teoría de conjuntos de Zermelo

La teoría de conjuntos de Zermelo (a veces denotada por Z- ⁾ , tal como se expuso en un artículo fundamental de 1908 ^{[ 1 ]} por Ernst Zermelo , es la precursora de la teoría de conjuntos moderna de Zermelo-Fraenkel (ZF) y sus extensiones, como la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG). Presenta ciertas diferencias con respecto a sus descendientes, que no siempre se comprenden y que con frecuencia se citan erróneamente. Este artículo expone los axiomas originales , con el texto original (traducido al inglés) y la numeración original.

Los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo se formulan para objetos, algunos de los cuales (pero no necesariamente todos) son conjuntos, y los restantes son urelementos y no conjuntos. El lenguaje de Zermelo incluye implícitamente una relación de pertenencia ∈, una relación de igualdad = (si no está incluida en la lógica subyacente) y un predicado unario que indica si un objeto es un conjunto. Las versiones posteriores de la teoría de conjuntos suelen asumir que todos los objetos son conjuntos, por lo que no existen urelementos y no es necesario el predicado unario.

1. AXIOMA I. Axioma de extensionalidad ( Axiom der Bestimmtheit ) "Si cada elemento de un conjunto M es también un elemento de N y viceversa... entonces M${\displaystyle \equiv }$N. En resumen, todo conjunto está determinado por sus elementos.
2. AXIOMA II. Axioma de los conjuntos elementales ( Axiom der Elementarmengen ) "Existe un conjunto, el conjunto vacío , ∅, que no contiene ningún elemento. Si a es cualquier objeto del dominio, existe un conjunto { a } que contiene a y solo a como elemento. Si a y b son dos objetos cualesquiera del dominio, siempre existe un conjunto { a , b } que contiene a y b como elementos , pero ningún objeto x distinto de ambos." Véase Axioma del conjunto vacío y Axioma del emparejamiento .
3. AXIOMA III. Axioma de separación ( Axiom der Aussonderung ) "Siempre que la función proposicional – ( x ) esté definida para todos los elementos de un conjunto M , M posee un subconjunto M'  que contiene como elementos precisamente aquellos elementos x de M para los cuales – ( x ) es verdadera."
4. AXIOMA IV. Axioma del conjunto potencia ( Axiom der Potenzmenge ) "A cada conjunto T le corresponde un conjunto T'  , el conjunto potencia de T , que contiene como elementos precisamente todos los subconjuntos de T.  "
5. AXIOMA V. Axioma de la unión ( Axiom der Vereinigung ) "A cada conjunto T le corresponde un conjunto ∪T , la unión de T , que contiene como elementos precisamente todos los elementos de los elementos de T.  "
6. AXIOMA VI. Axioma de elección ( Axiom der Auswahl ) "Si T es un conjunto cuyos elementos son todos conjuntos distintos de ∅ y disjuntos entre sí, su unión ∪T incluye al menos un subconjunto S ₁ que tiene uno y solo un elemento en común con cada elemento de T.  "
7. AXIOMA VII. Axioma del infinito ( Axiom des Unendlichen ) "Existe en el dominio al menos un conjunto Z que contiene el conjunto vacío como un elemento y está constituido de tal manera que a cada uno de sus elementos a le corresponde otro elemento de la forma { a }, en otras palabras, que con cada uno de sus elementos a también contiene el conjunto correspondiente { a } como elemento." ^{[ 1 ]}

La teoría de conjuntos más utilizada y aceptada se conoce como ZFC, que consiste en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, incluyendo el axioma de elección (AC). Los enlaces muestran dónde se corresponden los axiomas de la teoría de Zermelo. No hay una correspondencia exacta para el "axioma de conjuntos elementales". Se puede descomponer en el axioma del conjunto vacío , el axioma de emparejamiento y un axioma adicional que afirma la existencia de conjuntos unitarios . Sin embargo, la existencia de conjuntos unitarios se puede derivar dentro de la teoría de conjuntos de Zermelo de la siguiente manera: si existe a , existen a y a , por lo tanto, por emparejamiento existe { a , a }, y por extensión { a , a } = { a }. El axioma del conjunto vacío también está ya asumido por el enunciado del axioma del infinito de Zermelo.

La teoría de conjuntos de Zermelo no incluye los axiomas de reemplazo y regularidad . El axioma de reemplazo fue publicado por primera vez en 1922 por _Abraham Fraenkel y Thoralf Skolem _, quienes descubrieron independientemente que los axiomas de Zermelo no pueden probar la existencia del conjunto { _Z₀ , Z₁ , _Z₂ , _... } _, donde Z₀ es el conjunto de los números naturales y Zₙ₊₁ es el conjunto potencia de Zₙ _. Ambos se percataron de que el axioma de reemplazo es necesario para demostrar esto. Al año siguiente, John von Neumann señaló que el axioma de regularidad es necesario para construir su teoría de los ordinales . El axioma de regularidad fue enunciado por von Neumann en 1925. ^{[ 2 ]}   

En el sistema ZFC moderno, la "función proposicional" a la que se refiere el axioma de separación se interpreta como "cualquier propiedad definible por una fórmula de primer orden con parámetros", por lo que el axioma de separación se reemplaza por un esquema axiomático . La noción de " fórmula de primer orden " era desconocida en 1908, cuando Zermelo publicó su sistema axiomático, y posteriormente rechazó esta interpretación por considerarla demasiado restrictiva. La teoría de conjuntos de Zermelo se suele considerar una teoría de primer orden, donde el axioma de separación se reemplaza por un esquema axiomático con un axioma para cada fórmula de primer orden . También puede considerarse una teoría de lógica de segundo orden , donde ahora el axioma de separación es un único axioma. La interpretación de segundo orden de la teoría de conjuntos de Zermelo probablemente se acerca más a la propia concepción de Zermelo y es más fuerte que la interpretación de primer orden. El axioma del conjunto vacío ya no se incluye habitualmente en las axiomatizaciones de la teoría de conjuntos porque se deduce del axioma (esquema) de separación para cualquier fórmula contradictoria como${\displaystyle x\neq x}$.

Desde${\displaystyle (V_{\lambda},V_{\lambda +1})}$- dónde${\displaystyle V_{\alpha }}$es el rango-${\displaystyle \alpha }$establecido en la jerarquía acumulativa — forma un modelo de teoría de conjuntos de Zermelo de segundo orden dentro de ZFC siempre que${\displaystyle \lambda }$es un ordinal límite mayor que el ordinal infinito más pequeño${\displaystyle \omega }$De ello se deduce que la consistencia de la teoría de conjuntos de Zermelo de segundo orden (y por lo tanto también la de la teoría de conjuntos de Zermelo de primer orden) es un teorema de ZFC. Si consideramos${\displaystyle \lambda =\omega \cdot 2}$, la existencia de un cardinal límite fuerte no numerable no se satisface en dicho modelo; por lo tanto, la existencia de ℶ _ω (el cardinal límite fuerte no numerable más pequeño) no puede probarse en la teoría de conjuntos de Zermelo de segundo orden. De manera similar, el conjunto${\displaystyle V_{\omega \cdot 2}\cap L}$(donde L es el universo construible ) forma un modelo de teoría de conjuntos de Zermelo de primer orden en el que no se satisface la existencia de un cardinal límite débil no numerable, lo que demuestra que la teoría de conjuntos de Zermelo de primer orden ni siquiera puede probar la existencia del cardinal singular más pequeño .${\displaystyle \aleph _{\omega }}$Dentro de dicho modelo, los únicos cardinales infinitos son los números aleph restringidos a ordinales de índice finito.

El axioma del infinito se modifica ahora generalmente para afirmar la existencia del primer ordinal infinito de von Neumann.${\displaystyle \omega }$; los axiomas originales de Zermelo no pueden probar la existencia de este conjunto, ni los axiomas modificados de Zermelo pueden probar el axioma de infinito de Zermelo. ^{[ 3 ]} Los axiomas de Zermelo (originales o modificados) no pueden probar la existencia de${\displaystyle V_{\omega }}$ni como un conjunto ni de ningún rango de la jerarquía acumulativa de conjuntos con índice infinito. En ninguna formulación, la teoría de conjuntos de Zermelo puede probar la existencia del ordinal de von Neumann.${\displaystyle \omega \cdot 2}$, a pesar de probar la existencia de tal tipo de orden ; por lo tanto, la definición de ordinales de von Neumann no se emplea para la teoría de conjuntos de Zermelo.

Zermelo admitió la existencia de urelementos que no son conjuntos y no contienen elementos; estos ahora generalmente se omiten en las teorías de conjuntos.

La teoría de conjuntos de Mac Lane, introducida por Mac Lane ( 1986 ) , es una teoría de conjuntos de Zermelo con el axioma de separación restringido a fórmulas de primer orden en las que cada cuantificador está acotado. La teoría de conjuntos de Mac Lane es similar en fuerza a la teoría de topos con un objeto de número natural , o al sistema de Principia mathematica . Es lo suficientemente fuerte como para abarcar casi todas las matemáticas ordinarias no directamente relacionadas con la teoría de conjuntos o la lógica. 

La introducción afirma que la existencia misma de la disciplina de la teoría de conjuntos «parece estar amenazada por ciertas contradicciones o “antinomias” que se derivan de sus principios —principios que, al parecer , rigen necesariamente nuestro pensamiento— y para las que aún no se ha encontrado una solución del todo satisfactoria». Zermelo se refiere , entre otras, a la antinomia de Russell .

Afirma que quiere demostrar cómo la teoría original de Georg Cantor y Richard Dedekind puede reducirse a unas pocas definiciones y siete principios o axiomas. Añade que no ha podido demostrar la coherencia de dichos axiomas.

Un argumento no constructivista a favor de su consistencia es el siguiente. Definimos V _α para α uno de los ordinales 0, 1, 2, ..., ω , ω +1, ω +2,..., ω ·2 de la siguiente manera:

• V ₀ es el conjunto vacío.
• Para α un sucesor de la forma β +1, V _α se define como la colección de todos los subconjuntos de V _β .
• Para α un límite (por ejemplo , ω , ω ·2), entonces V _α se define como la unión de V _β para β < α .

Entonces, los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo son consistentes porque son verdaderos en el modelo V _{ω ·2} . Si bien un no constructivista podría considerar esto un argumento válido, un constructivista probablemente no lo haría: aunque no hay problemas con la construcción de los conjuntos hasta V _ω , la construcción de V _{ω +1} es menos clara porque no se puede definir constructivamente cada subconjunto de V _ω . Este argumento puede convertirse en una prueba válida con la adición de un nuevo axioma de infinito a la teoría de conjuntos de Zermelo, simplemente que V _{ω ·2} existe . Esto presumiblemente no es convincente para un constructivista, pero muestra que la consistencia de la teoría de conjuntos de Zermelo puede probarse con una teoría que no es muy diferente de la propia teoría de Zermelo, solo un poco más potente.

Zermelo comenta que el Axioma III de su sistema es el responsable de eliminar las antinomias. Se diferencia de la definición original de Cantor, como sigue.

Los conjuntos no pueden definirse independientemente mediante ninguna noción lógica arbitraria. Deben construirse a partir de conjuntos previamente construidos. Por ejemplo, pueden construirse tomando conjuntos potencia o pueden separarse como subconjuntos de conjuntos ya "dados". Esto, según él, elimina ideas contradictorias como "el conjunto de todos los conjuntos" o "el conjunto de todos los números ordinales".

Él resuelve la paradoja de Russell mediante este teorema: "Cada conjunto${\displaystyle M}$posee al menos un subconjunto${\displaystyle M_{0}}$eso no es un elemento de${\displaystyle M}$." Dejar${\displaystyle M_{0}}$ser el subconjunto de${\displaystyle M}$que, según el AXIOMA III, se separa por la noción "${\displaystyle x\notin x}$". Entonces${\displaystyle M_{0}}$no puede estar en${\displaystyle M}$. Para

1. Si${\displaystyle M_{0}}$está en${\displaystyle M_{0}}$, entonces${\displaystyle M_{0}}$contiene un elemento x para el cual x está en x (es decir,${\displaystyle M_{0}}$en sí mismo), lo que contradiría la definición de${\displaystyle M_{0}}$.
2. Si${\displaystyle M_{0}}$no está en${\displaystyle M_{0}}$y suponiendo${\displaystyle M_{0}}$es un elemento de M , entonces${\displaystyle M_{0}}$es un elemento de M que satisface la definición "${\displaystyle x\notin x}$", y así es en${\displaystyle M_{0}}$, lo cual es una contradicción.

Por lo tanto, la suposición de que${\displaystyle M_{0}}$está en${\displaystyle M}$es erróneo, lo que demuestra el teorema. Por lo tanto, no todos los objetos del dominio universal B pueden ser elementos de un mismo conjunto. «Esto resuelve la antinomia de Russell en lo que a nosotros respecta».

Esto dejó pendiente el problema del "dominio B ", que parece referirse a algo. Esto llevó a la idea de una clase propia .

El artículo de Zermelo podría ser el primero en mencionar el " teorema de Cantor ". El teorema de Cantor establece: "Si M es un conjunto arbitrario, entonces siempre M < P( M ) [el conjunto potencia de M ]. Todo conjunto tiene una cardinalidad menor que el conjunto de sus subconjuntos".

Zermelo demuestra esto considerando una función φ : M → P( M ). Por el Axioma III, esto define el siguiente conjunto M'  :

M'  = { m : m ∉ φ ( m )}.

Pero ningún elemento m'  de M  podría corresponder a M'  , es decir, tal que φ ( m'  ) = M'  . De lo contrario, podemos construir una contradicción:

1. Si m'  está en M',  entonces por definición m'  ∉ φ ( m'  ) = M'  , que es la primera parte de la contradicción.
2. Si m'  no está en M'  sino en M  , entonces por definición m'  ∉ M'  = φ ( m'  ), lo que por definición implica que m'  está en M'  , que es la segunda parte de la contradicción.

Por lo tanto, por contradicción, m'  no existe. Nótese el gran parecido de esta demostración con la forma en que Zermelo resuelve la paradoja de Russell.

• S (teoría de conjuntos)