Alexandra Bellow

Algunos de sus primeros trabajos se centraron en las propiedades y consecuencias de la elevación . La teoría de la elevación, que comenzó con los trabajos pioneros de John von Neumann y posteriormente de Dorothy Maharam , se consolidó en las décadas de 1960 y 1970 con la obra de los Ionescu Tulceas y proporcionó el tratamiento definitivo para la teoría de la representación de operadores lineales que surgen en probabilidad, el proceso de desintegración de medidas. Su monografía Ergebnisse de 1969 ^{[ a ]} se convirtió en una referencia estándar en este campo.

Al aplicar una elevación a un proceso estocástico , los Ionescu Tulceas obtuvieron un proceso «separable»; esto proporciona una demostración rápida del teorema de Joseph Leo Doob sobre la existencia de una modificación separable de un proceso estocástico (también una forma «canónica» de obtener la modificación separable). ^{[ b ]} Además, al aplicar una elevación a una función «débilmente» medible con valores en un conjunto débilmente compacto de un espacio de Banach , se obtiene una función fuertemente medible; esto proporciona una demostración en una línea del teorema clásico de Phillips (también una forma «canónica» de obtener la versión fuertemente medible). ^{[ c ] [ d ]}

Decimos que un conjunto H de funciones medibles satisface la "propiedad de separación" si cualesquiera dos funciones distintas en H pertenecen a clases de equivalencia distintas. El rango de una elevación es siempre un conjunto de funciones medibles con la "propiedad de separación". El siguiente "criterio de metrización" da una idea de por qué las funciones en el rango de una elevación se comportan mucho mejor. Sea H un conjunto de funciones medibles con las siguientes propiedades: (I) H es compacto (para la topología de convergencia puntual ); (II) H es convexo ; (III) H satisface la "propiedad de separación". Entonces H es metrizable . ^{[ d ] [ e ]} La demostración de la existencia de una elevación que conmuta con las traslaciones izquierdas de un grupo localmente compacto arbitrario , por los Ionescu Tulceas, es altamente no trivial; utiliza la aproximación por grupos de Lie y argumentos de tipo martingala adaptados a la estructura del grupo. ^{[ f ]}

A principios de la década de 1960, trabajó con C. Ionescu Tulcea en martingalas que toman valores en un espacio de Banach. ^{[ g ]} En cierto sentido, este trabajo impulsó el estudio de las martingalas con valores vectoriales, con la primera demostración de la convergencia "fuerte" casi en todas partes para martingalas que toman valores en un espacio de Banach con (lo que más tarde se conocería como) la propiedad de Radon-Nikodym ; esto, por cierto, abrió las puertas a una nueva área de análisis, la "geometría de los espacios de Banach". Estas ideas fueron posteriormente extendidas por Bellow a la teoría de los "amarts uniformes", ^{[ h ]} (en el contexto de los espacios de Banach, los amarts uniformes son la generalización natural de las martingalas, las cuasi-martingalas y poseen notables propiedades de estabilidad, como el muestreo opcional), ahora un capítulo importante en la teoría de la probabilidad.

En 1960, Donald Samuel Ornstein construyó un ejemplo de una transformación no singular en el espacio de Lebesgue del intervalo unitario, que no admite una${\displaystyle \sigma }$–medida invariante finita equivalente a la medida de Lebesgue, resolviendo así un problema de larga data en la teoría ergódica. Unos años más tarde, Rafael V. Chacón dio un ejemplo de una isometría positiva (lineal) de${\displaystyle L_{1}}$para lo cual falla el teorema ergódico individual${\displaystyle L_{1}}$Su trabajo ^{[ i ]} unifica y extiende estos dos resultados notables. Muestra, mediante métodos de la categoría de Baire , que los ejemplos aparentemente aislados de transformaciones no singulares descubiertos primero por Ornstein y luego por Chacón, eran en realidad el caso típico.

A principios de la década de 1980, Bellow comenzó una serie de artículos que propiciaron un resurgimiento de esa área de la teoría ergódica que trata sobre teoremas límite y la delicada cuestión de la convergencia puntual ae . Esto se logró explotando la interacción con la probabilidad y el análisis armónico, en el contexto moderno (el teorema del límite central , los principios de transferencia, las funciones cuadradas y otras técnicas de integral singular son ahora parte del arsenal diario de las personas que trabajan en esta área de la teoría ergódica) y atrayendo a una serie de matemáticos talentosos que eran muy activos en esta área. Uno de los dos problemas que planteó en la reunión de Oberwolfach sobre "Teoría de la medida" en 1981, ^{[ j ]} fue la cuestión de la validez, para${\displaystyle f}$en${\displaystyle L_{1}}$del teorema ergódico puntual a lo largo de la 'secuencia de cuadrados' y a lo largo de la 'secuencia de primos' (Una cuestión similar fue planteada independientemente, un año después, por Hillel Furstenberg ). Este problema fue resuelto varios años después por Jean Bourgain , para${\displaystyle f}$en${\displaystyle L_{p}}$,${\displaystyle p>1}$en el caso de los "cuadrados", y para${\displaystyle p>(1+{\sqrt {3}})/2}$en el caso de los "primos" (el argumento se extendió hasta${\displaystyle p>1}$por Máté Wierdl; el caso de${\displaystyle L_{1}}$Sin embargo, ha permanecido abierta). Bourgain recibió la Medalla Fields en 1994, en parte por su trabajo en teoría ergódica.

Fue Ulrich Krengel quien dio por primera vez, en 1971, una ingeniosa construcción de una sucesión creciente de enteros positivos a lo largo de la cual el teorema ergódico puntual falla en${\displaystyle L_{1}}$para cada transformación ergódica. La existencia de tal "mala secuencia universal" fue una sorpresa. Bellow demostró ^{[ k ]} que toda secuencia lacunar de enteros es de hecho una "mala secuencia universal" en ${\displaystyle L_{1}}$Así, las secuencias lacunares son ejemplos 'canónicos' de "malas secuencias universales". Más tarde, pudo demostrar ^{[ l ]} que, desde el punto de vista del teorema ergódico puntual, una secuencia de enteros positivos puede ser "buena universal" en${\displaystyle L_{p}}$, pero "malo universal" en${\displaystyle L_{q}}$, para todos${\displaystyle 1\leq q<p}$Esto fue bastante sorprendente y respondió a una pregunta planteada por Roger Jones .

Un lugar en esta área de investigación lo ocupa la "propiedad de barrido fuerte" (que puede exhibir una secuencia de operadores lineales). Esto describe la situación en la que casi en todas partes la convergencia se rompe incluso en${\displaystyle L_{\infty }}$y de la peor manera posible. Ejemplos de esto aparecen en varios de sus artículos. La "propiedad de barrido fuerte" juega un papel importante en esta área de investigación. Bellow y sus colaboradores realizaron un estudio extenso y sistemático de esta noción, dando varios criterios y numerosos ejemplos de la propiedad de barrido fuerte. ^{[ m ]} Trabajando con Krengel, pudo ^{[ n ]} dar una respuesta negativa a una antigua conjetura de Eberhard Hopf . Más tarde, Bellow y Krengel ^{[ o ]} trabajando con Calderón pudieron demostrar que, de hecho, los operadores de Hopf tienen la propiedad de "barrido fuerte".

En el estudio de flujos aperiódicos, el muestreo en tiempos casi periódicos, como por ejemplo,${\displaystyle t_{n}=n+\varepsilon (n)}$, dónde${\displaystyle \varepsilon }$es positivo y tiende a cero, no conduce a la convergencia ae; de ​​hecho, se produce un fuerte barrido. ^{[ p ]} Esto muestra la posibilidad de errores graves al utilizar el teorema ergódico para el estudio de sistemas físicos. Tales resultados pueden ser de valor práctico para estadísticos y otros científicos. En el estudio de sistemas ergódicos discretos, que pueden observarse solo en ciertos bloques de tiempo, se tiene la siguiente dicotomía de comportamiento de los promedios correspondientes: o los promedios convergen ae para todas las funciones en${\displaystyle L_{1}}$, o se cumple la fuerte propiedad de barrido. Esto depende de las propiedades geométricas de los bloques. ^{[ q ]}

Varios matemáticos (entre ellos Bourgain) trabajaron en problemas planteados por Bellow y respondieron a esas preguntas en sus artículos. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}