Número narcisista

En teoría de números , un número narcisista ^{[ 1 ] [ 2 ]} (también conocido como invariante digital plusperfecto ( PPDI ), ^{[ 3 ]} un número de Armstrong ^{[ 4 ]} (en honor a Michael F. Armstrong) ^{[ 5 ]} o un número plusperfecto ) ^{[ 6 ]} en una base numérica dada${\displaystyle b}$es un número que es la suma de sus propios dígitos, cada uno elevado a la potencia del número de dígitos.

Dejar${\displaystyle n}$sea ​​un número natural. Definimos la función narcisista para base${\displaystyle b>1}$${\displaystyle F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$ser lo siguiente:

${\displaystyle F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}^{k}.}$

dónde${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$es el número de dígitos en el número en base${\displaystyle b}$, y

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}}$

es el valor de cada dígito del número. Un número natural${\displaystyle n}$es un número narcisista si es un punto fijo para${\displaystyle F_{b}}$, lo cual ocurre si${\displaystyle F_{b}(n)=n}$Los números naturales${\displaystyle 0\leq n<b}$son números narcisistas triviales para todos${\displaystyle b}$, todos los demás números narcisistas son números narcisistas no triviales .

Por ejemplo, el número 153 en base${\displaystyle b=10}$es un número narcisista, porque${\displaystyle k=3}$y${\displaystyle 153=1^{3}+5^{3}+3^{3}}$.

Un número natural${\displaystyle n}$es un número narcisista sociable si es un punto periódico para${\displaystyle F_{b}}$, dónde${\displaystyle F_{b}^{p}(n)=n}$para un entero positivo${\displaystyle p}$(aquí${\displaystyle F_{b}^{p}}$es el${\displaystyle p}$la iteración de${\displaystyle F_{b}}$), y forma un ciclo de período${\displaystyle p}$. Un número narcisista es un número narcisista sociable con${\displaystyle p=1}$y un número narcisista amigable es un número narcisista sociable con${\displaystyle p=2}$.

Todos los números naturales${\displaystyle n}$son puntos preperiódicos para${\displaystyle F_{b}}$, independientemente de la base. Esto se debe a que para cualquier número de dígitos dado${\displaystyle k}$, el valor mínimo posible de${\displaystyle n}$es${\displaystyle b^{k-1}}$, el valor máximo posible de${\displaystyle n}$es${\displaystyle b^{k}-1\leq b^{k}}$y el valor de la función narcisista es${\displaystyle F_{b}(n)=k(b-1)^{k}}$Por lo tanto, cualquier número narcisista debe satisfacer la desigualdad.${\displaystyle b^{k-1}\leq k(b-1)^{k}\leq b^{k}}$Multiplicando todos los lados por${\displaystyle {\frac {b}{(b-1)^{k}}}}$, obtenemos${\displaystyle {\left({\frac {b}{b-1}}\right)}^{k}\leq bk\leq b{\left({\frac {b}{b-1}}\right)}^{k}}$, o equivalentemente,${\displaystyle k\leq {\left({\frac {b}{b-1}}\right)}^{k}\leq bk}$. Desde${\displaystyle {\frac {b}{b-1}}\geq 1}$, esto significa que habrá un valor máximo${\displaystyle k}$dónde${\displaystyle {\left({\frac {b}{b-1}}\right)}^{k}\leq bk}$, debido a la naturaleza exponencial de${\displaystyle {\left({\frac {b}{b-1}}\right)}^{k}}$y la linealidad de${\displaystyle bk}$. Más allá de este valor${\displaystyle k}$,${\displaystyle F_{b}(n)\leq n}$siempre. Por lo tanto, hay un número finito de números narcisistas, y cualquier número natural tiene garantizado alcanzar un punto periódico o un punto fijo menor que${\displaystyle b^{k}-1}$, convirtiéndolo en un punto preperiódico. Establecimiento${\displaystyle b}$igual a 10 muestra que el número narcisista más grande en base 10 debe ser menor que${\displaystyle 10^{60}}$. ^{[ 1 ]}

El número de iteraciones${\displaystyle i}$necesario para${\displaystyle F_{b}^{i}(n)}$alcanzar un punto fijo es la persistencia de la función narcisista de${\displaystyle n}$y no definido si nunca alcanza un punto fijo.

Una base${\displaystyle b}$tiene al menos un número narcisista de dos dígitos si y solo si${\displaystyle b^{2}+1}$no es primo, y el número de números narcisistas de dos dígitos en base${\displaystyle b}$igual${\displaystyle \tau (b^{2}+1)-2}$, dónde${\displaystyle \tau (n)}$es el número de divisores positivos de${\displaystyle n}$.

Cada base${\displaystyle b\geq 3}$que no es múltiplo de nueve tiene al menos un número narcisista de tres dígitos. Las bases que no son

2, 72, 90, 108, 153, 270, 423, 450, 531, 558, 630, 648, 738, 1044, 1098, 1125, 1224, 1242, 1287, 1440, 1503, 1566, 1611, 1620, 1800, 1935, ... (secuencia A248970 en el OEIS )

Solo hay 88 números narcisistas en base 10, de los cuales el más grande es

115.132.219.018.763.992.565.095.597.973.971.522.401

con 39 dígitos. ^{[ 1 ]}

Todos los números están representados en base${\displaystyle b}$. '#' es la longitud de cada secuencia finita conocida.

Los números narcisistas pueden extenderse a los enteros negativos mediante el uso de una representación de dígitos con signo para representar cada entero.

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• Symonds, Ria (3 de enero de 2012). "153 y los números narcisistas" . Numberphile . Brady Haran . Archivado del original el 19 de diciembre de 2021.