sin embargo, el cuatro potencial electromagnéticoAα{\displaystyle A^{\alpha }}describe en exceso la física, ya que todos los fenómenos observables permanecen inalterados tras una transformación de gauge , y, a la inversa, los campos eléctricos y magnéticos de Maxwell la describen de forma insuficiente, puesto que no predicen el efecto Aharonov-Bohm. Además, como predice el principio de gauge , las cantidades que permanecen invariantes bajo transformaciones de gauge son precisamente los fenómenos físicamente observables. [ 10 ] Por razones como estas, la revista New Scientist eligió el efecto Aharonov-Bohm como una de las "siete maravillas del mundo cuántico". [ 11 ] Chen-Ning Yang consideró que el efecto Aharonov-Bohm era la única prueba experimental directa del principio de gauge. [ 12 ]

Potenciales frente a campos

Generalmente se argumenta que el efecto Aharonov-Bohm ilustra la naturaleza física de los potenciales electromagnéticos, Φ y A , en mecánica cuántica. Clásicamente, se podía argumentar que solo los campos electromagnéticos son físicos, mientras que los potenciales electromagnéticos son construcciones puramente matemáticas que, debido a la libertad de gauge , ni siquiera son únicas para un campo electromagnético dado.

Sin embargo, Lev Vaidman ha cuestionado esta interpretación al demostrar que el efecto Aharonov-Bohm puede explicarse sin el uso de potenciales, siempre que se aplique un tratamiento cuántico completo a las cargas fuente que producen el campo electromagnético. [ 13 ] Según esta perspectiva, el potencial en mecánica cuántica es tan físico (o no físico) como lo era clásicamente. Aharonov, Cohen y Rohrlich respondieron que el efecto podría deberse a un potencial de gauge local o a campos invariantes de gauge no locales. [ 14 ]

Dos artículos publicados en la revista Physical Review A en 2017 demostraron una solución cuántica para el sistema. Su análisis muestra que el desfase puede interpretarse como generado por el potencial vectorial de un solenoide que actúa sobre el electrón, o por el potencial vectorial del electrón que actúa sobre el solenoide, o por las corrientes del electrón y del solenoide que actúan sobre el potencial vectorial cuantizado. [ 15 ] [ 16 ]

Acción global frente a fuerzas locales

De manera similar, el efecto Aharonov-Bohm ilustra que el enfoque lagrangiano de la dinámica , basado en energías , no es solo una ayuda computacional al enfoque newtoniano , basado en fuerzas . Así, el efecto Aharonov-Bohm valida la idea de que las fuerzas son una forma incompleta de formular la física, y que en su lugar deben usarse energías potenciales. De hecho, Richard Feynman se quejó de que le habían enseñado electromagnetismo desde la perspectiva de los campos electromagnéticos, y deseó más adelante en su vida que le hubieran enseñado a pensar en términos del potencial electromagnético, ya que esto sería más fundamental. [ 17 ] En la visión de Feynman de la dinámica como integral de trayectoria , el campo potencial cambia directamente la fase de una función de onda electrónica, y son estos cambios de fase los que conducen a cantidades medibles.

Localidad de los efectos electromagnéticos

El efecto Aharonov-Bohm muestra que los campos E y B locales no contienen información completa sobre el campo electromagnético, y que en su lugar debe utilizarse el cuadripotencial electromagnético ( Φ , A ). Según el teorema de Stokes , la magnitud del efecto Aharonov-Bohm puede calcularse utilizando únicamente los campos electromagnéticos o únicamente el cuadripotencial. Pero al utilizar solo los campos electromagnéticos, el efecto depende de los valores del campo en una región de la que se excluye la partícula de prueba. En cambio, al utilizar únicamente el cuadripotencial, el efecto solo depende del potencial en la región donde se permite la partícula de prueba. Por lo tanto, hay que abandonar el principio de localidad , algo que la mayoría de los físicos se resisten a hacer, o aceptar que el cuadripotencial electromagnético ofrece una descripción más completa del electromagnetismo que los campos eléctricos y magnéticos. Por otro lado, el efecto Aharonov-Bohm es fundamentalmente cuántico; Es bien sabido que la mecánica cuántica presenta efectos no locales (aunque sigue sin permitir la comunicación superlumínica ), y Vaidman ha argumentado que esto es simplemente un efecto cuántico no local en una forma diferente. [ 13 ]

En el electromagnetismo clásico, ambas descripciones eran equivalentes. Sin embargo, con la incorporación de la teoría cuántica, los potenciales electromagnéticos Φ y A se consideran más fundamentales. [ 18 ] A pesar de esto, todos los efectos observables terminan siendo expresables en términos de los campos electromagnéticos E y B. Esto es interesante porque, si bien se puede calcular el campo electromagnético a partir del cuadripotencial, debido a la libertad de gauge , lo contrario no es cierto.

Efecto solenoide magnético

El efecto magnético de Aharonov-Bohm puede verse como resultado del requisito de que la física cuántica debe ser invariante con respecto a la elección de calibre para el potencial electromagnético , del cual el potencial vectorial magnéticoA{\displaystyle \mathbf {A} }forma parte.

La teoría electromagnética implica [ 19 ] que una partícula con carga eléctricaq{\displaystyle q}viajando por algún caminoPAG{\displaystyle P}en una región con campo magnético ceroB{\displaystyle \mathbf {B} }pero distinto de ceroA{\displaystyle \mathbf {A} }(porB=0=∇×A{\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {0} =\nabla \times \mathbf {A} }), adquiere un cambio de faseφ{\displaystyle \varphi }, expresado en unidades del SI por

φ=qℏ∫PAGA⋅dincógnita,{\displaystyle \varphi ={\frac {q}{\hbar }}\int _ {P}\mathbf {A} \cdot d\mathbf {x} ,}

Por lo tanto, las partículas, con los mismos puntos de inicio y final, pero que viajan por dos rutas diferentes, adquirirán una diferencia de fase.Δφ{\displaystyle \Delta \varphi}determinado por el flujo magnéticoΦB{\displaystyle \Phi _{B}}a través del área entre los caminos (a través del teorema de Stokes y∇×A=B{\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B} }), y dado por:

Δφ=qΦBℏ.{\displaystyle \Delta \varphi ={\frac {q\,\Phi _ {B}}{\hbar }}.}
Esquema del experimento de doble rendija en el que se observa el efecto Aharonov-Bohm: los electrones atraviesan dos rendijas, interfiriendo en una pantalla de observación. El patrón de interferencia se desplaza al variar el campo magnético B en la rendija. La dirección del campo B apunta hacia afuera de la figura; el flujo magnético que regresa hacia adentro no se muestra, pero se encuentra fuera de las trayectorias de los electrones. La flecha indica la dirección del campo A , que se extiende fuera de la región recuadrada, aunque el campo B no lo haga.

En mecánica cuántica, la misma partícula puede viajar entre dos puntos por diversas trayectorias . Por lo tanto, esta diferencia de fase puede observarse colocando un solenoide entre las rendijas de un experimento de doble rendija (o equivalente). Un solenoide ideal (es decir, infinitamente largo y con una distribución de corriente perfectamente uniforme) encierra un campo magnético.B{\displaystyle \mathbf {B} }pero no produce ningún campo magnético fuera de su cilindro, y por lo tanto la partícula cargada (por ejemplo, un electrón ) que pasa por fuera no experimenta ningún campo magnético.B{\displaystyle \mathbf {B} }(Esta idealización simplifica el análisis, pero es importante tener en cuenta que el efecto Aharonov-Bohm no depende de ella, siempre que el flujo magnético regrese fuera de las trayectorias de los electrones, por ejemplo, si una trayectoria pasa a través de un solenoide toroidal y la otra lo rodea, y el solenoide está blindado de manera que no produzca un campo magnético externo). Sin embargo, existe un potencial vectorial (sin rotacional ).A{\displaystyle \mathbf {A} }El flujo magnético se encuentra fuera del solenoide, dentro de un circuito cerrado, por lo que la fase relativa de las partículas que pasan a través de una rendija u otra se ve alterada según se active o desactive la corriente del solenoide. Esto se corresponde con un desplazamiento observable de las franjas de interferencia en el plano de observación.

El mismo efecto de fase es responsable del requisito de flujo cuantizado en los bucles superconductores . Esta cuantización se produce porque la función de onda superconductora debe ser unívoca: su diferencia de faseΔφ{\displaystyle \Delta \varphi}alrededor de un bucle cerrado debe ser un múltiplo entero de2π{\displaystyle 2\pi }(con el cargoq=2mi{\displaystyle q=2e}para los pares de Cooper de electrones ), y por lo tanto el flujo debe ser un múltiplo deh/2mi{\displaystyle h/2e}El cuanto de flujo superconductor fue predicho en realidad antes que Aharonov y Bohm, por F. London en 1948 utilizando un modelo fenomenológico. [ 20 ]

La primera confirmación experimental fue realizada por Robert G. Chambers en 1960, [ 21 ] [ 22 ] en un interferómetro de electrones con un campo magnético producido por un fino bigote de hierro, y otros trabajos iniciales se resumen en Olariu y Popèscu (1984). [ 23 ] Sin embargo, autores posteriores cuestionaron la validez de varios de estos primeros resultados porque los electrones podrían no haber estado completamente blindados de los campos magnéticos. [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] Un experimento inicial en el que se observó un efecto Aharonov-Bohm inequívoco al excluir completamente el campo magnético de la trayectoria del electrón (con la ayuda de una película superconductora ) fue realizado por Tonomura et al. en 1986. [ 29 ] [ 30 ] El alcance y la aplicación del efecto continúan expandiéndose. Webb et al. (1985) [ 31 ] demostraron oscilaciones de Aharonov-Bohm en anillos metálicos ordinarios, no superconductores; para una discusión, véase Schwarzschild (1986) [ 32 ] e Imry y Webb (1989). [ 33 ] Bachtold et al. (1999) [ 34 ] detectaron el efecto en nanotubos de carbono; para una discusión, véase Kong et al. (2004). [ 35 ]

Monopolos y cuerdas de Dirac

El efecto magnético de Aharonov-Bohm también está estrechamente relacionado con el argumento de Dirac de que la existencia de un monopolo magnético puede ser acomodada por las ecuaciones de Maxwell existentes sin fuente magnética si tanto las cargas eléctricas como las magnéticas están cuantizadas. [ 36 ]

Un monopolo magnético implica una singularidad matemática en el potencial vectorial, que puede expresarse como una cuerda de Dirac de diámetro infinitesimal que contiene el equivalente de todo el flujo 4π g de una "carga" de monopolo g . La cuerda de Dirac comienza y termina en un monopolo magnético. Por lo tanto, asumiendo la ausencia de un efecto de dispersión de alcance infinito por esta elección arbitraria de singularidad, el requisito de funciones de onda unívocas (como se indicó anteriormente) exige la cuantización de carga. Es decir,2qmiqmetroℏdo{\displaystyle 2{\frac {q_{\text{e}}q_{\text{m}}}{\hbar c}}}debe ser un número entero (en unidades cgs ) para cualquier carga eléctrica q e y carga magnética q m .

Al igual que el potencial electromagnético A, la cuerda de Dirac no es invariante de gauge (se mueve con puntos finales fijos bajo una transformación de gauge) y, por lo tanto, tampoco es directamente medible.

Se puede llegar a una conclusión equivalente considerando un campo magnético estático.B=qMETROr2ϕ^{\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {q_{M}}{r^{2}}}\,{\hat {\boldsymbol {\phi }}}}Es imposible construir un único potencial vectorial A sin una singularidad cuyo rotacional dé lugar a este campo B. Sin embargo, se pueden utilizar dos potenciales vectoriales en regiones diferentes para describir dicho campo B :A±=±qMETRO(1+−porque⁡θ)rpecado⁡θϕ^{\displaystyle \mathbf {A} _{\pm }=\pm {\frac {q_{M}\!\left(1{\overset {-}{+}}\cos \theta \right)}{r\sin \theta }}\,{\hat {\boldsymbol {\phi }}}} para las regiones (+)θ<π−ϵ{\displaystyle \theta <\pi -\epsilon }y (-)θ>ϵ{\displaystyle \theta >\epsilon }La transformación de calibre−2qMETROϕ{\displaystyle -2q_{M}\phi }puede utilizarse para relacionar los dos potenciales, lo que lleva a la relación entre las funciones de onda:ψ(II)=exp(−2iqqMETROϕℏdo)ψ(I){\displaystyle \psi ^{(\mathrm {II} )}=\exp \!\left({\frac {-2iqq_{M}\phi }{\hbar c}}\right)\psi ^{(\mathrm {I} )}}. Por lo tanto, podemos concluir que cada función de onda debe ser unívoca, ya que el calibre requiere que la expansión del ket de estado sea única con respecto a la expansión de los eigenkets de posición. Por lo tanto,2qqMETROℏdo∈Z{\displaystyle {\frac {2qq_{M}}{\hbar c}}\in \mathbb {Z} }y la carga magnética está cuantizada. [ 37 ]

Efecto eléctrico

Así como la fase de la función de onda depende del potencial vectorial magnético, también depende del potencial eléctrico escalar. Al construir una situación en la que el potencial electrostático varía para dos trayectorias de una partícula, a través de regiones de campo eléctrico nulo, se ha predicho un fenómeno de interferencia de Aharonov-Bohm observable debido al desfase; nuevamente, la ausencia de un campo eléctrico implica que, clásicamente, no habría ningún efecto.

A partir de la ecuación de Schrödinger , la fase de una autofunción con energíami{\displaystyle E}va comomi−imit/ℏ{\displaystyle e^{-iEt/\hbar }}Sin embargo, la energía dependerá del potencial electrostático.V{\displaystyle V}para una partícula con cargaq{\displaystyle q}. En particular, para una región con potencial constanteV{\displaystyle V}(campo cero), la energía potencial eléctricaqV{\displaystyle qV}simplemente se agrega ami{\displaystyle E}, lo que resulta en un cambio de fase:

Δφ=−qVtℏ,{\displaystyle \Delta \varphi =-{\frac {qVt}{\hbar }},}

donde t es el tiempo empleado en el potencial.

Por ejemplo, podemos tener un par de conductores planos grandes, conectados a una batería de voltaje.ΔV{\displaystyle \Delta V}Entonces, podemos realizar un experimento de doble rendija con un solo electrón, con las dos rendijas a ambos lados del par de conductores. Si el electrón tarda tiempot{\displaystyle t}para que llegue a la pantalla, entonces deberíamos observar un cambio de fase.miΔVt/ℏ{\displaystyle e\Delta Vt/\hbar }Ajustando el voltaje de la batería, podemos desplazar horizontalmente el patrón de interferencia en la pantalla.

La propuesta teórica inicial para este efecto sugería un experimento en el que las cargas atraviesan cilindros conductores siguiendo dos trayectorias, las cuales protegen las partículas de los campos eléctricos externos en las regiones por donde transitan, pero permiten aplicar un potencial dependiente del tiempo mediante la carga de los cilindros. Sin embargo, esto resultó difícil de realizar. En su lugar, se propuso un experimento diferente que involucraba una geometría de anillo interrumpida por barreras de túnel, con una tensión de polarización constante V que relaciona los potenciales de las dos mitades del anillo. Esta situación produce un desfase de Aharonov-Bohm como el descrito anteriormente, y se observó experimentalmente en 1998, aunque en una configuración donde las cargas sí atraviesan el campo eléctrico generado por la tensión de polarización. El efecto Aharonov-Bohm eléctrico dependiente del tiempo original aún no ha encontrado verificación experimental. [ 38 ]

Efecto gravitatorio

El desplazamiento de fase de Aharonov-Bohm debido al potencial gravitatorio también debería poder observarse en teoría, y a principios de 2022 [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] se llevó a cabo un experimento para observarlo basado en un diseño experimental de 2012. [ 42 ] [ 43 ] En el experimento, átomos de rubidio ultrafríos en superposición se lanzaron verticalmente dentro de un tubo de vacío y se dividieron con un láser de manera que una parte ascendiera más que la otra y luego se recombinaran. Fuera de la cámara, en la parte superior, se encuentra una masa con simetría axial que modifica el potencial gravitatorio. Por lo tanto, la parte que asciende debería experimentar un cambio mayor, que se manifiesta como un patrón de interferencia cuando los paquetes de ondas se recombinan, resultando en un desplazamiento de fase medible. El equipo encontró evidencia de una coincidencia entre las mediciones y las predicciones. Se han propuesto múltiples otras pruebas. [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ]

efecto no abeliano

En 1975, Tai-Tsun Wu y Chen-Ning Yang formularon el efecto Aharonov-Bohm no abeliano, [ 48 ] y en 2019 se informó experimentalmente sobre él en un sistema con ondas de luz en lugar de la función de onda electrónica. El efecto se produjo de dos maneras diferentes. En una, la luz atravesó un cristal en un campo magnético intenso y, en otra, la luz se moduló mediante señales eléctricas variables en el tiempo. En ambos casos, el desfase se observó a través de un patrón de interferencia que también era diferente dependiendo de si se avanzaba o retrocedía en el tiempo. [ 49 ] [ 50 ]

nano anillos de Aharonov-Bohm

Los nanorings se crearon accidentalmente [ 51 ] mientras se intentaba fabricar puntos cuánticos . Poseen interesantes propiedades ópticas asociadas con excitones y el efecto Aharonov-Bohm. [ 51 ] La aplicación de estos anillos como capacitores o amortiguadores de luz incluye la computación fotónica y la tecnología de comunicaciones. El análisis y la medición de las fases geométricas en anillos mesoscópicos están en curso. [ 52 ] [ 53 ] [ 54 ] Incluso se sugiere que podrían usarse para fabricar una forma de vidrio lento . [ 55 ]

Varios experimentos, incluidos algunos reportados en 2012, [ 56 ] muestran oscilaciones de Aharonov-Bohm en la corriente de onda de densidad de carga (CDW) en función del flujo magnético, con un período dominante h /2 e a través de anillos CDW de hasta 85 μm de circunferencia por encima de 77 K. Este comportamiento es similar al de los dispositivos de interferencia cuántica superconductores (ver SQUID ).  

Interpretación matemática

El efecto Aharonov-Bohm se puede comprender a partir del hecho de que solo se pueden medir los valores absolutos de la función de onda. Si bien esto permite medir las diferencias de fase mediante experimentos de interferencia cuántica, no hay forma de especificar una función de onda con fase absoluta constante. En ausencia de un campo electromagnético, se puede obtener una aproximación declarando que la autofunción del operador de momento con momento cero es la función "1" (ignorando los problemas de normalización) y especificando funciones de onda relativas a esta autofunción "1". En esta representación, el operador de i-momento es (salvo un factorℏ/i{\displaystyle \hbar /i}) el operador diferencial∂i=∂∂incógnitai{\displaystyle \partial _{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}Sin embargo, por invariancia de gauge, es igualmente válido declarar que la autofunción de momento cero esmi−iϕ(incógnita){\displaystyle e^{-i\phi (x)}}a costa de representar el operador de i-momento (hasta un factor) como∇i=∂i+i(∂iϕ){\displaystyle \nabla _{i}=\partial _{i}+i(\partial _{i}\phi )}es decir, con un potencial vectorial de gauge puroA=dϕ{\displaystyle A=d\phi }No existe una asimetría real porque representar lo primero en términos de lo segundo es igual de complicado que representar lo segundo en términos de lo primero. Esto significa que es físicamente más natural describir las "funciones" de onda, en el lenguaje de la geometría diferencial , como secciones en un fibrado de líneas complejo con una métrica hermitiana y una conexión U(1).∇{\displaystyle \nabla }. La forma curva de la conexión,iF=∇∧∇{\displaystyle iF=\nabla \wedge \nabla }, es, salvo el factor i, el tensor de Faraday de la intensidad del campo electromagnético . El efecto Aharonov-Bohm es entonces una manifestación del hecho de que una conexión con curvatura cero (es decir, plana ) no tiene por qué ser trivial, puesto que puede tener monodromía a lo largo de una trayectoria topológicamente no trivial totalmente contenida en la región de curvatura cero (es decir, libre de campo). Por definición, esto significa que las secciones que se trasladan paralelamente a lo largo de una trayectoria topológicamente no trivial adquieren una fase, de modo que no se pueden definir secciones constantes covariantes sobre toda la región libre de campo.

Dada una trivialización del fibrado lineal, una sección no nula, la conexión U(1) viene dada por la forma 1 correspondiente al cuadripotencial electromagnético A como∇=d+iA{\displaystyle \nabla =d+iA\,}donde d significa derivación exterior en el espacio de Minkowski . La monodromía es la holonomía de la conexión plana. La holonomía de una conexión, plana o no plana, alrededor de un bucle cerrado.γ{\displaystyle \gamma }esmii∫γA{\displaystyle e^{i\int _{\gamma }A}}(Se puede demostrar que esto no depende de la trivialización, sino solo de la conexión). Para una conexión plana, se puede encontrar una transformación de gauge en cualquier región libre de campo simplemente conexa (que actúa sobre funciones de onda y conexiones) que anula el potencial vectorial. Sin embargo, si la monodromía no es trivial, no existe tal transformación de gauge para toda la región exterior. De hecho, como consecuencia del teorema de Stokes , la holonomía está determinada por el flujo magnético a través de una superficie.σ{\displaystyle \sigma }delimitando el bucleγ{\displaystyle \gamma }, pero dicha superficie solo puede existir siσ{\displaystyle \sigma }atraviesa una región de campo no trivial:

mii∫∂σA=mii∫σdA=mii∫σF{\displaystyle e^{i\int _{\partial \sigma }A}=e^{i\int _{\sigma }dA}=e^{i\int _{\sigma }F}}

La monodromía de la conexión plana solo depende del tipo topológico del bucle en la región libre de campo (de hecho, de la clase de homología de bucles ). Sin embargo, la descripción de la holonomía es general y funciona tanto dentro como fuera del superconductor. Fuera del tubo conductor que contiene el campo magnético, la intensidad del campoF=0{\displaystyle F=0}En otras palabras, fuera del tubo la conexión es plana, y la monodromía del bucle contenido en la región libre de campo depende únicamente del número de vueltas alrededor del tubo. La monodromía de la conexión para un bucle que da una vuelta completa (número de vuelta 1) es la diferencia de fase de una partícula que interfiere al propagarse a izquierda y derecha del tubo superconductor que contiene el campo magnético. Si se quiere ignorar la física dentro del superconductor y describir solo la física en la región exterior, resulta natural y matemáticamente conveniente describir el electrón cuántico mediante una sección en un fibrado de líneas complejo con una conexión plana "externa".∇{\displaystyle \nabla }con monodromía

α={\displaystyle \alpha =}flujo magnético a través del tubo /(ℏ/mi){\displaystyle (\hbar /e)}

en lugar de un campo electromagnético externoF{\displaystyle F}La ecuación de Schrödinger se generaliza fácilmente a esta situación utilizando el laplaciano de la conexión para el hamiltoniano (libre).

H=12metro∇∗∇{\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\nabla ^{*}\nabla }.

De forma equivalente, se puede trabajar en dos regiones simplemente conexas con cortes que van desde el tubo hacia la pantalla de detección o alejándose de ella. En cada una de estas regiones habría que resolver las ecuaciones de Schrödinger libres ordinarias, pero al pasar de una región a otra, en solo una de las dos componentes conexas de la intersección (efectivamente en solo una de las rendijas) se aplica un factor de monodromía.miiα{\displaystyle e^{i\alpha }}se detecta, lo que produce un cambio en el patrón de interferencia al modificar el flujo.

Se pueden encontrar efectos con una interpretación matemática similar en otros campos. Por ejemplo, en la física estadística clásica, la cuantización del movimiento de un motor molecular en un entorno estocástico puede interpretarse como un efecto Aharonov-Bohm inducido por un campo de gauge que actúa en el espacio de parámetros de control. [ 57 ]

Véase también

Referencias

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Lecturas adicionales

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  • Página de la Sociedad David Bohm sobre el efecto Aharonov-Bohm.
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