Cohomología

En matemáticas , específicamente en la teoría de homología y la topología algebraica , la cohomología es una forma de asociar invariantes algebraicos a un espacio topológico u otro objeto matemático que codifican sus propiedades de una manera que a menudo es computable. La cohomología suele estar relacionada con cuestiones sobre si alguna propiedad local del espacio se ve obstaculizada al pasar a una propiedad global. Por ejemplo, la cinta de Möbius no es el espacio producto de un segmento de línea con un círculo (es decir, un cilindro), pero localmente en cualquier segmento del círculo se asemeja a un rectángulo ordinario (producto de dos segmentos de línea) sin la torsión global. La obstrucción para globalizar la estructura del producto está codificada en la primera cohomología del círculo subyacente, que clasifica las dos formas no equivalentes en que una línea puede girar alrededor de un círculo (un número par de giros o un número impar de giros). El hecho de que solo haya dos formas no equivalentes de girar una línea alrededor de un círculo está codificado en el grupo de cohomología correspondiente.${\displaystyle H^{1}(S^{1},\{+1,-1\})}$que puede calcularse como isomorfo al grupo${\displaystyle \{+1,-1\}}$dónde${\displaystyle +1}$corresponde a un número par de giros, y${\displaystyle -1}$a un número impar.

En su formulación abstracta general, la cohomología es una secuencia de grupos abelianos que a menudo se definen a partir de un complejo de cocadenas . La cohomología puede considerarse un método para asignar invariantes algebraicos más ricos a un espacio que la homología . Algunas versiones de la cohomología surgen al dualizar la construcción de la homología.

Desde sus inicios en la topología , esta idea se convirtió en un método dominante en las matemáticas de la segunda mitad del siglo XX. Desde la idea inicial de la homología como método para construir invariantes algebraicos de espacios topológicos, el rango de aplicaciones de las teorías de homología y cohomología se ha extendido por toda la geometría y el álgebra . La terminología tiende a ocultar el hecho de que la cohomología, una teoría contravariante , es más natural que la homología en muchas aplicaciones. A un nivel básico, esto tiene que ver con funciones y retrocesos en situaciones geométricas: espacios dados${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$y alguna función${\displaystyle F}$en${\displaystyle Y}$, para cualquier mapeo${\displaystyle f:X\to Y}$, composición con${\displaystyle F}$da lugar a una función${\displaystyle F\circ f}$en${\displaystyle X}$Las teorías de cohomología más importantes poseen un producto, el producto de copa , que les confiere una estructura de anillo . Debido a esta característica, la cohomología suele ser un invariante más fuerte que la homología.

La cohomología es una familia de construcciones relacionadas que aparecen en diversas áreas de las matemáticas. El patrón común consiste en la existencia de objetos denominados cocadenas , un operador de cofrontera que mide el incumplimiento de una condición de compatibilidad por parte de una cocadena, y clases de cohomología obtenidas al identificar cocadenas que difieren en una contribución trivial o exacta.

La cohomología singular es un invariante poderoso en topología, que asocia un anillo graduado-conmutativo con cualquier espacio topológico. Toda aplicación continua${\displaystyle f:X\to Y}$determina un homomorfismo del anillo de cohomología de${\displaystyle Y}$a la de${\displaystyle X}$; esto impone fuertes restricciones a los posibles mapas de${\displaystyle X}$a${\displaystyle Y}$A diferencia de invariantes más sutiles, como los grupos de homotopía , el anillo de cohomología tiende a ser computable en la práctica para espacios de interés.

Para un espacio topológico${\displaystyle X}$, la definición de cohomología singular comienza con el complejo de cadena singular : ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \cdots \to C_{i+1}{\stackrel {\partial _{i+1}}{\to }}C_{i}{\stackrel {\partial _{i}}{\to }}\ C_{i-1}\to \cdots }$$ Por definición, la homología singular de${\displaystyle X}$es la homología de este complejo de cadenas (el núcleo de un homomorfismo módulo la imagen del anterior). En más detalle,${\displaystyle C_{i}}$es el grupo abeliano libre en el conjunto de aplicaciones continuas del estándar${\displaystyle i}$-simplex a${\displaystyle X}$(llamado "singular"${\displaystyle i}$-símplices en${\displaystyle X}$"), y${\displaystyle \partial _{i}}$es el${\displaystyle i}$homomorfismo de frontera -ésimo. Los grupos${\displaystyle C_{i}}$son cero para${\displaystyle i}$negativo.

Ahora fijemos un grupo abeliano${\displaystyle A}$y reemplazar cada grupo${\displaystyle C_{i}}$por su grupo dual${\displaystyle C_{i}^{*}=\mathrm {Hom} (C_{i},A)}$(Cuando se toman coeficientes en un campo, el grupo dual es el espacio vectorial dual de${\displaystyle C_{i}}$), y${\displaystyle \partial _{i}}$por su homomorfismo dual$${\displaystyle d_{i-1}:C_{i-1}^{*}\to C_{i}^{*}.}$$

Esto tiene el efecto de "invertir todas las flechas" del complejo original, dejando un complejo cochain.$${\displaystyle \cdots \leftarrow C_{i+1}^{*}{\stackrel {d_{i}}{\leftarrow }}\ C_{i}^{*}{\stackrel {d_{i-1}}{\leftarrow }}C_{i-1}^{*}\leftarrow \cdots }$$

Para un número entero${\displaystyle i}$, el${\displaystyle i}$^grupo de cohomología de${\displaystyle X}$con coeficientes en${\displaystyle A}$se define como${\displaystyle \operatorname {ker} (d_{i})/\operatorname {im} (d_{i-1})}$y denotado por${\displaystyle H^{i}(X,A)}$El grupo${\displaystyle H^{i}(X,A)}$es cero para${\displaystyle i}$negativo. Los elementos de${\displaystyle C_{i}^{*}}$se llaman singulares${\displaystyle i}$-cocadenas con coeficientes en${\displaystyle A}$. (De manera equivalente, un${\displaystyle i}$-cochain en${\displaystyle X}$puede identificarse con una función del conjunto de singulares${\displaystyle i}$-símplices en${\displaystyle X}$a${\displaystyle A}$.) Elementos de${\displaystyle \ker(d)}$y${\displaystyle {\textrm {im}}(d)}$se denominan cociclos y colímites , respectivamente, mientras que los elementos de${\displaystyle \operatorname {ker} (d_{i})/\operatorname {im} (d_{i-1})=H^{i}(X,A)}$se denominan clases de cohomología (porque son clases de equivalencia de cociclos).

En lo que sigue, el grupo de coeficientes${\displaystyle A}$A veces no está escrito. Es común tomar${\displaystyle A}$ser un anillo conmutativo${\displaystyle R}$; entonces los grupos de cohomología son${\displaystyle R}$- módulos . Una opción estándar es el anillo.${\displaystyle \mathbb {Z} }$de enteros .

Algunas de las propiedades formales de la cohomología son solo variantes menores de las propiedades de la homología:

• Un mapa continuo${\displaystyle f:X\to Y}$determina un homomorfismo de empuje hacia adelante${\displaystyle f_{*}:H_{i}(X)\to H_{i}(Y)}$sobre homología y un homomorfismo de retroceso${\displaystyle f^{*}:H^{i}(Y)\to H^{i}(X)}$sobre la cohomología. Esto convierte la cohomología en un functor contravariante de espacios topológicos a grupos abelianos (o${\displaystyle R}$-módulos).
• Dos mapas homotópicos de${\displaystyle X}$a${\displaystyle Y}$induce el mismo homomorfismo en la cohomología (igual que en la homología).
• La secuencia de Mayer-Vietoris es una herramienta computacional importante en cohomología, al igual que en homología. Nótese que el homomorfismo de frontera aumenta (en lugar de disminuir) el grado en cohomología. Es decir, si un espacio${\displaystyle X}$es la unión de subconjuntos abiertos${\displaystyle U}$y${\displaystyle V}$, entonces hay una larga secuencia exacta :$${\displaystyle \cdots \to H^{i}(X)\to H^{i}(U)\oplus H^{i}(V)\to H^{i}(U\cap V)\to H^{i+1}(X)\to \cdots }$$
• Existen grupos de cohomología relativa${\displaystyle H^{i}(X,Y;A)}$para cualquier subespacio${\displaystyle Y}$de un espacio${\displaystyle X}$Están relacionados con los grupos de cohomología usuales mediante una larga secuencia exacta:$${\displaystyle \cdots \to H^{i}(X,Y)\to H^{i}(X)\to H^{i}(Y)\to H^{i+1}(X,Y)\to \cdots }$$
• El teorema del coeficiente universal describe la cohomología en términos de homología, utilizando grupos Ext . Es decir, existe una secuencia exacta corta.$${\displaystyle 0\to \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(\operatorname {H} _{i-1}(X,\mathbb {Z} ),A)\to H^{i}(X,A)\to \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(H_{i}(X,\mathbb {Z} ),A)\to 0.}$$Una afirmación relacionada es que para un campo${\displaystyle F}$,${\displaystyle H^{i}(X,F)}$es precisamente el espacio dual del espacio vectorial${\displaystyle H_{i}(X,F)}$.
• Si${\displaystyle X}$es una variedad topológica o un complejo CW , entonces los grupos de cohomología${\displaystyle H^{i}(X,A)}$son cero para${\displaystyle i}$mayor que la dimensión de${\displaystyle X}$. ^{[ 4 ]} Si${\displaystyle X}$es una variedad compacta (posiblemente con frontera), o un complejo CW con un número finito de celdas en cada dimensión, y${\displaystyle R}$es un anillo noetheriano conmutativo , entonces el${\displaystyle R}$-módulo${\displaystyle H^{i}(X,R)}$se genera de forma finita para cada${\displaystyle i}$. ^{[ 5 ]}

Por otro lado, la cohomología tiene una estructura crucial que la homología no tiene: para cualquier espacio topológico${\displaystyle X}$y anillo conmutativo${\displaystyle R}$, existe una aplicación bilineal , llamada producto de copa : $${\displaystyle H^{i}(X,R)\times H^{j}(X,R)\to H^{i+j}(X,R),}$$ definido por una fórmula explícita en cocadenas singulares. El producto de clases de cohomología${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$se escribe como${\displaystyle u\cup v}$o simplemente como${\displaystyle uv}$Este producto hace que la suma directa$${\displaystyle H^{*}(X,R)=\bigoplus _{i}H^{i}(X,R)}$$ en un anillo graduado , llamado anillo de cohomología de${\displaystyle X}$. Es conmutativa graduada en el sentido de que: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle uv=(-1)^{ij}vu,\qquad u\in H^{i}(X,R),v\in H^{j}(X,R).}$$

Para cualquier mapa continuo${\displaystyle f\colon X\to Y,}$el retroceso${\displaystyle f^{*}:H^{*}(Y,R)\to H^{*}(X,R)}$es un homomorfismo de graduado${\displaystyle R}$- álgebras . De ello se deduce que si dos espacios son homotópicamente equivalentes , entonces sus anillos de cohomología son isomorfos.

Aquí se presentan algunas interpretaciones geométricas del producto de copas. En lo que sigue, se entiende que las variedades no tienen frontera, a menos que se indique lo contrario. Una variedad cerrada es una variedad compacta (sin frontera), mientras que una subvariedad cerrada N de una variedad M es una subvariedad que es un subconjunto cerrado de M , no necesariamente compacta (aunque N es automáticamente compacta si M lo es).

• Sea X una variedad cerrada orientada de dimensión n . Entonces, la dualidad de Poincaré da un isomorfismo H ⁱ X ≅ H _{n − i} X. Como resultado, una subvariedad cerrada orientada S de codimensión i en X determina una clase de cohomología en H ⁱ X , llamada [ S ]. En estos términos, el producto de copa describe la intersección de subvariedades. Es decir, si S y T son subvariedades de codimensión i y j que se intersecan transversalmente , entonces$${\displaystyle [S][T]=[S\cap T]\in H^{i+j}(X),}$$donde la intersección S ∩ T es una subvariedad de codimensión i + j , con una orientación determinada por las orientaciones de S , T y X. En el caso de variedades suaves , si S y T no se intersecan transversalmente, esta fórmula aún puede usarse para calcular el producto de copa [ S ][ T ], perturbando S o T para hacer que la intersección sea transversal.
  En términos más generales, sin asumir que X tenga una orientación, una subvariedad cerrada de X con una orientación en su fibrado normal determina una clase de cohomología en X. Si X es una variedad no compacta, entonces una subvariedad cerrada (no necesariamente compacta) determina una clase de cohomología en X. En ambos casos, el producto de copas puede describirse nuevamente en términos de intersecciones de subvariedades.
  Nótese que Thom construyó una clase de cohomología integral de grado 7 en una 14-variedad lisa que no es la clase de ninguna subvariedad lisa. ^{[ 7 ]} Por otro lado, demostró que toda clase de cohomología integral de grado positivo en una variedad lisa tiene un múltiplo positivo que es la clase de una subvariedad lisa. ^{[ 8 ]} Además, toda clase de cohomología integral en una variedad puede representarse mediante una "pseudovariedad", es decir, un complejo simplicial que es una variedad fuera de un subconjunto cerrado de codimensión al menos 2.
• Para una variedad diferenciable X , el teorema de De Rham establece que la cohomología singular de X con coeficientes reales es isomorfa a la cohomología de De Rham de X , definida mediante formas diferenciales . El producto de copas corresponde al producto de formas diferenciales. Esta interpretación tiene la ventaja de que el producto sobre formas diferenciales es conmutativo graduado, mientras que el producto sobre cocadenas singulares solo es conmutativo graduado salvo homotopía de cadena . De hecho, es imposible modificar la definición de cocadenas singulares con coeficientes en los enteros.${\displaystyle \mathbb {Z} }$o en${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$para que un número primo p haga que el producto sea conmutativo graduado en el sentido estricto. El fallo de la conmutatividad graduada a nivel de cocadena conduce a las operaciones de Steenrod en la cohomología módulo p .

De manera muy informal, para cualquier espacio topológico X , elementos de${\displaystyle H^{i}(X)}$se puede pensar que está representado por subespacios de codimensión i de X que pueden moverse libremente en X. Por ejemplo, una forma de definir un elemento de${\displaystyle H^{i}(X)}$Se trata de dar una aplicación continua f de X a una variedad M y una subvariedad cerrada de codimensión i N de M con una orientación en el fibrado normal. De manera informal, se piensa en la clase resultante.${\displaystyle f^{*}([N])\in H^{i}(X)}$como si estuviera sobre el subespacio${\displaystyle f^{-1}(N)}$de X ; esto se justifica en que la clase${\displaystyle f^{*}([N])}$restringe a cero en la cohomología del subconjunto abierto${\displaystyle X-f^{-1}(N).}$La clase de cohomología${\displaystyle f^{*}([N])}$puede moverse libremente en X en el sentido de que N podría ser reemplazado por cualquier deformación continua de N dentro de M.

En lo que sigue, la cohomología se toma con coeficientes en los enteros Z , a menos que se indique lo contrario.

• El anillo de cohomología de un punto es el anillo Z de grado 0. Por invariancia homotópica, este es también el anillo de cohomología de cualquier espacio contráctil , como el espacio euclidiano R ⁿ .

• 

  Para un entero positivo n , el anillo de cohomología de la esfera${\displaystyle S^{n}}$es Z [ x ]/( x ² ) (el anillo cociente de un anillo de polinomios por el ideal dado ), con x en grado n . En términos de dualidad de Poincaré como se indicó anteriormente, x es la clase de un punto en la esfera.
• El anillo de cohomología del toro${\displaystyle (S^{1})^{n}}$es el álgebra exterior sobre Z en n generadores de grado 1. ^{[ 9 ]} Por ejemplo, sea P un punto en el círculo${\displaystyle S^{1}}$y Q el punto ( P , P ) en el toro bidimensional${\displaystyle (S^{1})^{2}}$. Entonces la cohomología de ( S ¹ ) ² tiene una base como un Z -módulo libre de la forma: el elemento 1 en grado 0, x  := [ P × S ¹ ] e y  := [ S ¹ × P ] en grado 1, y xy = [ Q ] en grado 2. (Implícitamente, las orientaciones del toro y de los dos círculos se han fijado aquí). Nótese que yx = − xy = −[ Q ], por conmutatividad graduada.
• De forma más general, sea R un anillo conmutativo, y sean X e Y cualesquiera espacios topológicos tales que H ^* ( X , R ) es un R -módulo libre finitamente generado en cada grado. (No se necesita ninguna suposición sobre Y .) Entonces la fórmula de Künneth da que el anillo de cohomología del espacio producto X × Y es un producto tensorial de R -álgebras: ^{[ 10 ]}$${\displaystyle H^{*}(X\times Y,R)\cong H^{*}(X,R)\otimes _{R}H^{*}(Y,R).}$$
• El anillo de cohomología del espacio proyectivo real RP ⁿ con coeficientes Z /2 es Z /2[ x ]/( x ^{n +1} ), con x en grado 1. ^{[ 11 ]} Aquí x es la clase de un hiperplano RP ^{n −1} en RP ⁿ ; esto tiene sentido aunque RP ^j no sea orientable para j par y positivo, porque la dualidad de Poincaré con coeficientes Z /2 funciona para variedades arbitrarias.
  Con coeficientes enteros, la respuesta es un poco más complicada. La Z -cohomología de RP ^{2 a} tiene un elemento y de grado 2 tal que toda la cohomología es la suma directa de una copia de Z generada por el elemento 1 en grado 0 junto con copias de Z /2 generadas por los elementos y ⁱ para i =1,..., a . La Z -cohomología de RP ^{2 a +1} es la misma junto con una copia adicional de Z en grado 2 a +1. ^{[ 12 ]}
• El anillo de cohomología del espacio proyectivo complejo CP ⁿ es Z [ x ]/( x ^{n +1} ), con x en grado 2. ^{[ 11 ]} Aquí x es la clase de un hiperplano CP ^{n −1} en CP ⁿ . Más generalmente, x ^j es la clase de un subespacio lineal CP ^{n − j} en CP ⁿ .
• El anillo de cohomología de la superficie cerrada orientada X de género g ≥ 0 tiene una base como un Z -módulo libre de la forma: el elemento 1 en grado 0, A ₁ ,..., A _g y B ₁ ,..., B _g en grado 1, y la clase P de un punto en grado 2. El producto está dado por: A _i A _j = B _i B _j = 0 para todo i y j , A _i B _j = 0 si i ≠ j , y A _i B _i = P para todo i . ^{[ 13 ]} Por conmutatividad graduada, se sigue que B _i A _i = − P .
• En cualquier espacio topológico, la conmutatividad graduada del anillo de cohomología implica que 2 x ² = 0 para todas las clases de cohomología de grado impar x . De ello se deduce que, para un anillo R que contiene 1/2, todos los elementos de grado impar de H ^* ( X , R ) tienen cuadrado cero. Por otro lado, los elementos de grado impar no tienen por qué tener cuadrado cero si R es Z /2 o Z , como se observa en el ejemplo de RP ² (con coeficientes Z /2) o RP ⁴ × RP ² (con coeficientes Z ).

El producto de copa en cohomología puede verse como proveniente del mapa diagonal.${\displaystyle \Delta :X\to X\times X}$,${\displaystyle x\mapsto (x,x)}$. Es decir, para cualquier espacio${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$con clases de cohomología${\displaystyle u\in H^{i}(X,R)}$y${\displaystyle v\in H^{j}(Y,R)}$, existe una clase de cohomología de producto externo (o producto cruzado )${\displaystyle u\times v\in H^{i+j}(X\times Y,R)}$. El producto de la taza de clases${\displaystyle u\in H^{i}(X,R)}$y${\displaystyle v\in H^{j}(X,R)}$se puede definir como el retroceso del producto externo por la diagonal: ^{[ 14 ]}$${\displaystyle uv=\Delta ^{*}(u\times v)\in H^{i+j}(X,R).}$$

Alternativamente, el producto externo puede definirse en términos del producto de la taza. Para espacios${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$, escribir${\displaystyle f:X\times Y\to X}$y${\displaystyle g:X\times Y\to Y}$para las dos proyecciones. Luego el producto externo de clases${\displaystyle u\in H^{i}(X,R)}$y${\displaystyle v\in H^{j}(Y,R)}$es: $${\displaystyle u\times v=(f^{*}(u))(g^{*}(v))\in H^{i+j}(X\times Y,R).}$$

Otra interpretación de la dualidad de Poincaré es que el anillo de cohomología de una variedad orientada cerrada es autodual en un sentido fuerte. Es decir, sea${\displaystyle X}$ser una variedad orientada cerrada y conectada de dimensión${\displaystyle n}$y dejar${\displaystyle F}$ser un campo. Entonces${\displaystyle H^{n}(X,F)}$es isomorfo a${\displaystyle F}$y el producto

${\displaystyle H^{i}(X,F)\times H^{n-i}(X,F)\to H^{n}(X,F)\cong F}$

es una combinación perfecta para cada número entero${\displaystyle i}$. ^{[ 15 ]} En particular, los espacios vectoriales${\displaystyle H^{i}(X,F)}$y${\displaystyle H^{n-i}(X,F)}$tienen la misma dimensión (finita). Asimismo, el producto en cohomología integral módulo torsión con valores en${\displaystyle H^{n}(X,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$es una combinación perfecta sobre${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

Un fibrado vectorial real orientado E de rango r sobre un espacio topológico X determina una clase de cohomología en X , la clase de Euler χ( E ) ∈ H ^r ( X , Z ). De manera informal, la clase de Euler es la clase del conjunto cero de una sección general de E. Esta interpretación puede hacerse más explícita cuando E es un fibrado vectorial liso sobre una variedad lisa X , ya que entonces una sección lisa general de X se anula en una subvariedad de X de codimensión r .

Existen otros tipos de clases características para haces vectoriales que toman valores en cohomología, incluidas las clases de Chern , las clases de Stiefel-Whitney y las clases de Pontryagin .

Para cada grupo abeliano A y número natural j , existe un espacio${\displaystyle K(A,j)}$cuyo j -ésimo grupo de homotopía es isomorfo a A y cuyos otros grupos de homotopía son cero. Dicho espacio se denomina espacio de Eilenberg-MacLane . Este espacio posee la notable propiedad de ser un espacio clasificador para la cohomología: existe un elemento natural u de${\displaystyle H^{j}(K(A,j),A)}$y cada clase de cohomología de grado j en cada espacio X es el retroceso de u mediante alguna aplicación continua.${\displaystyle X\to K(A,j)}$. Más precisamente, al retirar la clase u se obtiene una biyección.

${\displaystyle [X,K(A,j)]{\stackrel {\cong }{\to }}H^{j}(X,A)}$

para cada espacio X con el tipo de homotopía de un complejo CW. ^{[ 16 ]} Aquí${\displaystyle [X,Y]}$denota el conjunto de clases de homotopía de aplicaciones continuas de X a Y.

Por ejemplo, el espacio${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)}$(definido salvo equivalencia homotópica) puede tomarse como el círculo${\displaystyle S^{1}}$. Entonces la descripción anterior dice que cada elemento de${\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {Z} )}$es retirado de la clase u de un punto en${\displaystyle S^{1}}$por algún mapa${\displaystyle X\to S^{1}}$.

Hay una descripción relacionada de la primera cohomología con coeficientes en cualquier grupo abeliano A , por ejemplo, para un complejo CW X. A saber,${\displaystyle H^{1}(X,A)}$ está en correspondencia biunívoca con el conjunto de clases de isomorfismo de espacios de recubrimiento de Galois de X con grupo A , también llamados fibrados A principales sobre X. Para X conexo, se deduce que${\displaystyle H^{1}(X,A)}$es isomorfo a${\displaystyle \operatorname {Hom} (\pi _{1}(X),A)}$, dónde${\displaystyle \pi _{1}(X)}$es el grupo fundamental de X. Por ejemplo,${\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {Z} /2)}$clasifica los espacios de recubrimiento dobles de X , con el elemento${\displaystyle 0\in H^{1}(X,\mathbb {Z} /2)}$correspondiente al recubrimiento doble trivial, la unión disjunta de dos copias de X.

Para cualquier espacio topológico X , el producto cap es una aplicación bilineal.

${\displaystyle \cap :H^{i}(X,R)\times H_{j}(X,R)\to H_{j-i}(X,R)}$

para cualesquiera enteros i y j y cualquier anillo conmutativo R . El mapa resultante

${\displaystyle H^{*}(X,R)\times H_{*}(X,R)\to H_{*}(X,R)}$

convierte la homología singular de X en un módulo sobre el anillo de cohomología singular de X.

Para i = j , el producto cap da el homomorfismo natural

${\displaystyle H^{i}(X,R)\to \operatorname {Hom} _{R}(H_{i}(X,R),R),}$

que es un isomorfismo para R un cuerpo.

Por ejemplo, sea X una variedad orientada, no necesariamente compacta. Entonces, una subvariedad cerrada orientada de codimensión i Y de X (no necesariamente compacta) determina un elemento de H ⁱ ( X , R ), y una subvariedad compacta orientada de dimensión j Z de X determina un elemento de H _j ( X , R ). El producto cap [ Y ] ∩ [ Z ] ∈ H _{j − i} ( X , R ) se puede calcular perturbando Y y Z para que se intersequen transversalmente y luego tomando la clase de su intersección, que es una subvariedad compacta orientada de dimensión j − i .

Una variedad orientada cerrada X de dimensión n tiene una clase fundamental [ X ] en H _n ( X , R ). El isomorfismo de dualidad de Poincaré $${\displaystyle H^{i}(X,R){\overset {\cong }{\to }}H_{n-i}(X,R)}$$ se define por el producto capital con la clase fundamental de X.

Si bien la cohomología es fundamental para la topología algebraica moderna, su importancia no se reconoció hasta unos 40 años después del desarrollo de la homología. El concepto de estructura celular dual , que Henri Poincaré utilizó en la demostración de su teorema de dualidad de Poincaré, contenía el origen de la idea de la cohomología, pero esto no se comprendió hasta más tarde.

Hubo varios precursores de la cohomología. ^{[ 17 ]} A mediados de la década de 1920, JW Alexander y Solomon Lefschetz fundaron la teoría de la intersección de ciclos en variedades. En una variedad cerrada orientada n -dimensional M , un i -ciclo y un j -ciclo con intersección no vacía tendrán, si están en la posición general , como su intersección un ( i  + j − n )-ciclo. Esto conduce a una multiplicación de clases de homología.   

${\displaystyle H_{i}(M)\times H_{j}(M)\to H_{i+j-n}(M),}$

que (en retrospectiva) puede identificarse con el producto de copa en la cohomología de M.

Alexander había definido en 1930 una primera noción de cocadena, al pensar en una i -cocadena en un espacio X como una función en pequeños vecindarios de la diagonal en X ^{i +1} .

En 1931, Georges de Rham relacionó la homología con las formas diferenciales, demostrando el teorema de De Rham . Este resultado puede expresarse de forma más sencilla en términos de cohomología.

En 1932–33, la cohomología apareció esencialmente en los trabajos de Heinz Hopf ^{[ 18 ]} y Egbert van Kampen ^{[ 19 ]} sobre obstrucciones. Hopf inventó una obstrucción a la homotopía (y clasificación homotópica) de mapas continuos de un poliedro k -dimensional a la esfera k -dimensional. En su trabajo, la cohomología apareció implícitamente, y la formulación más natural que involucra explícitamente la cohomología fue dada por Hassler Whitney en 1937. ^{[ 20 ]} Van Kampen inventó una obstrucción a (y, para k>2 , un criterio para) la incrustabilidad de un poliedro k -dimensional en el espacio euclidiano 2k -dimensional. En su trabajo, la cohomología apareció explícitamente, pero solo para un caso particular (de cierto espacio de configuración, el producto eliminado ).

En 1934, Lev Pontryagin demostró el teorema de dualidad de Pontryagin , un resultado sobre grupos topológicos . Este teorema (en casos bastante especiales) proporcionó una interpretación de la dualidad de Poincaré y la dualidad de Alexander en términos de caracteres de grupo .

En una conferencia celebrada en Moscú en 1935 , Andrey Kolmogorov y Alexander introdujeron la cohomología e intentaron construir una estructura de producto de cohomología.

En 1936, Norman Steenrod construyó la cohomología de Čech dualizando la homología de Čech.

Entre 1936 y 1938, Hassler Whitney y Eduard Čech desarrollaron el producto de copa (que transforma la cohomología en un anillo graduado) y el producto de tapa , y se dieron cuenta de que la dualidad de Poincaré puede expresarse en términos del producto de tapa. Su teoría aún se limitaba a complejos celulares finitos.

En 1944, Samuel Eilenberg superó las limitaciones técnicas y dio la definición moderna de homología singular y cohomología.

En 1945, Eilenberg y Steenrod enunciaron los axiomas que definen una teoría de homología o cohomología, que se analizan más adelante. En su libro de 1952, Fundamentos de la topología algebraica , demostraron que las teorías de homología y cohomología existentes sí satisfacían sus axiomas.

En 1946, Jean Leray definió la cohomología de haces.

En 1948, Edwin Spanier , basándose en el trabajo de Alexander y Kolmogorov, desarrolló la cohomología de Alexander-Spanier .

La cohomología de haces es una rica generalización de la cohomología singular, que permite "coeficientes" más generales que un simple grupo abeliano. Para cada haz de grupos abelianos E en un espacio topológico X , se tienen grupos de cohomología H ⁱ ( X , E ) para enteros i . En particular, en el caso del haz constante en X asociado a un grupo abeliano A , los grupos resultantes H ⁱ ( X , A ) coinciden con la cohomología singular para X una variedad o complejo CW (aunque no para espacios arbitrarios X ). A partir de la década de 1950, la cohomología de haces se ha convertido en una parte central de la geometría algebraica y el análisis complejo , en parte debido a la importancia del haz de funciones regulares o del haz de funciones holomorfas .

Grothendieck definió y caracterizó elegantemente la cohomología de haces en el lenguaje del álgebra homológica . El punto esencial es fijar el espacio X y pensar la cohomología de haces como un functor de la categoría abeliana de haces en X a grupos abelianos. Partimos del functor que transforma un haz E en X en su grupo abeliano de secciones globales sobre X , E ( X ). Este functor es exacto por la izquierda , pero no necesariamente exacto por la derecha. Grothendieck definió los grupos de cohomología de haces como los functores derivados por la derecha del functor exacto por la izquierda E ↦ E ( X ). ^{[ 3 ]}

Esa definición sugiere varias generalizaciones. Por ejemplo, se puede definir la cohomología de un espacio topológico X con coeficientes en cualquier complejo de haces, antes llamada hipercohomología (pero ahora generalmente simplemente "cohomología"). Desde ese punto de vista, la cohomología de haces se convierte en una sucesión de functores desde la categoría derivada de haces en X a grupos abelianos.

En un sentido amplio, "cohomología" se usa a menudo para los functores derivados derechos de un functor exacto izquierdo en una categoría abeliana, mientras que "homología" se usa para los functores derivados izquierdos de un functor exacto derecho. Por ejemplo, para un anillo R , los grupos Tor Tor _i ^R ( M , N ) forman una "teoría de homología" en cada variable, los functores derivados izquierdos del producto tensorial M ⊗ _R N de R -módulos. De manera similar, los grupos Ext Ext ⁱ _R ( M , N ) pueden verse como una "teoría de cohomología" en cada variable, los functores derivados derechos del functor Hom Hom _R ( M , N ).

La cohomología de haces se puede identificar con un tipo de grupo Ext. Es decir, para un haz E en un espacio topológico X , H ⁱ ( X , E ) es isomorfo a Ext ⁱ ( Z _X , E ), donde Z _X denota el haz constante asociado con los enteros Z , y Ext se toma en la categoría abeliana de haces en X .

Existen numerosas máquinas construidas para calcular la cohomología de variedades algebraicas . El caso más simple es la determinación de la cohomología para variedades proyectivas lisas sobre un cuerpo de característica${\displaystyle 0}$Las herramientas de la teoría de Hodge , llamadas estructuras de Hodge , ayudan a realizar cálculos de cohomología de este tipo de variedades (con la adición de información más refinada). En el caso más simple, la cohomología de una hipersuperficie suave en${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$se puede determinar a partir del grado del polinomio únicamente.

Al considerar variedades sobre un cuerpo finito , o un cuerpo de características${\displaystyle p}$Se requieren herramientas más potentes porque las definiciones clásicas de homología/cohomología fallan. Esto se debe a que las variedades sobre cuerpos finitos solo serán un conjunto finito de puntos. Grothendieck ideó una topología de Grothendieck y utilizó la cohomología de haces sobre la topología étale para definir la teoría de la cohomología para variedades sobre un cuerpo finito. Utilizando la topología étale para una variedad sobre un cuerpo de característica${\displaystyle p}$uno puede construir${\displaystyle \ell }$-cohomología ádica para${\displaystyle \ell \neq p}$Esto se define como el límite proyectivo .

${\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {Q} _{\ell }):=\varprojlim _{n\in \mathbb {N} }H_{et}^{k}(X;\mathbb {Z} /(\ell ^{n}))\otimes _{\mathbb {Z} _{\ell }}\mathbb {Q} _{\ell }.}$

Si tenemos un esquema de tipo finito

${\displaystyle X=\operatorname {Proj} \left({\frac {\mathbb {Z} \left[x_{0},\ldots ,x_{n}\right]}{\left(f_{1},\ldots ,f_{k}\right)}}\right)}$

entonces existe una igualdad de dimensiones para la cohomología de Betti de${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$y el${\displaystyle \ell }$-cohomología ádica de${\displaystyle X(\mathbb {F} _{q})}$siempre que la variedad sea uniforme en ambos campos. Además de estas teorías de cohomología, existen otras, denominadas teorías de cohomología de Weil , que se comportan de forma similar a la cohomología singular. Existe una teoría hipotética de motivos que subyace a todas las teorías de cohomología de Weil.

Otra herramienta computacional útil es la secuencia de explosión. Dada una codimensión${\displaystyle \geq 2}$subesquema${\displaystyle Z\subset X}$Hay un cuadrado cartesiano

${\displaystyle {\begin{matrix}E&\longrightarrow &Bl_{Z}(X)\\\downarrow &&\downarrow \\Z&\longrightarrow &X\end{matrix}}}$

De esto se deriva una secuencia exacta larga asociada.

${\displaystyle \cdots \to H^{n}(X)\to H^{n}(Z)\oplus H^{n}(Bl_{Z}(X))\to H^{n}(E)\to H^{n+1}(X)\to \cdots }$

Si la subvariedad${\displaystyle Z}$es suave, entonces todos los morfismos de conexión son triviales, por lo tanto

${\displaystyle H^{n}(Bl_{Z}(X))\oplus H^{n}(Z)\cong H^{n}(X)\oplus H^{n}(E)}$

Hay varias formas de definir la cohomología para espacios topológicos (como la cohomología singular, la cohomología de Čech , la cohomología de Alexander-Spanier o la cohomología de haces ). (Aquí la cohomología de haces se considera solo con coeficientes en un haz constante). Estas teorías dan respuestas diferentes para algunos espacios, pero hay una gran clase de espacios en los que todas coinciden. Esto se entiende más fácilmente axiomáticamente: hay una lista de propiedades conocidas como los axiomas de Eilenberg-Steenrod , y cualesquiera dos construcciones que compartan esas propiedades coincidirán al menos en todos los complejos CW. ^{[ 21 ]} Hay versiones de los axiomas para una teoría de homología, así como para una teoría de cohomología. Algunas teorías pueden verse como herramientas para calcular la cohomología singular para espacios topológicos especiales, como la cohomología simplicial para complejos simpliciales , la cohomología celular para complejos CW y la cohomología de de Rham para variedades diferenciables.

Uno de los axiomas de Eilenberg-Steenrod para una teoría de cohomología es el axioma de dimensión : si P es un único punto, entonces H ⁱ ( P ) = 0 para todo i ≠ 0. Hacia 1960, George W. Whitehead observó que resulta provechoso omitir por completo el axioma de dimensión: esto da lugar a la noción de teoría de homología generalizada o teoría de cohomología generalizada, definidas más adelante. Existen teorías de cohomología generalizada, como la teoría K o el cobordismo complejo, que proporcionan información valiosa sobre un espacio topológico, no directamente accesible desde la cohomología singular. (En este contexto, la cohomología singular se denomina a menudo "cohomología ordinaria").

Por definición, una teoría de homología generalizada es una secuencia de functores h _i (para enteros i ) de la categoría de pares CW ( X , A ) (de modo que X es un complejo CW y A es un subcomplejo) a la categoría de grupos abelianos, junto con una transformación natural ∂ _i : h _i ( X , A ) → h _{i −1} ( A ) llamada homomorfismo de frontera (aquí h _{i −1} ( A ) es una abreviatura de h _{i −1} ( A ,∅)). Los axiomas son: 

1. Homotopía : Si${\displaystyle f:(X,A)\to (Y,B)}$es homotópico a${\displaystyle g:(X,A)\to (Y,B)}$, entonces los homomorfismos inducidos en homología son los mismos.
2. Exactitud : Cada par ( X , A ) induce una secuencia exacta larga en homología, a través de las inclusiones f : A → X y g : ( X , ∅) → ( X , A ) :$${\displaystyle \cdots \to h_{i}(A){\overset {f_{*}}{\to }}h_{i}(X){\overset {g_{*}}{\to }}h_{i}(X,A){\overset {\partial }{\to }}h_{i-1}(A)\to \cdots .}$$
3. Escisión : Si X es la unión de los subcomplejos A y B , entonces la inclusión f : ( A , A ∩ B ) → ( X , B ) induce un isomorfismo.$${\displaystyle h_{i}(A,A\cap B){\overset {f_{*}}{\to }}h_{i}(X,B)}$$por cada i .
4. Aditividad : Si ( X , A ) es la unión disjunta de un conjunto de pares ( Xα , Aα ₎ , entonces las inclusiones ( Xα _, Aα ) _→ ( X , A ₎ inducen un isomorfismo a partir de la suma directa :$${\displaystyle \bigoplus _{\alpha }h_{i}(X_{\alpha },A_{\alpha })\to h_{i}(X,A)}$$por cada i .

Los axiomas de una teoría de cohomología generalizada se obtienen invirtiendo las flechas, en términos generales. En detalle, una teoría de cohomología generalizada es una secuencia de functores contravariantes h ⁱ (para enteros i ) de la categoría de pares CW a la categoría de grupos abelianos, junto con una transformación natural d : h ⁱ ( A ) → h ^{i +1} ( X , A ) llamada homomorfismo de frontera (escribiendo h ⁱ ( A ) para h ⁱ ( A ,∅)). Los axiomas son:

1. Homotopía : Los mapas homotópicos inducen el mismo homomorfismo en la cohomología.
2. Exactitud : Cada par ( X , A ) induce una secuencia exacta larga en cohomología, a través de las inclusiones f : A → X y g : ( X , ∅) → ( X , A ):$${\displaystyle \cdots \to h^{i}(X,A){\overset {g_{*}}{\to }}h^{i}(X){\overset {f_{*}}{\to }}h^{i}(A){\overset {d}{\to }}h^{i+1}(X,A)\to \cdots .}$$
3. Escisión : Si X es la unión de los subcomplejos A y B , entonces la inclusión f : ( A , A ∩ B ) → ( X , B ) induce un isomorfismo.$${\displaystyle h^{i}(X,B){\overset {f_{*}}{\to }}h^{i}(A,A\cap B)}$$por cada i .
4. Aditividad : Si ( X , A ) es la unión disjunta de un conjunto de pares ( Xα , Aα ₎ , entonces las inclusiones ( Xα _, Aα ) _→ ( X , A ₎ inducen un isomorfismo al grupo producto :$${\displaystyle h^{i}(X,A)\to \prod _{\alpha }h^{i}(X_{\alpha },A_{\alpha })}$$por cada i .

Un espectro determina tanto una teoría de homología generalizada como una teoría de cohomología generalizada. Un resultado fundamental de Brown, Whitehead y Adams afirma que toda teoría de homología generalizada proviene de un espectro, y de igual modo, toda teoría de cohomología generalizada proviene de un espectro. ^{[ 22 ]} Esto generaliza la representabilidad de la cohomología ordinaria mediante espacios de Eilenberg-MacLane.

Un punto sutil es que el functor de la categoría de homotopía estable (la categoría de homotopía de espectros) a teorías de homología generalizadas en pares CW no es una equivalencia, aunque da una biyección en clases de isomorfismo; hay mapas no nulos en la categoría de homotopía estable (llamados mapas fantasma ) que inducen el mapa nulo entre teorías de homología en pares CW. De igual modo, el functor de la categoría de homotopía estable a teorías de cohomología generalizadas en pares CW no es una equivalencia. ^{[ 23 ]} Es la categoría de homotopía estable, no estas otras categorías, la que tiene buenas propiedades como ser triangulada .

Si se prefiere que las teorías de homología o cohomología se definan en todos los espacios topológicos en lugar de en complejos CW, un enfoque estándar consiste en incluir el axioma de que toda equivalencia homotópica débil induce un isomorfismo en homología o cohomología. (Esto es cierto para la homología singular o la cohomología singular, pero no para la cohomología de haces, por ejemplo). Dado que todo espacio admite una equivalencia homotópica débil desde un complejo CW, este axioma reduce las teorías de homología o cohomología en todos los espacios a la teoría correspondiente en complejos CW. ^{[ 24 ]}

Algunos ejemplos de teorías de cohomología generalizadas son:

• Grupos de cohomotopía estables${\displaystyle \pi _{S}^{*}(X).}$La teoría de homología correspondiente se utiliza con mayor frecuencia: grupos de homotopía estables${\displaystyle \pi _{*}^{S}(X).}$
• Diversos tipos de grupos de cobordismo , basados ​​en el estudio de un espacio considerando todas las aplicaciones desde él a variedades: cobordismo no orientado.${\displaystyle MO^{*}(X)}$cobordismo orientado${\displaystyle MSO^{*}(X),}$cobordismo complejo${\displaystyle MU^{*}(X),}$y así sucesivamente. El cobordismo complejo ha demostrado ser especialmente poderoso en la teoría de la homotopía. Está estrechamente relacionado con los grupos formales , a través de un teorema de Daniel Quillen .
• Diversas variantes de la teoría K topológica , basadas en el estudio de un espacio considerando todos los fibrados vectoriales sobre él:${\displaystyle KO^{*}(X)}$(teoría K periódica real),${\displaystyle ko^{*}(X)}$(teoría K conectiva real),${\displaystyle K^{*}(X)}$(teoría K periódica compleja),${\displaystyle ku^{*}(X)}$(teoría K conectiva compleja), y así sucesivamente.
• La cohomología de Brown-Peterson , la teoría K de Morava , la teoría E de Morava y otras teorías construidas a partir del cobordismo complejo.
• Diversas variantes de la cohomología elíptica .

Muchas de estas teorías contienen información más rica que la cohomología ordinaria, pero son más difíciles de calcular.

Se dice que una teoría de cohomología E es multiplicativa si${\displaystyle E^{*}(X)}$tiene la estructura de un anillo graduado para cada espacio X. En el lenguaje de los espectros, hay varias nociones más precisas de un espectro de anillo , como un espectro de anillo E _∞ , donde el producto es conmutativo y asociativo en un sentido fuerte.

Las teorías de cohomología en un sentido más amplio (invariantes de otras estructuras algebraicas o geométricas, en lugar de espacios topológicos) incluyen:

• teoría de la cohomología orientada a complejos

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