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Problema de quiebra

Un problema de quiebra , [1] también llamado problema de reclamaciones , [2] es un problema de distribución de un bien divisible homogéneo (como el dinero) entre personas con di...

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Un problema de quiebra , [1] también llamado problema de reclamaciones , [2] es un problema de distribución de un bien divisible homogéneo (como el dinero) entre personas con diferentes reclamaciones . El foco está puesto en el caso en que la cantidad es insuficiente para satisfacer todas las reclamaciones.

La aplicación canónica es una empresa en quiebra que se va a liquidar . La empresa debe distintas cantidades de dinero a distintos acreedores , pero el valor total de los activos de la empresa es menor que su deuda total. El problema es cómo dividir el escaso dinero existente entre los acreedores.

Otra aplicación sería la división de un patrimonio entre varios herederos , particularmente cuando el patrimonio no puede satisfacer todas las obligaciones del fallecido.

Una tercera aplicación [2] es la determinación de impuestos . Se puede considerar a los solicitantes como contribuyentes, las reclamaciones como ingresos y la dotación como el ingreso total después de impuestos. Determinar la asignación del ingreso total después de impuestos es equivalente a determinar la asignación de los pagos de impuestos.

Definiciones

La cantidad disponible para dividir se denota por (= Patrimonio o Dotación). Hay n reclamantes . Cada reclamante i tiene un derecho denotado por . mi {\estilo de visualización E} do i Estilo de visualización c_{i}

Se supone que , es decir, las reclamaciones totales son (débilmente) mayores que el patrimonio. ∑ i = 1 norte do i ≥ mi {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{i}\geq E}

Una regla de división es una función que asigna una instancia de problema a un vector tal que y para todo i . Es decir: cada reclamante recibe como máximo su reclamación, y la suma de las asignaciones es exactamente el patrimonio E . ( do 1 , … , do norte , mi ) {\displaystyle (c_{1},\ldots ,c_{n},E)} ( incógnita 1 , … , incógnita norte ) {\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})} ∑ i = 1 norte incógnita i = mi {\displaystyle \suma _{i=1}^{n}x_{i}=E} 0 ≤ incógnita i ≤ do i {\displaystyle 0\leq x_{i}\leq c_{i}}

Generalizaciones

Existen variantes generalizadas en las que el total de las reclamaciones puede ser inferior al patrimonio. En estas variantes generalizadas, no se presupone ni se exige. ∑ i = 1 norte do i ≥ mi {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{i}\geq E} 0 ≤ incógnita i ≤ do i {\displaystyle 0\leq x_{i}\leq c_{i}}

Otra generalización, inspirada en problemas de quiebra realistas, consiste en añadir un orden de prioridad exógeno entre los reclamantes, que puede ser diferente incluso para reclamantes con reclamaciones idénticas. Este problema se denomina problema de reclamaciones con prioridades . Otra variante se denomina problema de reclamaciones con ponderaciones.

Normas

En la práctica, existen diversas reglas para resolver los problemas de quiebra. [1]

  • La regla proporcional divide el patrimonio proporcionalmente a la reclamación de cada agente. Formalmente, cada reclamante i recibe , donde r es una constante elegida de manera que . Denotamos el resultado de la regla proporcional por . a ⋅ do i {\displaystyle r\cdot c_{i}} ∑ i = 1 norte a ⋅ do i = mi {\displaystyle \suma _{i=1}^{n}r\cdot c_{i}=E} PAG R Oh PAG ( do 1 , … , do norte ; mi ) {\displaystyle PROP(c_{1},\ldots ,c_{n};E)}
  • Existe una variante llamada regla proporcional de reclamaciones truncadas , en la que cada reclamación mayor que E se trunca a E y luego se activa la regla proporcional. Es decir, es igual a , donde . [2] PAG R Oh PAG ( do 1 " , … , do norte " , mi ) {\displaystyle PROP(c_{1}',\ldots ,c_{n}',E)} do i " := mín. ( do i , mi ) {\displaystyle c'_{i}:=\min(c_{i},E)}
  • La regla proporcional ajustada [3] otorga primero, a cada agente i , su derecho mínimo , que es la cantidad no reclamada por los otros agentes. Formalmente, . Nótese que implica . Luego, revisa la reclamación del agente i a , y el patrimonio a . Nótese que . Finalmente, activa la regla proporcional de reclamaciones truncadas, es decir, devuelve , donde . Con dos reclamantes, las reclamaciones revisadas son siempre iguales, por lo que el resto se divide en partes iguales. Con tres o más reclamantes, las reclamaciones revisadas pueden ser diferentes. metro i := máximo ( 0 , mi − ∑ yo ≠ i do yo ) {\displaystyle m_{i}:=\max(0,E-\sum _{j\neq i}c_{j})} ∑ i = 1 norte do i ≥ mi {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{i}\geq E} metro i ≤ do i {\displaystyle m_{i}\leq c_{i}} do i " := do i − metro i {\displaystyle c'_{i}:=c_{i}-m_{i}} mi " := mi − ∑ i metro i {\displaystyle E':=E-\sum _{i}m_{i}} mi " ≥ 0 {\displaystyle E'\geq 0} yo PAG R Oh PAG ( do 1 , … , do norte , mi " ) = PAG R Oh PAG ( do 1 " , … , do norte " , mi " ) {\displaystyle TPROP(c_{1},\ldots ,c_{n},E')=PROP(c_{1}'',\ldots ,c_{n}'',E')} do i " := mín. ( do i " , mi " ) {\displaystyle c''_{i}:=\min(c'_{i},E')}
  • La regla de adjudicación igualitaria restringida divide el patrimonio equitativamente entre los agentes, lo que garantiza que nadie obtenga más de lo que le corresponde. Formalmente, cada reclamante i recibe , donde r es una constante elegida de manera que . Denotamos el resultado de esta regla por . En el contexto de los impuestos, se conoce como impuesto de nivelación . [2] mín. ( do i , a ) {\displaystyle \min(c_{i},r)} ∑ i = 1 norte mín. ( do i , a ) = mi {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\min(c_{i},r)=E} do mi A ( do 1 , … , do norte ; mi ) {\displaystyle CEA(c_{1},\ldots ,c_{n};E)}
  • La regla de pérdidas iguales restringidas divide equitativamente la diferencia entre el reclamo agregado y el patrimonio, lo que garantiza que ningún agente termine con una transferencia negativa. Formalmente, cada reclamante i recibe , donde r se elige de manera que . Esta regla fue analizada por Maimónides . [4] En el contexto tributario, se conoce como impuesto de capitación . máximo ( 0 , do i − a ) {\displaystyle \max(0,c_{i}-r)} ∑ i = 1 norte máximo ( 0 , do i − a ) = mi {\displaystyle \suma _{i=1}^{n}\max(0,c_{i}-r)=E}
  • La regla de la prenda impugnada (también llamada regla del Talmud ) utiliza la regla CEA en la mitad de las reclamaciones si el patrimonio es menor que la mitad de la reclamación total; de lo contrario, le otorga a cada reclamante la mitad de sus reclamaciones y aplica la regla CEL. Formalmente, si entonces ; De lo contrario, . 2 mi < ∑ i = 1 norte do i {\displaystyle 2E<\sum _{i=1}^{n}c_{i}} do GRAMO ( do 1 , … , do norte ; mi ) = do mi A ( do 1 / 2 , … , do norte / 2 ; mi ) {\displaystyle CG(c_{1},\ldots ,c_{n};E)=CEA(c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2;E)} do GRAMO ( do 1 , … , do norte ; mi ) = do / 2 + do mi yo ( do 1 / 2 , … , do norte / 2 ; mi − ∑ yo ( do yo / 2 ) ) {\displaystyle CG(c_{1},\ldots ,c_{n};E)=c/2+CEL(c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2;E-\sum _{j}(c_{j}/2))}
  • La siguiente regla se atribuye [2] a Piniles. [5] Si la suma de reclamaciones es mayor que 2 E , entonces aplica la regla CEA sobre la mitad de las reclamaciones, es decir, devuelve  ; en caso contrario, da a cada agente la mitad de su reclamación y luego aplica CEA sobre el resto, es decir, devuelve . do mi A ( do 1 / 2 , … , do norte / 2 ; mi ) {\displaystyle CEA(c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2;E)} ( do 1 / 2 , … , do norte / 2 ) + do mi A ( do 1 / 2 , … , do norte / 2 ; mi − ∑ yo = 1 norte do yo / 2 ) {\displaystyle (c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2)+CEA(c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2;E-\sum _{j=1}^{n}c_{j}/2)}
  • La regla igualitaria restringida [6] funciona de la siguiente manera. Si la suma de las reclamaciones es mayor que 2 E , entonces ejecuta la regla CEA sobre la mitad de las reclamaciones, dando a cada reclamante i . De lo contrario, da a cada agente i . En ambos casos, r es una constante elegida de modo que la suma de las asignaciones sea igual a E . mín. ( do i / 2 , a ) {\displaystyle \min(c_{i}/2,r)} máximo ( do i / 2 , mín. ( do i , a ) ) {\displaystyle \max(c_{i}/2,\min(c_{i},r))}
  • La regla de llegada aleatoria funciona de la siguiente manera. Supongamos que los solicitantes llegan uno por uno. Cada solicitante recibe todo su crédito, hasta el monto disponible. La regla devuelve el promedio de los vectores de asignación resultantes cuando el orden de llegada se elige de manera uniforme al azar. [7] Formalmente:

R A ( do 1 , … , do norte ; mi ) = 1 norte ! ∑ π ∈ permutaciones mín. ( do i , máximo ( 0 , mi − ∑ π ( yo ) < π ( i ) do yo ) ) {\displaystyle RA(c_{1},\ldots ,c_{n};E)={\frac {1}{n!}}\sum _{\pi \in {\text{permutaciones}}}\min(c_{i},\max(0,E-\sum _{\pi (j)<\pi (i)}c_{j}))} .

Normas de quiebra y juegos cooperativos

Juegos de negociación

Es posible asociar cada problema de quiebra con un problema de negociación cooperativa y utilizar una regla de negociación para resolver el problema de quiebra. Entonces:

Juegos de coalición

Es posible asociar cada problema de quiebra con un juego cooperativo en el que el valor de cada coalición es su derecho mínimo -la cantidad que esta coalición puede asegurarse si todos los demás demandantes obtienen su derecho completo (es decir, la cantidad que esta coalición puede obtener sin ir a la corte). Formalmente, el valor de cada subconjunto S de demandantes es . El juego resultante es convexo , [4] por lo que su núcleo no está vacío. Se puede utilizar un concepto de solución para juegos cooperativos, para resolver el problema de quiebra correspondiente. Cada regla de división que depende solo de los derechos truncados corresponde a una solución de juego cooperativo. En particular: en ( S ) := máximo ( 0 ,   mi − ∑ yo ∉ S do yo ) {\displaystyle v(S):=\max \left(0,~E-\sum _{j\not \in S}c_{j}\right)}

  • El valor de Shapley corresponde a la regla de llegada aleatoria; [7]
  • El prenucleolo corresponde a la regla del Talmud; [4]
  • La solución de Dutta-Ray corresponde a la regla de igualdad de premios restringida; [9]
  • La solución del valor Tau corresponde a la regla proporcional ajustada. [3]

Una forma alternativa de asociar un problema de reclamaciones con un juego cooperativo [10] es su derecho máximo : la cantidad que esta coalición puede asegurarse si todos los demás reclamantes abandonan sus reclamaciones: . en ( S ) := mín. ( mi , ∑ yo ∈ S do yo ) {\displaystyle v(S):=\min \left(E,\sum _{j\in S}c_{j}\right)}

Propiedades de las reglas de división

En la mayoría de los entornos, a menudo se requiere que las reglas de división satisfagan las siguientes propiedades básicas: [2]

  • Viabilidad : la suma de las asignaciones es como máximo el patrimonio total . ∑ i = 1 norte incógnita i ≤ mi {\displaystyle \suma _{i=1}^{n}x_{i}\leq E}
  • Eficiencia : más fuerte que la viabilidad: la suma de las asignaciones es igual al patrimonio total . ∑ i = 1 norte incógnita i = mi {\displaystyle \suma _{i=1}^{n}x_{i}=E}
  • No negatividad : cada reclamante debe recibir una cantidad no negativa . ∀ i : incógnita i ≥ 0 {\displaystyle \para todo i:x_{i}\geq 0}
  • Limitación de las reclamaciones : cada reclamante debe obtener como máximo su reclamación . ∀ i : incógnita i ≤ do i {\displaystyle \para todo i:x_{i}\leq c_{i}}
  • Derechos mínimos : más fuertes que la no negatividad: cada reclamante debería obtener al menos su derecho mínimo, que es lo que queda si todos los demás agentes obtienen sus derechos completos: . ∀ i : incógnita i ≥ metro i ,  dónde  metro i := máximo ( 0 , mi − ∑ yo ≠ i do yo ) {\displaystyle \forall i:x_{i}\geq m_{i},{\text{ donde }}m_{i}:=\max(0,E-\sum _{j\neq i}c_{j})}
    • Obsérvese que la eficiencia, la no negatividad y la limitación de las reclamaciones implican juntas derechos mínimos.
  • Tratamiento igualitario de iguales (ETE) : dos reclamantes con reclamaciones idénticas deberían recibir asignaciones idénticas: . En problemas generalizados de reclamaciones con prioridades , se requiere que el tratamiento igualitario de iguales se cumpla para los agentes en cada clase de prioridad, pero no para los agentes en diferentes clases de prioridad. do i = do yo ⟹ incógnita i = incógnita yo {\displaystyle c_{i}=c_{j}\implies x_{i}=x_{j}}
  • Trato igualitario para grupos iguales : más fuerte que ETE: dos subconjuntos de solicitantes con el mismo reclamo total deberían recibir la misma asignación total.
  • Anonimato : más fuerte que ETE: si permutamos el vector de reclamaciones, entonces el vector de asignaciones se permuta en consecuencia.
  • Preservación del orden : más fuerte que ETE: los agentes con reclamaciones débilmente más altas deberían obtener débilmente más y deberían perder débilmente más . do i ≥ do yo ⟹ ( incógnita i ≥ incógnita yo  y  do i − incógnita i ≥ do yo − incógnita yo ) {\displaystyle c_{i}\geq c_{j}\implica (x_{i}\geq x_{j}{\text{ y }}c_{i}-x_{i}\geq c_{j}-x_{j})}
  • Preservación del orden de grupo : más fuerte que el ETE de grupo y la preservación del orden: requiere preservación del orden entre cada dos subconjuntos de agentes.

Véase también

Referencias

  1. ^ ab Alcalde, José; Peris, Josep E. (17 de febrero de 2017). "Iguales premios frente a iguales pérdidas en problemas de quiebra". SSRN . doi :10.2139/ssrn.2919582. S2CID  158036131. ​​SSRN  2919582.
  2. ^ abcdefgh Thomson, William (1 de julio de 2003). "Análisis axiomático y teórico de juegos de los problemas de bancarrota e impuestos: una encuesta". Ciencias Sociales Matemáticas . 45 (3): 249–297. doi :10.1016/S0165-4896(02)00070-7. ISSN  0165-4896.
  3. ^ ab Curiel, IJ; Maschler, M.; Tijs, SH (1 de septiembre de 1987). "Juegos de quiebras". Zeitschrift für Investigación de operaciones . 31 (5): A143 – A159. doi :10.1007/BF02109593. ISSN  1432-5217. S2CID  206811949.
  4. ^ abc Aumann, Robert J; Maschler, Michael (1985-08-01). "Análisis teórico de juegos de un problema de bancarrota a partir del Talmud". Journal of Economic Theory . 36 (2): 195–213. doi :10.1016/0022-0531(85)90102-4. ISSN  0022-0531.
  5. ^ Piniles, Zvi Menahem (1863). Darkah Shel Torah (hebreo). Viena: Forester.
  6. ^ Chun, Youngsub; Schummer, James; Thomson, William (1998). "Igualitarismo restringido: una nueva solución para los problemas de reivindicaciones". {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )
  7. ^ ab O'Neill, Barry (1982-06-01). "Un problema de arbitraje de derechos desde el Talmud". Ciencias Sociales Matemáticas . 2 (4): 345–371. doi :10.1016/0165-4896(82)90029-4. hdl : 10419/220805 . ISSN  0165-4896.
  8. ^ abc Dagan, Nir; Volij, Oscar (1993-11-01). "El problema de la quiebra: un enfoque de negociación cooperativa". Ciencias Sociales Matemáticas . 26 (3): 287–297. doi :10.1016/0165-4896(93)90024-D. ISSN  0165-4896.
  9. ^ Dutta, Bhaskar; Ray, Debraj (1989). "Un concepto de igualitarismo bajo restricciones de participación". Econometrica . 57 (3): 615–635. doi :10.2307/1911055. ISSN  0012-9682. JSTOR  1911055.
  10. ^ Driessen, Theo (1995). "Un análisis teórico de juegos alternativo de un problema de bancarrota a partir del Talmud: el caso del juego de bancarrota codicioso". {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )
  • Normas aditivas en los problemas concursales y otros problemas relacionados
  • El problema de la quiebra: un enfoque de negociación cooperativa
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