Teorema de la categoría de Baire

El teorema de la categoría de Baire ( TCB ) es un resultado importante en topología general y análisis funcional . El teorema tiene dos formas, cada una de las cuales proporciona condiciones suficientes para que un espacio topológico sea un espacio de Baire (un espacio topológico tal que la intersección de una cantidad numerable de conjuntos abiertos densos sigue siendo densa). Se utiliza en la demostración de resultados en muchas áreas del análisis y la geometría , incluyendo algunos de los teoremas fundamentales del análisis funcional .

Las primeras versiones del teorema de la categoría de Baire fueron demostradas independientemente en 1897 por Osgood para la recta real.${\displaystyle \mathbb {R} }$y en 1899 por Baire ^{[ 1 ]} para el espacio euclidiano${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. ^{[ 2 ]} La afirmación más general para espacios completamente metrizables fue mostrada por primera vez por Hausdorff ^{[ 3 ]} en 1914.

Un espacio de Baire es un espacio topológico.${\displaystyle X}$en la que cada intersección numerable de conjuntos abiertos densos es densa en${\displaystyle X.}$ Consulte el artículo correspondiente para obtener una lista de caracterizaciones equivalentes, ya que algunas son más útiles que otras según la aplicación.

• ( BCT1 ) Todo espacio topológico completamente metrizable es un espacio de Baire. ^{[ 4 ]} De manera más general, todo espacio pseudométrico completo es un espacio de Baire. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}
• ( BCT2 ) Todo espacio de Hausdorff localmente compacto es un espacio de Baire. ^{[ 8 ] [ 4 ]} De manera más general, todo espacio regular localmente compacto es un espacio de Baire. ^{[ 5 ] [ 9 ]}

Ninguna de estas afirmaciones implica directamente a la otra, ya que existen espacios métricos completos que no son localmente compactos (los números irracionales con la métrica definida más adelante; también, cualquier espacio de Banach de dimensión infinita ), y existen espacios de Hausdorff localmente compactos que no son metrizables (por ejemplo, cualquier producto no numerable de espacios de Hausdorff compactos no triviales; también, varios espacios de funciones utilizados en el análisis funcional; el espacio de Fort no numerable ). Véanse Steen y Seebach en las referencias que figuran a continuación.

La demostración de BCT1 para espacios métricos completos arbitrarios requiere alguna forma del axioma de elección ; y de hecho, BCT1 es equivalente sobre ZF al axioma de elección dependiente , una forma débil del axioma de elección. ^{[ 10 ]}

Una forma restringida del teorema de la categoría de Baire, en la que también se supone que el espacio métrico completo es separable , se puede demostrar en ZF sin principios de elección adicionales. ^{[ 11 ]} Esta forma restringida se aplica en particular a la recta real , el espacio de Baire.${\displaystyle \omega ^{\omega },}$el espacio Cantor${\displaystyle 2^{\omega },}$y un espacio de Hilbert separable como el${\displaystyle L^{p}}$-espacio${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$.

En el análisis funcional , BCT1 se puede utilizar para demostrar el teorema de la aplicación abierta , el teorema del grafo cerrado y el principio de acotación uniforme .

BCT1 también muestra que todo espacio métrico completo no vacío sin puntos aislados es incontable . (Si${\displaystyle X}$es un espacio métrico numerable no vacío sin ningún punto aislado, entonces cada singleton${\displaystyle \{x\}}$en${\displaystyle X}$no es denso en ninguna parte , y${\displaystyle X}$es escaso en sí mismo.) En particular, esto prueba que el conjunto de todos los números reales es incontable.

BCT1 muestra que cada uno de los siguientes es un espacio de Baire:

• El espacio${\displaystyle \mathbb {R} }$de números reales
• Los números irracionales , con la métrica definida por${\displaystyle d(x,y)={\tfrac {1}{n+1}},}$dónde${\displaystyle n}$es el primer índice para el cual las expansiones fraccionarias continuas de${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$difieren (este es un espacio métrico completo)
• El conjunto Cantor

Por BCT2 , toda variedad de Hausdorff de dimensión finita es un espacio de Baire, ya que es localmente compacta y de Hausdorff. Esto es así incluso para variedades no paracompactas (y por lo tanto no metrizables) como la línea larga .

La teoría de componentes principales (BCT) se utiliza para demostrar el teorema de Hartogs , un resultado fundamental en la teoría de varias variables complejas.

BCT1 se utiliza para demostrar que un espacio de Banach no puede tener dimensión infinita numerable.

( BCT1 ) La siguiente es una prueba estándar de que un espacio pseudométrico completo${\displaystyle X}$es un espacio Baire. ^{[ 7 ]}

Dejar${\displaystyle U_{1},U_{2},\ldots }$Sea una colección numerable de subconjuntos densos abiertos. Queremos demostrar que la intersección${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}\cap \ldots }$es denso. Un subconjunto es denso si y solo si todo subconjunto abierto no vacío lo interseca. Por lo tanto, para demostrar que la intersección es densa, basta con demostrar que todo subconjunto abierto no vacío${\displaystyle W}$de${\displaystyle X}$tiene algún sentido${\displaystyle x}$en común con todos los${\displaystyle U_{n}}$. Porque${\displaystyle U_{1}}$es denso,${\displaystyle W}$interseca${\displaystyle U_{1};}$En consecuencia, existe un punto${\displaystyle x_{1}}$y un número${\displaystyle 0<r_{1}<1}$de tal manera que: $${\displaystyle {\overline {B}}\left(x_{1},r_{1}\right)\subseteq W\cap U_{1}}$$ dónde${\displaystyle B(x,r)}$y${\displaystyle {\overline {B}}(x,r)}$denotan una bola abierta y cerrada, respectivamente, centradas en${\displaystyle x}$con radio${\displaystyle r.}$ Dado que cada${\displaystyle U_{n}}$es denso, esta construcción se puede continuar recursivamente para encontrar un par de secuencias${\displaystyle x_{n}}$y${\displaystyle 0<r_{n}<{\tfrac {1}{n}}}$de tal manera que: $${\displaystyle {\overline {B}}\left(x_{n},r_{n}\right)\subseteq B\left(x_{n-1},r_{n-1}\right)\cap U_{n}.}$$

(Este paso se basa en el axioma de elección y en el hecho de que una intersección finita de conjuntos abiertos es abierta y, por lo tanto, se puede encontrar una bola abierta dentro de ella centrada en${\displaystyle x_{n}}$.) La secuencia${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$es Cauchy porque${\displaystyle x_{n}\in B\left(x_{m},r_{m}\right)}$cuando sea${\displaystyle n>m,}$y por lo tanto${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$converge a algún límite${\displaystyle x}$por completitud. Si${\displaystyle n}$es un número entero positivo entonces${\displaystyle x\in {\overline {B}}\left(x_{n},r_{n}\right)}$(porque este conjunto es cerrado). Por lo tanto${\displaystyle x\in W}$y${\displaystyle x\in U_{n}}$a pesar de${\displaystyle n.}$${\displaystyle \blacksquare }$

Existe una prueba alternativa que utiliza el juego de Choquet . ^{[ 12 ]}

( BCT2 ) La prueba de que un espacio regular localmente compacto${\displaystyle X}$es un espacio de Baire es similar. ^{[ 9 ]} Utiliza los hechos de que (1) en tal espacio cada punto tiene una base local de vecindades compactas cerradas ; y (2) en un espacio compacto cualquier colección de conjuntos cerrados con la propiedad de intersección finita tiene intersección no vacía. El resultado para espacios de Hausdorff localmente compactos es un caso especial, ya que tales espacios son regulares.

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• Artículo de la Enciclopedia de Matemáticas sobre el teorema de Baire
• Tao, T. (1 de febrero de 2009). "245B, Notas 9: El teorema de la categoría de Baire y sus consecuencias en el espacio de Banach" .