dinámica de vuelo de aeronaves

La dinámica de vuelo de las aeronaves es la ciencia de la orientación y el control de los vehículos aéreos en tres dimensiones. Los tres parámetros críticos de la dinámica de vuelo son los ángulos de rotación en tres dimensiones alrededor del centro de gravedad (CG) de la aeronave , conocidos como cabeceo , alabeo y guiñada ; estos se conocen colectivamente como actitud de la aeronave , generalmente en relación con el sistema de referencia atmosférico en vuelo normal, pero también en relación con el terreno durante el despegue o el aterrizaje, o cuando se opera a baja altitud. El concepto de actitud no es exclusivo de las aeronaves de ala fija, sino que también se extiende a las aeronaves de ala rotatoria , como helicópteros y dirigibles , donde la dinámica de vuelo involucrada en el establecimiento y control de la actitud es completamente diferente.

Los sistemas de control ajustan la orientación de un vehículo respecto a su centro de gravedad (CG). Un sistema de control incluye superficies de control que, al deformarse, generan un momento (o par de torsión, como el de los alerones) alrededor del CG, lo que provoca la rotación de la aeronave en cabeceo, alabeo y guiñada. Por ejemplo, un momento de cabeceo se produce por una fuerza aplicada a cierta distancia delante o detrás del CG, lo que hace que la aeronave incline el morro hacia arriba o hacia abajo.

Un avión de ala fija aumenta o disminuye la sustentación generada por las alas al inclinar el morro hacia arriba o hacia abajo, aumentando o disminuyendo el ángulo de ataque (AOA). El ángulo de alabeo también se conoce como ángulo de inclinación en un avión de ala fija, que generalmente se inclina para cambiar la dirección horizontal del vuelo. Un avión tiene un diseño aerodinámico desde la nariz hasta la cola para reducir la resistencia , por lo que resulta ventajoso mantener el ángulo de deslizamiento lateral cerca de cero, aunque un avión puede deslizarse lateralmente deliberadamente para aumentar la resistencia y la velocidad de descenso durante el aterrizaje, para mantener la dirección del avión igual a la de la pista durante aterrizajes con viento cruzado y durante el vuelo con potencia asimétrica. ^{[ 1 ]}

El alabeo, el cabeceo y la guiñada se refieren a las rotaciones alrededor de los ejes respectivos, partiendo de un estado de equilibrio de vuelo estacionario definido . El ángulo de alabeo de equilibrio se conoce como nivelación de las alas o ángulo de inclinación cero.

La convención aeronáutica más común define el alabeo como aquel que actúa sobre el eje longitudinal, siendo positivo con el ala de estribor (derecha) hacia abajo. La guiñada actúa sobre el eje vertical del fuselaje, siendo positiva con la nariz hacia estribor. El cabeceo actúa sobre un eje perpendicular al plano longitudinal de simetría, siendo positivo con la nariz hacia arriba. ^{[ 2 ]}

guiñada

paso

rollo

Definición del ángulo de guiñada o rumbo ^{[ 3 ]}

Definición del ángulo de cabeceo ^{[ 3 ]}

Definición del ángulo de balanceo ^{[ 3 ]}

En la dinámica de vuelo se utilizan con frecuencia tres sistemas de coordenadas cartesianas dextrógiras . El primer sistema de coordenadas tiene su origen fijo en el sistema de referencia de la Tierra:

• Marco de la Tierra
  • Origen: arbitrario, fijo en relación con la superficie de la Tierra.
  • Eje x _E – positivo en dirección norte
  • Eje y _E – positivo en dirección este
  • Eje _{z E} : positivo hacia el centro de la Tierra.

En muchas aplicaciones de dinámica de vuelo, se supone que el sistema de referencia terrestre es inercial con un plano x _E , y _E plano, aunque también se puede considerar un sistema de coordenadas esféricas con origen en el centro de la Tierra.

Los otros dos sistemas de referencia están fijos al cuerpo de la aeronave, con orígenes que se mueven junto con ella, generalmente en el centro de gravedad. Para una aeronave simétrica de derecha a izquierda, los sistemas de referencia se pueden definir como:

• Estructura del cuerpo
  • Origen: centro de gravedad del avión
  • Eje x _b – positivo hacia la nariz de la aeronave en el plano de simetría de la aeronave
  • Eje z _b – perpendicular al eje x _b , en el plano de simetría de la aeronave, positivo debajo de la aeronave
  • Eje y _b – perpendicular al plano x _b , z _b , positivo determinado por la regla de la mano derecha (generalmente, positivo hacia la derecha)
• Estructura del viento
  • Origen: centro de gravedad del avión
  • Eje x _w : positivo en la dirección del vector de velocidad de la aeronave con respecto al aire.
  • Eje z _w – perpendicular al eje x _{w , en el plano de simetría de la aeronave, positivo debajo de la aeronave}
  • Eje y _w – perpendicular al plano x _w , z _w , positivo determinado por la regla de la mano derecha (generalmente, positivo hacia la derecha)

Las aeronaves asimétricas tienen estructuras análogas fijas al fuselaje, pero deben utilizarse convenciones diferentes para elegir las direcciones precisas de los ejes x y z .

El sistema de referencia terrestre es un marco conveniente para expresar la cinemática de traslación y rotación de las aeronaves. Además, bajo ciertas suposiciones, puede aproximarse como inercial. Adicionalmente, una fuerza que actúa sobre la aeronave, el peso, se mantiene fija en la dirección + z _E.

El sistema de coordenadas del cuerpo suele ser de interés porque el origen y los ejes permanecen fijos con respecto a la aeronave. Esto significa que la orientación relativa de los sistemas de coordenadas de la Tierra y del cuerpo describe la actitud de la aeronave. Además, la dirección de la fuerza de empuje generalmente está fija en el sistema de coordenadas del cuerpo, aunque algunas aeronaves pueden variar esta dirección, por ejemplo, mediante la vectorización del empuje .

El sistema de referencia del viento es un marco conveniente para expresar las fuerzas y momentos aerodinámicos que actúan sobre una aeronave. En particular, la fuerza aerodinámica neta se puede dividir en componentes a lo largo de los ejes del sistema de referencia del viento, con la fuerza de arrastre en la dirección − x _w y la fuerza de sustentación en la dirección − z _{w .}

Además de definir los sistemas de referencia, se puede determinar la orientación relativa de los mismos. Esta orientación relativa puede expresarse de diversas formas, entre las que se incluyen:

• Matrices de rotación
• cosenos directores
• ángulos de Euler
• Cuaterniones

Los distintos ángulos de Euler que relacionan los tres sistemas de referencia son importantes para la dinámica de vuelo. Existen muchas convenciones de ángulos de Euler, pero todas las secuencias de rotación que se presentan a continuación utilizan la convención zy'-x" . Esta convención corresponde a un tipo de ángulos de Tait-Bryan , comúnmente conocidos como ángulos de Euler. Esta convención se describe en detalle más adelante para los ángulos de Euler de balanceo, cabeceo y guiñada que describen la orientación del sistema de referencia del cuerpo con respecto al sistema de referencia terrestre. Los demás conjuntos de ángulos de Euler se describen más adelante por analogía.

• Primero, gire los ejes del marco terrestre x _{E e} y E alrededor del eje z _E por el _ángulo de guiñada ψ . Esto da como resultado un marco de referencia intermedio con ejes denotados x ' ,y ' ,z ' , donde z'=z _E .
• Second, rotate the x' and z' axes around the y' axis by the pitch angle θ. This results in another intermediate reference frame with axes denoted x",y",z", where y"=y'.
• Finally, rotate the y" and z" axes around the x" axis by the roll angle φ. The reference frame that results after the three rotations is the body frame.

Based on the rotations and axes conventions above:

• Yaw angle ψ: angle between north and the projection of the aircraft longitudinal axis onto the horizontal plane;
• Pitch angle θ: angle between the aircraft longitudinal axis and horizontal;
• Roll angle φ: rotation around the aircraft longitudinal axis after rotating by yaw and pitch.

• Heading angle σ: angle between north and the horizontal component of the velocity vector, which describes which direction the aircraft is moving relative to cardinal directions.
• Flight path angle γ: is the angle between horizontal and the velocity vector, which describes whether the aircraft is climbing or descending.
• Bank angleμ: represents a rotation of the lift force around the velocity vector, which may indicate whether the airplane is turning.

When performing the rotations described above to obtain the body frame from the Earth frame, there is this analogy between angles:

• σ, ψ (heading vs yaw)
• γ, θ (Flight path vs pitch)
• μ, φ (Bank vs Roll)

• Sideslip angleβ: angle between the velocity vector and the projection of the aircraft longitudinal axis onto the x_w,y_w-plane, which describes whether there is a lateral component to the aircraft velocity

• Angle of attackα: angle between the x_w,y_w-plane and the aircraft longitudinal axis and, among other things, is an important variable in determining the magnitude of the force of lift

When performing the rotations described earlier to obtain the body frame from the Earth frame, there is this analogy between angles:

• β, ψ (sideslip vs yaw)
• α, θ (attack vs pitch)
• (φ = 0) (nothing vs roll)

Entre los tres marcos de referencia existen, por lo tanto, las siguientes analogías:

• Guiñada / Rumbo / Deslizamiento lateral (eje Z, vertical)
• Cabeceo / Trayectoria de vuelo / Ángulo de ataque (eje Y, ala)
• Balanceo / Inclinación / nada (eje X, morro)

Al analizar la estabilidad de una aeronave, es habitual considerar perturbaciones respecto a un estado de vuelo estacionario nominal . Por lo tanto, el análisis se aplicaría, por ejemplo, suponiendo:

Vuelo recto y nivelado

Girar a velocidad constante

Aproximación y aterrizaje

Despegar

La velocidad, la altitud y el ángulo de ataque compensado son diferentes para cada condición de vuelo; además, la aeronave estará configurada de manera diferente, por ejemplo, a baja velocidad los flaps pueden estar desplegados y el tren de aterrizaje puede estar extendido.

Excepto en el caso de diseños asimétricos (o diseños simétricos con un deslizamiento lateral significativo), las ecuaciones de movimiento longitudinales (que involucran fuerzas de cabeceo y sustentación) pueden tratarse independientemente del movimiento lateral (que involucra balanceo y guiñada).

A continuación se analizan las perturbaciones que se producen alrededor de una trayectoria de vuelo nominalmente recta y nivelada.

Para mantener el análisis (relativamente) simple, se supone que las superficies de control permanecen fijas durante todo el movimiento; esto se conoce como estabilidad con varillas fijas. El análisis sin varillas requiere la complejidad adicional de considerar el movimiento de las superficies de control.

Además, se supone que el vuelo tiene lugar en aire en calma y que la aeronave se trata como un cuerpo rígido .

Sobre una aeronave en vuelo actúan tres fuerzas: el peso , el empuje y la fuerza aerodinámica .

La expresión para calcular la fuerza aerodinámica es:

${\displaystyle \mathbf {F} _{A}=\int _{\Sigma }(-\Delta p\mathbf {n} +\mathbf {f} )\,d\sigma }$

dónde:

${\displaystyle \Delta p\equiv }$Diferencia entre presión estática y presión de corriente libre

${\displaystyle \mathbf {n} \equiv }$vector normal exterior del elemento de área

${\displaystyle \mathbf {f} \equiv }$vector de tensión tangencial ejercido por el aire sobre el cuerpo

${\displaystyle \Sigma \equiv }$superficie de referencia adecuada

Proyectados sobre los ejes de viento obtenemos:

${\displaystyle \mathbf {F} _{A}=-(\mathbf {i} _{w}D+\mathbf {j} _{w}Q+\mathbf {k} _{w}L)}$

dónde:

${\displaystyle D\equiv }$Arrastrar

${\displaystyle Q\equiv }$Fuerza lateral

${\displaystyle L\equiv }$Elevar

• Presión dinámica de la corriente libre${\displaystyle \equiv q={\tfrac {1}{2}}\,\rho \,V^{2}}$

Superficie de referencia adecuada ( superficie del ala , en el caso de aviones )${\displaystyle \equiv S}$

• Coeficiente de presión${\displaystyle \equiv C_{p}={\dfrac {p-p_{\infty }}{q}}}$

• Coeficiente de fricción${\displaystyle \equiv C_{f}={\dfrac {f}{q}}}$

• coeficiente de arrastre${\displaystyle \equiv C_{d}={\dfrac {D}{qS}}=-{\dfrac {1}{S}}\int _{\Sigma }[(-C_{p})\mathbf {n} \cdot \mathbf {i_{w}} +C_{f}\mathbf {t} \cdot \mathbf {i_{w}} ]\,d\sigma }$

• Coeficiente de fuerza lateral${\displaystyle \equiv C_{Q}={\dfrac {Q}{qS}}=-{\dfrac {1}{S}}\int _{\Sigma }[(-C_{p})\mathbf {n} \cdot \mathbf {j_{w}} +C_{f}\mathbf {t} \cdot \mathbf {j_{w}} ]\,d\sigma }$

• coeficiente de sustentación${\displaystyle \equiv C_{L}={\dfrac {L}{qS}}=-{\dfrac {1}{S}}\int _{\Sigma }[(-C_{p})\mathbf {n} \cdot \mathbf {k_{w}} +C_{f}\mathbf {t} \cdot \mathbf {k_{w}} ]\,d\sigma }$

Es necesario conocer C _p y C _f en cada punto de la superficie considerada.

En ausencia de efectos térmicos, existen tres números adimensionales notables:

• Compresibilidad del flujo:

Número de Mach${\displaystyle \equiv M={\dfrac {V}{a}}}$

• Viscosidad del flujo:

Número de Reynolds${\displaystyle \equiv Re={\dfrac {\rho Vl}{\mu }}}$

• Rarefacción del flujo:

Número de Knudsen${\displaystyle \equiv Kn={\dfrac {\lambda }{l}}}$

dónde:

${\displaystyle a={\sqrt {kR\theta }}\equiv }$velocidad del sonido

${\displaystyle k\equiv }$relación de calores específicos

${\displaystyle R\equiv }$constante de los gases por unidad de masa

${\displaystyle \theta \equiv }$temperatura absoluta

${\displaystyle \lambda ={\dfrac {\mu }{\rho }}{\sqrt {\dfrac {\pi }{2R\theta }}}={\dfrac {M}{Re}}{\sqrt {\dfrac {k\pi }{2}}}\equiv }$camino libre medio

Según λ, existen tres posibles grados de rarefacción y sus movimientos correspondientes se denominan:

• Corriente continua (rarefacción insignificante):${\displaystyle {\dfrac {M}{Re}}\ll 1}$
• Corriente de transición (rarefacción moderada):${\displaystyle {\dfrac {M}{Re}}\approx 1}$
• Corriente molecular libre (alta rarefacción):${\displaystyle {\dfrac {M}{Re}}\gg 1}$

En dinámica de vuelo, el movimiento de un cuerpo a través de un flujo se considera como una corriente continua. En la capa exterior del espacio que rodea al cuerpo, la viscosidad será despreciable. Sin embargo, los efectos de la viscosidad deberán tenerse en cuenta al analizar el flujo en las proximidades de la capa límite .

Dependiendo de la compresibilidad del flujo, se pueden considerar diferentes tipos de corrientes:

• Corriente subsónica incompresible :${\displaystyle 0<M<0.3}$
• Corriente subsónica compresible :${\displaystyle 0.3<M<0.8}$
• Corriente transónica :${\displaystyle 0.8<M<1.2}$
• Corriente supersónica :${\displaystyle 1.2<M<5}$
• Corriente hipersónica :${\displaystyle 5<M}$

Si la geometría del cuerpo es fija y en caso de vuelo simétrico (β=0 y Q=0), los coeficientes de presión y fricción son funciones que dependen de:

${\displaystyle C_{p}=C_{p}(\alpha ,M,Re,P)}$

${\displaystyle C_{f}=C_{f}(\alpha ,M,Re,P)}$

dónde:

${\displaystyle \alpha \equiv }$ángulo de ataque

${\displaystyle P\equiv }$punto considerado de la superficie

En estas condiciones, los coeficientes de resistencia y sustentación dependen exclusivamente del ángulo de ataque del cuerpo y de los números de Mach y Reynolds . La eficiencia aerodinámica, definida como la relación entre los coeficientes de sustentación y resistencia, también dependerá de estos parámetros.

${\displaystyle {\begin{cases}C_{D}=C_{D}(\alpha ,M,Re)\\C_{L}=C_{L}(\alpha ,M,Re)\\E=E(\alpha ,M,Re)={\dfrac {C_{L}}{C_{D}}}\\\end{cases}}}$

También es posible obtener la dependencia del coeficiente de arrastre con respecto al coeficiente de sustentación . Esta relación se conoce como la ecuación del coeficiente de arrastre:

${\displaystyle C_{D}=C_{D}(C_{L},M,Re)\equiv }$ecuación del coeficiente de arrastre

La eficiencia aerodinámica tiene un valor máximo, E _max , con respecto a C _L donde la línea tangente desde el origen de coordenadas toca la gráfica de la ecuación del coeficiente de arrastre.

El coeficiente de arrastre, C _D , se puede descomponer de dos maneras. La primera descomposición típica separa los efectos de presión y fricción:

${\displaystyle C_{D}=C_{Df}+C_{Dp}{\begin{cases}C_{Df}={\dfrac {D}{qS}}=-{\dfrac {1}{S}}\int _{\Sigma }C_{f}\mathbf {t} \bullet \mathbf {i_{w}} \,d\sigma \\C_{Dp}={\dfrac {D}{qS}}=-{\dfrac {1}{S}}\int _{\Sigma }(-C_{p})\mathbf {n} \bullet \mathbf {i_{w}} \,d\sigma \end{cases}}}$

Existe una segunda descomposición típica que considera la definición de la ecuación del coeficiente de arrastre. Esta descomposición separa el efecto del coeficiente de sustentación en la ecuación, obteniendo dos términos: C _D0 y C _Di. C _D0 se conoce como coeficiente de arrastre parásito y es el coeficiente de arrastre base a sustentación cero. C _Di se conoce como coeficiente de arrastre inducido y es producido por la sustentación del cuerpo.

${\displaystyle C_{D}=C_{D0}+C_{Di}{\begin{cases}C_{D0}=(C_{D})_{C_{L}=0}\\C_{Di}\end{cases}}}$

Una buena aproximación para el coeficiente de arrastre inducido consiste en suponer una dependencia parabólica de la sustentación.

${\displaystyle C_{Di}=kC_{L}^{2}\Rightarrow C_{D}=C_{D0}+kC_{L}^{2}}$

La eficiencia aerodinámica se calcula ahora de la siguiente manera:

${\displaystyle E={\dfrac {C_{L}}{C_{D0}+kC_{L}^{2}}}\Rightarrow {\begin{cases}E_{max}={\dfrac {1}{2{\sqrt {kC_{D0}}}}}\\(C_{L})_{Emax}={\sqrt {\dfrac {C_{D0}}{k}}}\\(C_{Di})_{Emax}=C_{D0}\end{cases}}}$

Si la configuración del plano es simétrica con respecto al plano XY, el coeficiente de arrastre mínimo es igual al arrastre parásito del plano.

${\displaystyle C_{Dmin}=(C_{D})_{CL=0}=C_{D0}}$

Sin embargo, si la configuración es asimétrica con respecto al plano XY, la resistencia mínima difiere de la resistencia parásita. En estos casos, se puede obtener una nueva ecuación de resistencia parabólica aproximada, donde el valor mínimo de resistencia se sitúa en un valor de sustentación nulo.

${\displaystyle C_{Dmin}=C_{DM}\neq (C_{D})_{CL=0}}$

${\displaystyle C_{D}=C_{DM}+k(C_{L}-C_{LM})^{2}}$

El coeficiente de presión varía con el número de Mach según la relación que se muestra a continuación: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle C_{p}={\frac {C_{p0}}{\sqrt {|1-{M_{\infty }}^{2}|}}}}$

dónde

• C _p es el coeficiente de presión compresible
• C _p0 es el coeficiente de presión incompresible
• M _∞ es el número de Mach del flujo libre.

Esta relación es razonablemente precisa para 0,3 < M < 0,7 y cuando M = 1 se convierte en ∞, lo cual es una situación físicamente imposible y se denomina singularidad de Prandtl-Glauert .

Véase Fuerza aerodinámica .

La estabilidad es la capacidad de la aeronave para contrarrestar las perturbaciones en su trayectoria de vuelo.

Según David P. Davies , existen seis tipos de estabilidad de aeronaves: estabilidad de velocidad, estabilidad longitudinal estática sin palanca de mando, estabilidad lateral estática, estabilidad direccional, estabilidad oscilatoria y estabilidad espiral. ^{[ 5 ] : 164}

En vuelo de crucero, una aeronave suele tener una velocidad estable. Si la velocidad aumenta, la resistencia aerodinámica también aumenta, lo que la reduce hasta alcanzar el equilibrio con su configuración y empuje. Si la velocidad disminuye, la resistencia aerodinámica disminuye y la aeronave acelera hasta alcanzar su velocidad de equilibrio, donde el empuje es igual a la resistencia.

Sin embargo, en vuelo lento, debido a la resistencia inducida por la sustentación , a medida que disminuye la velocidad, la resistencia aumenta (y viceversa). Esto se conoce como la "parte posterior de la curva de resistencia ". La aeronave será inestable en velocidad, ya que una disminución de la velocidad provocará una disminución aún mayor.

La estabilidad longitudinal se refiere a la estabilidad de una aeronave en cabeceo. En una aeronave estable, si cabecea hacia arriba, las alas y la cola generan un momento de cabeceo hacia abajo que tiende a devolverla a su posición original. En una aeronave inestable, una perturbación en el cabeceo provocará un aumento del momento de cabeceo. La estabilidad estática longitudinal es la capacidad de una aeronave para recuperarse de una perturbación inicial. La estabilidad dinámica longitudinal se refiere a la amortiguación de estos momentos estabilizadores, lo que evita oscilaciones persistentes o crecientes en el cabeceo.

La estabilidad direccional o de veleta se refiere a la estabilidad estática del avión respecto al eje z. Al igual que en la estabilidad longitudinal, es deseable que la aeronave tienda a regresar a una condición de equilibrio cuando se somete a algún tipo de perturbación de guiñada. Para ello, la pendiente de la curva del momento de guiñada debe ser positiva. Un avión que posee este modo de estabilidad siempre apuntará hacia el viento relativo , de ahí el nombre de estabilidad de veleta.

Es práctica común derivar una ecuación característica de cuarto orden para describir el movimiento longitudinal y, posteriormente, factorizarla aproximadamente en un modo de alta frecuencia y otro de baja frecuencia. El enfoque adoptado aquí consiste en utilizar el conocimiento cualitativo del comportamiento de las aeronaves para simplificar las ecuaciones desde el principio, llegando al resultado por una vía más accesible.

Los dos movimientos longitudinales (modos) se denominan oscilación de cabeceo de período corto (SPPO) y fugoide .

Un breve impulso (en la terminología de los sistemas de control ) en el cabeceo (generalmente mediante el elevador en una aeronave de ala fija de configuración estándar) suele provocar sobreimpulsos respecto a la condición de equilibrio. La transición se caracteriza por un movimiento armónico simple amortiguado alrededor del nuevo equilibrio. La trayectoria apenas varía durante el tiempo que tarda la oscilación en amortiguarse.

Generalmente, esta oscilación es de alta frecuencia (y por lo tanto, de período corto) y se amortigua en un lapso de pocos segundos. Un ejemplo práctico sería que un piloto seleccione una nueva actitud de ascenso, por ejemplo, 5° de inclinación hacia arriba con respecto a la actitud original. Se puede aplicar un tirón corto y brusco a la columna de control, lo que generalmente provocará oscilaciones alrededor de la nueva condición de compensación. Si las oscilaciones no se amortiguan adecuadamente, la aeronave tardará mucho tiempo en estabilizarse en la nueva condición, lo que podría provocar una oscilación inducida por el piloto . Si el modo de período corto es inestable, generalmente será imposible para el piloto controlar la aeronave de forma segura durante cualquier período de tiempo.

Este movimiento armónico amortiguado se denomina oscilación de cabeceo de período corto ; surge de la tendencia de una aeronave estable a apuntar en la dirección general del vuelo. Es muy similar al modo de veleta de las configuraciones de misiles o cohetes. El movimiento involucra principalmente la actitud de cabeceo (theta) y la incidencia (alpha). La dirección del vector velocidad, con respecto a los ejes inerciales, es . El vector velocidad es: ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \theta -\alpha }$

${\displaystyle u_{f}=U\cos(\theta -\alpha )}$

${\displaystyle w_{f}=U\sin(\theta -\alpha )}$

donde , son las componentes de la velocidad en los ejes de inercia. Según la segunda ley de Newton , las aceleraciones son proporcionales a las fuerzas , por lo que las fuerzas en los ejes de inercia son: ${\displaystyle u_{f}}$${\displaystyle w_{f}}$

${\displaystyle X_{f}=m{\frac {du_{f}}{dt}}=m{\frac {dU}{dt}}\cos(\theta -\alpha )-mU{\frac {d(\theta -\alpha )}{dt}}\sin(\theta -\alpha )}$

${\displaystyle Z_{f}=m{\frac {dw_{f}}{dt}}=m{\frac {dU}{dt}}\sin(\theta -\alpha )+mU{\frac {d(\theta -\alpha )}{dt}}\cos(\theta -\alpha )}$

donde m es la masa . Por la naturaleza del movimiento, la variación de velocidad es despreciable durante el período de la oscilación, por lo que: ${\displaystyle m{\frac {dU}{dt}}}$

${\displaystyle X_{f}=-mU{\frac {d(\theta -\alpha )}{dt}}\sin(\theta -\alpha )}$

${\displaystyle Z_{f}=mU{\frac {d(\theta -\alpha )}{dt}}\cos(\theta -\alpha )}$

Pero las fuerzas se generan por la distribución de presión sobre el cuerpo y se refieren al vector velocidad. Sin embargo, el sistema de ejes de velocidad (viento) no es un sistema de referencia inercial , por lo que debemos descomponer las fuerzas de los ejes fijos en ejes de viento. Además, solo nos interesa la fuerza a lo largo del eje z.

${\displaystyle Z=-Z_{f}\cos(\theta -\alpha )+X_{f}\sin(\theta -\alpha )}$

O:

${\displaystyle Z=-mU{\frac {d(\theta -\alpha )}{dt}}}$

En otras palabras, la fuerza del eje del viento es igual a la aceleración centrípeta .

La ecuación del momento es la derivada temporal del momento angular :

${\displaystyle M=B{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}}$

donde M es el momento de cabeceo y B es el momento de inercia respecto al eje de cabeceo. Sea: , la velocidad de cabeceo. Por lo tanto, las ecuaciones de movimiento, con todas las fuerzas y momentos referidos a los ejes del viento, son: ${\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}=q}$

${\displaystyle {\frac {d\alpha }{dt}}=q+{\frac {Z}{mU}}}$

${\displaystyle {\frac {dq}{dt}}={\frac {M}{B}}}$

Nos interesan únicamente las perturbaciones en fuerzas y momentos, debidas a perturbaciones en los estados y q, y sus derivadas temporales. Estas se caracterizan por derivadas de estabilidad determinadas a partir de la condición de vuelo. Las posibles derivadas de estabilidad son: ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle Z_{\alpha }}$La sustentación debida a la incidencia es negativa porque el eje z apunta hacia abajo, mientras que una incidencia positiva provoca una fuerza hacia arriba.

${\displaystyle Z_{q}}$La sustentación debida a la velocidad de cabeceo surge del aumento en la incidencia de la cola, por lo tanto también es negativa, pero pequeña en comparación con .${\displaystyle Z_{\alpha }}$

${\displaystyle M_{\alpha }}$Momento de cabeceo debido a la incidencia: el término de estabilidad estática. La estabilidad estática requiere que este valor sea negativo.

${\displaystyle M_{q}}$ Momento de cabeceo debido a la velocidad de cabeceo: el término de amortiguación de cabeceo, que siempre es negativo.

Dado que la cola opera en el campo de flujo del ala, los cambios en la incidencia del ala provocan cambios en la corriente descendente, pero hay un retraso para que el cambio en el campo de flujo del ala afecte a la sustentación de la cola, esto se representa como un momento proporcional a la tasa de cambio de la incidencia:

${\displaystyle M_{\dot {\alpha }}}$

El efecto de reflujo descendente retardado proporciona mayor sustentación a la cola y produce un momento de inclinación hacia abajo de la nariz, por lo que se espera que sea negativo. ${\displaystyle M_{\dot {\alpha }}}$

Las ecuaciones de movimiento, con pequeñas fuerzas y momentos de perturbación, se convierten en:

${\displaystyle {\frac {d\alpha }{dt}}=\left(1+{\frac {Z_{q}}{mU}}\right)q+{\frac {Z_{\alpha }}{mU}}\alpha }$

${\displaystyle {\frac {dq}{dt}}={\frac {M_{q}}{B}}q+{\frac {M_{\alpha }}{B}}\alpha +{\frac {M_{\dot {\alpha }}}{B}}{\dot {\alpha }}}$

Estas pueden ser manipuladas para producir una ecuación diferencial lineal de segundo orden en : ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}-\left({\frac {Z_{\alpha }}{mU}}+{\frac {M_{q}}{B}}+(1+{\frac {Z_{q}}{mU}}){\frac {M_{\dot {\alpha }}}{B}}\right){\frac {d\alpha }{dt}}+\left({\frac {Z_{\alpha }}{mU}}{\frac {M_{q}}{B}}-{\frac {M_{\alpha }}{B}}(1+{\frac {Z_{q}}{mU}})\right)\alpha =0}$

Esto representa un movimiento armónico simple amortiguado.

Debemos esperar que sea pequeño en comparación con la unidad, por lo que el coeficiente de (el término de "rigidez") será positivo, siempre que . Esta expresión está dominada por , que define la estabilidad estática longitudinal de la aeronave; debe ser negativo para la estabilidad. El término de amortiguación se reduce por el efecto de la corriente descendente, y es difícil diseñar una aeronave con una respuesta natural rápida y una amortiguación elevada. Por lo general, la respuesta es subamortiguada pero estable. ${\displaystyle {\frac {Z_{q}}{mU}}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle M_{\alpha }<{\frac {Z_{\alpha }}{mU}}M_{q}}$${\displaystyle M_{\alpha }}$

Si la palanca de mando se mantiene fija, la aeronave no mantendrá un vuelo recto y nivelado (salvo en el improbable caso de que esté perfectamente compensada para vuelo nivelado a su altitud y empuje actuales), sino que comenzará a descender, nivelarse y volver a ascender. Repetirá este ciclo hasta que el piloto intervenga. Esta oscilación de largo período en velocidad y altura se denomina modo fugoide . Esto se analiza asumiendo que el SSPO realiza su función correctamente y mantiene el ángulo de ataque cerca de su valor nominal. Los dos estados que se ven principalmente afectados son el ángulo de trayectoria de vuelo (gamma) y la velocidad. Las ecuaciones de movimiento de pequeña perturbación son: ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle mU{\frac {d\gamma }{dt}}=-Z}$

lo que significa que la fuerza centrípeta es igual a la perturbación en la fuerza de sustentación.

Para la velocidad, resolviendo a lo largo de la trayectoria:

${\displaystyle m{\frac {du}{dt}}=X-mg\gamma }$

donde g es la aceleración debida a la gravedad en la superficie terrestre . La aceleración a lo largo de la trayectoria es igual a la fuerza neta en el sentido x menos la componente del peso. No debemos esperar que las derivadas aerodinámicas significativas dependan del ángulo de la trayectoria de vuelo, por lo que solo y deben considerarse. es el incremento de resistencia con el aumento de velocidad, es negativo, al igual que es el incremento de sustentación debido al incremento de velocidad, también es negativo porque la sustentación actúa en sentido opuesto al eje z. ${\displaystyle X_{u}}$${\displaystyle Z_{u}}$${\displaystyle X_{u}}$${\displaystyle Z_{u}}$

Las ecuaciones de movimiento se convierten en:

${\displaystyle mU{\frac {d\gamma }{dt}}=-Z_{u}u}$

${\displaystyle m{\frac {du}{dt}}=X_{u}u-mg\gamma }$

Estas pueden expresarse como una ecuación de segundo orden en función del ángulo de trayectoria de vuelo o la perturbación de la velocidad:

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}-{\frac {X_{u}}{m}}{\frac {du}{dt}}-{\frac {Z_{u}g}{mU}}u=0}$

Ahora, la fuerza de elevación es casi igual al peso:

${\displaystyle Z={\frac {1}{2}}\rho U^{2}c_{L}S_{w}=W}$

donde es la densidad del aire, es el área del ala, W el peso y es el coeficiente de sustentación (que se supone constante porque el ángulo de incidencia es constante), tenemos, aproximadamente: ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle S_{w}}$${\displaystyle c_{L}}$

${\displaystyle Z_{u}={\frac {2W}{U}}={\frac {2mg}{U}}}$

El período del fugoide, T, se obtiene a partir del coeficiente de u:

${\displaystyle {\frac {2\pi }{T}}={\sqrt {\frac {2g^{2}}{U^{2}}}}}$

O:

${\displaystyle T={\frac {2\pi U}{{\sqrt {2}}g}}}$

Dado que la sustentación es mucho mayor que la resistencia, el fugoide presenta, en el mejor de los casos, una amortiguación ligera. Una hélice de velocidad constante sería beneficiosa. Una amortiguación elevada de la rotación de paso o una gran inercia rotacional aumentan el acoplamiento entre los modos de período corto y fugoide, modificando así el fugoide.

En un cohete o misil simétrico, la estabilidad direccional en guiñada es igual a la estabilidad en cabeceo; se asemeja a la oscilación de cabeceo de corto período, con equivalentes en el plano de guiñada a las derivadas de la estabilidad en el plano de cabeceo. Por esta razón, la estabilidad direccional en cabeceo y guiñada se conoce colectivamente como la estabilidad de "veleta" del misil.

Las aeronaves carecen de simetría entre cabeceo y guiñada, por lo que la estabilidad direccional en guiñada se deriva de un conjunto diferente de derivadas de estabilidad. El plano de guiñada equivalente a la oscilación de cabeceo de corto período, que describe la estabilidad direccional en dicho plano, se denomina balanceo holandés. A diferencia de los movimientos en el plano de cabeceo, los modos laterales involucran tanto el balanceo como la guiñada.

Es habitual derivar las ecuaciones de movimiento mediante manipulación formal, lo que, para el ingeniero, equivale a un truco matemático. El enfoque actual sigue el análisis del plano de cabeceo al formular las ecuaciones en términos de conceptos razonablemente familiares.

Al aplicar un impulso mediante los pedales del timón, debería producirse un balanceo holandés , que consiste en la oscilación entre el balanceo y la guiñada, con el movimiento de balanceo retrasado con respecto a la guiñada en un cuarto de ciclo, de modo que las puntas de las alas sigan trayectorias elípticas con respecto a la aeronave.

La ecuación de traslación en el plano de guiñada, al igual que en el plano de cabeceo, iguala la aceleración centrípeta a la fuerza lateral.

${\displaystyle {\frac {d\beta }{dt}}={\frac {Y}{mU}}-r}$

donde (beta) es el ángulo de deslizamiento lateral , Y la fuerza lateral y r la velocidad de guiñada. ${\displaystyle \beta }$

Las ecuaciones de momento son un poco más complicadas. La condición de equilibrio se da con la aeronave en un ángulo de ataque con respecto al flujo de aire. El eje x del cuerpo no se alinea con el vector de velocidad, que es la dirección de referencia para los ejes del viento. En otras palabras, los ejes del viento no son ejes principales (la masa no se distribuye simétricamente alrededor de los ejes de guiñada y alabeo). Consideremos el movimiento de un elemento de masa en la posición -z, x en la dirección del eje y, es decir, hacia el plano del papel.

Si la velocidad de balanceo es p, la velocidad de la partícula es:

${\displaystyle v=-pz+xr}$

La fuerza sobre esta partícula, compuesta por dos términos, es proporcional a la tasa de cambio de v, y el segundo se debe al cambio de dirección de esta componente de la velocidad a medida que el cuerpo se mueve. Estos últimos términos dan lugar a productos cruzados de pequeñas cantidades (pq, pr, qr), que posteriormente se descartan. En este análisis, se descartan desde el principio para mayor claridad. En efecto, asumimos que la dirección de la velocidad de la partícula, debida a las tasas simultáneas de balanceo y guiñada, no cambia significativamente a lo largo del movimiento. Con esta simplificación, la aceleración de la partícula se convierte en:

${\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=-{\frac {dp}{dt}}z+{\frac {dr}{dt}}x}$

El momento de guiñada viene dado por:

${\displaystyle \delta mx{\frac {dv}{dt}}=-{\frac {dp}{dt}}xz\delta m+{\frac {dr}{dt}}x^{2}\delta m}$

Existe un momento de guiñada adicional debido al desplazamiento de la partícula en la dirección y:${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}y^{2}\delta m}$

El momento de guiñada se obtiene sumando sobre todas las partículas del cuerpo:

${\displaystyle N=-{\frac {dp}{dt}}\int xzdm+{\frac {dr}{dt}}\int x^{2}+y^{2}dm=-E{\frac {dp}{dt}}+C{\frac {dr}{dt}}}$

donde N es el momento de guiñada, E es un producto de inercia y C es el momento de inercia respecto al eje de guiñada . Un razonamiento similar produce la ecuación de balanceo:

${\displaystyle L=A{\frac {dp}{dt}}-E{\frac {dr}{dt}}}$

donde L es el momento de balanceo y A el momento de inercia de balanceo.

Los estados son (deslizamiento lateral), r (velocidad de guiñada) y p (velocidad de alabeo), con momentos N (guiñada) y L (alabeo), y fuerza Y (lateral). Hay nueve derivadas de estabilidad relevantes para este movimiento; a continuación se explica su origen. Sin embargo, se puede obtener una mejor comprensión intuitiva simplemente jugando con un avión a escala y considerando cómo las fuerzas en cada componente se ven afectadas por los cambios en el deslizamiento lateral y la velocidad angular . ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle Y_{\beta }}$Fuerza lateral debida al deslizamiento lateral (en ausencia de guiñada).

El deslizamiento lateral genera una fuerza lateral desde la aleta y el fuselaje. Además, si el ala tiene diedro, el deslizamiento lateral con un ángulo de alabeo positivo aumenta la incidencia en el ala de estribor y la reduce en la de babor, lo que resulta en una componente de fuerza neta directamente opuesta a la dirección del deslizamiento lateral. El arco hacia atrás de las alas tiene el mismo efecto sobre la incidencia, pero como las alas no están inclinadas en el plano vertical, el arco hacia atrás por sí solo no afecta . Sin embargo, el anhedral puede usarse con ángulos de arco hacia atrás elevados en aeronaves de alto rendimiento para compensar los efectos de incidencia del ala del deslizamiento lateral. Curiosamente, esto no invierte el signo de la contribución de la configuración del ala a (en comparación con el caso del diedro). ${\displaystyle Y_{\beta }}$${\displaystyle Y_{\beta }}$

${\displaystyle Y_{p}}$Fuerza lateral debida a la velocidad de balanceo.

La velocidad de alabeo provoca incidencia en la aleta, lo que genera una fuerza lateral correspondiente. Asimismo, el alabeo positivo (ala de estribor hacia abajo) aumenta la sustentación en dicha ala y la reduce en la de babor. Si el ala tiene diedro, esto generará una fuerza lateral que se opondrá momentáneamente a la tendencia de deslizamiento lateral resultante. Las configuraciones de ala o estabilizador con diedro negativo pueden provocar que el signo de la fuerza lateral se invierta si el efecto de la aleta se ve contrarrestado.

${\displaystyle Y_{r}}$Fuerza lateral debida a la velocidad de guiñada.

El movimiento de guiñada genera fuerzas laterales debido a la incidencia en el timón, la aleta y el fuselaje.

${\displaystyle N_{\beta }}$Momento de guiñada debido a fuerzas de deslizamiento lateral.

En ausencia de acción del timón, el deslizamiento lateral provoca incidencia en el fuselaje y el empenaje , generando un momento de guiñada contrarrestado únicamente por la rigidez direccional, que tendería a apuntar la nariz de la aeronave hacia el viento en condiciones de vuelo horizontal. En condiciones de deslizamiento lateral, a un ángulo de alabeo determinado, la nariz tenderá a apuntar en la dirección del deslizamiento lateral incluso sin acción del timón, provocando un vuelo en espiral descendente. ${\displaystyle N_{\beta }}$

${\displaystyle N_{p}}$Momento de guiñada debido a la velocidad de balanceo.

La velocidad de alabeo genera sustentación en la aleta, lo que provoca un momento de guiñada y también altera diferencialmente la sustentación en las alas, afectando así la contribución de la resistencia inducida de cada ala, lo que genera una pequeña contribución al momento de guiñada. El alabeo positivo generalmente produce valores positivos a menos que el empenaje sea diedro o la aleta esté por debajo del eje de alabeo. Los componentes de fuerza lateral resultantes de las diferencias de sustentación de las alas diedras o anhedrales tienen poco efecto porque el eje del ala normalmente está muy alineado con el centro de gravedad. ${\displaystyle N_{p}}$${\displaystyle N_{p}}$

${\displaystyle N_{r}}$Momento de guiñada debido a la velocidad de guiñada.

La entrada de velocidad de guiñada en cualquier ángulo de alabeo genera vectores de fuerza en el timón, la aleta y el fuselaje que dominan el momento de guiñada resultante. La guiñada también aumenta la velocidad del ala exterior mientras reduce la del ala interior, con los correspondientes cambios en la resistencia que provocan un (pequeño) momento de guiñada opuesto. Este momento se opone a la rigidez direccional inherente que tiende a apuntar la nariz de la aeronave hacia el viento y siempre coincide con el signo de la entrada de velocidad de guiñada. ${\displaystyle N_{r}}$

${\displaystyle L_{\beta }}$Momento de balanceo debido al deslizamiento lateral.

Un ángulo de deslizamiento lateral positivo genera incidencia en el empenaje, lo que puede provocar un momento de alabeo positivo o negativo según su configuración. Para cualquier ángulo de deslizamiento lateral distinto de cero, las alas diedras generan un momento de alabeo que tiende a devolver la aeronave a la horizontal, al igual que las alas en flecha invertida. Con alas en flecha pronunciada, el momento de alabeo resultante puede ser excesivo para todos los requisitos de estabilidad, y el anhedral podría utilizarse para compensar el efecto del momento de alabeo inducido por la flecha del ala.

${\displaystyle L_{r}}$Momento de balanceo debido a la velocidad de guiñada.

El giro incrementa la velocidad del ala exterior a la vez que reduce la del interior, generando un momento de balanceo hacia el lado interior. La contribución de la aleta normalmente compensa este efecto de balanceo hacia adentro, a menos que se vea contrarrestado por un estabilizador diedro por encima del eje de balanceo (o un estabilizador de ángulo de ataque por debajo del eje de balanceo).

${\displaystyle L_{p}}$Momento de balanceo debido a la velocidad de balanceo.

El alabeo genera fuerzas de rotación opuestas en las alas de babor y estribor, además de generarlas también en el empenaje. Estos momentos de alabeo opuestos deben ser contrarrestados por los alerones para mantener la velocidad de alabeo. Si el alabeo se detiene con un ángulo de alabeo distinto de cero, el momento de alabeo ascendente inducido por el deslizamiento lateral resultante debería devolver la aeronave a la horizontal, a menos que sea superado por el momento de alabeo descendente resultante de la guiñada inducida por el deslizamiento lateral. La estabilidad longitudinal podría garantizarse o mejorarse minimizando este último efecto. ${\displaystyle L_{\beta }}$${\displaystyle L_{r}}$

Dado que el balanceo holandés es un modo de manejo, análogo a la oscilación de cabeceo de corto período, cualquier efecto que pueda tener sobre la trayectoria puede ignorarse. La velocidad del cuerpo r se compone de la tasa de cambio del ángulo de deslizamiento lateral y la velocidad de giro. Tomando esta última como cero, suponiendo que no tiene efecto sobre la trayectoria, para el propósito limitado de estudiar el balanceo holandés:

${\displaystyle {\frac {d\beta }{dt}}=-r}$

Las ecuaciones de guiñada y balanceo, con las derivadas de estabilidad, se convierten en:

${\displaystyle C{\frac {dr}{dt}}-E{\frac {dp}{dt}}=N_{\beta }\beta -N_{r}{\frac {d\beta }{dt}}+N_{p}p}$(guiñada)

${\displaystyle A{\frac {dp}{dt}}-E{\frac {dr}{dt}}=L_{\beta }\beta -L_{r}{\frac {d\beta }{dt}}+L_{p}p}$(rollo)

El momento de inercia debido a la aceleración de balanceo se considera pequeño en comparación con los términos aerodinámicos, por lo que las ecuaciones se convierten en:

${\displaystyle -C{\frac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}=N_{\beta }\beta -N_{r}{\frac {d\beta }{dt}}+N_{p}p}$

${\displaystyle E{\frac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}=L_{\beta }\beta -L_{r}{\frac {d\beta }{dt}}+L_{p}p}$

Esto se convierte en una ecuación de segundo orden que rige la velocidad de balanceo o el deslizamiento lateral:

${\displaystyle \left({\frac {N_{p}}{C}}{\frac {E}{A}}-{\frac {L_{p}}{A}}\right){\frac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}+\left({\frac {L_{p}}{A}}{\frac {N_{r}}{C}}-{\frac {N_{p}}{C}}{\frac {L_{r}}{A}}\right){\frac {d\beta }{dt}}-\left({\frac {L_{p}}{A}}{\frac {N_{\beta }}{C}}-{\frac {L_{\beta }}{A}}{\frac {N_{p}}{C}}\right)\beta =0}$

La ecuación para la velocidad de balanceo es idéntica. Pero el ángulo de balanceo (phi) viene dado por: ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}=p}$

Si p es un movimiento armónico simple amortiguado, también lo es , pero el balanceo debe estar en cuadratura con la velocidad de balanceo y, por lo tanto, también con el deslizamiento lateral. El movimiento consiste en oscilaciones de balanceo y guiñada, con el movimiento de balanceo retrasado 90 grados con respecto a la guiñada. Las puntas de las alas describen trayectorias elípticas. ${\displaystyle \phi }$

La estabilidad requiere que los términos de " rigidez " y "amortiguación" sean positivos. Estos son:

${\displaystyle {\frac {{\frac {L_{p}}{A}}{\frac {N_{r}}{C}}-{\frac {N_{p}}{C}}{\frac {L_{r}}{A}}}{{\frac {N_{p}}{C}}{\frac {E}{A}}-{\frac {L_{p}}{A}}}}}$(mojadura)

${\displaystyle {\frac {{\frac {L_{\beta }}{A}}{\frac {N_{p}}{C}}-{\frac {L_{p}}{A}}{\frac {N_{\beta }}{C}}}{{\frac {N_{p}}{C}}{\frac {E}{A}}-{\frac {L_{p}}{A}}}}}$ (rigidez)

El denominador está dominado por la derivada de amortiguación de balanceo, que siempre es negativa, por lo que los denominadores de estas dos expresiones serán positivos. ${\displaystyle L_{p}}$

Considerando el término "rigidez": será positivo porque siempre es negativo y es positivo por diseño. suele ser negativo, mientras que es positivo. Un diedro excesivo puede desestabilizar el balanceo holandés, por lo que las configuraciones con alas muy inclinadas requieren anhedral para compensar la contribución de la inclinación del ala a . ${\displaystyle -L_{p}N_{\beta }}$${\displaystyle L_{p}}$${\displaystyle N_{\beta }}$${\displaystyle L_{\beta }}$${\displaystyle N_{p}}$${\displaystyle L_{\beta }}$

El término de amortiguación está dominado por el producto de las derivadas de la amortiguación de balanceo y la amortiguación de guiñada; ambas son negativas, por lo que su producto es positivo. Por lo tanto, el balanceo holandés debe estar amortiguado.

El movimiento se acompaña de un ligero desplazamiento lateral del centro de gravedad, y un análisis más "exacto" introducirá términos como etc. En vista de la precisión con la que se pueden calcular las derivadas de estabilidad, esto es una pedantería innecesaria que oscurece la relación entre la geometría de la aeronave y su manejo, que es el objetivo fundamental de este artículo. ${\displaystyle Y_{\beta }}$

Al mover bruscamente la palanca hacia un lado y volver a colocarla en el centro, se produce un cambio neto en la orientación de balanceo.

El movimiento de balanceo se caracteriza por la ausencia de estabilidad natural; no existen derivadas de estabilidad que generen momentos en respuesta al ángulo de balanceo inercial. Una perturbación de balanceo induce una velocidad de balanceo que solo se cancela mediante la intervención del piloto o del piloto automático . Esto ocurre con cambios insignificantes en la velocidad de deslizamiento lateral o de guiñada, por lo que la ecuación de movimiento se reduce a:

${\displaystyle A{\frac {dp}{dt}}=L_{p}p.}$

${\displaystyle L_{p}}$es negativo, por lo que la velocidad de balanceo disminuirá con el tiempo. La velocidad de balanceo se reduce a cero, pero no hay control directo sobre el ángulo de balanceo.

Si se mantiene la palanca de mando inmóvil, al comenzar con las alas casi niveladas, la aeronave generalmente tenderá a desviarse gradualmente hacia un lado de la trayectoria de vuelo recta. Este es el modo espiral (ligeramente inestable) .

Al estudiar la trayectoria, lo que interesa es la dirección del vector velocidad, más que la del cuerpo. La dirección del vector velocidad proyectada sobre el plano horizontal se denomina trayectoria, denotada por ( mu ). La orientación del cuerpo se denomina rumbo, denotada por (psi). La ecuación de fuerza del movimiento incluye un componente de peso: ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle {\frac {d\mu }{dt}}={\frac {Y}{mU}}+{\frac {g}{U}}\phi }$

donde g es la aceleración gravitatoria y U es la velocidad.

Incluyendo los derivados de estabilidad:

${\displaystyle {\frac {d\mu }{dt}}={\frac {Y_{\beta }}{mU}}\beta +{\frac {Y_{r}}{mU}}r+{\frac {Y_{p}}{mU}}p+{\frac {g}{U}}\phi }$

Se espera que las velocidades de balanceo y guiñada sean pequeñas, por lo que se ignorarán las contribuciones de y .${\displaystyle Y_{r}}$${\displaystyle Y_{p}}$

El deslizamiento lateral y la velocidad de balanceo varían gradualmente, por lo que se ignoran sus derivadas temporales. Las ecuaciones de guiñada y balanceo se reducen a:

${\displaystyle N_{\beta }\beta +N_{r}{\frac {d\mu }{dt}}+N_{p}p=0}$ (guiñada)

${\displaystyle L_{\beta }\beta +L_{r}{\frac {d\mu }{dt}}+L_{p}p=0}$(rollo)

Resolviendo para y p : ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \beta ={\frac {(L_{r}N_{p}-L_{p}N_{r})}{(L_{p}N_{\beta }-N_{p}L_{\beta })}}{\frac {d\mu }{dt}}}$

${\displaystyle p={\frac {(L_{\beta }N_{r}-L_{r}N_{\beta })}{(L_{p}N_{\beta }-N_{p}L_{\beta })}}{\frac {d\mu }{dt}}}$

Sustituyendo el deslizamiento lateral y la velocidad de balanceo en la ecuación de fuerza se obtiene una ecuación de primer orden en el ángulo de balanceo:

${\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}=mg{\frac {(L_{\beta }N_{r}-N_{\beta }L_{r})}{mU(L_{p}N_{\beta }-N_{p}L_{\beta })-Y_{\beta }(L_{r}N_{p}-L_{p}N_{r})}}\phi }$

Se trata de un crecimiento o decrecimiento exponencial , dependiendo de si el coeficiente es positivo o negativo. El denominador suele ser negativo, lo que requiere que ambos productos sean positivos. Esto entra en conflicto directo con el requisito de estabilidad de balanceo holandés, y resulta difícil diseñar una aeronave en la que tanto el balanceo holandés como el modo espiral sean inherentemente estables. ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle L_{\beta }N_{r}>N_{\beta }L_{r}}$

Dado que el modo espiral tiene una constante de tiempo prolongada, el piloto puede intervenir para estabilizarlo eficazmente, pero un avión con un balanceo holandés inestable sería difícil de volar. Lo habitual es diseñar el avión con un modo de balanceo holandés estable, pero con un modo espiral ligeramente inestable.

• NK Sinha y N Ananthkrishnan (2013), Dinámica elemental de vuelo con una introducción a los métodos de bifurcación y continuación , CRC Press, Taylor & Francis.
• Babister, AW (1980). Estabilidad y respuesta dinámica de las aeronaves (1.ª ed.). Oxford: Pergamon Press. ISBN 978-0080247687.
• Stengel, Robert F. (2022). Dinámica de vuelo (2.ª ed.). Princeton University Press. ISBN 978-0-691-23704-6

• MIXR – plataforma de simulación de realidad mixta
• JSBsim, una biblioteca de software de código abierto, independiente de la plataforma, para dinámica y control de vuelo en C++.