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Mikhael Gromov (matemático)

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Mikhael Leonidovich Gromov (también Mikhail Gromov , Michael Gromov o Misha Gromov ; en ruso: Михаи́л Леони́дович Гро́мов ; nacido el 23 de diciembre de 1943) es un matemático ruso-francés conocido por su trabajo en geometría , análisis y teoría de grupos . Es miembro permanente del Institut des Hautes Études Scientifiques en Francia y profesor de matemáticas en la Universidad de Nueva York .

Gromov ha ganado varios premios, entre ellos el Premio Abel en 2009 "por sus revolucionarias contribuciones a la geometría".

Primeros años, educación y carrera profesional

Mikhail Gromov nació el 23 de diciembre de 1943 en Boksitogorsk , Unión Soviética . Su padre, Leonid Gromov, era ruso y su madre, Lea, era de ascendencia judía . Ambos eran patólogos . [ 1 ] Su madre era prima del campeón mundial de ajedrez Mikhail Botvinnik , así como del matemático Isaak Moiseevich Rabinovich. [ 2 ] Gromov nació durante la Segunda Guerra Mundial , y su madre, que trabajaba como médica en el Ejército Soviético, tuvo que abandonar el frente para dar a luz. [ 3 ] Cuando Gromov tenía nueve años, [ 4 ] su madre le regaló el libro El disfrute de las matemáticas de Hans Rademacher y Otto Toeplitz , un libro que despertó su curiosidad y tuvo una gran influencia en él. [ 3 ]

Gromov estudió matemáticas en la Universidad Estatal de Leningrado, donde obtuvo una maestría en 1965, un doctorado en 1969 y defendió su tesis postdoctoral en 1973. Su director de tesis fue Vladimir Rokhlin . [ 5 ]

Gromov se casó en 1967. En 1970, fue invitado a dar una presentación en el Congreso Internacional de Matemáticos en Niza , Francia. Sin embargo, no se le permitió salir de la URSS. Aun así, su conferencia fue publicada en las actas del congreso. [ 6 ]

En desacuerdo con el sistema soviético, había estado pensando en emigrar desde los 14 años. A principios de la década de 1970 dejó de publicar, con la esperanza de que esto facilitara su solicitud para mudarse a Israel . [ 4 ] [ 7 ] Cambió su apellido por el de su madre. [ 4 ] Recibió una carta cifrada que decía que, si lograba salir de la Unión Soviética, podría ir a Stony Brook , donde le habían conseguido un puesto. Cuando se le concedió la solicitud en 1974, se mudó directamente a Nueva York y trabajó en Stony Brook. [ 6 ]

En 1981 dejó la Universidad de Stony Brook para incorporarse a la facultad de la Universidad de París VI y en 1982 se convirtió en profesor titular del Institut des Hautes Études Scientifiques, donde permanece hasta la actualidad. Simultáneamente, ha sido profesor en la Universidad de Maryland, College Park, de 1991 a 1996, y en el Courant Institute of Mathematical Sciences de Nueva York desde 1996. [ 8 ] Adoptó la ciudadanía francesa en 1992. [ 9 ]

Trabajar

El estilo geométrico de Gromov a menudo presenta un punto de vista "grueso" o "suave", analizando propiedades asintóticas o a gran escala. [G00] También está interesado en la biología matemática , [ 10 ] la estructura del cerebro y el proceso de pensamiento, y la forma en que evolucionan las ideas científicas. [ 6 ]

Motivado por los teoremas de incrustación isométrica de Nash y Kuiper y los resultados sobre inmersiones de Morris Hirsch y Stephen Smale , [ 10 ] Gromov introdujo el principio h en varias formulaciones. Modelado a partir del caso especial de la teoría de Hirsch-Smale, introdujo y desarrolló la teoría general de haces microflexibles , demostrando que satisfacen un principio h en variedades abiertas . [G69] Como consecuencia (entre otros resultados) pudo establecer la existencia de métricas riemannianas de curvatura positiva y negativa en cualquier variedad abierta . Su resultado está en contraposición a las conocidas restricciones topológicas (como el teorema del alma de Cheeger-Gromoll o el teorema de Cartan-Hadamard ) en variedades riemannianas geodésicamente completas de curvatura positiva o negativa. Después de este trabajo inicial, desarrolló más principios h, en parte en colaboración con Yakov Eliashberg , incluyendo trabajos basados ​​en el teorema de Nash y Kuiper y el teorema de la función implícita de Nash-Moser . Existen muchas aplicaciones de sus resultados, incluyendo condiciones topológicas para la existencia de inmersiones lagrangianas exactas y objetos similares en geometría simpléctica y de contacto . [ 11 ] [ 12 ] Su conocido libro Relaciones diferenciales parciales recopila la mayor parte de su trabajo sobre estos problemas. [G86] Posteriormente, aplicó sus métodos a la geometría compleja , demostrando ciertas instancias del principio de Oka sobre la deformación de mapas continuos a mapas holomorfos . [G89] Su trabajo inició un estudio renovado de la teoría de Oka-Grauert, que se había introducido en la década de 1950. [ 13 ] [ 14 ]

Gromov y Vitali Milman formularon el fenómeno de concentración de la medida . [GM83] Definieron una "familia de Lévy" como una secuencia de espacios de medida métricos normalizados en los que cualquier secuencia de conjuntos asintóticamente no nula puede ampliarse métricamente para incluir casi todos los puntos. Esto imita fielmente el fenómeno de la ley de los grandes números , y de hecho, la ley de los grandes números puede enmarcarse dentro del contexto de las familias de Lévy. Gromov y Milman desarrollaron la teoría básica de las familias de Lévy e identificaron varios ejemplos, principalmente provenientes de secuencias de variedades riemannianas en las que la cota inferior de la curvatura de Ricci o el primer autovalor del operador de Laplace-Beltrami divergen al infinito. También destacaron una característica de las familias de Lévy según la cual cualquier secuencia de funciones continuas debe ser asintóticamente casi constante. Estas consideraciones han sido desarrolladas posteriormente por otros autores, como Michel Talagrand . [ 15 ]

Desde la publicación seminal de 1964 de James Eells y Joseph Sampson sobre mapas armónicos , se habían deducido varios fenómenos de rigidez a partir de la combinación de un teorema de existencia para mapeos armónicos junto con un teorema de anulación que afirmaba que (ciertos) mapeos armónicos deben ser totalmente geodésicos u holomorfos. [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] Gromov tuvo la intuición de que la extensión de este programa al entorno de mapeos en espacios métricos implicaría nuevos resultados en grupos discretos , siguiendo la superrigidez de Margulis . Richard Schoen llevó a cabo el trabajo analítico para extender la teoría del mapa armónico al entorno del espacio métrico; esto fue posteriormente realizado de manera más sistemática por Nicholas Korevaar y Schoen, estableciendo extensiones de la mayor parte de la teoría estándar del espacio de Sobolev . [ 19 ] Una aplicación de ejemplo de los métodos de Gromov y Schoen es el hecho de que las retículas en el grupo de isometría del espacio hiperbólico cuaterniónico son aritméticas . [GS92]

geometría riemanniana

En 1978, Gromov introdujo la noción de variedades casi planas . [G78] El famoso teorema de la esfera un cuarto de pinza en geometría riemanniana afirma que si una variedad riemanniana completa tiene curvaturas seccionales suficientemente cercanas a una constante positiva dada, entonces M debe estar cubierta finitamente por una esfera. En contraste, se puede ver mediante escalamiento que toda variedad riemanniana cerrada tiene métricas riemannianas cuyas curvaturas seccionales son arbitrariamente cercanas a cero. Gromov demostró que si la posibilidad de escalamiento se rompe al considerar solo variedades riemannianas de un diámetro fijo, entonces una variedad cerrada que admita dicha métrica riemanniana, con curvaturas seccionales suficientemente cercanas a cero, debe estar cubierta finitamente por una nilvariedad . La demostración funciona repitiendo las demostraciones del teorema de Bieberbach y el lema de Margulis . La demostración de Gromov fue expuesta cuidadosamente por Peter Buser y Hermann Karcher. [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]

En 1979, Richard Schoen y Shing-Tung Yau demostraron que la clase de variedades suaves que admiten métricas riemannianas de curvatura escalar positiva es topológicamente rica. En particular, demostraron que esta clase es cerrada bajo la operación de suma conexa y de cirugía en codimensión al menos tres. [ 23 ] Su demostración utilizó métodos elementales de ecuaciones diferenciales parciales , en particular relacionados con la función de Green . Gromov y Blaine Lawson dieron otra demostración de los resultados de Schoen y Yau, utilizando construcciones geométricas elementales. [GL80b] También demostraron cómo resultados puramente topológicos como el teorema de h-cobordismo de Stephen Smale podían aplicarse para extraer conclusiones como el hecho de que toda variedad suave cerrada y simplemente conexa de dimensión 5, 6 o 7 tiene una métrica riemanniana de curvatura escalar positiva. Además, introdujeron la nueva clase de variedades ampliables , distinguidas por una condición en la teoría de homotopía . [GL80a] Demostraron que las métricas riemannianas de curvatura escalar positiva no pueden existir en tales variedades. Una consecuencia particular es que el toro no puede soportar ninguna métrica riemanniana de curvatura escalar positiva, lo cual había sido una importante conjetura resuelta previamente por Schoen y Yau en dimensiones bajas. [ 24 ]

En 1981, Gromov identificó restricciones topológicas, basadas en números de Betti , en variedades que admiten métricas riemannianas de curvatura seccional no negativa . [G81a] La idea principal de su trabajo fue combinar la teoría de Morse de Karsten Grove y Katsuhiro Shiohama para la función de distancia riemanniana, con el control de la función de distancia obtenido a partir del teorema de comparación de Toponogov , junto con la desigualdad de Bishop-Gromov sobre el volumen de bolas geodésicas. [ 25 ] Esto resultó en recubrimientos topológicamente controlados de la variedad por bolas geodésicas, a los cuales se podían aplicar argumentos de secuencia espectral para controlar la topología de la variedad subyacente. La topología de las cotas inferiores en la curvatura seccional aún no se comprende completamente, y el trabajo de Gromov sigue siendo un resultado primario. Como aplicación de la teoría de Hodge , Peter Li y Yau pudieron aplicar sus estimaciones de gradiente para encontrar estimaciones similares del número de Betti que son más débiles que las de Gromov pero permiten que la variedad tenga frontera convexa. [ 26 ]

En la teoría fundamental de compacidad de Jeff Cheeger para variedades riemannianas, un paso clave en la construcción de coordenadas en el espacio límite es una estimación del radio de inyectividad para variedades cerradas . [ 27 ] Cheeger, Gromov y Michael Taylor localizaron la estimación de Cheeger, mostrando cómo usar la comparación de volumen de Bishop-Gromov para controlar el radio de inyectividad en términos absolutos mediante límites de curvatura y volúmenes de bolas geodésicas. [CGT82] Su estimación se ha utilizado en varios lugares donde la construcción de coordenadas es un problema importante. [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] Un ejemplo particularmente conocido de esto es mostrar que el "teorema de no colapso" de Grigori Perelman para el flujo de Ricci , que controla el volumen, es suficiente para permitir aplicaciones de la teoría de compacidad de Richard Hamilton . [ 31 ] [ 32 ] [ 33 ] Cheeger, Gromov y Taylor aplicaron su estimación del radio de inyectividad para demostrar el control gaussiano del núcleo de calor , aunque estas estimaciones fueron mejoradas posteriormente por Li y Yau como una aplicación de sus estimaciones de gradiente. [ 26 ]

Gromov realizó contribuciones fundamentales a la geometría sistólica . La geometría sistólica estudia la relación entre los invariantes de tamaño (como el volumen o el diámetro) de una variedad M y sus subvariedades topológicamente no triviales (como las curvas no contraíbles). En su artículo de 1983 "Filling Riemannian manifolds" [G83], Gromov demostró que toda variedad esencialMETRO{\displaystyle M}con una métrica riemanniana contiene una geodésica cerrada no contraíble de longitud como máximodo(norte)Vol⁡(METRO)1/norte{\displaystyle C(n)\operatorname {Vol} (M)^{1/n}}. [ 34 ]

Convergencia de Gromov-Hausdorff y teoría geométrica de grupos

En 1981, Gromov introdujo la métrica de Gromov-Hausdorff , que dota al conjunto de todos los espacios métricos de la estructura de un espacio métrico. [G81b] De forma más general, se puede definir la distancia de Gromov-Hausdorff entre dos espacios métricos, en función de la elección de un punto en cada espacio. Si bien esto no proporciona una métrica en el espacio de todos los espacios métricos, es suficiente para definir la "convergencia de Gromov-Hausdorff" de una sucesión de espacios métricos con punto a un límite. Gromov formuló un importante teorema de compacidad en este contexto, que establece una condición bajo la cual una sucesión de espacios métricos con punto y "propios" debe tener una subsucesión convergente. Posteriormente, Gromov y otros reformularon este teorema en la noción más flexible de ultralímite . [G93]

El teorema de compacidad de Gromov tuvo un profundo impacto en el campo de la teoría geométrica de grupos . Lo aplicó para comprender la geometría asintótica de la métrica de palabras de un grupo de crecimiento polinomial , tomando el límite de reescalamientos bien elegidos de la métrica. Al rastrear los límites de las isometrías de la métrica de palabras, pudo demostrar que el espacio métrico límite tiene continuidades inesperadas y, en particular, que su grupo de isometrías es un grupo de Lie . [G81b] Como consecuencia, pudo resolver la conjetura de Milnor-Wolf, planteada en la década de 1960, que afirma que cualquier grupo de este tipo es virtualmente nilpotente . Utilizando ultralímites, se pueden estudiar estructuras asintóticas similares para espacios métricos más generales. [G93] Bruce Kleiner , Bernhard Leeb y Pierre Pansu , entre otros, realizaron importantes desarrollos sobre este tema . [ 35 ] [ 36 ]

Otra consecuencia es el teorema de compacidad de Gromov , que establece que el conjunto de variedades riemannianas compactas con curvatura de Ricci ≥ c y diámetro ≤ D es relativamente compacto en la métrica de Gromov-Hausdorff. [G81b] Los posibles puntos límite de secuencias de dichas variedades son espacios de Alexandrov con curvatura ≥ c , una clase de espacios métricos estudiados en detalle por Burago , Gromov y Perelman en 1992. [BGP92]

Junto con Eliyahu Rips , Gromov introdujo la noción de grupos hiperbólicos . [G87]

Geometría simpléctica

La teoría de Gromov sobre las curvas pseudoholomorfas es uno de los fundamentos del estudio moderno de la geometría simpléctica . [G85] Aunque no fue el primero en considerar las curvas pseudoholomorfas, descubrió un fenómeno de "burbujeo" paralelo al trabajo anterior de Karen Uhlenbeck sobre las conexiones de Yang-Mills y al trabajo de Uhlenbeck y Jonathan Sack sobre los mapas armónicos . [ 37 ] [ 38 ] Desde el trabajo de Sacks, Uhlenbeck y Gromov, se han encontrado fenómenos de burbujeo similares en otros contextos geométricos. El teorema de compacidad correspondiente que codifica el burbujeo permitió a Gromov llegar a varias conclusiones analíticamente profundas sobre la existencia de curvas pseudoholomorfas. Un resultado particularmente famoso de Gromov, derivado de la teoría de la existencia y la fórmula de monotonicidad para superficies mínimas , es el " teorema de no compresión ", que aportó una característica cualitativa notable a la geometría simpléctica. Siguiendo las ideas de Edward Witten , el trabajo de Gromov también es fundamental para la teoría de Gromov-Witten , un tema ampliamente estudiado que abarca la teoría de cuerdas , la geometría algebraica y la geometría simpléctica . [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] Desde otra perspectiva, el trabajo de Gromov también inspiró gran parte del trabajo de Andreas Floer . [ 42 ]

Yakov Eliashberg y Gromov desarrollaron parte de la teoría básica para las nociones simplécticas de convexidad. [EG91] Introdujeron varias nociones específicas de convexidad, todas ellas relacionadas con la existencia de familias uniparamétricas de difeomorfismos que contraen la forma simpléctica. Demostraron que la convexidad es un contexto apropiado para que se cumpla un principio h en el problema de construir ciertos simplectomorfismos . También introdujeron nociones análogas en geometría de contacto ; la existencia de estructuras de contacto convexas fue estudiada posteriormente por Emmanuel Giroux . [ 43 ]

Premios y distinciones

Premios

Honores

Véase también

Publicaciones

Libros

Artículos principales

Notas

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  61. ↑ Toledo, Domingo (1996). "Reseña: Geometric group theory, Vol. 2: Asymptotic invariants of infinite groups , by M. Gromov" . Bull. Amer. Math. Soc. (NS) . 33 (3): 395– 398. doi : 10.1090/s0273-0979-96-00669-6 .

Referencias

  • Marcel Berger , " Encuentro con un geómetra, Parte I ", AMS Notices , Volumen 47, Número 2
  • Marcel Berger, " Encuentro con un geómetra, Parte II ", AMS Notices , Volumen 47, Número 3

Logotipo de Wikimedia CommonsMedios relacionados con Mikhail Leonidovich Gromov en Wikimedia Commons

  • Página personal del Institut des Hautes Études Scientifiques
  • Página personal en NYU
  • Mikhail Gromov en el Proyecto de Genealogía Matemática
  • Anatoly Vershik, "La geometría de Gromov"