Restricción hamiltoniana de LQG

La idea era cuantificar las variables canónicas.${\displaystyle q_{ab}}$y${\displaystyle \pi ^{ab}={\sqrt {q}}(K^{ab}-q^{ab}K_{c}^{c})}$, convirtiéndolos en operadores que actúan sobre funciones de onda en el espacio de 3-métricas, y luego cuantizar el hamiltoniano (y otras restricciones). Sin embargo, este programa pronto se consideró desalentadoramente difícil por varias razones, una de ellas la naturaleza no polinómica de la restricción del hamiltoniano:

${\displaystyle H={\sqrt {\det(q)}}(K_{ab}K^{ab}-(K_{a}^{a})^{2}-\;^{3}R)}$

dónde${\displaystyle \;^{3}R}$es la curvatura escalar de la métrica triple${\displaystyle q_{ab}(x)}$Al ser una expresión no polinómica en las variables canónicas y sus derivadas, es muy difícil convertirla en un operador cuántico.

Las variables de configuración de las variables de Ashtekar se comportan como una${\displaystyle SU(2)}$campo de medición o conexión${\displaystyle A_{a}^{i}}$. Su momento canónicamente conjugado${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$es el campo "eléctrico" densificado o tríada (densificado como${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}={\sqrt {\det(q)}}E_{i}^{a}}$). Su conexión con la gravedad es que las tríadas densificadas pueden usarse para reconstruir la métrica espacial a través de

${\displaystyle \det(q)q^{ab}={\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}\delta ^{ij}}$.

Las tríadas densificadas no son únicas y, de hecho, se puede realizar una rotación local en el espacio con respecto a los índices internos.${\displaystyle i}$Este es en realidad el origen del${\displaystyle SU(2)}$Invariancia de gauge. La conexión se puede utilizar para reconstruir la curvatura extrínseca. La relación viene dada por

${\displaystyle A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}-iK_{a}^{i}}$

dónde${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$está relacionado con la conexión de espín ,${\displaystyle \Gamma _{a\;\;i}^{\;\;j}}$, por${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}=\Gamma _{ajk}\epsilon ^{jki}}$y${\displaystyle K_{a}^{i}=K_{ab}{\tilde {E}}^{ai}/{\sqrt {\det(q)}}}$.

En términos de variables de Ashtekar , la expresión clásica de la restricción viene dada por

${\displaystyle H={\epsilon _{ijk}F_{ab}^{k}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b} \over {\sqrt {\det(q)}}}}$.

dónde${\displaystyle F_{ab}^{k}}$tensor de intensidad de campo del campo de gauge${\displaystyle A_{a}^{i}}$Debido al factor${\displaystyle 1/{\sqrt {\det(q)}}}$Esto no es polinómico en las variables de Ashtekar. Dado que imponemos la condición

${\displaystyle H=0}$,

podríamos considerar el hamiltoniano densificado${\displaystyle {\tilde {H}}}$en cambio:

${\displaystyle {\tilde {H}}={\sqrt {\det(q)}}H=\epsilon _{ijk}F_{ab}^{k}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}=0}$.

Este hamiltoniano ahora es polinomial en las variables de Ashtekar. Este desarrollo generó nuevas esperanzas para el programa canónico de gravedad cuántica. ^{[ 5 ]} Si bien las variables de Ashtekar tienen la ventaja de simplificar el hamiltoniano, presentan el problema de que se convierten en números complejos. Al cuantizar la teoría, resulta difícil asegurar que se recupere la relatividad general real en contraposición a la relatividad general compleja. También existen serias dificultades para convertir el hamiltoniano densificado en un operador cuántico.

Una forma de abordar el problema de las condiciones de la realidad fue observar que si tomábamos la firma como${\displaystyle (+,+,+,+)}$, es decir, euclidiano en lugar de lorentziano, entonces se puede conservar la forma simple del hamiltoniano para pero para variables reales. Entonces se puede definir lo que se llama una rotación de Wick generalizada para recuperar la teoría lorentziana. ^{[ 6 ]} Es una transformación de Wick en el espacio de fases y no tiene nada que ver con la continuación analítica del parámetro de tiempo.${\displaystyle t}$.

Thomas Thiemann pudo abordar ambos problemas mencionados anteriormente. ^{[ 4 ]} Utilizó la conexión real

${\displaystyle A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}+\beta K_{a}^{i}}$

En las variables de Ashtekar reales, el hamiltoniano completo es

${\displaystyle H=-\zeta {\frac {\epsilon _{ijk}F_{ab}^{k}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}}{\sqrt {\det(q)}}}+2{\zeta \beta ^{2}-1 \over \beta ^{2}}{\frac {({\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}-{\tilde {E}}_{j}^{a}{\tilde {E}}_{i}^{b})}{\sqrt {\det(q)}}}(A_{a}^{i}-\Gamma _{a}^{i})(A_{b}^{j}-\Gamma _{b}^{j})=H_{E}+H'}$.

donde la constante${\displaystyle \beta }$es el parámetro de Barbero-Immirzi . ^{[ 7 ]} La constante${\displaystyle \zeta }$es -1 para la signatura lorentziana y +1 para la signatura euclidiana.${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$tienen una relación complicada con las tríadas densificadas y causan serios problemas en la cuantización. Las variables de Ashtekar pueden verse como una elección${\displaystyle \beta =i}$para hacer que el segundo término más complicado se hiciera desaparecer (el primer término se denota${\displaystyle H_{E}}$porque para la teoría euclidiana este término permanece para la elección real de${\displaystyle \beta =\pm 1}$). Además, todavía tenemos el problema de la ${\displaystyle 1/{\sqrt {\det(q)}}}$factor.

Thiemann logró que funcionara de verdad.${\displaystyle \beta }$Primero podría simplificar lo problemático${\displaystyle 1/{\sqrt {\det(q)}}}$mediante el uso de la identidad

${\displaystyle \{A_{c}^{k},V\}={\epsilon _{abc}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b} \over {\sqrt {\det(q)}}}}$

dónde${\displaystyle V}$es el volumen,

${\displaystyle V=\int d^{3}x{\sqrt {\det(q)}}={1 \over 6}\int d^{3}x{\sqrt {|{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}{\tilde {E}}_{k}^{c}\epsilon ^{ijk}\epsilon _{abc}|}}}$.

El primer término de la restricción hamiltoniana se convierte en

${\displaystyle H_{E}=\{A_{c}^{k},V\}F_{ab}^{k}{\tilde {\epsilon }}^{abc}}$

al usar la identidad de Thiemann. Este corchete de Poisson se reemplaza por un conmutador al cuantizar. Resulta que se puede usar un truco similar para tratar el segundo término. ¿Por qué son los${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$dado por las tríadas densificadas${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$¿Se debe a la condición de compatibilidad?

${\displaystyle D_{a}E_{b}^{i}=0}$.

Podemos resolver esto de forma muy similar a como se puede calcular la conexión Levi-Civita a partir de la ecuación.${\displaystyle \nabla _{c}g_{ab}=0}$; rotando los distintos índices y luego sumándolos y restándolos (véase el artículo spin connection para más detalles de la derivación, aunque allí utilizamos una notación ligeramente diferente). Luego reescribimos esto en términos de la tríada densitizada utilizando que${\displaystyle \det({\tilde {E}})=|\det(E)|^{2}}$El resultado es complicado y no lineal, pero es una función homogénea de${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$de orden cero,

${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}={1 \over 2}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{k}^{b}[{\tilde {E}}_{a,b}^{j}-{\tilde {E}}_{b,a}^{j}+{\tilde {E}}_{j}^{c}{\tilde {E}}_{a}^{l}{\tilde {E}}_{c,b}^{l}]+{1 \over 4}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{k}^{b}{\Big [}2{\tilde {E}}_{a}^{j}{(\det({\tilde {E}}))_{,b} \over \det({\tilde {E}})}-{\tilde {E}}_{b}^{j}{(\det({\tilde {E}}))_{,a} \over \det({\tilde {E}})}{\Big ]}}$.

Para sortear los problemas introducidos por esta relación complicada, Thiemann define primero la cantidad invariante de gauge de Gauss.

${\displaystyle K=\int d^{3}xK_{a}^{i}{\tilde {E}}_{i}^{a}}$

dónde${\displaystyle K_{a}^{i}=K_{ab}{\tilde {E}}^{ai}/{\sqrt {\det(q)}}}$y señala que

${\displaystyle K_{a}^{i}=\{A_{a}^{i},K\}}$.

(esto se debe a que${\displaystyle \{\Gamma _{a}^{i},K\}=0}$lo cual se debe al hecho de que${\displaystyle \beta K}$es el generador de la transformación canónica de reescalamiento constante,${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}\mapsto {\tilde {E}}_{i}^{a}/\beta }$, y${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$es una función homogénea de orden cero). Entonces podemos escribir

${\displaystyle A_{a}^{i}-\Gamma _{a}^{i}=\beta K_{a}^{i}=\beta \{A_{a}^{i},K\}}$

y como tal, encontrar una expresión en términos de la variable de configuración${\displaystyle A_{a}^{i}}$y${\displaystyle K}$para el segundo término del hamiltoniano

${\displaystyle H'=\epsilon ^{abc}\epsilon _{ijk}\{A_{a}^{i},K\}\{A_{b}^{j},K\}\{A_{c}^{k},V\}}$.

¿Por qué es más fácil cuantificar?${\displaystyle K}$Esto se debe a que se puede reescribir en términos de cantidades que ya sabemos cómo cuantificar. Específicamente${\displaystyle K}$puede reescribirse como

${\displaystyle K=-\{V,\int d^{3}xH_{E}\}}$

donde hemos utilizado que la traza densificada integrada de la curvatura extrínseca es la " derivada temporal del volumen".

El lagrangiano para un campo escalar en el espaciotiempo curvo

${\displaystyle L=-\int d^{4}x{\sqrt {-\det(g)}}(-g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\varphi \partial _{\nu }\varphi -V(\varphi ))}$.

dónde${\displaystyle \mu ,\nu }$son índices espaciotemporales. Definimos el momento conjugado del campo escalar con la forma usual.${\displaystyle {\tilde {\pi }}=\delta L/\delta {\dot {\varphi }}}$, el hamiltoniano se puede reescribir como,

${\displaystyle H=\int d^{3}xN\left({{\tilde {\pi }}^{2} \over {\sqrt {\det(q)}}}+{\sqrt {\det(q)}}(q^{ab}\partial _{a}\varphi \partial _{b}\varphi +V(\varphi ))\right)+N^{a}{\tilde {\pi }}\partial _{a}\varphi }$,

dónde${\displaystyle N}$y${\displaystyle N^{a}}$son el lapso y el cambio. En las variables de Ashtekar esto se lee,

${\displaystyle H=\int d^{3}x{N \over {\sqrt {\det(q)}}}\left({\tilde {\pi }}^{2}+{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}^{bi}\partial _{a}\varphi \partial _{b}\varphi +\det(q)V(\varphi )\right)+N^{a}{\tilde {\pi }}\partial _{a}\varphi }$

Como es habitual, la restricción de difeomorfismo espacial (difuminada) está asociada con la función de desplazamiento.${\displaystyle N^{a}}$y el hamiltoniano (difuminado) está asociado con la función de lapso${\displaystyle N}$. Así que simplemente leemos el difeomorfismo espacial y la restricción hamiltoniana,

${\displaystyle C({\vec {N}})_{\varphi }=\int d^{3}xN^{a}{\tilde {\pi }}\partial _{a}\varphi }$

${\displaystyle H(N)_{\varphi }=\int d^{3}x{N \over {\sqrt {\det(q)}}}\left({\tilde {\pi }}^{2}+{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}^{bi}\partial _{a}\varphi \partial _{b}\varphi +\det(q)V(\varphi )\right)}$.

Estos deben sumarse (multiplicarse por${\displaystyle 8\pi G\beta }$) al difeomorfismo espacial y a la restricción hamiltoniana del campo gravitatorio, respectivamente. Esto representa el acoplamiento de la materia escalar a la gravedad.

Existen problemas al acoplar la gravedad a los campos espinoriales : no hay representaciones espinoriales de dimensión finita del grupo de covarianza general . Sin embargo, sí existen representaciones espinoriales del grupo de Lorentz . Este hecho se aprovecha empleando campos tétradas que describen un espacio tangente plano en cada punto del espaciotiempo. Las matrices de Dirac${\displaystyle \gamma ^{I}}$se contraen en vierbeins,

${\displaystyle \gamma ^{I}e_{I}^{a}(x)=\gamma ^{a}(x)}$.

Deseamos construir una ecuación de Dirac generalmente covariante. Bajo una transformación de Lorentz en un espacio tangente plano , el espinor se transforma como

${\displaystyle \psi \mapsto e^{i\epsilon ^{IJ}(x)\sigma _{IJ}}\psi }$

Hemos introducido transformaciones de Lorentz locales en el espacio tangente plano, por lo que${\displaystyle \epsilon _{IJ}}$es una función del espacio-tiempo. Esto significa que la derivada parcial de un espinor ya no es un tensor genuino. Como es habitual, se introduce un campo de conexión.${\displaystyle \omega _{\mu }^{IJ}}$que nos permite medir el grupo de Lorentz. La derivada covariante definida con la conexión de espín es,

${\displaystyle \nabla _{a}\psi =(\partial _{a}-{i \over 4}\omega _{a}^{IJ}\sigma _{IJ})\psi }$,

y es un tensor genuino y la ecuación de Dirac se reescribe como

${\displaystyle (i\gamma ^{a}\nabla _{a}-m)\psi =0}$.

La acción de Dirac en forma covariante es

${\displaystyle S_{Dirac}={1 \over 2}\int _{\mathcal {M}}d^{4}x{\sqrt {-det(g)}}[{\overline {\Psi }}\gamma ^{I}E_{I}^{a}\nabla _{a}\Psi -{\overline {\nabla _{a}\Psi }}\gamma ^{I}E_{I}^{a}\Psi ]}$

dónde${\displaystyle \Psi =(\psi ,\eta )}$es un bispinor de Dirac y${\displaystyle {\overline {\Psi }}=(\Psi ^{*})^{T}\gamma ^{0}}$es su conjugado. La derivada covariante${\displaystyle \nabla _{a}}$se define para aniquilar la tétrada${\displaystyle E_{a}^{I}}$.

La acción para un campo electromagnético en el espacio-tiempo curvo es

${\displaystyle L=-\int d^{4}x{\sqrt {-\det(g)}}(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }{\mathcal {F}}_{\mu \nu }{\mathcal {F}}_{\alpha \beta })}$

dónde

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\mu \nu }=\nabla ^{\mu }{\mathcal {A}}^{\nu }-\nabla ^{\nu }{\mathcal {A}}^{\mu }}$

es el tensor de intensidad de campo, en componentes

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{0a}={\mathcal {E}}^{a}}$

y${\displaystyle {\mathcal {F}}^{ab}=\epsilon ^{abc}B_{c}}$

donde el campo eléctrico viene dado por

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{a}=-\nabla _{a}{\mathcal {A}}_{0}-{\dot {\mathcal {A}}}_{a}}$

y el campo magnético es.

${\displaystyle B^{a}=\epsilon ^{abc}\nabla _{b}{\mathcal {A}}_{c}}$.

El análisis clásico con la acción de Maxwell, seguido de la formulación canónica utilizando la parametrización de calibre temporal, da como resultado:

${\displaystyle H(N,N^{a},\Lambda )={1 \over 2}\int _{\Sigma }d^{3}xN{q_{ab} \over {\sqrt {det(q)}}}[{\tilde {\mathcal {E}}}^{a}{\tilde {\mathcal {E}}}^{b}+B^{a}B^{b}]+N^{a}{\mathcal {F}}_{ab}{\tilde {\mathcal {E}}}^{a}+\Lambda \nabla _{a}{\tilde {\mathcal {E}}}^{a}}$

${\displaystyle B^{a}=\epsilon ^{abc}B_{c}\qquad \qquad {\tilde {\mathcal {E}}}^{a}=-{\sqrt {q}}N{\mathcal {F}}^{0a}}$

con${\displaystyle {\mathcal {A}}_{a}}$y${\displaystyle {\tilde {\mathcal {E}}}^{a}}$siendo las coordenadas canónicas.

La acción para un campo Yang-Mills para algún grupo de calibre compacto${\displaystyle G}$en el espacio-tiempo curvo es

${\displaystyle L=-\int d^{4}x{\sqrt {-\det(g)}}(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }{\mathcal {F}}_{\mu \nu }^{I}{\mathcal {F}}_{\alpha \beta }^{J}\delta _{IJ})}$

dónde${\displaystyle F}$es la curvatura de algunos${\displaystyle G-}$conexión. Para el modelo estándar${\displaystyle U(1)\times SU(2)\times SU(3)}$.

${\displaystyle H={1 \over 2}\int _{\Sigma }d^{3}x{q_{ab} \over {\sqrt {det(q)}}}[{\tilde {\mathcal {E}}}_{I}^{a}{\tilde {\mathcal {E}}}_{I}^{b}+B_{I}^{a}B_{I}^{b}]}$

La dinámica del sistema acoplado gravedad-materia se define simplemente añadiendo términos que definen la dinámica de la materia al hamiltoniano gravitacional. El hamiltoniano completo se describe mediante

${\displaystyle H=H_{Einstein}+H_{Maxwell}+H_{Yang-Mills}+H_{Dirac}+H_{Higgs}}$.

El bucle de Wilson se define como

${\displaystyle h_{\gamma }[A]={\mathcal {P}}\exp \left\{-\int _{s_{0}}^{s_{1}}ds{\dot {\gamma }}^{a}A_{a}^{i}(\gamma (s))T_{i}\right\}}$

dónde${\displaystyle {\mathcal {P}}}$indica un ordenamiento de ruta de modo que los factores para valores más pequeños de${\displaystyle s}$aparecen a la izquierda, y donde el${\displaystyle T_{i}}$satisfacer la${\displaystyle su(2)}$álgebra,

${\displaystyle [T^{i},T^{j}]=2i\epsilon ^{ijk}T^{k}}$.

Es fácil ver a partir de esto que,

${\displaystyle Tr(T^{i}T^{j})-Tr(T^{j}T^{i})=2i\epsilon ^{ijk}Tr(T^{k})}$.

implica que${\displaystyle Tr(T^{i})=0}$.

Los bucles de Wilson no son independientes entre sí, y de hecho ciertas combinaciones lineales de ellos, llamadas estados de red de espín, forman una base ortonormal. Como las funciones de red de espín forman una base, podemos expandir formalmente cualquier función invariante de gauge de Gauss como:

${\displaystyle \Psi [A]=\sum _{\gamma }\Psi [\gamma ]s_{\gamma }[A]}$.

Esto se denomina transformada inversa del bucle. La transformada del bucle viene dada por

${\displaystyle \Psi [\gamma ]=\int [dA]\Psi [A]s_{\gamma }[A]}$

y es análogo a lo que se hace cuando se pasa a la representación del momento en la mecánica cuántica,

${\displaystyle \psi [x]=\int dk\psi (k)\exp(ikx)}$.

La transformación de bucle define la representación del bucle. Dado un operador${\displaystyle {\hat {O}}}$en la representación de la conexión,

${\displaystyle \Phi [A]={\hat {O}}\Psi [A]}$,

definimos${\displaystyle \Phi [\gamma ]}$mediante la transformación de bucle,

${\displaystyle \Phi [\gamma ]=\int [dA]\Phi [A]s_{\gamma }[A]}$.

Esto implica que se debe definir el operador correspondiente.${\displaystyle {\hat {O}}'}$en${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$en la representación del bucle como

${\displaystyle {\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]s_{\gamma }[A]{\hat {O}}\Psi [A]}$,

o

${\displaystyle {\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]({\hat {O}}^{\dagger }s_{\gamma }[A])\Psi [A]}$,

donde por${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$nos referimos al operador${\displaystyle {\hat {O}}}$pero con el orden de factores inverso. Evaluamos la acción de este operador sobre la red de espín como un cálculo en la representación de conexión y reorganizamos el resultado como una manipulación puramente en términos de bucles (uno debe recordar que al considerar la acción sobre la red de espín se debe elegir el operador que se desea transformar con el orden de factores opuesto al elegido para su acción sobre las funciones de onda).${\displaystyle \Psi [A]}$). Esto da el significado físico del operador${\displaystyle {\hat {O}}'}$. Por ejemplo, si${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$Si se tratara de un difeomorfismo espacial, entonces esto podría considerarse como mantener el campo de conexión.${\displaystyle A}$del${\displaystyle s_{\gamma }[A]}$donde se encuentra mientras realiza un difeomorfismo espacial en${\displaystyle \gamma }$en cambio. Por lo tanto, el significado de${\displaystyle {\hat {O}}'}$es un difeomorfismo espacial en${\displaystyle \gamma }$, el argumento de${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$.

El operador de holonomía en la representación de bucle es el operador de multiplicación,

${\displaystyle {\hat {h}}_{\gamma }\Psi [\eta ]=h_{\gamma }\Psi [\eta ]}$

Promovemos la restricción hamiltoniana a un operador cuántico en la representación de bucle. Se introduce un procedimiento de regularización de red. Suponemos que el espacio se ha dividido en tetraedros.${\displaystyle \Delta }$Se construye una expresión tal que el límite en el que los tetraedros se contraen en tamaño se aproxima a la expresión de la restricción hamiltoniana.

Para cada tetraedro, elige un vértice y llama${\displaystyle v(\Delta )}$. Dejar${\displaystyle s_{i}(\Delta )}$con${\displaystyle i=1,2,3}$ser tres bordes que terminan en${\displaystyle v(\Delta )}$Ahora construimos un bucle

${\displaystyle \alpha _{ij}=s_{i}(\Delta )\cdot s_{ij}(\Delta )\cdot s_{j}(\Delta )^{-1}}$

al avanzar${\displaystyle s_{i}(\Delta )}$luego a lo largo de la línea que une los puntos${\displaystyle s_{i}}$y${\displaystyle s_{j}}$que no lo son${\displaystyle v(\Delta )}$(que hemos denominado${\displaystyle s_{ij}}$) y luego regresar a${\displaystyle v(\Delta )}$a lo largo de${\displaystyle s_{j}}$La holonomía

${\displaystyle h_{\gamma }[A]={\mathcal {P}}\exp \left\{-\int _{s_{0}}^{s_{1}}ds{\dot {\gamma }}^{a}A_{a}^{i}(\gamma (s))T_{i}\right\}\approx I-(s_{k}^{a})A_{a}^{i}T_{i}}$

a lo largo de una línea en el límite el tetraedro se contrae aproxima la conexión a través de

${\displaystyle \lim _{\Delta \rightarrow v(\Delta )}h_{s_{k}}=I-A_{c}s_{k}^{c}}$

dónde${\displaystyle s_{k}^{c}}$es un vector en la dirección del borde${\displaystyle s_{k}}$Se puede demostrar que

${\displaystyle \lim _{\Delta v\rightarrow (\Delta )}h_{\alpha _{ij}}=I+{1 \over 2}F_{ab}s_{i}^{a}s_{j}^{b}}$.

(esto expresa el hecho de que el tensor de intensidad de campo, o curvatura, mide la holonomía alrededor de 'bucles infinitesimales'). Nos vemos llevados a intentar

${\displaystyle H_{\Delta }(N)=\sum _{\Delta }N(v(\Delta ))\epsilon ^{ijk}Tr{\big (}h_{\alpha _{ij}}h_{s_{k}}\{h_{s_{k}}^{-1},V\}{\big )}}$

donde la suma se realiza sobre todos los tetraedros${\displaystyle \Delta }$. Sustituyendo las holonomías,

${\displaystyle H_{\Delta }(N)=\sum _{\Delta }N(v(\Delta ))\epsilon ^{ijk}Tr{\big (}(I+{1 \over 2}F_{ab}s_{i}^{a}s_{j}^{b})(I-A_{c}s_{k}^{c})\{(I+A_{d}s_{k}^{d}),V\}{\big )}}$.

La identidad tendrá un corchete de Poisson evanescente con el volumen, por lo que la única contribución provendrá de la conexión. Como el corchete de Poisson ya es proporcional a${\displaystyle s_{k}^{c}}$solo la parte de identidad de la holonomía${\displaystyle h_{s_{k}}}$fuera del paréntesis contribuye. Finalmente tenemos que la holonomía alrededor${\displaystyle \alpha _{ij}}$; el término identidad no contribuye ya que el corchete de Poisson es proporcional a una matriz de Pauli (ya que${\displaystyle A_{c}=A_{c}^{i}T_{i}}$y la matriz constante${\displaystyle T_{i}}$puede tomarse fuera del corchete de Poisson) y se está tomando la traza. El término restante de${\displaystyle h_{\alpha _{ij}}}$produce el${\displaystyle F_{ab}}$. Las tres longitudes${\displaystyle s}$Los que aparecen se combinan con la suma en el límite para producir una integral.

Esta expresión puede convertirse inmediatamente en un operador en la representación de bucle; tanto las holonomías como el volumen se convierten allí en operadores bien definidos.

La triangulación se elige de forma que se adapte al estado de la red de espín sobre la que se actúa, seleccionando adecuadamente los vértices y las líneas. Al tomar el límite, habrá muchas líneas y vértices de la triangulación que no se corresponderán con las líneas y vértices de la red de espín. Debido a la presencia del volumen, la restricción hamiltoniana solo contribuirá cuando haya al menos tres líneas no coplanares de un vértice.

Aquí solo hemos considerado la acción de la restricción hamiltoniana sobre vértices trivalentes. Calcular la acción sobre vértices de valencia superior es más complicado. Remitimos al lector al artículo de Borissov, De Pietri y Rovelli. ^{[ 8 ]}

El hamiltoniano no es invariante bajo difeomorfismos espaciales y, por lo tanto, su acción solo puede definirse en el espacio cinemático. Se puede transferir su acción a estados invariantes bajo difeomorfismos. Como veremos, esto tiene implicaciones para el lugar exacto donde se agrega la nueva línea. Consideremos un estado${\displaystyle \langle \Psi |}$de tal manera que${\displaystyle \langle \Psi ,s\rangle =\langle \Psi ,s'\rangle }$si las redes de espín${\displaystyle s}$y${\displaystyle s'}$son difeomorfos entre sí. Tal estado no está en el espacio cinemático, sino que pertenece al espacio dual más amplio de un subespacio denso del espacio cinemático. Entonces definimos la acción de${\displaystyle {\hat {H}}(N)}$de la siguiente manera,

${\displaystyle \langle {\hat {H}}(N)\Psi ,s\rangle =\lim _{\Delta \rightarrow v}\sum _{\Delta }\langle \Psi ,{\hat {H}}_{\Delta }(N)s\rangle }$.

La posición de la línea añadida es entonces irrelevante. Cuando uno proyecta en${\displaystyle \Psi }$La posición de la línea no importa porque se trabaja en el espacio de estados invariantes de difeomorfismo, por lo que la línea se puede mover "más cerca" o "más lejos" del vértice sin cambiar el resultado.

El difeomorfismo espacial desempeña un papel crucial en la construcción. Si las funciones no fueran invariantes bajo difeomorfismos, la línea añadida tendría que acortarse hasta el vértice y podrían aparecer posibles divergencias.

La misma construcción puede aplicarse al hamiltoniano de la relatividad general acoplado a la materia: campos escalares, campos de Yang-Mills, fermiones. En todos los casos, la teoría es finita, libre de anomalías y bien definida. La gravedad parece actuar como un "regulador fundamental" de las teorías de la materia.

Las anomalías cuánticas se producen cuando el álgebra de restricciones cuánticas contiene términos adicionales que no tienen contrapartes clásicas. Para recuperar la teoría semiclasica correcta, estos términos adicionales deben desaparecer, pero esto implica restricciones adicionales y reduce el número de grados de libertad de la teoría, haciéndola no física. Se puede demostrar que la restricción hamiltoniana de Theimann está libre de anomalías.

El núcleo es el espacio de estados que la restricción hamiltoniana anula. Se puede esbozar una construcción explícita del núcleo completo y riguroso del operador propuesto. Son los primeros con volumen distinto de cero y que no requieren una constante cosmológica distinta de cero.

El espacio completo de soluciones al difeomorfismo espacial${\displaystyle C^{a}(x)=0}$a pesar de${\displaystyle x\in \Sigma }$Las restricciones ya se encontraron hace mucho tiempo. ^{[ 9 ]} E incluso estaba equipado con un producto interno natural inducido a partir del del espacio de Hilbert cinemático.${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Kin}}$de soluciones a la restricción de Gauss. Sin embargo, no hay posibilidad de definir los operadores de restricción hamiltoniana correspondientes a${\displaystyle H(x)}$(densamente) en${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$porque los operadores de restricción hamiltoniana no preservan los estados invariantes de difeomorfismos espaciales. Por lo tanto, no se puede simplemente resolver la restricción de difeomorfismos espaciales y luego la restricción hamiltoniana y por lo tanto la estructura de producto interno de${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$no se puede emplear en la construcción del producto interno físico. Este problema se puede sortear con el uso de la restricción maestra (véase más abajo), lo que permite aplicar los resultados mencionados para obtener el espacio de Hilbert físico.${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Phys}}$de${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$.

Habrá más novedades aquí...

Recuperando el álgebra de restricciones. Clásicamente tenemos

${\displaystyle \{H(N),H(M)\}=C({\vec {K}})}$

dónde

${\displaystyle K^{a}={\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}^{bi}(N\partial _{b}M-M\partial _{b}N)/(\det(q))}$

Como sabemos, en la representación de bucle un operador autoadjunto genera difeomorfismos espaciales. Por lo tanto, no es posible implementar la relación${\displaystyle \{H(N),H(M)\}}$para en la teoría cuántica con infinitesimal${\displaystyle {\vec {C}}}$, como máximo es posible con dfeomoephismos espaciales finitos.

Ultralocalidad del hamiltoniano: El hamiltoniano solo actúa en los vértices y lo hace "vestindo" el vértice con líneas. No interconecta vértices ni cambia las valencias de las líneas (fuera del "vestimiento"). Las modificaciones que el operador de restricción hamiltoniano realiza en un vértice dado no se propagan por todo el grafo, sino que se limitan a un vecindario del vértice. De hecho, la acción repetida del hamiltoniano genera cada vez más aristas nuevas cada vez más cerca del vértice, sin intersecarse nunca entre sí. En particular, no hay acción en los nuevos vértices creados. Esto implica, por ejemplo, que para superficies que encierran un vértice (definidas de forma invariante difeomórfica), el área de dichas superficies conmutaría con el hamiltoniano, lo que implica que no hay "evolución" de estas áreas, ya que es el hamiltoniano el que genera la "evolución". Esto sugiere que la teoría "no se propaga". Sin embargo, Thiemann señala que el hamiltoniano actúa en todas partes.

Existe una cuestión algo sutil de que el${\displaystyle {\hat {H}}(x)}$, mientras que definido en el espacio de Hilbert${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Kin}}$no se conocen explícitamente (se conocen salvo un difeomorfismo espacial; existen por el axioma de elección ).

Estas dificultades podrían abordarse mediante un nuevo enfoque: el programa de restricciones maestras.

Tenga en cuenta que${\displaystyle {\tilde {\mathcal {E}}}^{a},B^{a}}$ambos tienen un peso de densidad de 1. Como es habitual, antes de la cuantización, necesitamos expresar las restricciones (y otros observables) en términos de las holonomías y los flujos.

Tenemos un factor común de${\displaystyle q_{ab}/{\sqrt {q}}}$. Como antes, introducimos una descomposición celular y observamos,

${\displaystyle {q_{ab} \over {\sqrt {q}}}(x)\propto \delta _{ij}\{A_{a}^{i}(x),{\sqrt {V}}\}\{A_{b}^{j}(x),{\sqrt {V}}\}}$.

Aparte de la naturaleza no abeliana del campo de gauge, en cuanto a la forma, las expresiones proceden de la misma manera que en el caso de Maxwell.

Los operadores de configuración elementales son análogos al operador de holonomía para variables de conexión y actúan mediante multiplicación como

${\displaystyle {\hat {h}}(x,\lambda )\Psi =e^{i\lambda \varphi (x)}\Psi }$.

Estas se denominan holonomías puntuales. La variable conjugada a la holonomía puntual, que se eleva a operador en la teoría cuántica, se toma como el momento del campo suavizado.

${\displaystyle P(f)=\int d^{3}x\pi _{\varphi }(x)f(x)}$

dónde${\displaystyle \pi _{\varphi }}$es el campo de momento conjugado y${\displaystyle f(x)}$es una función de prueba. Su corchete de Poisson viene dado por

${\displaystyle \{h(x,\lambda ),P(f)\}=i\lambda f(x)h(x,\lambda )}$.

En la teoría cuántica se busca una representación del corchete de Poisson como un conmutador de los operadores elementales,

${\displaystyle [{\hat {h}}(x,\lambda ),{\hat {P}}(f)]=i\lambda f(x){\hat {h}}(x,\lambda )}$.

Thiemann ha ilustrado cómo las divergencias ultravioleta de la teoría cuántica ordinaria pueden interpretarse directamente como una consecuencia de la aproximación que ignora la naturaleza cuantizada y discreta de la geometría cuántica. Por ejemplo, Thiemann muestra cómo el operador para el hamiltoniano de Yang-Mills que involucra${\displaystyle E_{a}^{i}}$está bien definido siempre y cuando tratemos${\displaystyle E}$como operador, pero se vuelve infinito tan pronto como lo reemplazamos${\displaystyle E}$con un fondo liso.

El Programa de Restricción Maestra ^{[ 10 ]} para la Gravedad Cuántica de Lazos (LQG) se propuso como una forma clásicamente equivalente de imponer el número infinito de ecuaciones de restricción hamiltonianas.

${\displaystyle H(x)=0}$

en términos de una única restricción maestra,

${\displaystyle M=\int d^{3}x{[H(x)]^{2} \over {\sqrt {\det q(x)}}}}$.

lo cual implica el cuadrado de las restricciones en cuestión. Nótese que${\displaystyle H(x)}$eran infinitos mientras que la restricción maestra es solo una. Está claro que si${\displaystyle M}$entonces desaparece también los infinitos${\displaystyle H(x)}$'s. Por el contrario, si todos los${\displaystyle H(x)}$si desaparece entonces también lo hace${\displaystyle M}$Por lo tanto, son equivalentes.

La restricción maestra${\displaystyle M}$implica un promedio apropiado sobre todo el espacio y por lo tanto es invariante bajo difeomorfismos espaciales (es invariante bajo "desplazamientos" espaciales ya que es una suma sobre todos esos "desplazamientos" espaciales de una cantidad que se transforma como un escalar). De ahí su corchete de Poisson con la restricción de difeomorfismo espacial (difuminado),${\displaystyle C({\vec {N}})}$, es simple:

${\displaystyle \{M,C({\vec {N}})\}=0}$.

(es${\displaystyle su(2)}$invariante también). Además, obviamente como cualquier cantidad de Poisson conmuta consigo misma, y ​​siendo la restricción maestra una sola restricción, satisface

${\displaystyle \{M,M\}=0}$.

También disponemos del álgebra habitual entre difeomorfismos espaciales. Esto representa una simplificación drástica de la estructura del corchete de Poisson.

Escribamos la expresión clásica en la forma

${\displaystyle M=\int d^{3}x{H(x)^{2} \over {\sqrt {\det(q)}}(x)}=\int d^{3}x({H \over [\det(q)]^{1/4}})(x)\int d^{3}y\delta (x,y)({H \over [\det(q)]^{1/4}})(y)}$.

Esta expresión está regulada por una función de un parámetro.${\displaystyle \chi _{\epsilon }(x,y)}$de tal manera que${\displaystyle \lim _{\epsilon \rightarrow 0}\chi _{\epsilon }(x,y)/\epsilon ^{3}=\delta (x,y)}$y${\displaystyle \chi _{\epsilon }(x,x)=1}$. Definir

${\displaystyle V_{\epsilon ,x}=\int d^{3}y\chi _{\epsilon }(x,y){\sqrt {\det(q)}}(y)}$.

Ambos términos serán similares a la expresión para la restricción hamiltoniana excepto que ahora implicará${\displaystyle \{A,{\sqrt {V_{\epsilon }}}\}}$en vez de${\displaystyle \{A,V\}}$que proviene del factor adicional${\displaystyle [\det(q)]^{1/4}}$. Eso es,

${\displaystyle M=\int d^{3}x\epsilon ^{abc}\{A_{c}^{k},{\sqrt {V}}_{\epsilon }\}F_{ab}^{k}(x)\int d^{3}y\chi _{\epsilon }(x,y)\epsilon ^{a'b'c'}\{A_{c'}^{k'},{\sqrt {V}}_{\epsilon }\}F_{a'b'}^{k'}(y)}$.

Así procedemos exactamente igual que para la restricción hamiltoniana e introducimos una partición en tetraedros, dividiendo ambas integrales en sumas,

${\displaystyle M=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\sum _{\Delta ,\Delta '}\chi (v(\Delta ),v(\Delta ')){\overline {C_{\epsilon }(\Delta )}}C_{\epsilon }(\Delta ')}$.

donde el significado de${\displaystyle C_{\epsilon }(\Delta )}$es similar a la de${\displaystyle H_{\Delta }}$Esto es una gran simplificación como${\displaystyle C_{\epsilon }(\Delta )}$puede cuantificarse con precisión como${\displaystyle H_{\Delta }}$con un simple cambio en la potencia del operador de volumen. Sin embargo, se puede demostrar que los operadores invariantes espacialmente difeomorfismos que cambian el gráfico, como la restricción maestra, no se pueden definir en el espacio de Hilbert cinemático.${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Kin}}$La solución es definir${\displaystyle {\hat {M}}}$no está${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Kin}}$pero en${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$.

Lo primero que se hace es poder calcular los elementos de la matriz del operador deseado.${\displaystyle {\hat {M}}}$, es decir, calculamos la forma cuadrática${\displaystyle Q_{M}}$Nos gustaría que hubiera un operador único, positivo y autoadjunto.${\displaystyle {\hat {M}}}$cuyos elementos de matriz se reproducen${\displaystyle Q_{M}}$Se ha demostrado que tal operador existe y está dado por la extensión de Friedrichs . ^{[ 11 ] [ 12 ]}

Como se mencionó anteriormente, no se puede simplemente resolver la restricción de difeomorfismo espacial y luego la restricción hamiltoniana, induciendo un producto interno físico a partir del producto interno de difeomorfismo espacial, porque la restricción hamiltoniana mapea estados espacialmente invariantes de difeomorfismo a estados no espacialmente invariantes de difeomorfismo. Sin embargo, como la restricción maestra${\displaystyle M}$es espacialmente invariante bajo difeomorfismos, puede definirse en${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$Por lo tanto, finalmente podemos explotar todo el potencial de los resultados mencionados anteriormente para obtener${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$de${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Kin}}$. ^{[ 9 ]}