Variables de Ashtekar

En la formulación ADM de la relatividad general , el espacio-tiempo se divide en porciones espaciales y un eje temporal. Las variables básicas son la métrica inducida en la porción espacial y el momento conjugado de la métrica , que está relacionado con la curvatura extrínseca y es una medida de cómo evoluciona la métrica inducida en el tiempo. ^[1] Estas son las coordenadas canónicas de la métrica . $Estilo de visualización q_{ab}(x)}$$Estilo de visualización K^{ab}(x)}$

En 1986, Abhay Ashtekar introdujo un nuevo conjunto de variables canónicas, las variables Ashtekar ( nuevas ), para representar una forma inusual de reescribir las variables canónicas métricas en las porciones espaciales tridimensionales en términos de un campo de calibre SU(2) y su variable complementaria. ^[2]

Las variables de Ashtekar proporcionan lo que se denomina la representación de conexión de la relatividad general canónica, que condujo a la representación de bucle de la relatividad general cuántica ^[3] y, a su vez, a la gravedad cuántica de bucle y a la teoría de la holonomía cuántica. ^[4]

Introduzcamos un conjunto de tres campos vectoriales que son ortogonales, es decir, ${\displaystyle \E_{j}^{a}\ ,}$ ${\estilo de visualización \ j=1,2,3\ }$

${\displaystyle \delta _{jk}=q_{ab}\ E_{j}^{a}\ E_{k}^{b}~.}$

Se denominan tríadas o drei-bein (traducción literal alemana, "tres patas"). Actualmente existen dos tipos diferentes de índices: los índices "espaciales" que se comportan como índices regulares en un espacio curvo y los índices "internos" que se comportan como índices de un espacio plano (la "métrica" ​​correspondiente que aumenta y disminuye los índices internos es simplemente ). Defina el drei-bein dual como ${\displaystyle \ E_{i}^{a}\ }$${\estilo de visualización \ a,b,c\ }$${\estilo de visualización \ j,k,\ell \ }$${\displaystyle \ \delta _{jk}\ }$ ${\displaystyle \ E_{a}^{j}\ }$

${\displaystyle \ E_{a}^{j}=q_{ab}\ E_{j}^{b}~.}$

Entonces tenemos las dos relaciones de ortogonalidad

${\displaystyle \ \delta ^{jk}=q^{ab}\ E_{a}^{j}\ E_{b}^{k}\ ,}$

donde es la matriz inversa de la métrica (esto proviene de sustituir la fórmula para el drei-bein dual en términos del drei-bein en y usar la ortogonalidad de los drei-beins ). ${\displaystyle q^{ab}}$${\displaystyle \ q_{ab}\ }$${\displaystyle \ q^{ab}\ E_{a}^{j}\ E_{b}^{k}\ }$

y

${\displaystyle \ E_{j}^{a}\ E_{b}^{k}\ =\delta _{b}^{a}\ }$

(esto se produce al contratar y utilizar la independencia lineal de ). Entonces es fácil verificar a partir de la primera relación de ortogonalidad, empleando que ${\displaystyle \ \delta _{jk}=q_{ab}\ E_{k}^{b}\ E_{j}^{a}\ }$${\displaystyle \ E_{c}^{j}\ }$${\displaystyle \ E_{a}^{k}\ }$${\displaystyle \ E_{j}^{a}\ E_{b}^{j}=\delta _{b}^{a}\ ,}$

${\displaystyle \ q^{ab}~=~\sum _{j,\ k=1}^{3}\;\delta _{jk}\ E_{j}^{a}\ E_{k}^ {b}~=~\sum _{j=1}^{3}\;E_{j}^{a}\ E_{j}^{b}\ ,}$

Hemos obtenido una fórmula para la métrica inversa en términos de los drei-beins . Los drei-beins pueden considerarse como la "raíz cuadrada" de la métrica (el significado físico de esto es que la métrica, cuando se escribe en términos de una base, es localmente plana). En realidad, lo que realmente se considera es ${\displaystyle \ q^{ab}\ ,}$${\displaystyle \E_{j}^{a}\ ,}$

${\displaystyle \ \left(\mathrm {det} (q)\right)\ q^{ab}~=~\sum _{j=1}^{3}\;{\tilde {E}}_{ j}^{a}\ {\tilde {E}}_{j}^{b}\ ,}$

que implica el drei-bein "densificado" en su lugar ( densificado como ) . Se recupera de la métrica multiplicada por un factor dado por su determinante. Está claro que y contienen la misma información, sólo que reorganizada. Ahora bien, la elección para no es única y, de hecho, se puede realizar una rotación local en el espacio con respecto a los índices internos sin cambiar la métrica (inversa). Este es el origen de la invariancia de calibre. Ahora bien, si se va a operar sobre objetos que tienen índices internos, se necesita introducir una derivada apropiada ( derivada covariante ); por ejemplo, la derivada covariante para el objeto será ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$${\textstyle \ {\tilde {E}}_{j}^{a}={\sqrt {\det(q)\ }}\ E_{j}^{a}\ }$${\displaystyle \ {\tilde {E}}_{j}^{a}\ }$${\displaystyle \ {\tilde {E}}_{j}^{a}\ }$${\displaystyle \ E_{j}^{a}\ }$${\displaystyle \ {\tilde {E}}_{j}^{a}\ }$${\estilo de visualización \ j\}$${\displaystyle \ \mathrm {SU(2)} \ }$${\displaystyle \ V_{i}^{b}\ }$

${\displaystyle \ D_{a}\ V_{j}^{b}=\partial _{a}V_{j}^{b}-\Gamma _{a\;\;j}^{\;\;k}\ V_{k}^{b}+\Gamma _{ac}^{b}\ V_{j}^{c}\ }$

donde es la conexión habitual de Levi-Civita y es la llamada conexión de espín . Supongamos que la variable de configuración es ${\displaystyle \ \Gamma _{ac}^{b}\ }$${\displaystyle \ \Gamma _{a\;\;j}^{\;\;k}\ }$

${\displaystyle \ A_{a}^{j}=\Gamma _{a}^{j}+\beta \ K_{a}^{j}\ }$

donde y El drei-bein densificado es la variable de momento conjugada de este campo de calibración (o conexión) SU(2) tridimensional en el sentido de que satisface la relación de corchete de Poisson ${\displaystyle \Gamma _{a}^{j}=\Gamma _{ak\ell }\ \epsilon ^{k\ell j}}$${\textstyle K_{a}^{j}=K_{ab}\ {\tilde {E}}^{bj}/{\sqrt {\det(q)\ }}~.}$${\displaystyle \ A_{b}^{k}\ ,}$

${\displaystyle \ \{\ {\tilde {E}}_{j}^{a}(x),\ A_{b}^{k}(y)\ \}=8\pi \ G_{\mathsf {Newton}}\ \beta \ \delta _{b}^{a}\ \delta _{j}^{k}\ \delta ^{3}(xy)~.}$

La constante es el parámetro Immirzi , un factor que renormaliza la constante de Newton. El drei-bein densificado se puede utilizar para reconstruir la métrica como se discutió anteriormente y la conexión se puede utilizar para reconstruir la curvatura extrínseca. Las variables de Ashtekar corresponden a la elección (el negativo del número imaginario , ), entonces se llama conexión de espín quiral. ${\estilo de visualización \beta}$ ${\displaystyle \ G_{\mathsf {Newton}}~.}$${\displaystyle \\beta=-i\}$${\estilo de visualización \ i\}$${\displaystyle \ A_{a}^{j}\ }$

La razón para esta elección de conexión de espín fue que Ashtekar podía simplificar mucho la ecuación más problemática de la relatividad general canónica, es decir, la restricción hamiltoniana de LQG . Esta elección hizo que su formidable segundo término desapareciera, y el término restante se volvió polinómico en sus nuevas variables. Esta simplificación generó nuevas esperanzas para el programa de gravedad cuántica canónica. ^[5] Sin embargo, presentó ciertas dificultades: aunque las variables de Ashtekar tenían la virtud de simplificar el hamiltoniano, tiene el problema de que las variables se vuelven complejas . ^[6] Cuando uno cuantiza la teoría, es una tarea difícil asegurar que se recupera la relatividad general real , en oposición a la relatividad general compleja . Además, la restricción hamiltoniana con la que trabajó Ashtekar fue la versión densificada, en lugar del hamiltoniano original; es decir, trabajó con${\textstyle {\tilde {H}}={\sqrt {\det(q)}}H~.}$

Hubo serias dificultades para convertir esta cantidad en un operador cuántico . En 1996, Thomas Thiemann, que fue capaz de utilizar una generalización del formalismo de Ashtekar a conexiones reales ( toma valores reales) y, en particular, ideó una forma de simplificar el hamiltoniano original, junto con el segundo término, también pudo convertir esta restricción hamiltoniana en un operador cuántico bien definido dentro de la representación de bucles. ^{[7] [8]}${\estilo de visualización \beta}$

Lee Smolin, Ted Jacobson y Joseph Samuel descubrieron de forma independiente que existe, de hecho, una formulación lagrangiana de la teoría al considerar la formulación autodual del principio de acción tetrádica de Palatini de la relatividad general. ^{[9] [10] [11] Estas pruebas se dieron en términos de espinores. Goldberg [12]} dio una prueba puramente tensorial de las nuevas variables en términos de tríadas y Henneaux, Nelson y Schomblond (1989) en términos de tétradas. ^[13]

• Ashtekar, Abhay (1986). "Nuevas variables para la gravedad clásica y cuántica". Physical Review Letters . 57 (18): 2244–2247. Bibcode :1986PhRvL..57.2244A. doi :10.1103/PhysRevLett.57.2244. PMID  10033673.