Álgebra exterior

El espacio vectorial euclidiano bidimensional${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$es un espacio vectorial real equipado con una base que consta de un par de vectores unitarios ortogonales.$${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {e} _{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}.}$$

Supongamos que $${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}=a\,\mathbf {e} _{1}+b\,\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {w} ={\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}}=c\,\mathbf {e} _{1}+d\,\mathbf {e} _{2}}$$ son un par de vectores dados en${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$⁠ , escrito en componentes. Hay un paralelogramo único que tiene${\displaystyle \mathbf {v} }$y${\displaystyle \mathbf {w} }$como dos de sus lados. El área de este paralelogramo viene dada por la fórmula estándar del determinante : $${\displaystyle {\text{Área}}=\left|\det {\begin{bmatrix}\mathbf {v} &\mathbf {w} \end{bmatrix}}\right|=\left|\det {\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}\right|=\left|ad-bc\right|.}$$

Consideremos ahora el producto exterior de${\displaystyle \mathbf {v} }$y​${\displaystyle \mathbf {w} }$:​ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} \wedge \mathbf {w} &=(a\,\mathbf {e} _{1}+b\,\mathbf {e} _{2})\wedge (c\,\mathbf {e} _{1}+d\,\mathbf {e} _{2})\\&=ac\,\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{1}+ad\,\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}+bc\,\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{1}+bd\,\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{2}\\&=ad\,\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}+bc\,\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{1}\\&=\left(ad-bc\right)\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2},\end{aligned}}}$$ donde el primer paso utiliza la ley distributiva para el producto exterior . El segundo utiliza el hecho de que el producto exterior es una aplicación alternada , es decir, ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{2}=0.}$ Ser alternante también implica ser anticonmutativo ,${\displaystyle \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{1}=-(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2})}$lo que da como resultado la última línea. Nótese que el coeficiente en esta última expresión es precisamente el determinante de la matriz [ v w ] . El hecho de que pueda ser positivo o negativo implica intuitivamente que v y w pueden estar orientados en sentido antihorario o horario, como los vértices del paralelogramo que definen. Dicha área se denomina área con signo del paralelogramo: el valor absoluto del área con signo es el área ordinaria, y el signo determina su orientación.

El hecho de que este coeficiente sea el área con signo no es casual. De hecho, es relativamente fácil ver que el producto exterior debe estar relacionado con el área con signo si se intenta axiomatizar esta área como una construcción algebraica. En detalle, si A( v , w ) denota el área con signo del paralelogramo cuyos dos lados adyacentes están formados por el par de vectores v y w , entonces A debe satisfacer las siguientes propiedades:

1. A( r v , s w ) = rs A( v , w ) para cualesquiera números reales r y s , ya que al cambiar la escala de cualquiera de los lados se cambia la escala del área en la misma cantidad (y al invertir la dirección de uno de los lados se invierte la orientación del paralelogramo).
2. A( v , v ) = 0 , ya que el área del paralelogramo degenerado determinado por v (es decir, un segmento de línea ) es cero.
3. A( w , v ) = −A( v , w ) , ya que intercambiar los roles de v y w invierte la orientación del paralelogramo.
4. A( v + r w , w ) = A( v , w ) para cualquier número real r , ya que agregar un múltiplo de w a v no afecta ni la base ni la altura del paralelogramo y, en consecuencia, conserva su área.
5. A( e ₁ , e ₂ ) = 1 , ya que el área del cuadrado unitario es uno.

Con excepción de la última propiedad, el producto exterior de dos vectores satisface las mismas propiedades que el área. En cierto sentido, el producto exterior generaliza la propiedad final al permitir comparar el área de un paralelogramo con la de cualquier paralelogramo elegido en un plano paralelo (en este caso, el de lados e ₁ y e ₂ ). En otras palabras, el producto exterior proporciona una formulación del área independiente de la base. ^{[ 5 ]}

Para vectores en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$El álgebra exterior está estrechamente relacionada con el producto vectorial y el producto triple . Utilizando la base estándar${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\}}$, el producto exterior de un par de vectores $${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}+u_{3}\mathbf {e} _{3}}$$ y $${\displaystyle \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+v_{3}\mathbf {e} _{3}}$$ es $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \,&=(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2})\\&+(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3})(\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1})\\&+(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}$$ dónde${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\}}$es la base natural del espacio tridimensional${\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\!2}(\mathbb {R} ^{3})}$. Los coeficientes anteriores son los mismos que los de la definición habitual del producto vectorial de vectores en tres dimensiones, con la única diferencia de que el producto exterior no es un vector ordinario, sino un bivector .

Introduciendo un tercer vector $${\displaystyle \mathbf {w} =w_{1}\mathbf {e} _{1}+w_{2}\mathbf {e} _{2}+w_{3}\mathbf {e} _{3},}$$ El producto exterior de tres vectores es $${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} =(u_{1}v_{2}w_{3}+u_{2}v_{3}w_{1}+u_{3}v_{1}w_{2}-u_{1}v_{3}w_{2}-u_{2}v_{1}w_{3}-u_{3}v_{2}w_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})}$$ dónde${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}}$es el vector base para el espacio unidimensional${\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\!3}(\mathbb {R} ^{3})}$El coeficiente escalar es el producto triple de los tres vectores.

El producto vectorial y el producto triple en tres dimensiones admiten interpretaciones tanto geométricas como algebraicas. El producto vectorial${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} }$puede interpretarse como un vector que es perpendicular a ambos${\displaystyle \mathbf {u} }$y${\displaystyle \mathbf {v} }$y cuya magnitud es igual al área del paralelogramo determinado por los dos vectores. También puede interpretarse como el vector formado por los menores de la matriz con columnas${\displaystyle \mathbf {u} }$y${\displaystyle \mathbf {v} }$. El triple producto de${\displaystyle \mathbf {u} }$,${\displaystyle \mathbf {v} }$, y${\displaystyle \mathbf {w} }$Geométricamente, es un volumen (con signo). Algebraicamente, es el determinante de la matriz con columnas${\displaystyle \mathbf {u} }$,${\displaystyle \mathbf {v} }$, y${\displaystyle \mathbf {w} }$El producto exterior en tres dimensiones permite interpretaciones similares. De hecho, en presencia de una base ortonormal con orientación positiva , el producto exterior generaliza estas nociones a dimensiones superiores.

El producto exterior se construye alternando elementos de${\displaystyle V}$⁠ , lo que significa que${\displaystyle x\wedge x=0}$a pesar de${\displaystyle x\in V,}$por la construcción anterior. De ello se deduce que el producto también es anticonmutativo en elementos de ⁠${\displaystyle V}$, suponiendo que${\displaystyle x,y\in V}$⁠ ,

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=(x+y)\wedge (x+y)\\[2mu]&=x\wedge x+x\wedge y+y\wedge x+y\wedge y\\[2mu]&=x\wedge y+y\wedge x\end{aligned}}}$

por eso

${\displaystyle x\wedge y=-(y\wedge x).}$

En términos más generales, si${\displaystyle \sigma }$es una permutación de los números enteros${\displaystyle [1,\dots ,k]}$y​​${\displaystyle x_{1}}$,​​${\displaystyle x_{2}}$, ... ,${\displaystyle x_{k}}$son elementos de${\displaystyle V}$⁠ , se deduce que

${\displaystyle x_{\sigma (1)}\wedge x_{\sigma (2)}\wedge \cdots \wedge x_{\sigma (k)}=\operatorname {sgn}(\sigma )x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k},}$

dónde${\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )}$es la signatura de la permutación${\displaystyle \sigma }$⁠ . ^{[ 7 ]}

En particular, si${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$para algunos${\displaystyle i\neq j}$⁠ , entonces también se cumple la siguiente generalización de la propiedad alternante:

${\displaystyle x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k}=0.}$

Junto con la propiedad distributiva del producto exterior, una generalización adicional es que una condición necesaria y suficiente para${\displaystyle \{x_{1},x_{2},\dots ,x_{k}\}}$ser un conjunto de vectores linealmente dependientes es que

${\displaystyle x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k}=0.}$

La k - ésima potencia exterior de${\displaystyle V}$⁠ , denotado ⁠${\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\!k}(V)}$⁠ , es el subespacio vectorial de ⁠${\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)}$abarcado por elementos de la forma

${\displaystyle x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k},\quad x_{i}\in V,i=1,2,\dots ,k.}$

Si​${\displaystyle \textstyle \alpha \in \bigwedge ^{\!k}(V)}$, entonces${\displaystyle \alpha }$Se dice que es un k -vector . Si, además,${\displaystyle \alpha }$puede expresarse como un producto exterior de${\displaystyle k}$elementos de${\displaystyle V}$, entonces${\displaystyle \alpha }$Se dice que es descomponible (o  simple , según algunos autores; o una  hoja , según otros). Aunque descomponible${\displaystyle k}$-vectores abarcan​${\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\!k}(V)}$⁠ , no todos los elementos de${\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\!k}(V)}$es descomponible. Por ejemplo, dado ⁠${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$con una base${\displaystyle \{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}\}}$⁠ , el siguiente vector de 2 dimensiones no es descomponible:

${\displaystyle \alpha =e_{1}\wedge e_{2}+e_{3}\wedge e_{4}.}$

El producto exterior de un vector k con un vector p es un${\displaystyle (k+p)}$-vector, invocando nuevamente la bilinealidad. Como consecuencia, la descomposición de suma directa de la sección anterior

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)={\textstyle \bigwedge ^{\!0}}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge ^{\!1}}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge ^{\!2}}(V)\oplus \cdots \oplus {\textstyle \bigwedge ^{\!n}}(V)}$

le da al álgebra exterior la estructura adicional de un álgebra graduada , es decir

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge ^{\!k}}(V)\wedge {\textstyle \bigwedge ^{\!p}}(V)\subset {\textstyle \bigwedge ^{\!k+p}}(V).}$

Además, si K es el campo base, tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}{\textstyle \bigwedge ^{\!0}}(V)&=K,\\[2mu]{\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)&=V.\end{aligned}}}$

El producto exterior se clasifica como anticonmutativo, lo que significa que si${\displaystyle \textstyle \alpha \in \bigwedge ^{\!k}(V)}$y​${\displaystyle \textstyle \beta \in \bigwedge ^{\!p}(V)}$, entonces

${\displaystyle \alpha \wedge \beta =(-1)^{kp}\beta \wedge \alpha .}$

Además de estudiar la estructura graduada en el álgebra exterior, Bourbaki (1989) estudia estructuras graduadas adicionales en álgebras exteriores, como las del álgebra exterior de un módulo graduado (un módulo que ya lleva su propia gradación).

Dejar${\displaystyle V}$sea ​​un espacio vectorial sobre el campo${\displaystyle K}$. De manera informal, la multiplicación en${\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)}$se realiza manipulando símbolos e imponiendo una ley distributiva , una ley asociativa y utilizando la identidad${\displaystyle v\wedge v=0}$para${\displaystyle v\in V}$Formalmente,${\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)}$es el álgebra "más general" en la que estas reglas se cumplen para la multiplicación, en el sentido de que cualquier asociativo unitario${\displaystyle K}$-álgebra que contiene${\displaystyle V}$con multiplicación alternada en${\displaystyle V}$debe contener una imagen homomórfica de${\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)}$. En otras palabras, el álgebra exterior tiene la siguiente propiedad universal : ^{[ 8 ]}

Para construir el álgebra más general que contiene${\displaystyle V}$y cuya multiplicación es alterna en${\displaystyle V}$, es natural comenzar con el álgebra asociativa más general que contiene${\displaystyle V}$, el álgebra tensorial${\displaystyle T(V)}$y luego imponemos la propiedad alternada tomando un cociente adecuado. Así tomamos el ideal bilateral.${\displaystyle I}$en${\displaystyle T(V)}$generado por todos los elementos del formulario${\displaystyle v\otimes v}$para${\displaystyle v}$en${\displaystyle V}$y definir${\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)}$como cociente

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)=T(V){\big /}I}$

(y usar${\displaystyle \wedge }$como símbolo de multiplicación en${\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)}$). Entonces es sencillo demostrar que${\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)}$contiene${\displaystyle V}$y satisface la propiedad universal antes mencionada.

Como consecuencia de esta construcción, la operación de asignar a un espacio vectorial${\displaystyle V}$su álgebra exterior${\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)}$es un functor de la categoría de espacios vectoriales a la categoría de álgebras.

En lugar de definir${\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)}$primero y luego identificando las fuerzas exteriores${\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\!k}(V)}$como ciertos subespacios, alternativamente se pueden definir los espacios${\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\!k}(V)}$primero y luego combinarlos para formar el álgebra${\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)}$Este enfoque se utiliza con frecuencia en geometría diferencial y se describe en la siguiente sección.

Dado un anillo conmutativo${\displaystyle R}$y un${\displaystyle R}$- módulo​${\displaystyle M}$⁠ , podemos definir el álgebra exterior${\displaystyle \textstyle \bigwedge (M)}$igual que arriba, como un cociente adecuado del álgebra tensorial .${\displaystyle \mathrm {T} (M)}$Satisfará la propiedad universal análoga. Muchas de las propiedades de${\displaystyle \textstyle \bigwedge (M)}$también requieren que${\displaystyle M}$ser un módulo proyectivo . Cuando se utiliza dimensionalidad finita, las propiedades requieren además que${\displaystyle M}$ser finitamente generado y proyectivo. Las generalizaciones a las situaciones más comunes se pueden encontrar en Bourbaki (1989) .

Las álgebras exteriores de haces vectoriales se estudian frecuentemente en geometría y topología. Según el teorema de Serre-Swan , no existen diferencias esenciales entre las propiedades algebraicas del álgebra exterior de haces vectoriales de dimensión finita y las del álgebra exterior de módulos proyectivos finitamente generados . Se pueden definir álgebras exteriores más generales para haces de módulos.

Supongamos que V tiene dimensión finita n y que se da una base e ₁ , ..., e _n de V. Entonces, cualquier tensor alternante t ∈ A ^r ( V ) ⊂ T ^r ( V ) puede escribirse en notación de índices con la convención de suma de Einstein como

${\displaystyle t=t^{i_{1}i_{2}\cdots i_{r}}\,{\mathbf {e} }_{i_{1}}\otimes {\mathbf {e} }_{i_{2}}\otimes \cdots \otimes {\mathbf {e} }_{i_{r}},}$

donde t ^{i ₁ ⋅⋅⋅ i _r} es completamente antisimétrico en sus índices.

El producto exterior de dos tensores alternados t y s de rangos r y p viene dado por

${\displaystyle t~{\widehat {\otimes }}~s={\frac {1}{(r+p)!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r+p}}\operatorname {sgn} (\sigma )t^{i_{\sigma (1)}\cdots i_{\sigma (r)}}s^{i_{\sigma (r+1)}\cdots i_{\sigma (r+p)}}{\mathbf {e} }_{i_{1}}\otimes {\mathbf {e} }_{i_{2}}\otimes \cdots \otimes {\mathbf {e} }_{i_{r+p}}.}$

Los componentes de este tensor son precisamente la parte sesgada de los componentes del producto tensorial s ⊗ t , denotada por corchetes en los índices:

${\displaystyle (t~{\widehat {\otimes }}~s)^{i_{1}\cdots i_{r+p}}=t^{[i_{1}\cdots i_{r}}s^{i_{r+1}\cdots i_{r+p}]}.}$

El producto interior también puede describirse en notación de índices de la siguiente manera. Sea${\displaystyle t=t^{i_{0}i_{1}\cdots i_{r-1}}}$sea ​​un tensor antisimétrico de rango${\displaystyle r}$⁠ . Entonces, para α ∈ V ^∗ , ⁠${\displaystyle \iota _{\alpha }t}$es un tensor alternante de rango${\displaystyle r-1}$⁠ , dado por

${\displaystyle (\iota _{\alpha }t)^{i_{1}\cdots i_{r-1}}=r\sum _{j=0}^{n}\alpha _{j}t^{ji_{1}\cdots i_{r-1}}.}$

donde n es la dimensión de V.

Dados dos espacios vectoriales V y X y un número natural k , un operador alternante de V ^k a X es una aplicación multilineal.

${\displaystyle f\colon V^{k}\to X}$

de tal manera que siempre que v ₁ , ..., v _k sean vectores linealmente dependientes en V , entonces

${\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{k})=0.}$

El mapa

${\displaystyle w\colon V^{k}\to {\textstyle \bigwedge ^{\!k}}(V),}$

que se asocia a${\displaystyle k}$vectores de${\displaystyle V}$su producto exterior, es decir su correspondiente${\displaystyle k}$-vector, también es alternante. De hecho, este mapa es el operador alternante "más general" definido en${\displaystyle V^{k};}$dado cualquier otro operador alterno${\displaystyle f\colon V^{k}\to X,}$Existe un mapa lineal único${\displaystyle \phi \colon {\textstyle \bigwedge ^{\!k}}(V)\to X}$con${\displaystyle f=\phi \circ w.}$ Esta propiedad universal caracteriza el espacio de operadores alternados en${\displaystyle V^{k}}$y puede servir como su definición.

La discusión anterior se especializa en el caso en que${\displaystyle X=K}$⁠ , el campo base. En este caso, una función multilineal alternada

${\displaystyle f\colon V^{k}\to K}$

Se denomina forma multilineal alternada . El conjunto de todas las formas multilineales alternadas es un espacio vectorial, ya que la suma de dos de estas aplicaciones, o el producto de una aplicación de este tipo con un escalar, es nuevamente alternada. Por la propiedad universal de la potencia exterior, el espacio de formas alternadas de grado${\displaystyle k}$en${\displaystyle V}$es naturalmente isomorfo con el espacio vectorial dual .${\displaystyle \textstyle {\bigl (}{\bigwedge ^{\!k}(V)}{\bigr )}^{*}}$⁠ . Si${\displaystyle V}$es de dimensión finita, entonces este último es naturalmente isomorfo a ⁠${\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\!k}(V^{*})}$⁠ . En particular, si${\displaystyle V}$es${\displaystyle n}$-dimensional, la dimensión del espacio de mapas alternados de${\displaystyle V^{k}}$a${\displaystyle K}$es el coeficiente binomial${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}}$.​

Bajo dicha identificación, el producto exterior toma una forma concreta: produce un nuevo mapa antisimétrico a partir de dos dados. Supongamos que${\displaystyle \textstyle \omega \colon V^{k}\to K}$y​​${\displaystyle \textstyle \eta \colon V^{m}\to K}$son dos aplicaciones antisimétricas. Al igual que en el caso de los productos tensoriales de aplicaciones multilineales, el número de variables de su producto exterior es la suma de los números de sus variables. Dependiendo de la elección de la identificación de los elementos de potencia exterior con formas multilineales, el producto exterior se define como

${\displaystyle \omega \wedge \eta =\operatorname {Alt} (\omega \otimes \eta )}$

o como

${\displaystyle \omega {\dot {\wedge }}\eta ={\frac {(k+m)!}{k!\,m!}}\operatorname {Alt} (\omega \otimes \eta ),}$

donde, si la característica del campo base${\displaystyle K}$Si es 0, la alternancia Alt de un mapa multilineal se define como el promedio de los valores ajustados por signo sobre todas las permutaciones de sus variables:

${\displaystyle \operatorname {Alt} (\omega )(x_{1},\ldots ,x_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in S_{k}}\operatorname {sgn} (\sigma )\,\omega (x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)}).}$

Cuando el campo${\displaystyle K}$tiene característica finita , una versión equivalente de la segunda expresión sin factoriales ni constantes está bien definida:

${\displaystyle {\omega {\dot {\wedge }}\eta (x_{1},\ldots ,x_{k+m})}=\sum _{\sigma \in \mathrm {Sh} _{k,m}}\operatorname {sgn} (\sigma )\,\omega (x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)})\,\eta (x_{\sigma (k+1)},\ldots ,x_{\sigma (k+m)}),}$

donde aquí Sh _{k , m} ⊂ S _{k + m} es el subconjunto de ( k , m ) barajados : permutaciones σ del conjunto {1, 2, ..., k + m } tales que σ (1) < σ (2) < ⋯ < σ ( k ) , y σ ( k + 1) < σ ( k + 2) < ... < σ ( k + m ) . Como esto puede parecer muy específico y refinado, una versión bruta equivalente es sumar en la fórmula anterior sobre permutaciones en clases laterales izquierdas de S _{k + m} / ( S _k × S _m ) .

Supongamos que${\displaystyle V}$es de dimensión finita. Si${\displaystyle V^{*}}$denota el espacio dual del espacio vectorial .${\displaystyle V}$⁠ , entonces para cada ⁠${\displaystyle \alpha \in V^{*}}$⁠ , es posible definir una antiderivación en el álgebra ⁠${\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)}$⁠ , $${\displaystyle \iota _{\alpha }\colon {\textstyle \bigwedge ^{\!k}}(V)\to {\textstyle \bigwedge ^{\!k-1}}(V).}$$

Esta derivación se denomina producto interior con ⁠${\displaystyle \alpha }$⁠ , o a veces el operador de inserción , o contracción por ⁠${\displaystyle \alpha }$.​

Supongamos que ⁠${\displaystyle \textstyle w\in \bigwedge ^{\!k}(V)}$Entonces​${\displaystyle w}$es un mapeo multilineal de${\displaystyle V^{*}}$a​${\displaystyle K}$⁠ , por lo que se define por sus valores en el${\displaystyle k}$-producto cartesiano plegado${\displaystyle V^{*}\times V^{*}\times \dots \times V^{*}}$⁠ . Si${\displaystyle u_{1},u_{2},\ldots ,u_{k-1}}$son${\displaystyle k-1}$elementos de${\displaystyle V^{*}}$⁠ , luego definir $${\displaystyle (\iota _{\alpha }w)(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{k-1})=w(\alpha ,u_{1},u_{2},\ldots ,u_{k-1}).}$$

Además, deje que${\displaystyle \iota _{\alpha }f=0}$cuando sea${\displaystyle f}$es un escalar puro (es decir, perteneciente a${\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\!0}(V)}$⁠ ).

Supongamos que${\displaystyle V}$tiene dimensión finita${\displaystyle n}$⁠ . Entonces, el producto interior induce un isomorfismo canónico de espacios vectoriales.

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge ^{\!k}}(V^{*})\otimes {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(V)\to {\textstyle \bigwedge ^{\!n-k}}(V)}$

por definición recursiva

${\displaystyle \iota _{\alpha \wedge \beta }=\iota _{\beta }\circ \iota _{\alpha }.}$

En el contexto geométrico, un elemento distinto de cero de la potencia exterior superior${\displaystyle {\textstyle \bigwedge ^{\!n}}(V)}$(que es un espacio vectorial unidimensional) a veces se denomina forma de volumen (o forma de orientación , aunque este término a veces puede generar ambigüedad). El nombre de forma de orientación proviene del hecho de que la elección de un elemento superior preferido determina una orientación de toda el álgebra exterior, ya que equivale a fijar una base ordenada del espacio vectorial. En relación con la forma de volumen preferida${\displaystyle \sigma }$⁠ , el isomorfismo viene dado explícitamente por

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge ^{\!k}}(V^{*})\to {\textstyle \bigwedge ^{\!n-k}}(V)\colon \alpha \mapsto \iota _{\alpha }\sigma .}$

Si, además de una forma de volumen, el espacio vectorial V está equipado con un producto interno que identifica${\displaystyle V}$con​${\displaystyle V^{*}}$⁠ , entonces el isomorfismo resultante se llama operador estrella de Hodge , que asigna un elemento a su dual de Hodge :

${\displaystyle \star \colon {\textstyle \bigwedge ^{\!k}}(V)\to {\textstyle \bigwedge ^{\!n-k}}(V).}$

La composición de${\displaystyle \star }$con sus propios mapas${\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\!k}(V)\to \bigwedge ^{\!k}(V)}$y siempre es un múltiplo escalar del mapa identidad. En la mayoría de las aplicaciones, la forma de volumen es compatible con el producto interno en el sentido de que es un producto exterior de una base ortonormal de ⁠${\displaystyle V}$⁠ . En este caso,

${\displaystyle \star \circ \star \colon {\textstyle \bigwedge ^{\!k}}(V)\to {\textstyle \bigwedge ^{\!k}}(V)=(-1)^{k(n-k)+q}\mathrm {id} }$

donde id es la asignación identidad, y el producto interno tiene firma métrica ( p , q ) — p más y q menos.

Para​${\displaystyle V}$un espacio de dimensión finita, un producto interno (o unproducto interno pseudo-euclidiano ) en${\displaystyle V}$define un isomorfismo de${\displaystyle V}$con​${\displaystyle V^{*}}$⁠ , y por lo tanto también un isomorfismo de${\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\!k}(V)}$con​${\displaystyle \textstyle {\bigl (}{\bigwedge ^{\!k}(V)}{\bigr )}^{*}}$⁠ . El emparejamiento entre estos dos espacios también toma la forma de un producto interno. En descomponible ⁠${\displaystyle k}$-vectores ,

${\displaystyle \left\langle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k},w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}\right\rangle =\det {\bigl (}\langle v_{i},w_{j}\rangle {\bigr )},}$

el determinante de la matriz de productos internos. En el caso especial v _i = w _i , el producto interno es la norma cuadrada del k -vector, dada por el determinante de la matriz de Gram ( ⟨ v _i , v _j ⟩ ) . Esto se extiende luego bilinealmente (o sesquilinealmente en el caso complejo) a un producto interno no degenerado en ⁠${\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\!k}(V)}$⁠ . Si e _i , i = 1, 2, ..., n , forman una base ortonormal de ⁠${\displaystyle V}$⁠ , entonces los vectores de la forma

${\displaystyle e_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}},\quad i_{1}<\cdots <i_{k},}$

constituyen una base ortonormal para ⁠${\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\!k}(V)}$⁠ , una afirmación equivalente a la fórmula de Cauchy-Binet .

Con respecto al producto interno, la multiplicación exterior y el producto interno son mutuamente adjuntos. Específicamente, para${\displaystyle \textstyle \mathbf {v} \in \bigwedge ^{\!k-1}(V)}$,​​${\displaystyle \textstyle \mathbf {w} \in \bigwedge ^{\!k}(V)}$y​​${\displaystyle x\in V}$⁠ ,

${\displaystyle \langle x\wedge \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,\iota _{x^{\flat }}\mathbf {w} \rangle }$

donde x ^♭ ∈ V ^∗ es el isomorfismo musical , el funcional lineal definido por

${\displaystyle x^{\flat }(y)=\langle x,y\rangle }$

para todos${\displaystyle y\in V}$Esta propiedad caracteriza completamente el producto interno en el álgebra exterior.