Teorema de Gromov sobre grupos de crecimiento polinomial

En la teoría geométrica de grupos , el teorema de Gromov sobre grupos de crecimiento polinomial , demostrado por primera vez por Mikhail Gromov , ^{[ 1 ]} caracteriza a los grupos finitamente generados de crecimiento polinomial como aquellos grupos que tienen subgrupos nilpotentes de índice finito .

La tasa de crecimiento de un grupo es una noción bien definida del análisis asintótico . Decir que un grupo finitamente generado tiene crecimiento polinomial significa que el número de elementos de longitud como máximo n (en relación con un conjunto generador simétrico) está acotado superiormente por una función polinomial p ( n ). El orden de crecimiento es entonces el grado mínimo de cualquier función polinomial p de este tipo .

Un grupo nilpotente G es un grupo cuya serie central inferior termina en el subgrupo identidad.

El teorema de Gromov establece que un grupo finitamente generado tiene crecimiento polinomial si y solo si tiene un subgrupo nilpotente de índice finito.

Existe una vasta literatura sobre tasas de crecimiento, que culmina en el teorema de Gromov. Un resultado anterior de Joseph A. Wolf ^{[ 2 ]} demostró que si G es un grupo nilpotente finitamente generado, entonces el grupo tiene crecimiento polinomial. Yves Guivarc'h ^{[ 3 ]} e independientemente Hyman Bass ^{[ 4 ]} (con diferentes demostraciones) calcularon el orden exacto del crecimiento polinomial. Sea G un grupo nilpotente finitamente generado con serie central inferior

${\displaystyle G=G_{1}\supseteq G_{2}\supseteq \cdots .}$

En particular, el grupo cociente G _k / G _{k +1} es un grupo abeliano finitamente generado.

La fórmula de Bass - Guivarc'h establece que el orden de crecimiento polinómico de G es

${\displaystyle d(G)=\sum _ {k\geq 1}k\operatorname {rango} (G_{k}/G_{k+1})}$

dónde:

El rango denota el rango de un grupo abeliano , es decir, el mayor número de elementos independientes y sin torsión del grupo abeliano.

En particular, el teorema de Gromov y la fórmula de Bass - Guivarc'h implican que el orden de crecimiento polinomial de un grupo finitamente generado es siempre un número entero o infinito (excluyendo, por ejemplo, las potencias fraccionarias).

Another nice application of Gromov's theorem and the Bass–Guivarch formula is to the quasi-isometric rigidity of finitely generated abelian groups: any group which is quasi-isometric to a finitely generated abelian group contains a free abelian group of finite index.

In order to prove this theorem Gromov introduced a convergence for metric spaces. This convergence, now called the Gromov–Hausdorff convergence, is currently widely used in geometry.

A relatively simple proof of the theorem was found by Bruce Kleiner.^[5] Later, Terence Tao and Yehuda Shalom modified Kleiner's proof to make an essentially elementary proof as well as a version of the theorem with explicit bounds.^[6][7] Gromov's theorem also follows from the classification of approximate groups obtained by Breuillard, Green and Tao. A simple and concise proof based on functional analytic methods is given by Ozawa.^[8]

Beyond Gromov's theorem one can ask whether there exists a gap in the growth spectrum for finitely generated group just above polynomial growth, separating virtually nilpotent groups from others. Formally, this means that there would exist a function ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ such that a finitely generated group is virtually nilpotent if and only if its growth function is an ${\displaystyle O(f(n))}$. Such a theorem was obtained by Shalom and Tao, with an explicit function ${\displaystyle n^{\log \log(n)^{c}}}$ for some ${\displaystyle c>0}$. All known groups with intermediate growth (i.e. both superpolynomial and subexponential) are essentially generalizations of Grigorchuk's group, and have faster growth functions; so all known groups have growth faster than ${\displaystyle e^{n^{\alpha -o(1)}}}$, with ${\displaystyle \alpha =\log(2)/\log(2/\eta )\approx 0.767}$, where ${\displaystyle \eta }$ is the real root of the polynomial ${\displaystyle x^{3}+x^{2}+x-2}$.^[9]

It is conjectured that the true lower bound on growth rates of groups with intermediate growth is ${\displaystyle e^{\sqrt {n}}}$. This is known as the Gap conjecture.^[10]

• Breuillard–Green–Tao theorem