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Ley Beer-Lambert

La ley de Beer-Lambert (también conocida como ley de Beer ) se utiliza para determinar la concentración de sustancias en una solución. Describe cómo la cantidad de luz que absor...

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La ley de Beer-Lambert (también conocida como ley de Beer ) se utiliza para determinar la concentración de sustancias en una solución. Describe cómo la cantidad de luz que absorbe una solución es directamente proporcional a su concentración. Esta relación se expresa comúnmente como:

A=εdol{\displaystyle A=\varepsilon cl}

dónde

Recibe su nombre de August Beer y Johann Heinrich Lambert . Si bien existen versiones preliminares de esta ley que se remontan a mediados del siglo XVIII, no adquirió su forma moderna hasta principios del siglo XX.

Historia

El primer trabajo para la elaboración de la ley comenzó con las observaciones astronómicas que Pierre Bouguer realizó a principios del siglo XVIII y publicó en 1729. [ 1 ] Bouguer necesitaba compensar la refracción de la luz por la atmósfera terrestre y consideró necesario medir la altura local de la atmósfera. Esta última la buscó obtener a través de variaciones en la intensidad observada de estrellas conocidas. Al calibrar este efecto, Bouguer descubrió que la intensidad de la luz tenía una dependencia exponencial con la distancia recorrida a través de la atmósfera (en términos de Bouguer, una progresión geométrica ). [ 2 ]

El trabajo de Bouguer fue popularizado posteriormente en la Photometria de Johann Heinrich Lambert en 1760. [ 3 ] Lambert expresó la ley, que establece que la pérdida de intensidad de la luz al propagarse en un medio es directamente proporcional a la intensidad y la longitud del recorrido, en una forma matemática bastante similar a la utilizada en la física moderna. Lambert comenzó asumiendo que la intensidad I de la luz que viaja hacia un cuerpo absorbente estaría dada por la ecuación diferencial−dI=μIdincógnita,{\displaystyle -\mathrm {d} I=\mu I\mathrm {d} x,}lo cual es compatible con las observaciones de Bouguer. La constante de proporcionalidad μ se denominaba a menudo "densidad óptica" del cuerpo. Mientras μ sea constante a lo largo de una distancia d , la ley de atenuación exponencial,I=I0mi−μd{\displaystyle I=I_{0}e^{-\mu d}}se deduce de la integración. [ 4 ]

En 1852, August Beer observó que las soluciones coloreadas también parecían exhibir una relación de atenuación similar . En su análisis, Beer no discute el trabajo previo de Bouguer y Lambert, escribiendo en su introducción que "Con respecto a la magnitud absoluta de la absorción que sufre un rayo de luz particular durante su propagación a través de un medio absorbente, no hay información disponible". [ 5 ] Beer pudo haber omitido la referencia al trabajo de Bouguer porque existe una sutil diferencia física entre la absorción de color en soluciones y contextos astronómicos. Las soluciones son homogéneas y no dispersan la luz en longitudes de onda analíticas comunes ( ultravioleta , visible o infrarrojo ), excepto en la entrada y la salida. Por lo tanto, la luz dentro de una solución se aproxima razonablemente como debida únicamente a la absorción. En el contexto de Bouguer, el polvo atmosférico u otras inhomogeneidades también podrían dispersar la luz lejos del detector. Los textos modernos combinan las dos leyes porque la dispersión y la absorción tienen el mismo efecto. Así, un coeficiente de dispersión μ s y un coeficiente de absorción μ a se pueden combinar en un coeficiente de extinción total μ = μ s + μ a . [ 6 ]

Es importante destacar que Beer también parece haber conceptualizado su resultado en términos de la opacidad de un espesor dado, escribiendo: "Si λ es el coeficiente (fracción) de disminución, entonces este coeficiente (fracción) tendrá el valor λ 2 para el doble de este espesor". [ 7 ] Aunque esta progresión geométrica es matemáticamente equivalente a la ley moderna, los tratamientos modernos enfatizan el logaritmo de λ , lo que aclara que la concentración y la longitud del camino tienen efectos equivalentes sobre la absorción. [ 8 ] [ 9 ] Una formulación moderna temprana, posiblemente la primera, fue dada por Robert Luther y Andreas Nikolopulos en 1913. [ 10 ]

Formulaciones matemáticas

Existen varias formulaciones equivalentes de la ley, dependiendo de la elección precisa de las cantidades medidas. Todas ellas establecen que, siempre que el estado físico se mantenga constante, el proceso de extinción es lineal en la intensidad de la radiación y la cantidad de materia radiactivamente activa, un hecho que a veces se denomina ley fundamental de la extinción . [ 11 ] Muchas de ellas luego relacionan la cantidad de materia radiactivamente activa con una longitud recorrida ℓ y una concentración c o densidad numérica n . Para concentraciones expresadas como moles por volumen, estas dos últimas están relacionadas por el número de Avogadro : n = N A c .

Un haz colimado (radiación dirigida) con un área de sección transversal S encontrará partículas Sℓn (en promedio) durante su recorrido. Sin embargo, no todas estas partículas interactúan con el haz. La propensión a interactuar es una propiedad dependiente del material, que se resume típicamente en la absortividad ϵ [ 12 ] o la sección transversal de dispersión σ . [ 13 ] Estas exhiben casi otra relación de tipo Avogadro: ln(10)ε = N A σ . El factor ln(10) aparece porque los físicos tienden a usar logaritmos naturales y los químicos logaritmos decenales.

La intensidad del haz también puede describirse en términos de múltiples variables: la intensidad I o el flujo radiante Φ . En el caso de un haz colimado, estas se relacionan mediante Φ = IS , pero Φ se usa a menudo en contextos no colimados. La relación de intensidad (o flujo) de entrada a salida a veces se resume como un coeficiente de transmitancia T = I ⁄ I 0 .

Al considerar una ley de extinción, el análisis dimensional puede verificar la consistencia de las variables, ya que los logaritmos (al ser no lineales) siempre deben ser adimensionales.

Formulación

La formulación más simple de la ley de Beer relaciona la atenuación óptica de un material físico que contiene una única especie atenuante de concentración uniforme con la longitud del camino óptico a través de la muestra y la absortividad de dicha especie. Esta expresión es:registro10⁡(I0/I)=A=εℓdo{\displaystyle \log _{10}(I_{0}/I)=A=\varepsilon \ell c}Las cantidades así igualadas se definen como la absorbancia A , que depende de la base del logaritmo . La absorbancia neperiana τ viene dada por τ = ln(10) A y satisfaceln⁡(I0/I)=τ=σℓnorte.{\displaystyle \ln(I_{0}/I)=\tau =\sigma \ell n.}

Si varias especies en el material interactúan con la radiación, entonces sus absorbancias se suman. Por lo tanto, una formulación ligeramente más general es que [ 14 ]τ=ℓ∑iσinortei,A=ℓ∑iεidoi,{\displaystyle {\begin{aligned}\tau &=\ell \sum _{i}\sigma _{i}n_{i},\\[4pt]A&=\ell \sum _{i}\varepsilon _{i}c_{i},\end{aligned}}}donde la suma se realiza sobre todas las especies posibles que interactúan con la radiación ("translúcidas"), e i indexa esas especies.

En situaciones donde la longitud puede variar significativamente, la absorbancia a veces se resume en términos de un coeficiente de atenuación.μ10=Al=ϵdoμ=τl=σnorte.{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\mu _{10}&={\frac {A}{l}}&&=\epsilon c\\\mu &={\frac {\tau }{l}}&&=\sigma n.\end{alignedat}}}

En las aplicaciones de ciencias atmosféricas y blindaje contra la radiación , el coeficiente de atenuación puede variar significativamente a través de un material no homogéneo. En tales situaciones, la forma más general de la ley de Beer-Lambert establece que la atenuación total se puede obtener integrando el coeficiente de atenuación sobre pequeñas secciones dz de la línea de haz:A=∫μ10(z)dz=∫∑iϵi(z)doi(z)dz,τ=∫μ(z)dz=∫∑iσi(z)nortei(z)dz.{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}A&=\int {\mu _{10}(z)\,dz}&&=\int {\sum _{i}{\epsilon _{i}(z)c_{i}(z)}\,dz},\\\tau &=\int {\mu (z)\,dz}&&=\int {\sum _{i}{\sigma _{i}(z)n_{i}(z)}\,dz}.\end{alignedat}}}Estas formulaciones se reducen a versiones más simples cuando solo hay una especie activa y los coeficientes de atenuación son constantes.

Derivación

Hay dos factores que determinan el grado en que un medio que contiene partículas atenuará un haz de luz: el número de partículas que encuentra el haz de luz y el grado en que cada partícula extingue la luz. [ 15 ]

Supongamos que un haz de luz incide sobre una muestra de material. Definimos z como un eje paralelo a la dirección del haz. Dividimos la muestra en láminas delgadas, perpendiculares al haz de luz, con un espesor dz suficientemente pequeño como para que una partícula en una lámina no pueda ocultar a otra partícula en la misma lámina cuando se observa a lo largo de la dirección z . El flujo radiante de la luz que emerge de una lámina se reduce, en comparación con el de la luz que incidió, en un 100 %.dΦmi(z)=−μ(z)Φmi(z)dz,{\displaystyle \mathrm {d\Phi _ {e}} (z)=-\mu (z)\Phi _ {\mathrm {e} }(z)\mathrm {d} z,}donde μ es el coeficiente de atenuación (nepieriano) , lo que da como resultado la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden :dΦmi(z)dz=−μ(z)Φmi(z).{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \Phi _{\mathrm {e} }(z)}{\mathrm {d} z}}=-\mu (z)\Phi _{\mathrm {e} }(z).} La atenuación se debe a los fotones que no llegaron al otro lado de la sección transversal debido a la dispersión o la absorción . La solución a esta ecuación diferencial se obtiene multiplicando el factor integrante.exp⁡(∫0zμ(z′)dz′){\displaystyle \exp \left(\int _{0}^{z}\mu (z')\mathrm {d} z'\right)}a lo largo para obtenerdΦmi(z)dzexp⁡(∫0zμ(z′)dz′)+μ(z)Φmi(z)exp⁡(∫0zμ(z′)dz′)=0,{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \Phi _{\mathrm {e} }(z)}{\mathrm {d} z}}\,\exp \left(\int _{0}^{z}\mu (z')\mathrm {d} z'\right)+\mu (z)\Phi _{\mathrm {e} }(z)\,\exp \left(\int _{0}^{z}\mu (z')\mathrm {d} z'\right)=0,}lo cual se simplifica debido a la regla del producto (aplicada hacia atrás) addz[Φmi(z)exp⁡(∫0zμ(z′)dz′)]=0.{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\left[\Phi _{\mathrm {e} }(z)\exp \left(\int _{0}^{z}\mu (z')\mathrm {d} z'\right)\right]=0.}

Integrando ambos lados y resolviendo para Φ e para un material de espesor real ℓ , con el flujo radiante incidente sobre la secciónΦmii=Φmi(0){\displaystyle \mathrm {\Phi _ {e}^{i}} =\mathrm {\Phi _ {e}} (0)}y el flujo radiante transmitidoΦmit=Φmi(ℓ){\displaystyle \mathrm {\Phi _ {e}^{t}} =\mathrm {\Phi _ {e}} (\ell)}daΦmit=Φmiiexp⁡(−∫0ℓμ(z)dz),{\displaystyle \mathrm {\Phi _{e}^{t}} =\mathrm {\Phi _{e}^{i}} \exp \left(-\int _{0}^{\ell }\mu (z)\mathrm {d} z\right),}y finalmenteT=ΦmitΦmii=exp⁡(−∫0ℓμ(z)dz).{\displaystyle T=\mathrm {\frac {\Phi _{e}^{t}}{\Phi _{e}^{i}}} =\exp \left(-\int _{0}^{\ell }\mu (z)\mathrm {d} z\right).}

Dado que el coeficiente de atenuación decádico μ 10 está relacionado con el coeficiente de atenuación (napieriano) porμ10=μln⁡10,{\displaystyle \mu _{10}={\tfrac {\mu }{\ln 10}},}también tenemosT=exp⁡(−∫0ℓln⁡(10)μ10(z)dz)=10∧(−∫0ℓμ10(z)dz).{\displaystyle {\begin{aligned}T&=\exp \left(-\int _{0}^{\ell }\ln(10)\,\mu _{10}(z)\mathrm {d} z\right)\\[4pt]&=10^{\;\!\wedge }\!\!\left(-\int _{0}^{\ell }\mu _{10}(z)\mathrm {d} z\right).\end{aligned}}}

Para describir el coeficiente de atenuación de forma independiente de las densidades numéricas n i de las N especies atenuantes de la muestra de material, se introduce la sección transversal de atenuación.σi=μi(z)nortei(z).{\displaystyle \sigma _{i}={\tfrac {\mu _{i}(z)}{n_{i}(z)}}.}σ i tiene la dimensión de un área; expresa la probabilidad de interacción entre las partículas del haz y las partículas de la especie i en la muestra del material:T=exp⁡(−∑i=1norteσi∫0ℓnortei(z)dz).{\displaystyle T=\exp \left(-\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}\int _{0}^{\ell }n_{i}(z)\mathrm {d} z\right).}

También se pueden utilizar los coeficientes de atenuación molar.εi=norteAln⁡10σi,{\displaystyle \varepsilon _{i}={\tfrac {\mathrm {N_{A}} }{\ln 10}}\sigma _{i},}donde N A es la constante de Avogadro , para describir el coeficiente de atenuación de una manera independiente de las concentraciones de cantidad.doi(z)=norteiznorteA{\displaystyle c_{i}(z)=n_{i}{\tfrac {z}{\mathrm {N_{A}} }}}de las especies atenuantes de la muestra del material:T=exp⁡(−∑i=1norteln⁡(10)norteAεi∫0ℓnortei(z)dz)=exp⁡(−∑i=1norteεi∫0ℓnortei(z)norteAdz)ln⁡(10)=10∧(−∑i=1norteεi∫0ℓdoi(z)dz).{\displaystyle {\begin{aligned}T&=\exp \left(-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\ln(10)}{\mathrm {N_{A}} }}\varepsilon _{i}\int _{0}^{\ell }n_{i}(z)\mathrm {d} z\right)\\[4pt]&=\exp \left(-\sum _{i=1}^{N}\varepsilon _{i}\int _{0}^{\ell }{\frac {n_{i}(z)}{\mathrm {N_{A}} }}\mathrm {d} z\right)^{\ln(10)}\\[4pt]&=10^{\;\!\wedge }\!\!\left(-\sum _{i=1}^{N}\varepsilon _{i}\int _{0}^{\ell }c_{i}(z)\mathrm {d} z\right).\end{aligned}}}

Validez

En determinadas condiciones, la ley de Beer-Lambert no mantiene una relación lineal entre la atenuación y la concentración del analito, especialmente a altas concentraciones donde la dispersión y la turbidez se vuelven significativas. [ 16 ] [ 17 ]

Estas desviaciones se clasifican en tres categorías:

  1. Desviaciones reales y fundamentales debidas a las limitaciones de la propia ley.
  2. Desviaciones químicas: desviaciones observadas debido a especies químicas específicas de la muestra que se está analizando.
  3. Instrumento: desviaciones que se producen debido a la forma en que se realizan las mediciones de atenuación.

Para que la ley Beer-Lambert sea válida, deben cumplirse al menos seis condiciones. Estas son:

  1. Los atenuadores deben funcionar de forma independiente entre sí.
  2. El medio atenuador debe ser homogéneo en el volumen de interacción.
  3. El medio atenuador no debe dispersar la radiación (no debe haber turbidez ), a menos que esto se tenga en cuenta como en DOAS .
  4. La radiación incidente debe consistir en rayos paralelos, cada uno de los cuales recorre la misma longitud en el medio absorbente.
  5. La radiación incidente debe ser preferiblemente monocromática , o tener al menos un ancho de banda menor que el de la transición atenuada. De lo contrario, se necesita un espectrómetro como detector de potencia en lugar de un fotodiodo, que no puede discriminar entre longitudes de onda.
  6. El flujo incidente no debe influir en los átomos ni en las moléculas; solo debe actuar como una sonda no invasiva de las especies en estudio. En particular, esto implica que la luz no debe causar saturación óptica ni bombeo óptico, ya que tales efectos agotarían el nivel inferior y posiblemente darían lugar a emisión estimulada.

Si no se cumple alguna de estas condiciones, habrá desviaciones de la ley Beer-Lambert.

La ley tiende a fallar a concentraciones muy altas, especialmente si el material es altamente dispersor . La absorbancia dentro del rango de 0.2 a 0.5 es ideal para mantener la linealidad en la ley de Beer-Lambert. Si la radiación es particularmente intensa, los procesos ópticos no lineales también pueden causar variaciones. Sin embargo, la razón principal es que la dependencia de la concentración es en general no lineal y la ley de Beer es válida solo bajo ciertas condiciones, como se muestra en la derivación a continuación. Para osciladores fuertes y a altas concentraciones, las desviaciones son mayores. Si las moléculas están más cerca unas de otras, pueden aparecer interacciones. Estas interacciones se pueden dividir a grandes rasgos en interacciones físicas y químicas. Las interacciones físicas no alteran la polarizabilidad de las moléculas siempre que la interacción no sea tan fuerte como para que la luz y el estado cuántico molecular se entremezclen (acoplamiento fuerte), pero hacen que las secciones transversales de atenuación no sean aditivas a través del acoplamiento electromagnético. Las interacciones químicas, en cambio, cambian la polarizabilidad y, por lo tanto, la absorción.

En los sólidos, la atenuación suele ser una suma del coeficiente de absorción.α{\displaystyle \alpha }(creación de pares electrón-hueco) o dispersión (por ejemplo, dispersión de Rayleigh si los centros de dispersión son mucho más pequeños que la longitud de onda incidente). [ 18 ] También tenga en cuenta que para algunos sistemas podemos poner1/λ{\displaystyle 1/\lambda }(1 sobre el camino libre medio inelástico) en lugar deμ{\displaystyle \mu }. [ 19 ]

Aplicaciones

En física de plasmas

Al igual que las soluciones, la Ley de Beer-Lambert también se puede aplicar a los plasmas. En este caso, el coeficiente de absorción se expresa típicamente comoα(λ)=norteσ(λ){\displaystyle \alpha (\lambda )=n\sigma (\lambda )}dóndenorte{\displaystyle n}es la densidad numérica de las especies absorbentes yσ(λ){\displaystyle \sigma (\lambda )}es la sección transversal de absorción dependiente de la longitud de onda. [ 20 ] La sustitución en la ley de Beer-Lambert produce:

ln⁡(I0/I)=∫norte(s)σ(λ)ds{\displaystyle \ln(I_{0}/I)=\int n(s)\sigma (\lambda )\operatorname {d} \!s}

que relaciona la atenuación medida con la densidad numérica integrada a lo largo de la trayectoria óptica. [ 20 ] [ 21 ] Esta fórmula sustenta muchas técnicas de espectroscopia de absorción láser, incluyendo la espectroscopia de absorción láser de diodo sintonizable y de cascada cuántica, que se pueden utilizar para determinar densidades absolutas, temperaturas y velocidades de flujo global en plasmas de laboratorio, industriales y de fusión. [ 20 ] [ 22 ]

En plasmas más calientes o densos, como las atmósferas estelares, muchas especies atómicas e iónicas contribuyen simultáneamente, a menudo con múltiples estados de ionización coexistentes; por lo tanto, tratar la absorción como una suma de secciones transversales de partículas individuales se vuelve impracticable. En cambio, la Ley de Beer-Lambert se suele escribir en términos de la opacidad efectiva.κν{\displaystyle \kappa _{\nu }}, que abarca todos los procesos microscópicos a una frecuencia dada: [ 22 ]

Iν=Iν,0exp(−∫κνρds){\displaystyle I_{\nu }=I_{\nu ,0}\exp \!\left(-\int \kappa _{\nu }\rho \,\mathrm {d} s\right)}

dóndeIν,0{\displaystyle I_{\nu ,0}}yIν{\displaystyle I_{\nu }}son las intensidades espectrales incidente y transmitida,ρ{\displaystyle \rho }es la densidad de masa, y la integral se toma a lo largo de la línea de visión; esto representa el límite de absorción únicamente de la ecuación de transferencia radiativa. [ 21 ] [ 22 ] Aunque la Ley de Beer-Lambert es más precisa para plasmas ópticamente delgados o moderadamente absorbentes, sigue siendo una aproximación fundamental para interpretar las mediciones de absorción en el diagnóstico de plasmas. [ 20 ]

La ley también surge como una solución a la ecuación BGK .

Análisis químico por espectrofotometría

La ley de Beer-Lambert se puede aplicar al análisis de una mezcla mediante espectrofotometría , sin necesidad de un preprocesamiento extenso de la muestra. Un ejemplo es la determinación de bilirrubina en muestras de plasma sanguíneo. Se conoce el espectro de la bilirrubina pura, por lo que se conoce el coeficiente de atenuación molar ε . Se realizan mediciones del coeficiente de atenuación decádico μ 10 a una longitud de onda λ que es casi única para la bilirrubina y a una segunda longitud de onda para corregir posibles interferencias. La concentración de cantidad c viene dada entonces por do=μ10(λ)ε(λ).{\displaystyle c={\frac {\mu _{10}(\lambda )}{\varepsilon (\lambda )}}.}

Para un ejemplo más complejo, consideremos una mezcla en solución que contiene dos especies en concentraciones de cantidad c 1 y c 2 . El coeficiente de atenuación decádico a cualquier longitud de onda λ viene dado por: μ10(λ)=ε1(λ)do1+ε2(λ)do2.{\displaystyle \mu _{10}(\lambda )=\varepsilon _{1}(\lambda )c_{1}+\varepsilon _{2}(\lambda )c_{2}.}

Por lo tanto, las mediciones a dos longitudes de onda generan dos ecuaciones con dos incógnitas, suficientes para determinar las concentraciones c₁ y c₂ siempre que se conozcan los coeficientes de atenuación molar de los dos componentes, ε₁ y ε₂ , a ambas longitudes de onda. Este sistema de dos ecuaciones puede resolverse mediante la regla de Cramer . En la práctica , es preferible utilizar el método de mínimos cuadrados lineales para determinar las dos concentraciones a partir de mediciones realizadas a más de dos longitudes de onda.

Las mezclas que contienen más de dos componentes pueden analizarse de la misma manera, utilizando un mínimo de m longitudes de onda para una mezcla que contiene n componentes. Por lo tanto, en general:

Aλi=∑j=1norteϵj,λidojl{\displaystyle A_{\lambda _{i}}=\sum _{j=1}^{n}\epsilon _{j,\lambda _{i}}c_{j}l}

dóndeAλi{\displaystyle A_{\lambda _{i}}}es la absorbancia a la longitud de ondaλi{\displaystyle \lambda _{i}},ϵj,λi{\displaystyle \epsilon _{j,\lambda _{i}}}es la absortividad molar del componentej{\displaystyle j}enλi{\displaystyle \lambda _{i}},doj{\displaystyle c_{j}}es la concentración del componentej{\displaystyle j}, yl{\displaystyle l}es la longitud del camino.

Esta ley se utiliza ampliamente en espectroscopia infrarroja y de infrarrojo cercano para el análisis de la degradación y oxidación de polímeros (incluso en tejido biológico), así como para medir la concentración de diversos compuestos en diferentes muestras de alimentos . La atenuación del grupo carbonilo a unos 6 micrómetros se puede detectar con bastante facilidad, y el grado de oxidación del polímero se puede calcular.

Astronomía atmosférica

La ley de Bouguer-Lambert se puede aplicar para describir la atenuación de la radiación solar o estelar a medida que viaja a través de la atmósfera. En este caso, hay dispersión de la radiación, así como absorción. La profundidad óptica para una trayectoria oblicua es τ ′ = mτ , donde τ se refiere a una trayectoria vertical, m se llama masa de aire relativa , y para una atmósfera plano-paralela se determina como m = sec θ donde θ es el ángulo cenital correspondiente a la trayectoria dada. La ley de Bouguer-Lambert para la atmósfera se suele escribir T=exp⁡(−metro(τa+τgramo+τRS+τnorteO2+τw+τO3+τr+⋯)),{\displaystyle T=\exp {\big (}-m(\tau _{\mathrm {a} }+\tau _{\mathrm {g} }+\tau _{\mathrm {RS} }+\tau _{\mathrm {NO_{2}} }+\tau _{\mathrm {w} }+\tau _{\mathrm {O_{3}} }+\tau _{\mathrm {r} }+\cdots ){\bigr )},} donde cada τ x es la profundidad óptica cuyo subíndice identifica la fuente de la absorción o dispersión que describe:

m es la masa óptica o factor de masa de aire , un término aproximadamente igual (para valores pequeños y moderados de θ ) a1porque⁡θ,{\displaystyle {\tfrac {1}{\cos \theta }},}donde θ es el ángulo cenital del objeto observado (el ángulo medido desde la dirección perpendicular a la superficie terrestre en el lugar de observación). Esta ecuación se puede utilizar para obtenerτa , el espesor óptico de los aerosoles , necesario para la corrección de imágenes satelitales y también importante para tener en cuenta el papel de los aerosoles en el clima.

Véase también

Referencias

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  • Calculadora de la Ley de Beer-Lambert
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