Álgebra diferencial graduada

También se pueden definir los DGA de forma más abstracta utilizando la teoría de categorías . Existe una categoría de complejos de cadena sobre un anillo.${\displaystyle R}$, a menudo denotado${\displaystyle \operatorname {Ch} _{R}}$, cuyos objetos son complejos de cadena y cuyos morfismos son aplicaciones de cadena. Definimos el producto tensorial de complejos de cadena${\displaystyle (V,d_{V})}$y${\displaystyle (W,d_{W})}$por ^{[ 3 ]}

${\displaystyle (V\otimes W)_{n}=\bigoplus _{i+j=n}V_{i}\otimes _{R}W_{j}}$

con diferencial

${\displaystyle d(v\otimes w)=(d_{V}v)\otimes w+(-1)^{|v|}v\otimes (d_{W}w)}$

Esta operación hace${\displaystyle \operatorname {Ch} _{R}}$en una categoría monoidal simétrica . Entonces, podemos definir equivalentemente un álgebra graduada diferencial como un objeto monoide en${\displaystyle \operatorname {Ch} _{R}}$Heurísticamente, es un objeto en${\displaystyle \operatorname {Ch} _{R}}$con una multiplicación asociativa y unitaria.

Asociado a cualquier complejo de cadena${\displaystyle (A_{\bullet },d)}$es su homología . Dado que${\displaystyle d\circ d=0}$De ello se deduce que${\displaystyle \operatorname {im} (d:A_{i+1}\to A_{i})}$es un subobjeto de${\displaystyle \operatorname {ker} (d:A_{i}\to A_{i-1})}$. Por lo tanto, podemos formar el cociente

${\displaystyle H_{i}(A_{\bullet })=\operatorname {ker} (d:A_{i}\to A_{i-1})/\operatorname {im} (d:A_{i+1}\to A_{i})}$

Esto se llama el${\displaystyle i}$grupo de homología th, y todos juntos forman un espacio vectorial graduado${\displaystyle H_{\bullet }(A)}$De hecho, los grupos de homología forman un álgebra graduada diferencial (DGA) con diferencial cero. De forma análoga, se pueden definir los grupos de cohomología de un complejo de cocadenas, que también forman un álgebra graduada diferencial cero.

Cada mapa de cadena${\displaystyle f:(A_{\bullet },d_{A})\to (B_{\bullet },d_{B})}$de complejos induce un mapa en (co)homología, a menudo denotado${\displaystyle f_{*}:H_{\bullet }(A)\to H_{\bullet }(B)}$(respectivamente${\displaystyle f^{*}:H^{\bullet }(B)\to H^{\bullet }(A)}$). Si este mapa inducido es un isomorfismo en todos los grupos de (co)homología, el mapa${\displaystyle f}$Se denomina cuasi-isomorfismo . En muchos contextos, esta es la noción natural de equivalencia que se utiliza para los complejos de (co)cadenas. Decimos que un morfismo de DGA es un cuasi-isomorfismo si el mapeo de cadena en los complejos de (co)cadenas subyacentes lo es.

Un álgebra diferencial graduada conmutativa (o CDGA ) es un álgebra diferencial graduada,${\displaystyle (A_{\bullet },d,\cdot )}$, que satisface una versión graduada de la conmutatividad. A saber,

${\displaystyle a\cdot b=(-1)^{|a||b|}b\cdot a}$

para elementos homogéneos${\displaystyle a\in A_{i},b\in A_{j}}$Muchas de las DGA que se encuentran comúnmente en matemáticas resultan ser CDGA, como el álgebra de De Rham de formas diferenciales.

Un álgebra de Lie graduada diferencial (o DGLA ) es un análogo graduado diferencial de un álgebra de Lie . Es decir, es un espacio vectorial graduado diferencial,${\displaystyle (L_{\bullet},d)}$, junto con una operación${\displaystyle [,]:L_{i}\otimes L_{j}\to L_{i+j}}$, que satisfacen los siguientes análogos graduados de los axiomas del álgebra de Lie.

Un ejemplo de DGLA es el álgebra de De Rham.${\displaystyle \Omega ^{\bullet }(M)}$tensorializado con un álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, con el corchete dado por el producto exterior de las formas diferenciales y el corchete de Lie; los elementos de este DGLA se conocen como formas diferenciales con valores en álgebra de Lie . Los DGLA también aparecen con frecuencia en el estudio de deformaciones de estructuras algebraicas donde, sobre un cuerpo de característica 0, los problemas de deformación "agradables" se describen mediante el espacio de elementos de Maurer-Cartan de algún DGLA adecuado. ^{[ 4 ]}

Un complejo de (co)cadena${\displaystyle C_{\bullet }}$Se denomina formal si existe un mapa de cadena a su (co)homología.${\displaystyle H_{\bullet }(C_{\bullet })}$(respectivamente${\displaystyle H^{\bullet }(C_{\bullet })}$), considerado como un complejo con diferencial 0, es decir, un cuasi-isomorfismo. Decimos que un DGA${\displaystyle A}$es formal si existe un morfismo de DGAs${\displaystyle A\to H_{\bullet }(A)}$(respectivamente${\displaystyle A\to H^{\bullet }(A)}$) que es un cuasi-isomorfismo. ^{[ 5 ]} Esta noción es importante, por ejemplo, cuando se quiere considerar complejos de cadenas cuasi-isomórficos o DGA como equivalentes, como en la categoría derivada .

Observe que cualquier álgebra graduada${\displaystyle A=\bigoplus \nolimits _{i}A_{i}}$tiene la estructura de un DGA con diferencial trivial, es decir,${\displaystyle d=0}$. En particular, como se señaló anteriormente, la (co)homología de cualquier DGA forma un DGA trivial, ya que es un álgebra graduada.

Dejar${\displaystyle M}$sea ​​una variedad . Entonces, las formas diferenciales en${\displaystyle M}$, denotado por${\displaystyle \Omega ^{\bullet }(M)}$, naturalmente tienen la estructura de un DGA (graduado cohomológicamente). El espacio vectorial graduado es${\displaystyle \Omega ^{\bullet }(M)}$donde la graduación viene dada por el grado de forma. Este espacio vectorial tiene un producto, dado por el producto exterior , que lo convierte en un álgebra graduada. Finalmente, la derivada exterior.${\displaystyle d:\Omega ^{i}(M)\to \Omega ^{i+1}(M)}$Satisface${\displaystyle d^{2}=0}$y la regla de Leibniz graduada. De hecho, el producto exterior es conmutativo graduado, lo que convierte al álgebra de De Rham en un ejemplo de CDGA. ^{[ 6 ]}

Dejar${\displaystyle X}$sea ​​un espacio topológico . Recordemos que podemos asociar a${\displaystyle X}$su complejo de cocadenas singulares con coeficientes en un anillo${\displaystyle R}$, denotado${\displaystyle (C^{\bullet }(X;R),d)}$, cuya cohomología es la cohomología singular de${\displaystyle X}$. En${\displaystyle C^{\bullet }(X;R)}$, se puede definir el producto de copa de cocadenas, que le da a este complejo de cocadenas la estructura de un DGA. ^{[ 7 ]} En el caso donde${\displaystyle X}$es un colector liso y${\displaystyle R=\mathbb {R} }$El teorema de De Rham establece que la cohomología singular es isomorfa a la cohomología de De Rham y, además, el producto de copa y el producto exterior de formas diferenciales inducen la misma operación en la cohomología.

Sin embargo, tenga en cuenta que, si bien el producto de copa induce una operación conmutativa graduada en la cohomología, no es conmutativa graduada directamente en las cocadenas. Esta es una distinción importante, y el hecho de que un DGA no sea conmutativo se conoce como el "problema de la cocadena conmutativa". Este problema es importante porque si, para cualquier espacio topológico${\displaystyle X}$, se puede asociar un DGA conmutativo cuya cohomología es la cohomología singular de${\displaystyle X}$encima${\displaystyle R}$, entonces este CDGA determina el${\displaystyle R}$-tipo de homotopía de${\displaystyle X}$. ^{[ 7 ]}

Dejar${\displaystyle V}$sea ​​un espacio vectorial (no graduado) sobre un campo${\displaystyle k}$El álgebra tensorial${\displaystyle T(V)}$se define como el álgebra graduada

${\displaystyle T(V)=\bigoplus _{i\geq 0}T^{i}(V)=\bigoplus _{i\geq 0}V^{\otimes i}}$

donde, por convención, tomamos${\displaystyle T^{0}(V)=k}$Este espacio vectorial se puede convertir en un álgebra graduada con la multiplicación${\displaystyle T^{i}(V)\otimes T^{j}(V)\to T^{i+j}(V)}$dado por el producto tensorial${\displaystyle \otimes }$Este es el álgebra libre en${\displaystyle V}$y puede pensarse como el álgebra de todos los polinomios no conmutativos en los elementos de${\displaystyle V}$.

Se puede dar al álgebra tensorial la estructura de un DGA de la siguiente manera. Sea${\displaystyle f:V\to k}$sea ​​cualquier aplicación lineal. Entonces, esto se extiende de forma única a una derivación de${\displaystyle T(V)}$de grado${\displaystyle -1}$(graduado homológicamente) por la fórmula ^{[ 8 ]}

${\displaystyle d_{f}(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n})=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i-1}v_{1}\otimes \cdots \otimes f(v_{i})\otimes \cdots \otimes v_{n}}$

Se puede pensar que los signos menos del lado derecho provienen de "saltar" el mapa.${\displaystyle f}$sobre los elementos${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{i-1}}$, que son todos de grado 1 en${\displaystyle T(V)}$Esto se conoce comúnmente como la regla de los signos de Koszul .

Esta construcción puede extenderse a espacios vectoriales graduados diferenciales. Sea${\displaystyle (V_{\bullet },d_{V})}$sea ​​un espacio vectorial graduado diferencial, es decir,${\displaystyle d_{V}:V_{i}\to V_{i-1}}$y${\displaystyle d^{2}=0}$Aquí trabajamos con un espacio vectorial DG graduado homológicamente, pero esta construcción funciona igualmente bien para uno graduado cohomológicamente. Entonces, podemos dotar al álgebra tensorial de${\displaystyle T(V)}$con una estructura DGA que extiende la estructura DG en${\displaystyle V}$. El diferencial viene dado por

${\displaystyle d(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n})=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{|v_{1}|+\ldots +|v_{i-1}|}v_{1}\otimes \cdots \otimes d_{V}(v_{i})\otimes \cdots \otimes v_{n}}$

Esto es similar al caso anterior, excepto que ahora los elementos de${\displaystyle V}$pueden tener diferentes grados y${\displaystyle T(V)}$ya no se califica por el número de productos tensoriales sino por la suma de los grados de los elementos de${\displaystyle V}$, es decir,${\displaystyle |v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n}|=|v_{1}|+\ldots +|v_{n}|}$. ^{[ 9 ]}

De forma similar al caso anterior, también se puede construir el CDGA libre. Dado un espacio vectorial graduado${\displaystyle V_{\bullet }}$, definimos el álgebra conmutativa graduada libre sobre ella mediante

${\displaystyle S(V)=\operatorname {Sym} \left(\bigoplus _{i=2k}V_{i}\right)\otimes \bigwedge \left(\bigoplus _{i=2k+1}V_{i}\right)}$

dónde${\displaystyle \operatorname {Sym} }$denota el álgebra simétrica y${\displaystyle \bigwedge }$denota el álgebra exterior . Si comenzamos con un espacio vectorial DG${\displaystyle (V_{\bullet },d)}$(ya sea graduada homológicamente o cohomológicamente), entonces podemos extender${\displaystyle d}$a${\displaystyle S(V)}$de tal manera que${\displaystyle (S(V),d)}$es un CDGA de una manera única. ^{[ 10 ]}

Dado que se podrían formar complejos de (co)cadenas arbitrariamente grandes con la misma cohomología, es útil considerar el modelo "más pequeño" posible de un DGA. Decimos que un DGA${\displaystyle (A,d,\cdot )}$es mínimo si satisface las siguientes condiciones. ^{[ 12 ]}

Tenga en cuenta que algunas convenciones, utilizadas frecuentemente en topología algebraica, requieren además que${\displaystyle A}$estar simplemente conectados , lo que significa que${\displaystyle A^{0}=k}$y${\displaystyle A^{1}=0}$. ^{[ 12 ]} Esta condición sobre los componentes de grado 0 y 1 de${\displaystyle A}$Reflejan los grupos de (co)homología de un espacio simplemente conexo .

Finalmente, decimos que${\displaystyle M}$es un modelo mínimo para${\displaystyle A}$si es a la vez mínimo y un modelo para${\displaystyle A}$. El teorema fundamental de los modelos mínimos ^{[ 11 ]} establece que si${\displaystyle A}$Si es simplemente conexo, entonces admite un modelo mínimo, y si existe un modelo mínimo, es único salvo isomorfismo (no único). ^{[ 13 ]}

Dennis Sullivan utilizó con gran éxito modelos mínimos en su trabajo sobre la teoría de la homotopía racional . Dado un complejo simplicial${\displaystyle X}$Se puede definir un análogo racional del álgebra de De Rham (real): el DGA.${\displaystyle A_{PL}(X)}$formas diferenciales "polinómicas por partes" con${\displaystyle \mathbb {Q} }$-coeficientes. Entonces,${\displaystyle A_{PL}(X)}$tiene la estructura de un CDGA sobre el campo${\displaystyle \mathbb {Q} }$y, de hecho, la cohomología es isomorfa a la cohomología singular de${\displaystyle X}$. ^{[ 14 ]} En particular, si${\displaystyle X}$es un espacio topológico simplemente conexo entonces${\displaystyle A_{PL}(X)}$Simplemente está conectado como un DGA, por lo que existe un modelo mínimo.

Además, dado que${\displaystyle A_{PL}(X)}$es un CDGA cuya cohomología es la cohomología singular de${\displaystyle X}$con${\displaystyle \mathbb {Q} }$-coeficientes, es una solución al problema de la cocadena conmutativa. Por lo tanto, si${\displaystyle X}$es un complejo CW simplemente conexo con grupos de homología racionales de dimensión finita, el modelo mínimo del CDGA${\displaystyle A_{PL}(X)}$captura completamente el tipo de homotopía racional de${\displaystyle X}$. ^{[ 15 ]}